LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro, a una distancia r. Si a la ecuación general de segundo grado le aplicamos las siguientes condiciones: A=C 0 y B = 0, nos queda Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0, la cual después de transformaciones algebraicas nos queda: (x D 2 E 2 D 2 E 2 4 AF ) (y ) siempre y cuando 2A 2A 4A ( D2 + E2 - 4AF 0: La ecuación anterior se expresa en forma simplificada como: ( x - h)2 + (y - k)2 = r2, donde (h , k) es el centro y r es el radio; Recibe el nombre de ecuación canónica de la circunferencia donde: ( x - h)2 + (y - k)2 = r2; donde el centro es ( D E D 2 E 2 4 AF , ) y r2 = 2A 2A 4 A2 Ejemplo 1: Verificar si la ecuación x2 + y2 - 6x + 8y - 11 = 0 corresponde a una circunferencia. SOLUCIÓN Debemos verificar las condiciones que cumple una ecuación de segundo grado para que sea una Circunferencia. Los coeficientes de x2 y y2 son iguales no tiene término en (x.y) además D2 + E2 - 4AF ) / 4 A2 >0 porque (- 6)2 + 82 - 4(1) (- 11) = 144. Por lo tanto la ecuación si corresponde a una circunferencia. Ejemplo2: Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación 4x2 + 4y2- 4x + -6y -6 = 0 Solución Dividimos por 4 toda la ecuación 4x2 + 4y2- 4x + -6y -6 = 0 X 2 Y 2 X 3Y 3 0 2 2 Agrupamos términos en x y en y y completamos trinomios cuadrados perfectos 1 2 2 2 2 así: ( X X ( ) ) (Y 3Y 3 3 1 9 ( )2 ) 2 4 2 4 16 cuadrados perfectos: ( x - ½ )2 + ( y - ¾ )2 = 37/16. Luego el centro es ( ½ , ¾ ) Ejemplo 3 : y r= 37 4 Factorizamos los trinomios Hallar la ecuación general de la circunferencia que tiene por centro C =(-3, 5) y su radio 4. Solución : Planteamos la ecuación canónica de la circunferencia: ( x - h)2 + (y - k)2 = r2 [ x - (-3)]2 + [y – 5]2 = 42 ( x + 3 )2 + ( y – 5 )2 = 16 efectuamos los cuadrados x2 + 6x + 9 + y2 – 10x + 25 = 16 ordenamos: x2 + y2 + 6x - 10y + 18 = 0 Ejemplo 4 : Hallar la ecuación de la circunferencia, si uno de sus diámetros tiene por extremos los puntos A = (5, 7) y B = ( - 3, 1) Solución : Primero calculamos el centro de la circunferencia que es el punto medio entre A y B : _ 53 x= =1 2 __ y= 7 1 = 8/2 = 4 luego el centro es ( 1 , 4) 2 El radio es la distancia entre C = ( 1 , 4) y uno de sus puntos por ejemplo A = ( 5 , 7) ________________ ___________ 2 2 r = (x2 - x1) + (y2 - y1) = (5- 1)2 + (7- 4)2 __________ ____ = 42 + 32 = 25 = 5 La ecuación canónica de la circunferencia es ( x - 1 )2 + ( y - 4 )2 = 25 expresada en forma general es : x2 + y2 - 2x - 8y - 8= 0 TALLER Nº 28 1. Encontrar la ecuación canónica de cada una de las siguientes circunferencias si su centro es el punto C y su radio es r. a. C= ( 3, 2) , r = 7 b. C= (5, 18) , r = ½ c. C= ( ½ , 2/3) , r =9 2. Expresar en forma general las ecuaciones canónicas : a. ( x - 3)2 + ( y + 5)2 = 8 b. d. ( x - 3 )2 + ( y - 5)2 =20 c. ( x - 2 )2 + y2 = 10 d. (x - 6)2 + y2 = 30 e. (x + 2)2 + y2 = 16 ( x - 4)2 + ( y + 2)2 = 18 3. Encuentra el centro y el radio de cada una de las circunferencias. a. x2 + y2 + 10x - 6y + 24 = 0 b. x2 + y2 +12x + 10y + 41 = 0 c. x2 + y2 -20x - 14y + 119 =0 d. x2 + y2 +14x - 20y +109 =0 e. x2 + y2 - 16x + 8y + 70 =0 f. x2 + y2 + 22x - 14y + 150 =0 x2 + y2 - 30x + 30y + 410 =0 APLICACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA Una recta es tangente a la circunferencia, si la distancia del centro a la recta es igual al radio. La recta tangente es por lo tanto, perpendicular al radio con el que tiene un punto en común . A este punto en el que se cortan la circunferencia y la tangente se le llama punto de convergencia. La formula que nos permite hallar la ecuación de la recta tangente en un punto P de coordenadas ( x1 , y1 ) , a la circunferencia con centro en ( h , k ) es : y y1 ( x1 h) ( x x1 ) (k y1 ) Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia ( x - 1 )2 + ( y + 2)2 = 13 en el punto P = ( 3. 1). Solución: Reemplazando en la en la formula P = ( 3 , 1 ) = ( x1 , y2 ) y y y1 ( x1 h) ( x x1 ) (k y1 ) C = ( 1 , - 2 ) = ( h , k ) entonces tenemos: (3 1) ( X 3) (y - 1) = (2 1) 2 ( X 3) y-1= (3) -3y + 3 = 2x - 6 -2x-3y +3+6=0 Luego la ecuación es 2x +3y + 9 = 0 es la ecuación de la recta tangente a la circunferencia dada: TALLER Nº 29 Hallar la ecuación de una recta circunferencias dadas. 1. ( x - 2 )2 + ( y +1 )2 = 13 en el punto 2. ( x - 7 )2 + ( y - 3)2 = 11 en el punto 3. ( x + 2 )2 + ( y -5 )2 = 6 en el punto 4. ( x - 4 )2 + ( y - 5)2 = 4 en el punto tangente en el punto P, para cada una de las P = (-2, 3). P = ( -3, 1). P = ( 2, - 3). P = ( -3, 7). TABLA DE FORMULAS DE LA CIRCUNFERENCIA Ecuación de la circunferencia con centro en ( 0, 0 ); x2 + y2 = r2 La ecuación de la circunferencia con centro en ( h , k ); y radio r es: ( x - h )2 + ( y - k )2 = r2 Ecuación general de la circunferencia de centro en ( h , k ) y radio x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 donde D, E ,F son números reales r; es Ecuación de la recta tangente a una circunferencia en un punto dado; P = ( x1 ,y1 ) y centro ( h, k) y y1 ( x1 h) ( x x1 ) (k y1 )