CURSO_CONFIABILIDAD

CURSO DE CONFIABILIDAD
P. REYES / DIC. 2006
CURSO DE CONFIABILIDAD
Elaboró: Dr. Primitivo Reyes Aguilar
Diciembre de 2006
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CONTENIDO
1. Introducción a la confiabilidad
2. Distribuciones de probabilidad
3. Modelos de distribuciones de probabilidad para el tiempo
de falla
4. Estimación de parámetros del modelo
5. Determinación de la confiabilidad
6. Pruebas de vida aceleradas
7. Confiabilidad de sistemas
8. Mantenabilidad y disponibilidad
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1. Introducción a la confiabilidad
No es suficiente que un producto cumpla las especificaciones y criterios de
calidad establecidos sino que además es necesario que tenga un buen
desempeño durante su vida útil es decir que sea confiable. Esto cada vez cobra
una importancia mayor dado que cambia la tecnología, los productos son cada
vez más complejos, los clientes se tornan cada vez más exigentes y la
competencia es alta.
Confiabilidad es la probabilidad de que un componente o sistema desempeñe
satisfactoriamente la función para la que fue creado durante un periodo
establecido y bajo condiciones de operación establecidos. La confiabilidad es
calidad en el tiempo.
Falla de un producto sucede cuando deja de operar, funcionar o no realiza
satisfactoriamente la función para la que fue creado. El tiempo de falla es el
tiempo que transcurre hasta que el producto deja de funcionar.
Las razones de estudio de la confiabilidad de productos son las siguientes:
1. Determinar el tiempo tp hasta el cual se espera que falle una proporción p
dada de los productos en operación. Esto es útil para determinar tiempos de
garantía apropiados así como sus costos.
2. Encontrar el tiempo tp al cual se espera que sobreviva una proporción 1-p
dada de los productos en operación. Es una estimación de la confiabilidad de
los productos.
3. Determinar la propensión a fallar que tienen el producto en un tiempo dado.
Para comparar dos o más diseños o procesos, o lo que se publicita por un
proveedor.
4. Dado que un artículo ha sobrevivido un tiempo T0, encontrar la probabilidad
de que sobreviva un tiempo un tiempo t adicional. Para planear el reemplazo de
los equipos.
5. Los puntos anteriores se pueden hacer de manera comparativa para
diferentes materiales, proveedores o modos de falla.
La información para los estudios de confiabilidad tienen diferentes
denominaciones: datos de tiempos de vida, datos de tiempos de falla, datos de
tiempo a evento, datos de degradación, etc.
Entre las características que tienen los estudios de confiabilidad se encuentran
los siguientes:
1. Los tiempos de falla son positivos con comportamiento asimétrico y sesgo
positivo, por tanto las distribuciones para modelar estos tiempos de falla son la
Weibull, lognormal, exponencial y gamma, la distribución normal casi no se
utiliza.
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2. Mientras que en estadística lo que interesa son los parámetros de la
población media y desviación estándar, en la confiabilidad lo que interesa son
las tasas de falla, las probabilidades de falla y los cuantiles. Un cuantil es el
tiempo tp hasta el cual se espera que falle una proporción p de artículos.
3. Para tener datos es necesario tener datos a través de pruebas las que en
algunas ocasiones son costosas.
4. A veces el tiempo para observar las fallas es muy largo y es necesario cortar
el tiempo de prueba, dando lugar a observaciones censuradas. Normalmente
se requiere extrapolar los resultados, por ejemplo al estimar la tasa de falla a
las 10,000 horas con pruebas de funcionamiento durante 1,000 horas.
5. Cuando es necesario acortar el tiempo de prueba se pueden hacer pruebas
de vida acelerada utilizando condiciones estresantes.
Ejemplo:
Se tomaron n = 1,000 chips probados durante 1,500 horas a una temperatura
de 80ºC y se observaron 40 con falla. Al finalizar la prueba 960 chips
funcionaban adecuadamente.
Entre las preguntas que se pueden contestar se encuentran las siguientes:
¿Cuál es la probabilidad de que fallen los chips antes de las 500 horas?
¿Cuál es el riesgo de falla a las 300 horas?
¿Cuál es la proporción de chips que fallarán antes de 250 horas?
Datos censurados
Censura
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Se tienen datos censurados cuando no se conocen los tiempos de falla de las
unidades de manera exacta, sino solo los intervalos de tiempo donde
ocurrieron o hubieran ocurrido las fallas. Es información parcial sobre los
tiempos de falla. Algunas de las fuentes de censura son las siguientes:



Tiempo fijo de terminación de la prueba
Tiempos de inspección (límites superiores e inferiores en T)
Modos de falla múltiples (también conocidos como riesgos en
competencia, y dando por resultado censura por la derecha),
Independiente (simple) y no independiente(difícil).
TIPOS DE CENSURA

Censura por la derecha (tipo I y II): La tipo I es cuando se tienen
unidades sin falla limitando el tiempo de observación o censura por
tiempo. Cuando se limita el tiempo hasta que fallan r unidades, se tiene
censura tipo II para las unidades sobrevivientes (n-r).

Censura por la izquierda: Ocurre cuando al inspeccionar las unidades
después de un periodo de tiempo se encuentra que algunas fallaron,
pero no se sabe el momento de su ocurrencia.
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
Censura por intervalo cuando se inspecciona en intervalos de tiempo y
se observan fallas en cierto intervalo pero no se conoce exactamente en
que momento ocurrieron, se censuran los productos sobrevivientes.

Censura múltiple: Cuando en el mismo estudio se tienen diferentes tipos
de censura.
Ejemplo:
A
B
X
¿
¿
C
D
¿
Fig. 1 Tipos de censura: A sin censura; B Censura por la izquierda; C Censura por la derecha;
D censura por intervalo.
2. Distribuciones de probabilidad
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Verosimilitud (probabilidad de los datos)
La Verosimilitud proporciona un método general y versátil de estimación, se
prefieren las combinaciones de Modelo/Parámetros con Verosimilitud grande.
Permite censura, intervalos, y datos truncados.
La forma de la verosimilitud dependerá del: propósito del estudio, modelo
asumido, sistema de medición e identificación y parametrización.
La contribución por diferentes tipos de censura es como sigue:
Por ejemplo para la función de distribución:
La verosimilitud en censura por intervalo es:
Si una unidad continua operando en el tiempo T=1.0 pero ha fallado en t= 1.5,
Li =F(1.5) - F(1) = 0.231
La verosimilitud de censura por la izquierda es:
Si una falla se detecta en la primera inspección a un tiempo t=0.5,
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Li = F(0.5) = .265
La verosimilitud de censura por la derecha es:
Si una unidad continua operando en la ultima inspección en el tiempo T=2.0,
Li =1 - F(2) = 0.0388
Para una tabla de tiempos de vida se tiene:
Los datos son: el número de las fallas (di), censuradas por la derecha (ri), y
censuradas por la izquierda (li) en cada uno de los intervalo (no traslapadas)
(ti-1, ti ], i = 1. . . m, m+1, t0 = 0. La verosimilitud (probabilidad de los datos)
para una sola observación, en (t i-1, ti ] es:
Si se supone que la censura es en ti:
Tipo de
censura
Izquierda de
tIntervalo
i
T > ti
li
Verosimilitud de
los datos L(i)
[F(ti)]li
ti-1 < T < ti
di
[F(ti)-F(ti-1)]di
Derecha de ti
T>ti
ri
[1-F(ti)]ri
Característica
Numero de
casos
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Análisis no paramétrico de los tiempos de falla
Para la estimación no paramétrica de F(ti) con base en la teoría binomial para
datos con censura simple de intervalo se tiene:
Con los datos:
n = tamaño de muestra
Di = # de fallas en el iesimo intervalo
De la distribución binomial se tiene:
i
#
d
fa
h
e
ti
t
e
i
j
n
j

1
ˆ
F
(
t
)


d

Por ejemplo si en una muestra de n = 100, en el primer intervalo se obtienen
d1 = 2 fallas, en el segundo periodo se obtienen d2 = 2 fallas y en el periodo
d3 = 2 fallas, entonces:
ˆ
ˆ
ˆ
F
(
1
)

1
100
,
F
(
2
)

3
100
,
F
(
3
)

5
100
está definida sólo al final del intervalo
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Es el estimador de máxima verosimilitud de F(t).
El incremento en
a cada valor de ti es
El nivel de confianza expresa la confianza (no probabilidad) de que un intervalo
específico contiene la cantidad de interés.
La probabilidad de cobertura es la probabilidad de que el procedimiento dará
lugar a un intervalo que contiene la cantidad de interés. Un intervalo de
confianza es aproximado si el nivel especificado de la confianza no es igual a la
probabilidad real de la cobertura.
Con datos censurados la mayoría de los intervalos de confianza son
aproximados, para mejorar las aproximaciones se requieren más cálculos.
El intervalo de confianza de F(ti) con base en la distribución binomial es:
Donde
y
es el cuantil 100(1-/2) de
la distribución F con (1, 2) grados de libertad.
Usando la aproximación normal del intervalo de confianza para F(ti), el intervalo
aproximado del cuantil 100(1-) en % para F(ti) esta dado por:
Es el cuantil 100(1-/2) de la distribución normal estándar.
Es una estimación de la desviación
estándar de
Del ejemplo para un nivel de confianza del 95% se tiene:
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Cuando el número de inspecciones se incrementa, el ancho del intervalo (ti-1,
ti) tiende a cero y los tiempos de falla son exactos.
F(t) está definido para todo t en el intervalo (0, tc ] donde tc es el tiempo de
censura F(t) es el estimador de mv de F(t). La estimación es una función
escalonada con un paso del tamaño 1/n en cada tiempo de falla, algunas
veces es múltiplo de 1/n porque hay tiempos de falla similares. Cuando no hay
censura, el F(t) es el fda empírico bien conocido.
Para la estimación no paramétrica de F(ti) con base en datos por intervalo y
censura múltiple por la derecha se tiene:
n=tamaño de muestra
di = numero de fallas en el intervalo i
ni = conjunto bajo riesgo al tiempo t-1
ri = numero de observaciones censuradas al tiempo ti
En el límite, si el numero de intervalos aumenta, el ancho del intervalo tiende a
0 y obtenemos el estimador Kaplan Maier o producto limite. Las fallas se
concentran en intervalos con ancho de intervalo infinitesimal. El estimador será
constante sobre todos los intervalos que no tienen fallas. La función cambia
cuando existe alguna falla,
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Función de densidad de probabilidad
La función de densidad f(t) es continua si cumple para f(t) >= 0 el área bajo la
curva es igual a 1, en confiabilidad el intervalo es de cero a infinito o sea:

 f (t )dt 1

Para el caso de la distribución exponencial se tiene que:
f (t )e t ; t  0
Función de distribución acumulada
Esta función se define como la integral de la función de densidad desde cero
hasta el tiempo t y representa la probabilidad de fallar antes del tiempo t
(P(t)  t), es decir:
t
P(T  t )  F (t )   f ( x)dx  1
0
Para el caso de la distribución exponencial se tiene:
t
P(T  t )  F (t )   e x dx  e x
t
0
 1  e t , t  0
0
Función de confiabilidad
Es una función decreciente denominada también función de supervivencia es la
probabilidad de sobrevivir hasta el tiempo t, se representa como:
R(t)= 1 – F(t)
Para el caso de la función exponencial es:
R(t ) e t
f(t)
0
1
tiempo
F(t)
0
tiempo
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1
R(t)
0
tiempo
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Fig.2 Función de densidad
Función de distribución
Acumulada
Función de
confiabilidad
Función de riesgo / Tasa de riesgo / Tasa instantánea de riesgo
Se define como:
h(t ) 
f (t )
R(t )
Es el resultado del siguiente límite:
h(t )  lim
P(t  T  T   T  t )
 0

Representa la probabilidad de falla instantánea en el tiempo t + t dado que la
unidad ya sobrevivió hasta el tiempo t.
Vida útil de un producto
La vida útil de un producto se puede representar por una curva de la bañera,
como sigue:
f(t)
Mortalidad
Infantil o
Fallas tempranas
Vida útil o fallas
aleatorias
tiempo
Envejecimiento
o fallas por desgaste
Fig. 3 La curva de la bañera con el ciclo de vida de un producto

La mortalidad infantil representa las fallas debidas a problemas de
diseño o ensamble con tasa de falla decreciente respecto al tiempo.
Normalmente se hace un quemado a las unidades durante un tiempo
razonable para eliminar este tipo de fallas al usuario del producto.

La zona de fallas aleatorias representa una tasa de falla constante
respecto al tiempo.
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
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La zona de desgaste o envejecimiento representa la zona de tasa de
falla creciente cuando el componente está llegando a su vida útil.
Función de riesgo acumulado
Es la integral hasta el tiempo t de la función de riesgo como sigue:
t
H (t )   h( x ) dx  1
0
Por medio de esta función también se puede calcular la confiabilidad como
sigue:
R(t )  e  H (t )
Vida promedio o tiempo medio entre falla (MTBF)
La vida media es el valor esperado o media de la variable T como sigue:
t
E (t )   tf (t )dt
0
La vida media para el caso de la distribución exponencial es:
Por tanto para la distribución exponencial la vida media es la inversa de la tasa
de riesgo.
Función cuantil
El cuantil p es el tiempo tp al cual falla una porción de las unidades. Se define
en términos de la distribución acumulada como:
t p  F 1 ( p)
La función F-1(p) es la función inversa de F(t). En el caso exponencial resulta
de despejar t como sigue:
1
1
t p  F 1 ( p)   ln(1  F (t ))   ln(1  p)


Ejemplo:
Se someten 20 componentes a una prueba de vida y las horas transcurridas
hasta la falla fueron las siguientes:
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Unidad
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
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Horas
3.70
3.75
12.18
28.55
29.37
31.61
36.78
51.14
108.71
125.21
125.35
131.76
158.61
172.96
177.12
185.37
212.98
280.40
351.28
441.79
Si las horas de falla siguen la distribución exponencial, estimar las funciones de
densidad de probabilidad, función de distribución acumulada, función de
confiabilidad y función de riesgo.
Como no hay censura la media concuerda con las media de las observaciones
o sea 133.43.
La función de densidad es:
1

t
1
f (t )
e 133.43
133.43
La función de distribución acumulada es la siguiente:
F (t ) 1  e
1

t
133.43
La probabilidad de que los componentes fallen antes de las 20 horas es:
F(20) = 0.139
La función de confiabilidad es la siguiente:
R(t ) e
1

t
133.43
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Y la función de riesgo es:
h(t ) 
1
133 .43
3. Modelos (distribuciones de probabilidad) para el
tiempo de falla
Los modelos que se utilizan para el tiempo de falla son: Weibull, Valor extremo,
exponencial, normal y lognormal. Aquí se mostrarán sus funciones de densidad
f(t), distribución acumulada F(t), función de confiabilidad R(t) y función o tasa
de riesgo h(t). También se incluyen la vida media y la función cuantil de cada
distribución.
Distribución exponencial de un parámetro
Modelo de confiabilidad para tasa de riesgo constante, de componentes de
muy larga vida y alta calidad que “no envejecen” durante su vida útil. Se dice
que esta distribución tiene falta de memoria ya que no importa el tiempo que
haya transcurrido, su probabilidad de falla es la misma que cuando estaba
nuevo. Es muy aplicable a componentes electrónicos ya que no exhiben
desgaste o mejora en el tiempo (por ejemplo los transistores, los resistores, los
circuitos integrados y los condensadores). No es aplicable a componentes con
desgaste como las balatas o baterías cuya tasa de falla se incrementa con el
tiempo.
Sus funciones básicas son:
f (t )  e t , F (t )  1  e t , R(t )  e t , h(t )  
La función cuantil y la vida media son:
t p  (1/ ) ln(1  p), E(T )  1/ 
En función de la media se tiene (MTBF = ):
f t  
1
exp

E T    T 
h t  
 t 
   

1

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f(t)
0
1
tiempo
Fig.4 Función de densidad
F(t)
0
tiempo
Función de distribución
Acumulada
.008
Función de riesgo
El efecto de la tasa de falla en la pdf es:
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1
R(t)
0
tiempo
Función de
confiabilidad
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Distribución exponencial de dos parámetros
Para:
•
Donde  > 0 es un parámetro de escala y
 es un parámetro
localización y frontera. Cuando  = 0 se tiene la distribución exponencial
de un parámetro.
Los cuantiles son:
Tp =  -  log (1-p)
Los Momentos son.
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Distribución Weibull de dos parámetros
Es una distribución flexible donde su tasa de falla puede ser decreciente,
constante o creciente dependiendo de sus parámetros. Normalmente se define
con dos parámetros: el de forma  que tiene efecto sobre la forma de la
distribución y el de escala  que afecta la escala del tiempo de vida.
La teoría de valores extremos demuestra que la distribución de Weibull se
puede utilizar para modelar el mínimo de una gran cantidad de variables
aleatorias positivas independientes de cierta distribución: tales como falla de un
sistema con una gran cantidad de componentes en serie y con los mecanismos
de falla aproximadamente independientes en cada componente.
Sus funciones básicas son:
t
f (t )   
  
F (t )  1  e
R (t )  e
t


 1
t 
 
 



e
t
 
 

Distribución de densidad

Distribución acumulada

t
h(t )   
  
Función de confiabilidad
 1
Función de riesgo
La vida media y la función cuantil son las siguientes:
E (T )  (1  1/  )
t p   ln(1  p)
1/ 
La función gamma se define como:

( x)   t x1e t dt
Generalización del factorial de un número
0
( x)  ( x  1)( x  1)
Para cualquier número
(n)  (n  1)!
Para números enteros
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=0.5
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=1
=2
1
Tiempo
Figura 5. Funciones de densidad
Funciones de riesgo
En general cuando el para valores de beta 0<<1 la función de riesgo es
decreciente y para valores de >1 la función de riesgo es creciente.  también
se conoce como pendiente.
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Esta distribución se aplica a productos con varios componentes de vida similar,
donde cuando falla un componente falla el producto.
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Distribución Weibull de tres parámetros
En ocasiones las fallas no empiezan a observarse desde el tiempo cero sino
hasta después de un periodo , es decir hasta después de este tiempo la
probabilidad de falla es mayor a cero. Para esto se introduce en la distribución
un parámetro de localización que recorre el inicio de la distribución a la
derecha, quedando las funciones de densidad, de distribución, de confiabilidad
y de riesgo para la distribución de Weibull (, , ) como sigue:
  t 
f (t )  
 
F (t )  1  e
R(t )  e



 t  


  
 t 

 



 1
e
 t  


  

Distribución de densidad

Distribución acumulada

  t 
h(t )  
 
Función de confiabilidad



 1
Función de riesgo
Donde t>= 
La vida media y la función cuantil son las siguientes:
E (T )    (1  1/  )
t p     ln(1  p)
1/ 
En el caso de =1 se tiene la distribución exponencial.
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Ejemplo:
Sea la función de riesgo de Weibull dada por:
h(t )  (0.5 /1000)(t /1000) 0.5
t se expresa en años
Si se implementa un periodo de quemado (burn-in) de 6 meses (tb=0.5), a que
tiempo las unidades sobrevivientes tendrán una confiabilidad de 90%.
De la función de riesgo, el parámetro de forma =0.5 y el parámetro de escala
es =1000.
Sustituyendo estos valores en la función de confiabilidad de Weibull se tiene:
R (t )  0.9  e
 t 


 1000 
0 .5
t  1000 ln(0.90)  11.1
2
A seis meses la confiabilidad de las unidades sobrevivientes estará dada por la
probabilidad condicional siguiente:
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C (t t  tb )  0.90 
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
R(t  tb ) exp  ((t  0.5) / 1000) 0.5

R(tb )
exp  (0.5) / 1000) 0.5



Igualando a 90% y despejando para t se obtiene t = 15 años, es decir el
periodo de quemado eliminaría unidades débiles que fallarían pronto y las
unidades sobrevivientes tienen mayor confiabilidad.
Distribución Valor extremo para mínimos
Se utiliza para describir la vida de productos cuya duraci´´on está determinada
por la vida mínima de sus componentes:
f (t ) 
t  
 t   
exp
 exp


  
 
1
Función de densidad

 t   
F (t )  1  exp exp

  

Función de distribución

 t   
R(t )  exp exp

  

Función de confiabilidad
h(t ) 
t   
exp

  
1
Función de riesgo
La vida media y la función cuantil son las siguientes:
E (T )    0.5772
0.5772 constante de Euler
t p     ln ln(1  p)
=1
=2
=3
1
Tiempo
Figura 6. Funciones de densidad
Funciones de riesgo
La distribución Valor extremo se relaciona con la distribución Weibull donde si
la variable T sigue una distribución Weibull (, ), su logartimao ln(T) sigue una
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distribución valor extremo con parámetros de escala =1/ y parámetro de
localización =ln().
Para:
Donde
Son fdp y fda para una normal estándar  es el parámetro de localización y 
es el parámetro de escala.
Los cuantiles son:
Donde
es el cuantil p de una normal estándar.
Los Momentos son:
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Distribución de los valores extremos máximos
Para
Donde:
Son fdp y fda para una distribución
 es el parámetro de localización y  es el parámetro de escala.
Los cuantiles son:
La media y la varianza son las siguientes:
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Distribución normal
No es muy utilizada en confiabilidad dado su comportamiento simétrico, el
comportamiento del tiempo de vida es asimétrico, sin embargo es un modelo
adecuado cuando muchos componentes tienen un efecto aditivo en la falla del
producto. Aquí  es el parámetro de localización y  es el parámetro de
escala.
Sus funciones básicas de densidad, distribución y confiabilidad son las
siguientes:
1  t  

 
2
 
1
f (t ) 
e 2
2
t  

 
t
F (t ) 
Función de densidad
 f ( x)dx  

t
R(t )  1 
t  

 
 f ( x)dx  1  

Función de distribución
Función de confiabilidad
La vida media y la función cuantil estan dadas por:
E (T )  
t p    1 ( p)
Donde -1 es la función inversa de la distribución normal estándar acumulada.
=1
=2
=3
1
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CURSO DE CONFIABILIDAD
Tiempo
Figura 6. Funciones de densidad
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Funciones de riesgo
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P. REYES / DIC. 2006
Distribución lognormal
Esta distribución es apropiada cuando los tiempos de falla son el resultado de
muchos efectos pequeños que actúan de manera multiplicativa. Esto hace que
al sacar el logaritmo de dichos efectos actúen como de manera aditiva sobre el
logaritmo del efecto global o logaritmo del tiempo de falla, se aplica a procesos
de degradación por ejemplo de fatiga de metales y de aislantes eléctricos.
La distribución lognormal es un modelo común para los tiempos de la falla, se
justifica para una variable aleatoria obtenida como el producto de un número
variables aleatorias positivas, independientes e idénticamente distribuidas. Se
se puede aplicar como modelo de el tiempo de falla causado por un proceso de
degradación con tazas aleatorias que se combinan multiplicativamente.
La distribución lognormal se relaciona con la normal ya que si T sigue una
distribución lognormal, su logaritmo sigue una distribución normal. O si T tiene
una distribución normal, Y=exp(T) sigue una distribución lognormal.
Sus funciones básicas son las siguientes:
 
1 1
f (t )  
e 2
t  2

1  ln(t )   

 




Función de densidad
 ln(t )   



t
F (t ) 
2
 f ( x)dx  

t
R(t )  1 
Función de distribución
 ln(t )   



 f ( x)dx  1  

Función de confiabilidad
La vida media y la función cuantil estan dadas por:
E(T )  exp(   2 / 2)
t p  exp(  1 ( p)
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Donde el cuantil para la distribución normal es
La media y el cuantil es:
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Distribución logística
Para:
 es el parámetro de localización y  > 0 es el parámetro de escala
Donde
y
son fdp y fda para una logistica estandarizada dada por:
Los cuantiles son:
Con
es el p esimo cuantil para una distribución logística estándar.
La media y la varianza son:
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Ejemplos:
Distribución Loglogística
Si
entonces
Con:
Donde
y
son fdp y fda para una logistica estándar . Exp() es el
parámetro de localización y  > 0 es el parámetro de escala.
La media para sigma > 1 es:
Y para sigma < ½ es:
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4. Estimación de parámetros del modelo
Los modelos paramétricos complementan a las técnicas no paramétricas. Los
modelos paramétricos se pueden describir con precisión con apenas algunos
parámetros, en vez de tener que reportar una curva entera.
Es posible utilizar un modelo paramétrico para extrapolar (en tiempo) a la cola
inferior a o superior de una distribución. En la práctica a menudo es útil
comparar varios análisis paramétricos y no paramétricos de un conjunto de
datos.
Funciones de los parámetros
Función de distribución acumulativa
El p cuantil es el valor mas pequeño de tp tal que
La función de Riesgo
El tiempo medio de falla, MTTF, de T (también conocida como esperanza de
T).
Si esta integral no converge, se dice que la media no existe.
La varianza (o el segundo momento central) de T y la desviación estándar son:
El coeficiente de variación es:
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Distribuciones con parámetros de localización y escala
Para las distribuciones de esta familia su fda se puede expresar como.
Dónde - < µ < 
de escala.
 >0 es un parámetro
 es la fda de Y cuando µ = 0 y  = 1 y  no depende de ningún parámetro
desconocido. Como en la distribución de Z = (Y- µ ) /  que no depende de
ningún parámetro desconocido.
Las distribuciones estadísticas de esta clase de distribuciones son las
siguientes: distribuciones exponenciales, normales, Weibull, lognormal,
loglogistica, logísticas, y de valor extremos. Su teoría es relativamente simple.
Resumen de modelos de confiabilidad
En la tabla siguiente se relaciona la distribución de los tiempos de falla T con:
1) Las transformaciones idóneas para Tp , y
2) Las distribuciones que siguen los residuos.
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Especificación de la distribución de vida y estimación gráfica de sus
parámetros
Un primer paso en un estudio de confiabilidad es identificar la distribución que
mejor modela los tiempos de falla (o vida) de los productos.
Linearización de la función de distribución acumulada (fda)
Esto es necesario para determinar la confiabilidad usando papel deprobailidad
de Weibull:
Para el caso de la distribución exponencial se tiene:
F (t )1  e

t

Se deduce que:
e

t

 1  F (t )
 ln1  F (t ) 
t

Es la ecuación de la recta y = ax con y = -ln(1-F(t)) y x = t. La pendiente de la
recta es 1/. Por tanto se pueden graficar los pares ordenados (t(i), -ln(1F^(t(i))) con F^(t(i)) = (i-0.5)/n, en papel ordinario o graficar en papel
exponencial los pares (t(i), (i-0.5)/n).
 t
1  exp  
 
Exponencial
 log(1  p(i ) ) 
t (i )

Para el caso de Weibull dela función cuantil:
t p   ln(1  p)
1/ 
Tomado logaritmos naturales de ambos lados y sustituyendo p por F(ft) (es lo
mismo), se obtiene:
ln(t )  ln( ) 
1
ln ln(1  F (t )

Reacomodando la ecuación queda como:
ln ln(1  F (t )   ln( )   ln(t )
Ecuación de la foirma y = ax + b, con y = ln (-ln(1-F(t)), a = - ln() y x = ln(t).
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Se puede graficar en papel ordinario (ln(t(i), ln (-ln(1-F(t)), o graficar en papel
logarítmico de Weibull (t(i), (i-0.5)/n).
Ejemplo:
Se prueban seis unidades similares en un estudio de confiabilidad, las cuales
presentaron fallas como sigue:
Tiempo de
falla (Hrs.)
16
34
53
75
93
120
Orden de
fallas, i
1
2
3
4
5
6
Posición en gráfica
(i-0.5)/6
0.083
0.250
0.416
0.583
0.750
0.916
Utilizando Minitab con las siguientes instrucciones:
1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (Right sensoring) >
Parametric distribution analysis
2. Variables t; Assumed distribution Weibull
3. OK
Los resultados son los siguientes:
Distribution Analysis: t
Variable: t
Censoring Information Count
Uncensored value
6
Estimation Method: Least Squares (failure time(X) on rank(Y))
Distribution:
Weibull
Parameter Estimates
Parameter
Shape
Scale
Estimate
1.43966
76.1096
Standard
Error
0.770081
23.0668
95.0% Normal CI
Lower
Upper
0.504604 4.10744
42.0206 137.853
Log-Likelihood = -29.977
Goodness-of-Fit
Anderson-Darling (adjusted) = 1.980
Correlation Coefficient = 0.996
Characteristics of Distribution
Mean(MTTF)
Standard Deviation
Median
First Quartile(Q1)
Third Quartile(Q3)
Interquartile Range(IQR)
Estimate
69.0792
48.7161
59.0032
32.0329
95.4934
63.4604
Standard
Error
21.6192
31.6088
19.5515
17.6650
31.2532
32.7893
Página 42
95.0% Normal CI
Lower
Upper
37.4070 127.568
13.6579 173.765
30.8190 112.962
10.8690 94.4070
50.2794 181.366
23.0514 174.707
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Table of Percentiles
Percent
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
Standard
Error
5.40393
7.48720
8.95519
10.1030
11.0465
11.8452
12.5347
13.1381
13.6715
14.1466
16.9820
18.1019
18.6733
19.5515
21.8154
26.9542
37.2835
59.0936
62.6511
66.6766
71.2939
76.6846
83.1306
91.1043
101.493
116.288
141.853
Percentile
3.11703
5.06250
6.73318
8.25196
9.67027
11.0159
12.3060
13.5521
14.7626
15.9435
26.8511
37.1916
47.7313
59.0032
71.6255
86.5837
105.925
135.843
140.131
144.857
150.135
156.128
163.088
171.433
181.936
196.302
219.854
95.0% Normal CI
Lower
Upper
0.104239 93.2077
0.278920 91.8864
0.496722 91.2696
0.748881 90.9288
1.03062 90.7361
1.33886 90.6365
1.67146 90.6017
2.02681 90.6153
2.40367 90.6672
2.80105 90.7505
7.77351 92.7483
14.3268 96.5476
22.1717 102.756
30.8190 112.962
39.4287 130.114
47.0382 159.376
53.1361 211.156
57.9098 318.656
58.3405 336.587
58.7677 357.060
59.1935 380.792
59.6209 408.847
60.0537 442.898
60.4981 485.788
60.9642 542.951
61.4723 626.862
62.0763 778.651
Probability Plot for t
Weibull - 95% CI
Complete Data - LSXY Estimates
Percent
99
Table of S tatistics
S hape
1.43966
S cale
76.1096
M ean
69.0792
S tDev
48.7161
M edian
59.0032
IQ R
63.4604
F ailure
6
C ensor
0
A D*
1.980
C orrelation
0.996
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
3
2
1
0.1
1.0
10.0
t
100.0
1000.0
La confiabilidad a las 15 horas por medio de la distribución de Weibull es:
> Estimate Estimate survival probabilities for these times (values) 15
Table of Survival Probabilities
Time
15
Probability
0.908008
95.0% Normal CI
Lower
Upper
0.276139 0.992789
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Por cálculo manual se tiene con Shape
1.43966
y Scale
76.1096:
1.43966
R (15)  e
 15 


 76.1096 

0.9080
Por tanto el 90.8% de los componentes duran más de 15 horas.
Estimador de Kaplan Meyer
Si se consideran los datos censurados por la derecha, para graficar en papel
de probabilidad, se utilizan las posiciones estimadas por Kaplan Meyer (KM) de
la función de confiabilidad definido como:


 
R(t(i ) )  1 nf((11)) x 1 nf((22)) .....1 nf ((ii))

Donde f(j) son las unidades que fallan en el j-ésimo intervalo de tiempo (ti-1, ti)
y n(j) son las unidades en riesgo justo antes del tiempo j. Las unidades en
reisgo son iguales al total de unidades menos las que han fallado hasta antes
de ese tiempo, menos las que fueron censuradas hasta ese tiempo, es decir.
i 1
i 1
j 0
j 0
n ( j )  n   f ( j )   rj
Donde rj denota el número de unidades que fueron censuradas en el tiempo tj,
y además f(0) = 0 y r(0) = 0.
El estimador de Kaplan Meyer toma en cuenta la censura contando las
unidades en riesgo un instante antes del tiempo j.
Ejemplo:
t(i)
Fallas f(j)
Posición en gráfica
(i-0.5)/6
16
1
0.083
34
2
0.250
53
3
0.416
75
4
0.583
93
5
0.750
120
6
0.916
De aquí siguen las lienalizaciones
Estimación por mínimos cuadrados
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CURSO DE CONFIABILIDAD
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Es un método para estimar los parámetros de las distribuciones de probabilidad
que se basa en ajustar un modelo de regresión lineal simple a los datos,
graficados en el papel de probabilidad correspondiente.
Las ecuaciones linealizadas
acumuladas son las siguientes:
para
las
distribuciones
de
probabilidad
Distribución
fda, F(t)
fda en forma de y = a + bx
Exponencial
 t
1  exp  
 
 log(1  p(i ) ) 
Weibull
  t  
1  exp    
   


log  log(1  p(i )   log( )   log(t(i ) )
Valor extremo

t    
1  exp  exp

   

log  log(1  p(i ) ) 
Normal
t  


  
 1 ( p(i ) )  
 t (i )

 
Lognormal
 log(t )   





 1 ( p(i ) )  
 log(t (i ) )




t (i )




 t (i )

 
En las ecuaciones de la última columna se aprecian la pendiente de la recta y
la ordenada al origen.
Por ejemplo para la distribución exponencial, se hace una regresión simple
entre las parejas de coordenadas (t(i), ln(1-P(i)) para i = 1, 2, ……, n.
La pendiente de la recta es un estimador del parámetro 1/.
Por ejemplo para los datos anteriores se tiene:
Tiempo de
falla (Hrs.)
16
34
53
75
93
120
Orden de
fallas, i
1
2
3
4
5
6
Posición en gráfica
P(i) = (i-0.5)/6
0.083
0.250
0.416
0.583
0.750
0.916
Página 45
Ln(1-P(i))
-0.08664781
-0.28768207
-0.5378543
-0.87466906
-1.38629436
-2.47693848
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Fitted Line Plot
Y = 0.4929 - 0.02201 t
S
R-Sq
R-Sq(adj)
0.0
0.268099
92.6%
90.7%
-0.5
Y
-1.0
-1.5
-2.0
-2.5
20
40
60
80
100
120
t
Así 1/ = -0.022 por tanto el MTBF = 45.45
Para la distribución Weibull las parejas a ajustar son:
(log(t(i)), log(-log(1-p(i)).
Tiempo
de
falla
(Hrs.)
16
34
53
75
93
120
Orden
de
fallas, i
Posición
en Log(t(i)
gráfica
P(i) = (i-0.5)/6
log(-log(1-P(i))
1
2
3
4
5
6
0.083
0.250
0.416
0.583
0.750
0.916
-2.44590358
-1.24589932
-0.62016758
-0.13390968
0.32663426
0.90702331
2.77258872
3.52636052
3.97029191
4.31748811
4.53259949
4.78749174
Página 46
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Fitted Line Plot
log(-log(1-P(i)) = - 6.955 + 1.611 Log(t(i)
1.0
S
R-Sq
R-Sq(adj)
log(-log(1-P(i))
0.5
0.108555
99.3%
99.2%
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
-2.5
3.0
3.5
4.0
Log(t(i)
4.5
5.0
Y la pendiente b estima a  y  se obtiene con exp(-a/b).
Por tanto  = 1.611 y  = 74.978 similar al obtenido arriba.
Máxima verosimilitud
Es un método para estimar los parámetros del modelo que provee los
estimadores que maximizan la probabilidad de haber observado los datos bajo
tal modelo.
Es más recomendado para estimar los parámetros del modelo, consiste en
maximizar la función de verosimilitud.
Con los datos se desea estimar el valor del parámetro . Los datos son un
evento E en el espacio muestral del modelo y la probabilidad de E será función
de los valores desconocidos de los parámetros del modelo, P(E;). El
estimador de máxima verosimilitud (emv) de  es el valor de  que maximiza
P(E;), y se denota por ^. La función de verisimilitud L() se define como la
probabilidad conjunta de los datos:
L( )  cP( E; )
c es una constante que no depende de .
Para el caso de una variable aleatoria discreta como P(T=ti) la da la función de
probabilidad P(T=ti), la función de verosimilitud estará dada por:
L( , ti )  P(T  t; )  f (ti , )
Por ejemplo para el caso de la distribución binomial se tiene:
Página 47
CURSO DE CONFIABILIDAD
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 n
L( p; x)  f ( x; p)    p x (1  p) n x
 x
Donde x es el número de éxitos observados, p es la probailidad. Por lo que
dado x, L(p) toma distintos valores en función de p. El valor de p que maximice
L(p) es el (evm).
Para el caso de una variable continua, si se tienen n observaciones no
censuradas e independientes: t1, t2, t3,…., tn, la información que paortan esos
datos sobre  lo proporciona la función de verosimilitud dada por:
n
L( ; datos)  c f (t i ; )
i 1
Los estimadores de máxima verosimilitud son los valores de los parámetros
que maximizan la función L(), que maximizan la probabilidad de ahaber
observado esos datos bajo el modelo propuesto.
Para el caso de una observación censurada por la derecha, el artículo no había
fallado al tiempo t, o sea T > t, por lo tanto la verosimilitud de este evento es
proporcional a la probabilidad del mismo, es decir:
L( ;T  t )  P(T  t; )  R(t; )
Función de confiabilidad
Para el caso de una observación censurada por la izquierda, lo que se sabe es
que T < t, por tanto la verosimilitud de este evento es proporcional a la
probabilidad del mismo;
L( ;T  t )  P(T  t; )  F (t; )
Función de distribución acumulada
Para el caso de censura por intervalo, o por resolución baja del instrumento, se
sabe que el evento ocurrió entre: ti 1  T  ti y su verosimilitud está dada por:
L( )  P(ti 1  t  ti ) 
ti
 f (t; )dt  F (t )  F (t
i
i 1
)
t 1
Si se tienen cuatro datos: uno completo ti, uno censurado por la derecha tder,
otro por la izquierda tizq y el último por intervalo (tbajo, talto), la función de
verosimilitud para el modelo es:


L( ; datos)  f (ti ; ) xC(tder ; ) xF(tizq ; ) x F (talto ; )  F (tbajo ; )
En general la maximización de esta función para obtener los estimadores de
máxima verosimilitud para algunos de los modelos se hace por cálculo
diferencial (derivando e igualando a cero). Para el caso exponencial con
parámetro , considerando n tiempos de falla exactos,
Página 48
CURSO DE CONFIABILIDAD
P. REYES / DIC. 2006
 1 ti  1 1  ti
L( ; datos)    e   n e
i 1  
 
Maximizar esta función equivale a maximizar su logaritmo dado por:
n
lnL( ; datos)  n ln( ) 
1

n
t
i 1
i
Derivando respecto a  e igualando a cero se tiene:
d ln(L( ))  n 1 n

 t i  0
d
  2 i 1
Despejando  para obtener el estimados de máxima verosimilitud se tiene:

n
   ti
i 1
Varios tipos de falla
Las unidades de prueba de un estudio de confiabilidad pueden fallar de
diversas maneras, no solo del tipo de falla que más interesa en un momento
dado. Si los modos de falla son independientes, cada uno debe analizarse por
separado, para lo cual las otras unidades que fallaron debido a otros modos de
falla se toman como censuradas. Si Ri(t) es la función de confiabilidad para el
modo de falla i, entonces la confiabilidad global del producto al tiempo t
consiuderando los k modos de falla del producto es:
R g (t )  R1 (t ) xR2 (t ) x.......xRk (t )
O sea que para sobrevivir al tiempo t se debe sobrevivir a todos los modos de
falla.
Ejemplo: Vida de conexiones con dos modos de falla
Los datos de la tabal siguiente son esfuerzos de ruptura de 20 conexiones de
alambre, con un extremo soldado sobre un semiconductor y el otro al poste
Terminal. Cada falla consiste en la ruptura del alambre (modo de falla 1 = A) o
de una soldadura (modo de falla 2 = S). En este caso el esfuerzo hace las
veces de tiempo de falla:
Esfuerzo
550
750
950
950
Modo de
falla
S
A
S
A
Página 49
CURSO DE CONFIABILIDAD
1150
1150
1150
1150
1150
1250
1250
1350
1450
1450
1450
1550
1550
1550
1850
2050
P. REYES / DIC. 2006
A
S
S
A
A
S
S
A
S
S
A
S
A
A
A
S
Interesa estudiar la distribución del esfuerzo de las conexiones, considerando
que se requiere que menos del 1% debe tener un esfuerzo menor a 500 mg. O
sea que al menos el 99% de las conexiones resista un esfuerzo de mayor a
500 mg. Se desea estimar el esfuerzo que resultaría de eliminar uno de los
modos de falla.
Primero se hace un análisis sin distinguir los modos de falla, identificando la
distribución que ajuste a los datos:
Con Minitab:
1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) >
Distribution ID Plot
2. En Variables Esfuerzo Use all distributions (Weibull, Lognormal, Exponential,
Normal)
3. Options > Estimation Maximum likelihood
4. OK
Página 50
CURSO DE CONFIABILIDAD
P. REYES / DIC. 2006
Probability Plot for Esfuerzo
ML Estimates-Complete Data
Weibull
A nderson-Darling (adj)
Weibull
1.011
Lognormal
1.123
E xponential
5.561
N ormal
0.970
Lognormal
99
90
50
P er cent
P er cent
90
10
50
10
1
500
1000
Esfuer zo
1
2000
1000
Esfuer zo
E xponential
2000
N ormal
99
90
50
P er cent
P er cent
90
10
50
10
1
10
100
1000
Esfuer zo
1
10000
500
1000
1500
Esfuer zo
2000
3. Options > Estimation Least squares
Probability Plot for Esfuerzo
LSXY Estimates-Complete Data
Weibull
C orrelation C oefficient
Weibull
0.981
Lognormal
0.958
E xponential
*
N ormal
0.981
Lognormal
99
90
50
P er cent
P er cent
90
10
50
10
1
500
1000
Esfuer zo
1
2000
1000
Esfuer zo
E xponential
2000
N ormal
99
90
50
P er cent
P er cent
90
10
50
10
1
10
100
1000
Esfuer zo
10000
1
500
1000
1500
Esfuer zo
2000
Se puede observar que la distribución normal y la de Weibull dan un ajuste
parecido y los datos parecen provenir de una misma población donde las fallas
se presentan por la “liga más débil” que favorece al modelo Weibull donde .
Determinado los parámetros de la distribución Weibull por medio de Minitab:
Página 51
CURSO DE CONFIABILIDAD
P. REYES / DIC. 2006
1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) >
Distribution Overview Plot
2. En Variables Esfuerzo Parametric analysis - distribution Weibull
3. Options > Estimation Least squares
4. OK
Distribution Overview Plot for Esfuerzo
LSXY Estimates-Complete Data
P robability Density F unction
Table of S tatistics
S hape
3.96368
S cale
1416.71
M ean
1283.45
S tDev
363.046
M edian
1291.59
IQ R
503.809
F ailure
20
C ensor
0
A D*
0.998
C orrelation
0.981
Weibull
0.0012
90
P DF
P er cent
0.0008
0.0004
0.0000
500
1000
1500
Esfuer zo
50
10
1
2000
500
S urv iv al F unction
1000
Esfuer zo
2000
Hazard F unction
100
Rate
P er cent
0.0075
50
0.0050
0.0025
0
0.0000
500
1000
1500
Esfuer zo
2000
500
1000
1500
Esfuer zo
2000
Se obtiene una distribución Weibull con parámetro de forma o aspecto Beta =
3.96368 y parámetro de escala Etha = 1416.71.
5. Determinación de la confiabilidad
Haciendo un análisis de confiabilidad considerando los dos tipos de falla se
tiene:
Instrucciones de Minitab:;
1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) >
Parametric Distribution Analysis
2. En Variables Esfuerzo Assumed distribution - Weibull
3. Options > Estimation Least squares
Página 52
CURSO DE CONFIABILIDAD
P. REYES / DIC. 2006
4. OK
Los resultados se muestran a continuación:
Probability Plot for Esfuerzo
Weibull - 95% CI
Complete Data - LSXY Estimates
Percent
99
Table of S tatistics
S hape
3.96368
S cale
1416.71
M ean
1283.45
S tDev
363.046
M edian
1291.59
IQ R
503.809
F ailure
20
C ensor
0
A D*
0.998
C orrelation
0.981
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
3
2
1
0
30
0
40
0
50
0
60
0
0 0 0
70 80 90 100
Esfuerzo
00
15
00
20
Estimado la confiabilidad para 500 mg. Se tiene:
3ª. Estimate > Estimate survival probailities for these times 500 OK
Distribution Analysis: Esfuerzo
Variable: Esfuerzo
Censoring Information
Uncensored value
Count
20
Estimation Method: Least Squares (failure time(X) on rank(Y))
Distribution:
Weibull
Parameter Estimates
Parameter
Shape
Scale
Estimate
3.96368
1416.71
Standard
Error
0.708783
84.2759
95.0% Normal CI
Lower
Upper
2.79182 5.62743
1260.80 1591.91
Log-Likelihood = -145.245
Goodness-of-Fit
Anderson-Darling (adjusted) = 0.998
Correlation Coefficient = 0.981
Página 53
CURSO DE CONFIABILIDAD
P. REYES / DIC. 2006
Characteristics of Distribution
Mean(MTTF)
Standard Deviation
Median
First Quartile(Q1)
Third Quartile(Q3)
Interquartile Range(IQR)
Estimate
1283.45
363.046
1291.59
1034.60
1538.40
503.809
Standard
Error
80.9684
53.1580
85.3243
95.8025
87.8896
77.9169
95.0% Normal CI
Lower
Upper
1134.17 1452.37
272.475 483.722
1134.73 1470.13
862.880 1240.48
1375.44 1720.68
372.069 682.196
Table of Percentiles
Percent
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
Percentile
443.865
529.362
587.135
632.155
669.641
702.091
730.908
756.969
780.860
802.995
970.366
1092.26
1195.86
1291.59
1385.81
1484.64
1597.44
1748.50
1768.35
1789.78
1813.20
1839.16
1868.53
1902.70
1944.24
1998.66
2082.63
Standard
Error
102.702
106.405
107.635
107.983
107.910
107.604
107.159
106.628
106.042
105.420
98.8486
93.0318
88.4357
85.3243
84.1349
85.6630
91.5272
106.332
108.820
111.634
114.856
118.600
123.044
128.478
135.440
145.109
161.124
95.0% Normal CI
Lower
Upper
282.032 698.558
356.990 784.963
409.915 840.973
452.296 883.535
488.287 918.353
519.920 948.091
548.361 974.223
574.349 997.655
598.382 1018.98
620.818 1038.63
794.742 1184.80
924.324 1290.70
1034.51 1382.39
1134.73 1470.13
1230.34 1560.92
1325.89 1662.40
1427.75 1787.29
1552.03 1969.84
1567.43 1995.03
1583.83 2022.52
1601.50 2052.88
1620.80 2086.94
1642.28 2125.94
1666.84 2171.94
1696.11 2228.68
1733.56 2304.30
1789.61 2423.63
Table of Survival Probabilities
Time
500
Probability
0.984016
95.0% Normal CI
Lower
Upper
0.920465 0.996872
Y el porcentaje de falla será 100 – 98.40 = 1.6% que es mayor al objetivo del
1%, por lo que se tratará de eliminar uno de los modos de falla.
Obteniendo el análisis separado por modo de falla se tiene:
Instrucciones de Minitab:;
1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) >
Parametric Distribution Analysis
Página 54
CURSO DE CONFIABILIDAD
P. REYES / DIC. 2006
2. En Variables Esfuerzo By Variable Modo de falla Assumed distribution Weibull
3. Options > Estimation Least squares
4. OK
Los resultados son:
Distribution Analysis: Esfuerzo by Modo de falla
Variable: Esfuerzo
Modo de falla = A
Censoring Information
Uncensored value
Count
10
Estimation Method: Least Squares (failure time(X) on rank(Y))
Distribution:
Weibull
Parameter Estimates
Parameter
Shape
Scale
Estimate
4.27142
1414.58
Standard
Error
1.20349
110.427
95.0% Normal CI
Lower
Upper
2.45892 7.41995
1213.90 1648.45
Log-Likelihood = -71.553
Goodness-of-Fit
Anderson-Darling (adjusted) = 1.397
Correlation Coefficient = 0.986
Characteristics of Distribution
Mean(MTTF)
Standard Deviation
Median
First Quartile(Q1)
Third Quartile(Q3)
Interquartile Range(IQR)
Estimate
1287.02
340.225
1298.27
1056.70
1527.00
470.298
Standard
Error
107.337
79.4624
112.923
133.092
115.966
116.703
95.0% Normal CI
Lower
Upper
1092.94 1515.57
215.258 537.739
1094.78 1539.58
825.550 1352.58
1315.82 1772.08
289.168 764.885
Table of Percentiles
Percent
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
Percentile
481.849
567.416
624.664
668.990
705.726
737.405
765.450
790.745
813.878
835.265
995.688
1111.24
1208.74
Standard
Error
159.303
162.268
162.391
161.599
160.416
159.046
157.585
156.082
154.565
153.050
139.088
127.738
118.942
95.0% Normal CI
Lower
Upper
252.056 921.140
323.949 993.862
375.287 1039.75
416.684 1074.07
452.015 1101.84
483.188 1125.37
511.303 1145.92
537.058 1164.26
560.927 1180.90
583.249 1196.17
757.214 1309.27
887.082 1392.05
996.715 1465.86
Página 55
CURSO DE CONFIABILIDAD
50
60
70
80
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
1298.27
1385.93
1477.41
1581.30
1719.60
1737.71
1757.25
1778.57
1802.19
1828.88
1859.90
1897.55
1946.79
2022.57
P. REYES / DIC. 2006
112.923
110.342
112.463
121.743
144.914
148.743
153.056
157.969
163.649
170.351
178.497
188.861
203.138
226.538
1094.78
1185.69
1272.65
1359.82
1457.79
1469.32
1481.47
1494.41
1508.37
1523.70
1540.98
1561.25
1586.72
1623.92
1539.58
1619.98
1715.13
1838.86
2028.43
2055.12
2084.36
2116.77
2153.25
2195.18
2244.81
2306.28
2388.56
2519.08
Table of Survival Probabilities
Table of Survival Probabilities
Modo A
Time
500
Probability
0.988299
95.0% Normal CI
Lower
Upper
0.841829 0.999196
Distribution Analysis: Esfuerzo by Modo de falla
Variable: Esfuerzo
Modo de falla = S
Censoring Information
Uncensored value
Count
10
Estimation Method: Least Squares (failure time(X) on rank(Y))
Distribution:
Weibull
Parameter Estimates
Parameter
Shape
Scale
Estimate
3.32722
1425.91
Standard
Error
0.953840
142.915
95.0% Normal CI
Lower
Upper
1.89697 5.83582
1171.60 1735.43
Log-Likelihood = -73.614
Goodness-of-Fit
Anderson-Darling (adjusted) = 1.529
Correlation Coefficient = 0.962
Characteristics of Distribution
Mean(MTTF)
Standard Deviation
Median
First Quartile(Q1)
Third Quartile(Q3)
Interquartile Range(IQR)
Estimate
1279.60
423.801
1277.18
980.548
1573.00
592.449
Standard
Error
133.140
103.468
141.540
157.439
155.189
149.699
Table of Percentiles
Página 56
95.0% Normal CI
Lower
Upper
1043.53 1569.06
262.633 683.874
1027.83 1587.03
715.811 1343.20
1296.43 1908.56
361.053 972.145
CURSO DE CONFIABILIDAD
Percent
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
Percentile
357.805
441.349
499.313
545.250
583.983
617.849
648.177
675.802
701.288
725.033
908.468
1045.99
1165.24
1277.18
1388.94
1507.73
1645.16
1832.13
1856.94
1883.78
1913.18
1945.86
1982.93
2026.21
2079.02
2148.52
2256.48
Standard
Error
152.934
162.918
167.355
169.647
170.836
171.372
171.486
171.314
170.939
170.416
162.047
153.087
145.843
141.540
141.628
148.293
165.486
203.940
210.156
217.141
225.082
234.251
245.065
258.210
274.954
298.080
336.193
P. REYES / DIC. 2006
95.0% Normal CI
Lower
Upper
154.819 826.932
214.078 909.895
258.866 963.098
296.317 1003.31
329.150 1036.11
358.745 1064.09
385.917 1088.66
411.190 1110.70
434.927 1130.78
457.390 1149.29
640.438 1288.67
785.145 1393.50
911.751 1489.20
1027.83 1587.03
1137.33 1696.20
1243.38 1828.28
1350.79 2003.69
1473.02 2278.80
1487.52 2318.09
1502.85 2361.28
1519.19 2409.34
1536.88 2463.67
1556.35 2526.41
1578.38 2601.10
1604.30 2694.21
1636.99 2819.90
1685.05 3021.71
Table of Survival Probabilities
Modo S
Time
500
Probability
0.969865
95.0% Normal CI
Lower
Upper
0.762180 0.996558
Página 57
CURSO DE CONFIABILIDAD
P. REYES / DIC. 2006
Probability Plot for Esfuerzo
Weibull - 95% CI
Complete Data - LSXY Estimates
Percent
99
Modo
de
falla
A
S
90
80
70
60
50
40
30
Table of S tatistics
S hape
S cale C orr F C
4.27142 1414.58 0.986 10 0
3.32722 1425.91 0.962 10 0
20
10
5
3
2
1
100
1000
Esfuerzo
Combinado los dos se tiene:
Rg = RA x RS =0.988299
x 0.969865
= 0.95851661
En este caso se observa que para tener menos de 1% de falla en 500 mg. Es
necesario eliminar los dos modos de falla, uno no es suficiente.
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6. Pruebas de vida acelerada
Los fabricantes desean tener resultados de confiabilidad para sus productos,
más rápidamente, que bajo condiciones de funcionamiento normal. Para lo
cual, se trata de acelerar las fallas sometiendo los productos a niveles altos de
esfuerzo, para después, extrapolar la confiabilidad a condiciones normales de
operación.
Se tienen los tipos de Pruebas de vida aceleradas cualitativas y cuantitativas:
Pruebas Cualitativas
Las pruebas de vida aceleradas cualitativas (tales como las pruebas de tortura)
se utilizan sobre todo para revelar los modos de falla probables para el
producto con objeto de mejorar su diseño. Una prueba acelerada que sólo da
Información de Falla (ó Modos de Falla), comúnmente se llama “Prueba de
Tortura”, “Prueba de Elefante”, “Prueba Cualitativa”, etc.
Sobre-esforzar a los productos para obtener fallas más “rápido” es la forma
más antigua de Pruebas de Confiabilidad. Normalmente no se obtiene
información sobre la distribución de la vida (Confiabilidad). Los tipos de
esfuerzo son en: Temperatura, Voltaje, Humedad, Vibración o, cualquier otro
esfuerzo que afecte directamente la vida del producto.
Las pruebas de Tortura se realizan sobre muestras de tamaño pequeño y los
productos se someten a un ambiente agresivo (niveles severos de esfuerzo)
Si el producto sobrevive, pasó la prueba. Muchas veces los datos de las
pruebas de tortura no pueden ser extrapolados a las condiciones de uso
Como beneficios de las pruebas de tortura se aumenta la Confiabilidad por la
revelación de modos probables de falla, aunque quedan en el aire diversos
cuestionamientos como son: ¿Cuál es la Confiabilidad del Producto?, ¿se
mantendrán los mismos Modos de Falla durante la vida del producto bajo uso
normal?
Pruebas Cuantitativas
Las pruebas de vida aceleradas cuantitativas (QALT) se diseñan para
cuantificar la vida útil del producto.
La Prueba de Vida acelerada, a diferencia de la Prueba de Tortura, está
diseñada para proveer Información de la Confiabilidad del producto,
componente o sistema, como dato básico se tiene el Tiempo de Falla, puede
estar en cualquier medida cuantitativa, tal como: horas, días, ciclos,
actuaciones, etc.
Los modelos de tiempos de vida de escala acelerada (TAEF) se definen como:
T ( x)  T ( x0 ) FA( x); FA( x)  0, FA( x0 )  1
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Cuando FA(x)>1, el modelo acelera el tiempo, esto es T(x) >T(x0); en caso
contrario, el modelo desacelera el tiempo.
En la grafica de T(x0) vs T(x):
 El modelo TAEF se representa por líneas rectas a través del origen.
 El modelo TAEF acelerado se representa por lineas rectas por abajo de
la diagonal.
 El modelo TAEF desacelerado se representa por líneas rectas por arriba
de la diagonal.
Para un modelo TFAE T(x) = T(x0)/FA(x), (Ψ(x) > 0), donde:

Si la cdf base está en x0 F(t; x0) entonces AF(x0) = 1

Tiempo escalado: F(t; x) = F [AF(x) t; x0]. Entonces las cdfs F(t; x) y F(t;
x0) no se cruzan.

Cuantiles proporcionales: tp(x) = tp(x0)/AF(x).
Entonces tomando
Logaritmos se tiene log[tp(x0)] − log[tp(x)] = log[AF(x)]. Esto muestra que
cualquier grafica en escala log-tiempo tp(x0) y tp(x) son equidistantes.
En particular, en una grafica de probabilidad en escala log-tiempo F(t, x)
es una translación de F(t, x0) a lo largo del eje log(t).

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Grafica de Probabilidad Weibull de dos miembros de una familia TFAE de
modelos con distribución Lognormal
Note que para modelos con una sola variable de la familia log-localización –
escala:
t p ( x)
t p (0)
 exp(1 x)
Por tanto pertenecen a la familia de modelos de tiempos de vida de escala
acelerada y,
FA( x)  exp( 1 x)
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Modelos de vida acelerada
Se han desarrollado modelos que relacionan el nivel de esfuerzo y la función
de densidad de los tiempos de falla como sigue:
Modelos de aceleración
Los modelos de aceleración se derivan a menudo de modelos físicos o
cinéticos relacionados al modelo de falla, por ejemplo:








Arrhenius
Eyring
Regla de Potencia Inversa para Voltaje
Modelo exponencial de Voltaje
Modelos de Dos: Temperatura / Voltaje
Modelo de Electromigración
Modelos de tres esfuerzos (Temperatura, Voltaje y Humedad)
Modelo Coffin-Manson de Crecimiento de Fracturas Mecánicas
Ley de la potencia inversa
L = medida cuantificable de vida, tal como la media, la mediana cuantiles, etc.,
S = nivel de estrés o esfuerzo
K = parámetros del modelo por determinar (K debe ser > 0), y,
n = es otro parámetro del modelo.
Para el caso de la distribución de Weibull, se tiene:
Página 62
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 1
f (t ) 
t
  e
   
  L( S ) 
t
 
 
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
1
K Sn

  t

f (t , S ) 
1  1

K Sn  K Sn
 1


 e





t

 1

 K S n

  t

f (t , S ) 
1  1

K Sn  K Sn













 1
e


t

 1

 K S n







Una vez que se estiman los parámetros b, K y n, se pueden hacer
predicciones de vida útil para diferentes valores de t y S.
El modelo de Arrhenius se muestra a continuación:
R = velocidad de reacción,
A = constante desconocida,
EA = energía de activación (eV),
K = constante de Boltzman, y
T = temperatura absoluta (Kelvin).
El modelo de Eyring es como sigue:
L = medida cuantificable de vida, tal como la media, la mediana, cuantiles, etc.,
V = nivel de estrés (temperatura medida en grados kelvin)
A = uno de los parámetros del modelo, y,
B = otro parámetro del modelo
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Los modelos de regresión lineales y log lineales vistos anteriormente pueden
ser útiles para modelar diversos efectos de estrés. Para distribuciones de la
familia log-localización escala (weibull, exponencial, lognormal):
 ln(t )   
P(T  t )  F (t;  ,  )  F (t;  0 , 1 ,  )   

 
Con media:
   ( x)  0  1x
Y modelo de regresión:


ln t p ( x)  ( x)   1 ( p)
Sus residuos se definen como:
Para distribuciones de la familia localización-escala (Normal, Logística, valores
extremos):
t   
P(T  t )  F (t;  ,  )  F (t;  0 , 1 ,  )   
  
Con media:
   ( x)  0  1x
Y Tp:
t p  ( x)   1 ( p)
Sus residuos se definen como:
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Como resumen de los modelos se tiene:
Los modelos más utilizados son los siguientes:

El modelo de Arrhenius,

El modelo de Eyring y

El modelo de la ley de la potencia inversa
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7. Confiabilidad de sistemas
Cuando se estudia la confiabilidad de un sistema compuesto por componentes,
la falla de alguno de ellos hace que todo el sistema deje de funcionar, en este
caso el se dice que los componentes están en serie. En caso de que la falla de
un componente particular no afecte al funcionamiento total del sistema dado
que otros componentes continúan funcionando, se dice que están conectados
en paralelo.
Sistemas Complejos
El estudio de sistemas complejos implica la subdivisión de un producto en sus
componentes individuales. Al modelar un sistema
complejo es crucial
especificar el nivel del detalle del modelo. La operación del sistema se expresa
en función de la operación de los componentes. La función de estructura
describe el lazo entre el estado del sistema y el estado de los n componentes
que forman el sistema.
El Estado del Sistema
El sistema se asume como una colección de “n” componentes. También se
asume que hay dos estados posibles para los componentes del sistema:
“funcionando” o “falla”. El estado del componente i, denotado por Xi, es:
X i  0,
 1,
si el component e
ha fallado
si el component e
funciona
para i = 1...,n.
Los estados de los n componentes se pueden escribir como el vector X=(X1...,
Xn). Hay n componentes, cada uno de los cuales puede tomar 2 valores,
entonces, hay 2n posibles estados del sistema.
Función de Estructura de un sistema
La función de estructura asocia los estados del sistema { X } al conjunto { 0.1 },
rindiendo el estado del sistema.
El estado del sistema es:
 ( X )  0, si el sist ema falla cuando est a en est ado X,
 1,
si el sist ema funcionacuando est a en est ado X.
La forma de la función de estructura depende del diseño del sistema. Las
estructuras más comunes que vemos son sistemas en series y sistemas en
paralelo.
Considere un sistema con k componentes y sea la variable xi (i=1, 2, 3,…., k)
que toma el valor 1 si el i-ésimo componente funciona y el valor 0 si no
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funciona. En cierto momento el estado del sistema está determinado por el
vector X = (x1, x2, x3,…., xk) de ceros y unos. La función de estructura del
sistema está definida en este espacio de vectores y toma valores:
1,
0
 (x)  
1 si el sistema funciona; 0 si no funciona
La función de estructura de un sistema serie es:
k
 ( x )   xi
i 1
La función de estructura de un sistema paralelo es:
k
 ( x)  1   (1  xi )
i 1
Cada vector X donde el sistema funciona se denomina trayectoria y cada vector
X donde el sistema no funciona se denomina corte. En total se tienen 2K
posibles estados sumando los cortes y las trayectorias. En el sistema serie solo
hay una trayectoria con un vector de unos X=(1,1,1…,1) y 2 K-1 cortes y en el
sistema paralelo solo hay un corte cuando X=(0,0,0,…,0) y 2K-1 trayectorias.
El número de componentes que funcionan en un estado se denominan tamaño
de X, con valores desde 1 hasta k. La trayectoria mínima es un vector X con
todos los componentes funcionando.
Revisar la importancia estructural:
¿Qué importancia tienen los componentes en la estructura?
¿Si el componente i falla, dejará de operar el sistema?
¿Cuántos estados posibles hay del sistema?
¿En cuantos estados el componente i es funcional?
¿En que estados al fallar el componente i el sistema fallará?
Por ejemplo para el componente 1:
1
2
3
1
(1, 1, 1)
1
2
3
(1, 0, 1)
2
3
1
(1, 1, 0)
2
3
(1, 0, 0)
Ahora considere que el componente 1 falla.
El sistema fallara para los vectores (1,1,1), (1,0,1) y (1,1,0), (1,0,0).
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Entonces el componente 1 tiene una importancia estructural de 4/4.
1
2
3
(1, 1, 1)
1
2
3
1
(0, 1, 1)
2
3
2
3
1
(1, 1, 0)
(0, 1, 0)
Si falla el componente 2:
El sistema operara en el estado (1,1,1) y fallará en los estados (0,1,1) y (0,1,0)
y (1,0,1).
Entonces la importancia estructural del componente 2 es 1/4.
Por simetría, la importancia estructural del componente 3 es 1/4.
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Sistemas en Serie
Un sistema en serie tiene k componentes. Suponiendo que trabajan en modo
independiente, la confiabilidad del sistema es la probabilidad de que todos los
componentes funcionen.
Entonces (X) = 1 si todas los valores Xi toman el valor 1 y (X) = 0 de otra
manera. Por tanto:
 ( X )  0, si i s.t.Xi  0,
 1, si Xi  1 para todai  1,...,n.
 ( X )  min{X 1 ,...,X n },
n
  Xi.
Regla de producto de probabilidades
i 1
Los diagramas de bloque son usados
para visualizar sistemas de
componentes. El diagrama de bloque que corresponde a un sistema de la
serie es:
1
2
3
n
El diagrama de bloque representa el lazo lógico de la operación de los
componentes y el sistema. No representa su disposición física. La idea es que
si se puede trazar un camino de izquierda a derecha a través del sistema, el
sistema funciona.
Ejemplo:
Un producto electrónico tiene 40 componentes en serie. La confiabilidad de
cada uno es de 0.999, por tanto la confiabilidad de producto completo es de:
Rs  (0.999) 40  0.961
Si el producto se rediseñara para tener solo 20 componentes, la confiabilidad
sería de Rs = 0.98.
A
B
C
Z
Figura 7. Sistema con componentes en serie
Sistemas en paralelo
En este sistema, si tiene k componentes, basta con que uno funcione para que
siga en operación. Se requiere que todos los componentes fallen para que falle
el sistema, o sea:
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 ( X )  0, si Xi  0 para todoi  1,...,n,
 1, si i s.t.Xi  1.
 ( X )  max{X 1 ,...,X n },
n
 1   (1  X i ).
i 1
Rs  1  P(todos fallen)  1  (1  R1 ) x(1  R2 ) x......x(1  Rk )
El diagrama de bloque para una estructura en paralela es
1
2
3
n
Entre más componentes redundantes haya, la confiabilidad del sistema es
mayor, esto también está presente en los seres vivos, como por ejemplo en los
riñones.
Ejemplo:
Considere 4 componentes A, B, C y D de un producto conectados en paralelo,
con confiabilidades de 0.93, 0.88, 0.88 y 0.92 respectivamente, la confiabilidad
total es:
Rs  1  (1  0.93)(1  0.88)(1  0.95)(1  0.92)  1  0.0000336 0.9999664
B
A
C
D
Fig. 8 Sistema con 4 componentes en paralelo
Sistemas con componentes en serie o en paralelo (K de n)
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Los sistemas pueden tener componentes en serie y en paralelo, en algunos
casos es importante identificar cuales componentes son clave para incrementar
la confiabilidad del sistema.
Un sistema k de n funciona si cualesquier k de los n componentes del sistema
funcionan. Los sistemas en serie y en paralelo son casos especiales del
sistema k en n. Un sistema en serie es un sistema k de k. Un sistema en
paralelo es un sistema 1 de n.
Por ejemplo:
En los puentes algunos de los cables de la suspensión pueden fallar, y el
puente no cae. En las bicicletas algunos de los rayos pueden fallar.
La función de estructura es:
 ( X )  0, if
n
X
i 1
 1, if
i
 k,
i
 k.
n
X
i 1
Un ejemplo de diagrama de bloques para un sistema 2 de 3 donde con dos de
3 componentes que operen, el sistema continuará operando, es el siguiente:
1
2
1
2
3
3
 ( X )  1  (1  X1 X 2 )(1  X 2 X 3 )(1  X1 X 3 ).
Ejemplo:
Para el caso de un avión continua volando si funcionan 2 de 4 motores.
Su diagrma de bloques es el siguiente:
1
2
3
4
Su función de estructura es la siguiente:
 ( X )  (1  (1  X1 X 2 ))(1  (1  X 3 X 4 )).
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Ejemplo:
Se tienen los siguientes 7 componentes conectados en serie y en papralelo,
sus confiabilidades son: RA=0.96; RB=0.92; RC=0.94; RD=0.89; RE=0.95;
RF=0.88; RG=0.90.
A
G
C
D
E
F
B
Figura 9. Sistema con 7 componentes en serie y en paralelo
Rs = Rab x Rc x Rd x Refg
Rab = 1-(1-0.96)(1-0.92) = 0.9968
Refg= 1-(1-0.95)(1-0.88)(1-0.90) = 0.9836
Rs = 0.9968 x 0.94 x 0.89 x 0.9836 = 0.82
Método de trayectoria para calcular la confiabilidad de un sistema
Para calcular las confiabilidades de sistemas simples se aplican las fórmulas de
estructuras serie o paralelo. Para sistemas más complejos, es necesario
conocer las reglas siguientes:
Regla 1. Sean dos sistemas, uno con función de estructura 1(x)= 0(x) A(x) y
otro con función de estructura 2(x)= 0(x) B(x). Si se conectan en serie, la
función de estructura resultante es: (x)= 0(x) A(x) B(x) puesto que 02(x)=
0(x).
Regla 2. Si los mismos sistemas anteriores se conectan en paralelo, la función
de estructura resultante es: (x)= 0(x)[(1- A(x)) (1- B(x)) ].
Se siguen los pasos siguientes:
1. Encontrar todas las trayectorias mínimas posibles.
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2. Dado que para que el sistema funcione es necesario que funcione al menos
una de las trayectorias mínimas, se aplica la definición de sistema paralelo a
dichas trayectorias.
3. Se simplifica la expresión resultante aplicando las reglas 1 y 2.
4. Se sustituyen las xi (i=1, 2, 3,…., k) por las confiabilidades de las k
componentes y se resuelve.
Ejemplo:
Para el sistema de la figura 9, las trayectorias mínimas son: ACDEF, ACDG,
BCDEF y BCDG.
Aplicando la función de estructura en paralelo se tiene:
s(x) = 1 – (1-ACDEF) (1-ACDG)(1-BCDEF)(1-BCDG) =
= BCD(EF + G + EFG) + ACD(EF – BEF + G –BG – EFG + BEFG) = 0.82
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Estructuras de puente
Su diagrama de bloques es el siguiente:
1
4
3
2
5
El sistema funcionara si alguno de los siguientes conjuntos funciona: {1,3,5}
{1,4}
{2,3,4}
{2,5}. Estos conjuntos son denominados conjuntos de ruta
mínima, dando un diagrama equivalente a:
1
3
1
2
5
4
3
2
4
5
Redundancia
La redundancia a nivel componente es siempre proporciona una mayor
confiabilidad que a nivel sistema. Sea (X) la función de estructura para un
sistema coherente de n componentes. Para cualquier vector de estados X y Y
1
1
………………………
 (1  (1  X 1 )(1  Y1 ),...,1  (1  X n )(1  Yn ))

1  (1   ( X ))(1   (Y )).
Sistema X
Sistema Y
Página 74
n
n
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Uso de Minitab
Se capturan dos columnas, una para los tiempos de falla observados y otra
para indicar cuales tiempos son falla y cuales son censuras por la derecha. Se
puede escoger 1 para censuras y 0 para falla.
Cuando se tienen fallas por intervalos se construyen tres columnas, en dos de
ellas se señala el inicio y el final de cada intervalo de tiempo y en la tercera la
frecuencia de las fallas observadas en cada intervalo.
Para los análisis se usa el menú Stat > Relibility / Survival, en la primera opción
se identifica la distribución de manera gráfica, en la segunda se hace una
exploaración más detallada (paramétrica o no paramétrica) de la distribución
seleccionada, en la tercera opción se hace el análisis paramétrico detallado y
en la cuarta el análisis no paramétrico. En el primer bloque se considera
censura por la derecha y en el segundo bloque se analiza lo mismo con otras
opciones de censura.
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CURSO DE CONFIABILIDAD
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8. Mantenabilidad y disponibilidad
Los sistemas reparables reciben Acciones de mantenimiento cuando fallan.
Estas acciones se deben ahora tomar en la consideración al determinar el
comportamiento del sistema. La edad de los componentes del sistema ya no
es uniforme ni el tiempo de operación del sistema es continuo.
Mantenimiento
El Mantenimiento se define como cualquier acción que restaure unidades
falladas a una condición operacional, o conserve unidades que no están en un
estado operacional. Para los sistemas reparables, el mantenimiento
desempeña un papel vital en la vida de un sistema. Afecta la confiabilidad total
del sistema, la disponibilidad, el tiempo muerto, los costos de operación, etc.
Generalmente, las acciones del mantenimiento se pueden dividir en tres tipos:
Mantenimiento correctivo, es la accion(es) tomado para restaurar un sistema
que ha fallado, al estado operacional.
Mantenimiento preventivo, es la práctica de susstituir componentes o
subsistemas antes de que fallen, para promover la operación continua del
sistema. Son las Inspecciones que se utilizan para descubrir fallas ocultas
(también llamadas fallas inactivas).
Mantenabilidad
Es la capacidad de mantenimiento se define como la probabilidad de realizar
una acción acertada de reparación dentro de un tiempo dado. Es decir la
capacidad de mantenimiento mide la facilidad y la velocidad con las cuales un
sistema se puede restaurar al estado operacional después de que fallo.
Por ejemplo, se dice que un componente particular tiene una mantenabilidad o
capacidad de mantenimiento del 90% en una hora, esto significa que hay una
probabilidad del 90% que el componente será reparado dentro de una hora.
La mantenabilidad puede incluir los eventos siguientes:
1. El tiempo que toma diagnosticar con éxito la causa de la falla.
2. El tiempo que toma procurar o entregar las piezas necesarias para realizar
la reparación.
4. El tiempo que toma quitar los componentes dañados y substituirlos por los
buenos.
5. El tiempo que toma regresar el sistema a su estado de funcionamiento.
6. El tiempo que toma verificar que el sistema está funcionando dentro de lo
especificado.
7. El tiempo asociado de ajuste de un sistema para su operación normal.
Para el caso de sistemas donde su mantenabilidad sigue la distribución
exponencial se tiene:
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Donde = tasa de la reparación.
La media de la distribución se puede obtener con:
1

 MTTR ( Mean Tim e to Re pair)
Para el caso de la distribución de Weibull se tiene:
La tasa de reparación es:
Disponibilidad
La disponibilidad, se define como la probabilidad que el sistema esté
funcionando correctamente cuando se solicita para el uso. Criterio del
funcionamiento para los sistemas reparables que considera las características
de confiabilidad y de mantenabilidad o capacidad de mantenimiento de un
componente o sistema.
Por ejemplo, si una lámpara tiene una disponibilidad del 99.9%, habrá una vez
fuera de mil que alguien necesite utilizar la lámpara y suceda que la lámpara no
opere.
Los conceptos de confiabilidad, mantenabilidad y disponibilidad se relacionan
como sigue:
Un sistema reparable que funciona adecuadamente un periodo de tiempo,
después falla y es reparado para regresarlo a su condición operacional puede
tener los siguientes comportamientos:
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CURSO DE CONFIABILIDAD
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El artículo funcionó correctamente a partir de 0 a t con la probabilidad R(t)
o funcionó correctamente desde la reparación pasada en el tiempo u, 0 < u < t,
con probabilidad:
Con m(u) siendo la función de la densidad de la renovación del sistema.
Entonces la disponibilidad del punto es la adición de estas dos probabilidades:
Se tienen diversos tipos de disponibilidad como sigue: Disponibilidad
instantánea; Disponibilidad media; Disponibilidad Limite; Disponibilidad
Inherente; y Disponibilidad Operacional.
Disponibilidad instantánea, A(t):
La disponibilidad instantánea es la probabilidad que un sistema (o el
componente) será operacional (en servicio) en cualquier hora, t.
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Esto es muy similar a la función de la confiabilidad en que da una probabilidad
que un sistema funcione en el tiempo dado, t. La medida instantánea de la
disponibilidad incorpora la información de la mantenabilidad.
Disponibilidad media
La disponibilidad media es la proporción de tiempo durante una misión o un
período de tiempo en que el sistema está disponible para el uso.
Representa el valor medio de la función instantánea de la disponibilidad sobre
el período (0, T ] y esta dada por:
Disponibilidad Limite
Disponibilidad inherente
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La disponibilidad inherente es la disponibilidad del estado constante al
considerar solamente el tiempo muerto correctivo del sistema. Para un solo
componente, esto se puede calcular como sigue:
Disponibilidad operacional
La disponibilidad operacional es una medida de la disponibilidad media durante
el tiempo e incluye todas las fuentes experimentadas del tiempo muerto, tales
como tiempo muerto administrativo, tiempo muerto logístico, etc.
Ejemplo:
Un generador de energía está proveyendo electricidad, sin embargo en los
últimos seis meses, había acumulado fallas por 1.5 meses. El generador tiene
un MTTF = 50 días (o 1200 horas) y MTTR = 3 horas. Se puede poner un
generador de viento alterno con una disponibilidad del 99.71% con sus
parámetros MTTF = 2,400 Horas y MTTR = 7 horas.
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Problemas
1. Escribir y graficar la función de riesgo h(t) para una distribución de Weibull
con parámetros a) Beta =1, Etha = 4; b) Beta = 2, Etha = 2; c) Beta = 3, Etha =
1. Comentar el efecto de cada parámetro.
2, La duración t en horas de cierto componente electrónico es una variable
aleatoria con función de densidad f(t) = 0.001exp(-t/1000) para t >0.
a) Calcular F(t), R(t) y h(t)
b) ¿Cuál es la confiabilidad del componente a las 100 horas?
c) Si una unidad ha sobrevivido a las 100 horas, ¿cuál es la probabilidad de
que sobreviva a las 200 horas?
d) Graficar h(t) e interpretar los resultados.
2. Una unidad de disco tiene una falla temprana si ocurre antes del tiempo t =
alfa y una falla por desgaste si ocurre después de t = beta. Si la vida del disco
se puede modelar con la distribución f(t) = 1/(Beta – alfa):
a) Obtener las ecuaciones de F(t) y R(t)
b) Calcular la tasa de riesgo h(t)
c) Graficar la tasa de riesgo si Alfa = 100 y Beta = 1500 horas.
d) ¿Con los datos de c) cuál es la confiabilidad de la unidad a las 500 horas?
3. Se realizó un estudio para estimar la vida media de locomotoras. Se
operaron 96 máquinas durante 135,000 millas o hasta que fallaron y de estas,
37 fallaron antes de cumplirse el periodo de 135,000 millas, la tabal siguiente
muestra las fallas de las 37. Las otras 59 no fallaron por tanto entran al estudio
en forma censurada.
22.5
37.5
46
48.5
51.5
53
54.5
57.5
66.5
68
69.5
76.5
77
78.5
80.0
81.5
82.0
83.0
84.0
91.5
93.5
102.5
107.0
108.5
112.5
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113.5
116.0
117.0
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120.0
122.5
123.0
127.5
131.0
132.5
134.0
CURSO DE CONFIABILIDAD
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a) Utilizando Minitab identificar la distribución que mejor aproxime a los datos.
b) Comparar las estimaciones por mínimos cuadrados y por máxima
verosimilitud.
c) Determinar la vida mediana de las locomotoras.
d) ¿Cuál es la confiabilidad de las locomotoras a las 200,000 millas?. Dar un
intervalo de confianza para esta confiabilidad e interpretarlo.
4. Un fabricante de balatas le da seguimiento al tiempo de falla de las mismas
en kilómetros recorridos. Al finalizar el estudio no todas las balatas habían
fallado pero por su desgaste se estimó el tiempo de falla. Los datos obtenidos
para los 55 productos se muestran a continuación:
9500
14951
17980
19451
23659
10512
15117
18508
19611
24165
12824
15520
18624
19708
25731
13514
15555
18699
20066
25961
14096
15912
18719
20546
25991
14128
16037
18773
20610
26553
14404
16481
19126
21599
14520
16622
19165
21978
14689
16626
19274
21978
14766
16689
19414
22386
14859
16935
19429
23592
a) Utilizando el Minitab, identificar la distribución que siguen los datos.
b) Estimar los parámetros de la distribución que mejor se ajuste utilizando
mínimos cuadrados y máxima verosimilitud. Comparar los estimadores.
c) ¿Cuál es la confiabilidad de las balatas a los 10,000 kms.?
d) Si el fabricante no está dispuesto a reemplazar más de 2% de las balatas
¿es razonable otorgar una garantía de 10,000 kms?.
e) Proporcionar un intervalo de confianza al 95% para los kilómetros en que
falla el 2% de las balatas e interpretarlo.
5. La vida de ventiladores se registra como ventiladores fallados y ventiladores
con censura a la derecha (1) indicando que su vida fue más larga.
0-no censurado 1-censurado
450
460
1150
1150
1560
1600
1660
1850
1850
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1850
1850
1850
2030
2030
2030
2070
2070
2080
1
1
1
1
1
1
0
0
0
2200
3000
3000
3000
3000
3100
3200
3450
3750
1
1
1
1
1
0
1
0
1
3750
4150
4150
4150
4150
4300
4300
4300
1
1
1
1
1
1
1
1
4300
4600
4850
4850
4850
4850
5000
5000
5000
1
0
1
1
1
1
1
1
1
6100
6100
6100
6100
6300
6450
6450
6700
7450
1
0
1
1
1
1
1
1
1
7800
7800
8100
8100
8200
8500
8500
8500
8750
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8750
8750
9400
9900
10100
10100
10100
11500
El objetivo es determinar la proporción de ventiladores que fallan antes de
tiempo de garantía que es de 8,000 horas.
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0
1
1
1
1
1
1
1
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a) Estimar el modelo adecuado para los datos
b) Estimar los parámetros de la distribución que mejor se ajuste utilizando
mínimos cuadrados y máxima verosimilitud. Comparar los estimadores.
c) Graficar el estimador no paramétrico de la función de supervivencia.
c) ¿Cuál es la proporción de ventiladores que fallan antes del tiempo de
garantía de 8,000 horas?
d) ¿Será necesario rediseñar los ventiladores para tratar de incrementar su
confiabilidad?
6. La duración de un chip de computadora tiene una distribución de Weibull.
Para estimar sus parámetros, se someten 100 chips a prueba y se registra el
número de supervivientes al final de cada año, durante 8 años. Los datos con
censura por intervalo son los siguientes:
Año
1
2
3
4
5
6
7
8
Superv.
94
78
88
36
22
10
6
2
a) Utilizar el método de mínimos cuadrados para obtener Beta y Etha.
b) Establcer un intervalote confianza del 95% para el percentil 1%.
c) Calcular la probabilidad de que un chip falle antes de 5 años.
d) Estimar la confiabilidad de los chips en el tiempo de 7 años.
e) Calcular la tasa de riesgo, h(t) y graficarla. Obtener la tasa de riesgo a t=4
años e interpretar su valor.
7. Se toma una muestra de n = 138 baleros y se hace una prueba de vida. La
tabla siguiente muestra los que seguían funcionando al final de cada periodo de
100 horas hasta que todos fallaron.
Horas
4
5
6
7
8
9
Baleros
138
114
104
64
37
29
Horas
12
13
17
19
24
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Baleros
8
6
4
3
2
1
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a) Ajustar un modelo de Weibull a estos datos.
b) Dar un intervalo de confianza al cual falla el 2% de los baleros.
c) Calacular la confiabilidad a las 400 horas.
d) Calacular la confiabilidad de que habiendo sobrevivido las primeras 300
horas, un balero sobreviva 100 horas más.
8. El tiempo de vida en años de un generador que se compra tiene una
distribución Weibull con parámetros Etha = 13 años y Beta = 2. El period de
garantía es de dos años.
a) ¿Cuál es la confiabilidad del generador al fin del periodo de garantía?
b) ¿Si se compran 1000 unidades cuál es el número de reclamos al fabricante?
c) ¿Cuál es el periodo de garantía que debe ofrecerse si se quiere tener una
proporción de reclamos a lo más del 1%?
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