Trazadores Cubicos Para un conjunto numeroso de puntos no es

Trazadores Cubicos
Para un conjunto numeroso de puntos no es muy útil calcular el polinomio
interpolante que pasa por estos puntos, pues éste tiende a tener grandes
oscilaciones1 . Más aconsejable es hacer una interpolación secuencial de grado
bajo sobre subconjuntos más pequeños del total de puntos, definiendo así una
función a trozos.
La interpolación a trozos más útil y de uso generalizado en diversos compos
tales como el diseño, los gráficos por computadora, la economía, etc., es la que
se realiza mediante polinomios de grado tres llamados trazadores o splines
cúbicos que se definen en cada uno de los subintervalos
definidos
por las abscisas de los puntos
de los puntos a interpolar. La idea es
construir estos polinomios cúbicos de tal forma que cualesquiera dos de ellos
definidos en intervalos contiguos
y
, ambos coincidan en
no solo como función sino también en su primera y segunda derivada, con el
fin de que haya suavidad en los puntos
gráficas.
de coincidencia de ambas
Dados n+1 puntos (x0, y0), (x1, y1),..., (xn, yn) con x0, x1,..., xn numeros reales
diferentes, y f alguna función de valor real definida en un intervalo [ a, b], que
contiene a x0, x1,..., xn, se pretende aproximar la función f por segmentos o
trazas. De antemano vamos a suponer que:
La idea es aproximar la función f en cada subintervalo [xk, xk+1], k = 0, 1,..., n-1,
usando un polinomio de grado menor o igual a tres, el cual supondremos de la
forma:
, k = 0,
1,..., n-1
Para que los pk interpolen los puntos, se deben verificar las siguientes
condiciones:
1.
, k = 0, 1,..., n-1 (condición básica de
interpolación)
Esta condición supone n+1 condiciones.
2.
k = 0, 1,..., n-1 (condición de continuidad)
Esta condición supone n-1 ecuaciones.
3.
k = 0, 1,..., n-1 (condición de primera derivada)
Esta condición sugiere n-1 condiciones.
k = 0, 1,..., n-1 (condición de segunda derivada)
4.
Esta condición sugiere n-1 condiciones.
5.
(condiciones de frontera)
Al verificar las condiciones 1., 2., 3. y 4., se asegura que los pk tienen sus
primeras y segundas derivadas en los puntos x0, x1,..., xn, en este caso se dice
que los pk son trazadores cúbicos que aproximan la función f. Ahora, si se
cumple la condición 5.a., el trazador cúbico se llama natural, y si cumple la
condición 5.b., el trazador cúbico se llama de frontera sujeta (no son
mutuamente excluyentes).
Una forma de construir un trazador cúbico para una función f en [x1, xn] es la
siguiente:
Efectuando la condición 1.
, k = 0, 1,..., n-1 y
y luego, aplicando la condición 2., para k = 0, 1,..., n-2
Si notamos hk = xk - xk+1, k = 0, 1,..., n-1, usamos que ak = f(xk), y definimos an =
f(xn), entonces
, k = 0, 1,..., n-2 (1)
(ya
que
)
Por otra parte, p'(xk) = bk para k = 0, 1,..., n-1, si aplicamos la condición 3.,
obtendremos
, k = 0, 1,..., n-2
Si definimos bn = p'n-1(xn), entonces
, k = 0, 1,..., n-1 (2)
(ya que
)
Ahora
, k = 0, 1,..., n-1
entonces
, k = 0, 1,..., n-1
y si aplicamos la condición 4., obtendremos
, k = 0, 1,..., n-2
Si definimos
, entonces
, k = 0, 1,..., n-1 (3)
(ya que
,
O
sea
)
Despejando dk de la ecuación (3), obtenemos
, k = 0, 1,..., n-1 (ecuación para encontrar dk)
y sustituyendo en la ecuación (1) y (2), obtenemos
, k = 0, 1,..., n-1 (4)
y
, k = 0, 1,..., n-1 (5)
Despejando bk en (4), obtenemos
, k = 0, 1,..., n-1 (ecuación para poder
encontrar bk)
y aumentando el índice en uno en la anterior ecuación, se tiene que
y sustituyendo en (5), se tiene que
lo que nos lleva finalmente a que
Para
k=0,1,...,n-2
En este sistema final las incógnitas son ck, k = 0, 1,..., n, ya que ak = f(xk), k = 0,
1,..., n, y hk = xk+1 - xk, k = 0, 1,..., n, son conocidos.
Este sistema es de n−1 ecuaciones con n+1 incógnitas, pero si usamos las
condiciones de frontera se introducen dos nuevas ecuaciones, con lo cual
obtenemos un sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas.
,
Esta matriz a es una matriz tridiagonal estrictamente dominante diagonalmente
por filas, popr lo tanto, el sistema dado tiene solución única para c0, c1, ..., cn.
Conocidos los valores c0, c1, ..., cn, podemos obtener los valores b0, b1, ..., bn-1 y
d0, d1, ..., dn, usando las ecuaciones señaladas para tal propósito.
La solución a este sistema de ecuaciones se usa para para encontrar un
trazador cùbico natural, el siguiente resultado permitirá buscar un trazador
cúbico que no es natural:
Si f está definida en el intervalo [a, b], entonces f tiene un único trazador cúbico
T en [a, b], que satisface T'(a) = f '(a) y T'(b) = f '(b).
En este caso, los valores de c0, c1, ..., cn estarán definidos por el siguiente
sistema de ecuaciones lineales.
,
Que tiene, como en el sistema anterior, matriz de coeficientes estrictamente
dominante diagonalmente por fila.
Conocidos los puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)), para encontrar un
trazador cúbico de f en [x0, xn], se empieza por hacer ak = f(xk), para k = 0, 1, ...,
n, luego, se calcula hk = xk+1 - xk, k = 0, 1, ..., n-1, se resuelve AX = b
correspondiente y finalmente se obtienen bk, ck y dk, k = 0, 1, ..., n-1.
Para cada k = 0, 1, ..., n-1,
es el polinomio interpolante mediante trazadores cúbicos para f en [xk, xk+1]