Sesión 9 “ ” Razonamiento con imprecisión

Sesión 9
“Razonamiento con imprecisión”
Año académico 2014/15
Profesores:
Sascha Ossowski, Alberto Fernández y Holger Billhardt
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Índice
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Introducción
Conjuntos borrosos
Operaciones con conjuntos borrosos
Lógica borrosa
Inferencia Borrosa
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Introducción
•  En informática normalmente manipulamos información
“precisa” o “nítida”
IF temperatura < 20 ºC
THEN encender calefacción
•  Pero los humanos a menudo hablamos y razonamos de forma
“imprecisa”
SI hace frío y la sala es grande
ENTONCES poner la calefacción muy fuerte
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Descripción general
•  La Lógica Borrosa (Fuzzy Logic) es una generalización de la
Lógica Clásica.
•  Es un formalismo matemático que permite representar,
manipular y realizar razonamientos con información imprecisa
•  La información imprecisa, expresada mediante predicados
vagos, se representa mediante conjuntos borrosos (extensión de
los conjuntos clásicos)
•  La Lógica Borrosa aporta modelos de representación del
conocimiento y de razonamiento más flexibles que los de la
Lógica Clásica
•  Fue introducida por Lotfi Zadeh (1965)
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Índice
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Introducción
Conjuntos borrosos
Operaciones con conjuntos borrosos
Lógica borrosa
Inferencia Borrosa
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Predicados nítidos / Predicados vagos
•  Predicados nítidos:
–  Expresan propiedades precisas acerca de los elementos de un cierto
universo, dividiendo a éstos en dos clases totalmente diferenciadas:
los elementos que verifican la propiedad y los que no la verifican.
Estos predicados son o bien ciertos o bien falsos, y se representan
mediante conjuntos clásicos.
–  Ejemplos:
•  “x tiene menos de 20 años”
•  “x es un número primo”
•  “x pertenece al intervalo [5,7]
–6–
Predicados nítidos / Predicados vagos
•  Predicados vagos (imprecisos)
–  Expresan propiedades imprecisas acerca de los elementos de un
cierto universo, de forma que éstos no se pueden clasificar de
forma categórica. Estos predicados no son únicamente ciertos o
falsos, sino que admiten distintos grados de verdad, y se
representan mediante conjuntos borrosos
–  Ejemplos:
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“x es joven''
“x es un número cercano al cuatro''
“x está aproximadamente comprendido entre 5 y 7''
“La temperatura es alta''
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Conjuntos clásicos / Conjuntos borrosos
•  Conjuntos Clásicos
–  Dado un universo E, un conjunto clásico A ⊆ E se representa
mediante su función característica, ϕA: E → {0,1}, que asigna a
cada elemento del universo E o bien el valor 0, para indicar que el
elemento no pertenece al conjunto A, o bien el valor 1 para indicar
que sí pertenece
–  Ejemplo:
“x tiene menos de 20 años”
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Conjuntos clásicos / Subconjuntos borrosos
•  Conjuntos Borrosos
–  Dado un universo E, un conjunto borroso A ⊆ E se representa
mediante su función de pertenencia, µA: E → [0,1], que asigna a
cada elemento del universo E un valor entre 0 y 1 que indica el
grado de pertenencia del elemento al conjunto
–  Ejemplo: “x es joven”
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Conjuntos Borrosos definidos sobre R
•  Números borrosos (“x es
aproximadamente el real r”)
•  Intervalos borrosos (“x está,
aproximadamente entre r1 y r2”)
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Conjuntos Borrosos definidos sobre R
•  Números grandes (“x es,
aproximadamente, mayor
que r”)
•  Números pequeños (“x es,
aproximadamente, menor que
r”)
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Índice
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Introducción
Conjuntos borrosos
Operaciones con conjuntos borrosos
Lógica borrosa
Inferencia Borrosa
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Operaciones con Conjuntos Borrosos
•  Dados dos conjuntos borrosos µA, µB : E → [0,1], ¿cómo
definir los conjuntos borrosos µA∩B, µA∪B, µA’: E → [0,1]?
•  Requisito básico: los conectivos borrosos deben ser una
extensión de los correspondientes conectivos clásicos
•  Solución habitual:
–  µA∩B(x) = T(µA(x), µB(x)), con T: [0,1]2→ [0,1] tal que
T(0,0) = T(0,1) = T(1,0) = 0 y T(1,1) = 1
–  µA∪B (x) = S(µA(x), µB(x)), con S: [0,1]2→ [0,1] tal que
S(0,0) = 0 y S(0,1) = S(1,0) = S(1,1) = 1
–  µA’ (x) = N(µA(x)), con N: [0,1] → [0,1] tal que N(0) = 1 y N(1) = 0
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Intersección: normas triangulares
•  Una norma triangular o t-norma es una función T: [0,1]2→
[0,1] conmutativa, asociativa, monótona no decreciente y
tal que T(x,1)=x para todo x ∈ [0,1]
•  T-normas más habituales:
–  T(x,y) = Min(x,y) (t-norma mínimo)
–  T(x,y) = Prod(x,y) = x·y (t-norma producto)
–  T(x,y) = W(x,y) = Max(0, x+y-1) (t-norma de Lukasiewicz)
•  Propiedades más importantes:
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T(x,0) = 0 para todo x ∈ [0,1]
Para toda t-norma T, T ≤ Min
W ≤ Prod ≤ Min
La única t-norma que cumple idempotencia es Min
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Intersección: normas triangulares
Ejemplo
Min(x,y)
Prod(x,y)
W(x,y)
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Unión: conormas triangulares
•  Una conorma triangular o t-conorma es una función S:
[0,1]2→ [0,1] conmutativa, asociativa, monótona no
decreciente y tal que S(x,0)=x para todo x ∈ [0,1]
•  T-conormas más habituales:
–  S(x,y) = Max(x,y) (t-conorma máximo)
–  S(x,y) = Prod*(x,y) = x + y - x·y (t-conorma producto)
–  S(x,y) = W*(x,y) = Min(1, x+y) (t-conorma de Lukasiewicz)
•  Propiedades más importantes:
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– 
S(x,1) = 1 para todo x ∈ [0,1]
Para toda t-conorma S, S ≥ Max
Max ≤ Prod* ≤ W*
La única t-conorma que cumple idempotencia es Max
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Unión: conormas triangulares
Ejemplo
Max(x,y)
Prod*(x,y)
W*(x,y)
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Complementario (Negación)
•  Una negación estándar es una función N: [0,1] → [0,1],
que cumple:
–  N(0) = 1
–  N(1) = 0
–  es no creciente ( si x ≤ y entonces N(y) ≤ N(x) )
•  Una negación fuerte es una función N: [0,1] → [0,1], que
cumple:
–  las propiedades de la negación estándar
–  es involutiva (N(N(x)) = x)
•  Ejemplos
–  N(x) = 1-x
(la más usada)
–  N(x) = 1 − x 2
–  N(x) = (1-x)/(1+λx)
λ > -1
(negación de Sugeno)
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Dualidad
•  Si T es una t-norma y N es una negación fuerte entonces
T*(r,s) = N(T(N(r),N(s))) es una t-conorma que se denomina
t-conorma dual de T
•  Si S es una t-conorma y N es una negación fuerte entonces
S*(r,s) = N(S(N(r),N(s))) es una t-norma que se denomina tnorma dual de S
•  T es la t-norma dual de S si y sólo si S es la t-conorma dual
de T
•  Ejemplos (tomando N(x) = 1-x)
–  Min
---–  Prod
---–  W = Max(0, x+y-1) ----
Max
Prod* (suma-producto) = x + y - x·y
W* = Min(1, x+y)
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Modificadores lingüísticos
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Modificadores externos
Modifican los grados de verdad ([0,1])
µMP(x)=α(µP(x)) con α: [0,1] →[0,1]
“Dilatan” o “amplían” el uso del predicado:
P ⊆ MP (µP ≤ µMP)
“Contraen” o “restringen” el uso del predicado
MP ⊆ P (µMP ≤ µP)
Ejemplos:
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La Negación
“MUY”: restringe el uso del predicado : µMUY P ≤ µP
“MODERADAMENTE”: dilata el uso del predicado: µP ≤ µMOD P
Suele usarse:
µMUY P (x) = (µP(x))2
µMOD P (x) = (µP(x))1/2
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Modificadores lingüísticos
Modificadores Internos
•  Modifican los valores en el dominio de la variable
µMP(x)=µP(α(x)) con α: E →E
•  Ejemplo:
Antónimo: alto/bajo, joven/viejo, grande/pequeño
–  No hay que confundir el antónimo con la negación
–  Suele expresarse:
µaP(x) = µP(α(x)) con α: E →E, α(α(x)) = x
–  Es habitual que µaP(x) ≤ µNO P(x)
–  Cuando E = [a,b] de la recta real, se suele tomar
α: [a,b] → [a,b]
α(x) = a + b - x
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Variable lingüística
•  Una variable lingüística está definida por un nombre de
variable y un conjunto de términos que son los valores que
puede tomar.
•  Cada término se representa mediante un conjunto borroso
•  Ejemplos
–  Altura = {bajo, mediano, alto}
–  Edad = {joven, viejo, muy joven, muy viejo, moderadamente
joven, de media edad, ...}
–  Temperatura: {fría, templada, caliente}
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Índice
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Introducción
Conjuntos borrosos
Operaciones con conjuntos borrosos
Lógica borrosa
Inferencia Borrosa
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Lógicas Borrosas
•  Las Lógicas Borrosas son lógicas multivaluadas con valores de
verdad pertenecientes a un conjunto parcialmente ordenado
(L,≤)
•  Del mismo modo que la lógica clásica es isomorfa a la teoría
de conjuntos clásicos, las lógicas borrosas son isomorfas a las
teorías de conjuntos borrosos (FL(E),∩,∪,’), siendo FL(E) el
conjunto de todos los subconjuntos borrosos A definidos sobre
un universo E, con función de pertenencia µA: E → L
•  Las más habituales son las denominadas lógicas borrosas
estándar, en las que L = [0,1],
–  ∧ es una t-norma continua (µP∧Q(x, y) = T(µP(x), µQ(y)) )
–  ∨ es una t-conorma continua ( µP∨Q(x, y) = S(µP(x), µQ(y)) )
–  ¬ es una negación fuerte (µ¬P (x) = N(µP(x)) )
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Implicación en Lógica Borrosa
•  Objetivo: representar expresiones condicionales (reglas
borrosas) de la forma “Si x es P, entonces y es Q”, donde P
y Q son predicados vagos
•  Solución:
–  “x es P” (P(x)) se representa mediante un conjunto borroso
µP: X → [0,1]
–  “y es Q” (Q(y)) se representa mediante un conjunto borroso
µQ: Y → [0,1]
–  “Si x es P, entonces y es Q” (P(x) → Q(y)) se representa mediante
una relación borrosa R: X × Y → [0,1] definida por
µP→ Q(x,y) = J(µP(x),µQ(y)) para todo (x,y) ∈ X × Y, siendo
J : [0,1] × [0,1] → [0,1] una función de implicación borrosa
adecuada
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Principales funciones de Implicación Borrosas
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Mamdani: T = Min; J(x,y) = Min(x,y)
Larsen: T = Prod; J(x,y) = x·y
Brower-Gödel: T = Min; J(x,y) = 1 si x ≤ y; y en otro caso
Lukasiewicz: T = W; J(x,y) = Min(1,1 – x + y)
Kleene-Dienes: S = Max; J(x,y) = Max(1 – x, y)
Reichenbach: S = Prod*; J(x,y) = 1 – x + x·y
Willmot: T = Min; S = Max; J(x,y) = Max(Min(x,y),1 – x)
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Índice
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Introducción
Conjuntos borrosos
Operaciones con conjuntos borrosos
Lógica borrosa
Implicación borrosa
Inferencia Borrosa
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Mecanismos de Inferencia Borrosa
•  Las dos reglas de inferencia clásicas fundamentales son la
regla del Modus Ponens (MP) y la regla del Modus Tollens
(MT):
Modus Ponens
Si p, entonces q
p
q
Modus Tollens
Si p, entonces q
no q
no p
•  La inferencia en lógica borrosa se realiza generalizando las
reglas anteriores al mundo de los predicados vagos: reglas del
Modus Ponens Generalizado y Modus Tollens Generalizado
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Mecanismos de Inferencia Borrosa
Modus Ponens Generalizado
Si x es P, entonces y es Q
x es P*
y es Q*
Modus Tollens Generalizado
Si x es P, entonces y es Q
y no es Q*
x no es P*
•  P y Q son predicados vagos definidos sobre sendos
universos X e Y
•  P* y Q* son predicados vagos definidos sobre X e Y que
representan una cierta modificación de los predicados P y
Q
•  Objetivo: describir los predicados vagos Q* y P* de forma
que los hechos “y es Q*” y “x no es P*” se puedan
considerar como conclusiones correctas de las premisas
respectivas.
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Regla Composicional de Inferencia de Zadeh
•  Los predicados vagos P, P*, Q y Q* se representan mediante
conjuntos borrosos µP, µP* : X → [0,1] y µQ, µQ* : Y → [0,1],
y sus negaciones se modelan mediante una negación fuerte N
•  La regla borrosa “Si x es P, entonces y es Q” se interpreta
como una implicación borrosa (µP→Q(x,y))
•  La conjunción de las premisas se realiza con una t-norma T
(coherente con la implicación: T(r,J(r,s)) ≤s))
•  MP: µQ*(y) = supx∈X T(µP*(x), µP→ Q (x,y))
•  MT: N(µP*(x)) = supy∈Y T(N(µQ*(y)), µP→ Q (x,y))
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Motor de Inferencia Borroso
•  Dado un conjunto de reglas y hechos, consiste en aplicar la
RCI a las reglas
•  Si hay varias reglas cuya conclusión se proyecta sobre la
misma variable (q1(y), q2(y), ..., qn(y)), se aplica una función S
de agregación (S suele ser una t-conorma), obteniendo Q(y) =
S(q1(y), q2(y), ..., qn(y))
•  Una vez obtenido el conjunto borroso resultado µQ*(x), se
puede obtener
–  un valor cualitativo
•  algún criterio de proximidad
–  Un valor numérico
•  Centro de gravedad
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