Teorema de Parseval, Densidad Espectral de Energía y de Potencia

Teorema de Parseval, Densidad Espectral de Energía y de Potencia y
Autocorrelaciones (B. P. Lathi: “Modern Digital and Analog
Communication systems”, third edition)
Sea g  t  una señal arbitraria y sea G   su transformada de Fourier
La energía (normalizada) de la señal g  t  es en general, (considerando la posibilidad
de señales complejas):

Eg 
 g t  g t  dt
*

Para señales reales esto se reduce a

Eg 
 g t 
2
dt

El Teorema de Parseval dice que:

Eg 


2
2
1
1
G   G*   d 
G   d   G  f  df


2π 
2π 

La energía total de la señal es el área bajo el módulo de su transformada de Fourier.
Consideremos ahora que la señal g  t  es filtrada por un filtro pasabanda ideal de ancho
infinitesimal   y ganancia unitaria, centrado en 0 [rad/seg], tal como se indica en la
figura.
H()

1

|G()|2

rad/seg
|G()|2
|Y()|2


rad/seg
Esto implica que G   y por lo tanto también G  
2
son “recortados” a la banda de
paso del filtro. La señal de salida de este filtro y  t  , tendrá una transformada de
Fourier Y   caracterizada por
G   para   0  
Y    
0 en otro caso

La energía de la señal y  t  , Ey será la energía que tiene la señal g  t  en la banda  
centrada en 0 .

Ey 
2
2
2
1
1
G   H   d  2
G 0    2 G  f0  f

2π 
2π
Se desprende que:
Energía de la señal g  t  en la banda   centrada en 0 =  2
2
1
G   0  
2π
O bien:
lim  0
2
2
Energia de señal g (t ) en rango  en torno a  0
1
2
G  0   2 G  f 0 

2π
Por ello se define que G   es la Densidad Espectral de Energía de la señal g  t 
2
H()

1

|G()|2

rad/seg
|G()|2
|Y()|2


rad/seg
Ejemplo muy importante: Densidad Espectral de Energía de una “señal modulada”
Consideremos una señal de energía g  t  cuyo ancho espectral está limitado a B [Hz]
que es “modulada” (equivale a multiplicada en nuestro ejemplo), por una señal
sinusoidal. En este caso entonces, el espectro de g  t  , g   está limitado al rango
  2πB (considerando frecuencias positivas y negativas)
 t   g t  cos 0t 
La transformada de Fourier de   t  ,    es entonces
1
G    0   G    0  
2
Y la Densidad Espectral de Energía de la señal   t  ,    será
   
2
1
G     0   G    0 
4
Si 0  2πB entonces los espectros G   0  y G   0  no se traslapan y por lo
    
tanto su producto es cero para todo valor de  . Se desprende que:
    

2
2
1
G     0   G    0 
4

y por lo tanto
    
1
 g   0    g   0 
4
La figura siguiente ilustra este resultado
g()
K


rad/seg
()
K/4
rad/seg




Integrando concluimos que las energías totales de las señales   t  y g  t  , E y Eg
respectivamente están relacionadas por
1
E  E g
2
Autocorrelación para señales de energía
La Autocorrelación temporal de una señal de energía g  t  se define como:
Rg   

 g t  g t   dt

Observamos que esta función es simétrica en torno a   0 . En efecto si hacemos el
cambio de variable x  t  la ecuación anterior se convierte en:
Rg   

 g  x  g  x  dx

Pero x sólo es una variable de integración y podemos reemplazarla por t para obtener:
Rg   

 g t  g t  dx  R   
g

Se demuestra fácilmente que Rg  0  Rg   . Para ello calculamos la integral



 g  t   g  t    dt  0
2
aprovechando que



g 2  t  dt 

 g  t    dt  R  0 
2
g
y


 g  t  g  t    dt  R  
g

se obtiene el resultado Rg  0   Rg  
Demostraremos ahora que para una señal de energía, la transformada de Fourier de la
autocorrelación es igual a la Densidad Espectral de Energía.
F  Rg   


 j
e
  g t  g t   dt  d
F  Rg    
   j

g
t


  e g t   d  dt


La integral interior es la transformada de Fourier de g   t  y por lo tanto es igual a
G   e jt donde G    F  g  t   . En consecuencia:
F  Rg   

 g t G   e

j t

dt  G    g  t e jt dt  G   G   

Y eso equivale a
F  Rg     G     g   = Densidad Espectral de Energía de g  t 
2
Aplicación: Definición de “ancho de banda esencial” de una señal de energía.
Muchas señales de energía son acotadas en tiempo y por lo tanto contienen frecuencias
hasta  , si bien evidentemente el contenido espectral decae rápidamente a partir de
alguna frecuencia (de lo contrario la integral de la Densidad Espectral de Energía sería
infinita). Intuitivamente es obvio que si se filtra el espectro de una señal de energía a un
rango que contiene “la mayor parte” de la energía (por ejemplo el 90%) entonces el
pulso filtrado será “muy similar” al pulso original. Definimos el “ancho de banda
esencial” de una señal de energía, como aquel rango de frecuencias que contiene la
parte más significativa de la energía.
Consideremos como ejemplo un pulso g  t  de amplitud unitaria y de duración T.
Escribimos esto como:
t 
g  t   rect  
T 
La Densidad Espectral de Energía de esta señal es
 T 
sen 2 

2
 2   T 2sinc2  T 
 g     G    T 2


2
 2 
 T 


 2 
La figura siguiente ilustra estas funciones
g(t)
1
 
 
seg
 g= |G()|2
T2
-6
-4
-2
2
4
6
T
-3
-2
-1
1
2
3
fT
Ahora integraremos la Densidad Espectral de Energía sobre un rango de frecuencias
angulares   W para obtener la energía asociada a ese rango de frecuencias.
Evidentemente si W   se obtendrá la energía total del pulso g  t  , Eg , la que vale T
según resulta trivial comprobar integrando g 2 t  .
Llamamos EW la energía contenida en el rango   W , lo que es igual a la energía del
pulso g  t  filtrado mediante un filtro pasabajos ideal, con frecuencia de corte W
rad/seg como se indica abajo
H() de Filtro
Pasabajos Ideal
1
-W
-W
rad/seg
Entonces
1
EW 
2
W
 T sinc
2
2
W
 T 

 d
 2 
Haciendo el cambio de variable T  x se obtiene
EW 
T

WT
 sinc
2
0
 x
  dx
 2
Reemplazando Eg  T , se obtiene:
EW 1

Eg 
WT
 sinc
2
0
 x
  dx
 2
La integral de la función sinc al cuadrado se obtiene numéricamente. Se comprueba que
E
si WT  2 o equivalentemente fT  1 entonces W  0.903 . Concluimos que el 90%
Eg
de la energía del pulso rectangular está contenido en el rango entre los primeros nulos
del espectro. Es por ello que se suele especificar que el ancho de banda de un pulso de
duración T es igual a 1/T [Hz]. Nótese que el ancho de banda siempre se especifica
como aquel correspondiente al rango de frecuencias positivas.
Extendemos ahora estos resultados al caso de señales de potencia. Para ello
aprovechamos que todos los desarrollos anteriores son válidos si truncamos la señal de
potencia a un tiempo finito.
Sea g  t  una señal de potencia con potencia media Pg dada por:
Pg  limT 
1
T
T
2
 g t  dt
2

T
2
Sea gT t  la versión truncada en el tiempo de g  t  según:
T

 g t  t 
gT  t   
2

0 en otro caso
Sea EgT energía de gT t  . Entonces se cumplirá que:
Pg  limT 
EgT
T
Definimos ahora como GT   la transformada de Fourier de gT t 
Entonces del teorema de Parseval:

EgT 

gT 2  t  dt 


2
1
G
w
d


T

2π 
Reemplazamos esto en la expresión para la potencia de g  t  :
Pg  limT 


2
1 1
 limT  
G

d




T

T
T  2π 

EgT
Dado que EgT crecerá linealmente con T el límite será finito. Ello permite intercambiar
el orden de integración con la operación de límite para obtener:
Pg  limT 
EgT
T


2
1 
1
limT  GT    d

2π  
T

Comparando esta expresión con la utilizada para justificar el concepto de Densidad
2
1
Espectral de Energía, observamos que para señales de potencia limT  GT   juega
T
el mismo rol que G  
2
para señales de energía. Repitiendo el mismo desarrollo
2
1
GT   es la Densidad Espectral de Potencia de la señal de
T
potencia g  t  . Entonces definimos para una señal de potencia g  t  , la Densidad
concluimos que limT 
Espectral de Potencia Sg   como:
S g    limT 
2
1
GT  
T
y



1
Pg 
 Sg   d  Sg  f  df 0 2Sg  f  df
2π 
Entonces Sg  f  es la Densidad Espectral de Potencia bilateral (DEP bilateral) y
2Sg  f  es la DEP unilateral.
Autocorrelación para señales de potencia
Si g  t  es una señal de potencia, su autocorrelación temporal se define como:
Rg    limT 
1
T
T
2
 g t  g t   dt

T
2
La demostración de que esta es una función par en  , y tiene un máximo en   0 es
idéntica a la presentada para señales de energía.
Rg    Rg    y Rg  0   Rg  
Demostramos a continuación que, al igual que para señales de energía, la densidad
espectral es la transformada de Fourier de la autocorrelación. Observamos en primer
lugar que si gT t  es la versión truncada de g  t  según se definió antes, entonces
Rg    limT 

1
1
gT  t  gT  t   dt  limT  RgT  

T 
T
Aplicando transformada de Fourier a esta ecuación, y teniendo presente que la
transformada de Fourier de RgT   es igual a la densidad espectral de energía de la
señal truncada GT   , obtenemos:
2
2
1
1
F  RgT     limT  GT  
T
T
F  Rg     limT 
y finalmente
F  Rg     S g  

Caso especial: Para una señal periódica g  t   Vn e jn 2πf0t la DEP es según ya se

discutió antes igual a G( f ) 

 |V
n 
n
|2  ( f  nf 0 ) , o sea es una colección de impulsos
en las frecuencias armónicas de la frecuencia fundamental. La potencia asociada a la
2
componente de frecuencia nf 0 es por lo tanto 2 Vn