Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación 4x2 +

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LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo llamado centro, a una distancia r.
Si a la ecuación general de segundo grado le aplicamos las siguientes condiciones:
A=C  0 y B = 0, nos queda
Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0, la cual después de
transformaciones algebraicas nos queda:
(x 
D 2
E 2 D 2  E 2  4 AF
)  (y 
) 
siempre y cuando
2A
2A
4A
( D2 + E2 - 4AF  0:
La ecuación anterior se expresa en forma simplificada como:
( x - h)2 + (y - k)2 = r2, donde (h , k) es el centro y r es el radio; Recibe el nombre
de ecuación canónica de la circunferencia donde:
( x - h)2 + (y - k)2 = r2; donde el centro es (
D E
D 2  E 2  4 AF
, ) y r2 =
2A 2A
4 A2
Ejemplo 1:
Verificar si la ecuación
x2 + y2 - 6x + 8y - 11 = 0 corresponde a una
circunferencia.
SOLUCIÓN
Debemos verificar las condiciones que cumple una ecuación de segundo grado para
que sea una Circunferencia.
Los coeficientes de x2 y y2 son iguales no tiene término en (x.y) además
D2 + E2 - 4AF ) / 4 A2 >0 porque (- 6)2 + 82 - 4(1) (- 11) = 144.
Por lo tanto la ecuación si corresponde a una circunferencia.
Ejemplo2:
Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación 4x2 + 4y2- 4x + -6y -6 = 0
Solución
Dividimos por 4 toda la ecuación 4x2 + 4y2- 4x + -6y -6 = 0
X 2 Y 2  X 
3Y 3
 0
2 2
Agrupamos términos en x y en y y completamos trinomios cuadrados perfectos
1
2
2
2
2
así: ( X  X  ( ) )  (Y
 3Y
3
3 1 9
 ( )2 )   
2
4
2 4 16
cuadrados perfectos:
( x - ½ )2 + ( y - ¾ )2 = 37/16.
Luego el centro es ( ½ , ¾ )
Ejemplo 3 :
y r=
37
4
Factorizamos
los
trinomios
Hallar la ecuación general de la circunferencia que tiene por centro C =(-3, 5) y su
radio 4.
Solución :
Planteamos la ecuación canónica de la circunferencia: ( x - h)2 + (y - k)2 = r2
[ x - (-3)]2 + [y – 5]2 = 42
( x + 3 )2 + ( y – 5 )2 = 16 efectuamos los cuadrados
x2 + 6x + 9 + y2 – 10x + 25 = 16 ordenamos:
x2 + y2 + 6x - 10y + 18 = 0
Ejemplo 4 :
Hallar la ecuación de la circunferencia, si uno de sus diámetros tiene por extremos los
puntos
A = (5, 7) y
B = ( - 3, 1)
Solución :
Primero calculamos el centro de la circunferencia que es el punto medio entre A y B :
_
53
x=
=1
2
__
y=
7 1
= 8/2 = 4 luego el centro es ( 1 , 4)
2
El radio es la distancia entre C = ( 1 , 4) y uno de sus puntos por ejemplo A = ( 5 ,
7)
________________
___________
2
2
r = (x2 - x1) + (y2 - y1) = (5- 1)2 + (7- 4)2
__________
____
=  42 + 32 =  25 = 5
La ecuación canónica de la circunferencia es ( x - 1 )2 + ( y - 4 )2 = 25 expresada en
forma general es : x2 + y2 - 2x - 8y - 8= 0
TALLER Nº 28
1. Encontrar la ecuación canónica de cada una de las siguientes circunferencias si su
centro es el punto C y su radio es r.
a. C= ( 3, 2) , r = 7
b. C= (5, 18) , r = ½
c. C= ( ½ , 2/3) , r =9
2. Expresar en forma general las ecuaciones canónicas :
a. ( x - 3)2 + ( y + 5)2 = 8
b. d. ( x - 3 )2 + ( y - 5)2 =20
c. ( x - 2 )2 + y2 = 10
d. (x - 6)2 + y2 = 30
e. (x + 2)2 + y2 = 16
( x - 4)2 + ( y + 2)2 = 18
3. Encuentra el centro y el radio de cada una de las circunferencias.
a. x2 + y2 + 10x - 6y + 24 = 0
b. x2 + y2 +12x + 10y + 41 = 0
c. x2 + y2 -20x - 14y + 119 =0
d. x2 + y2 +14x - 20y +109 =0
e. x2 + y2 - 16x + 8y + 70 =0
f. x2 + y2 + 22x - 14y + 150 =0
x2 + y2 - 30x + 30y + 410 =0
APLICACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
Una recta es tangente a la circunferencia, si la distancia del centro a la recta es igual
al radio.
La recta tangente es por lo tanto, perpendicular al radio con el que tiene un punto en
común .
A este punto en el que se cortan la circunferencia y la tangente se le llama punto de
convergencia.
La formula que nos permite hallar la ecuación de la recta tangente en un punto P de
coordenadas ( x1 , y1 ) , a la circunferencia con centro en ( h , k ) es :
y  y1 
( x1  h)
( x  x1 )
(k  y1 )
Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia ( x - 1 )2 + ( y
+ 2)2 = 13 en el punto P = ( 3. 1).
Solución:
Reemplazando en la en la formula
P = ( 3 , 1 ) = ( x1 , y2 ) y
y  y1 
( x1  h)
( x  x1 )
(k  y1 )
C = ( 1 , - 2 ) = ( h , k ) entonces tenemos:
(3  1)
( X  3) 
(y - 1) =
(2  1)
2
( X  3)
y-1=

(3)
-3y + 3 = 2x - 6
-2x-3y +3+6=0
Luego la ecuación es 2x +3y + 9 = 0 es la ecuación de la recta tangente a la
circunferencia dada:
TALLER Nº 29
Hallar la ecuación de una recta
circunferencias dadas.
1. ( x - 2 )2 + ( y +1 )2 = 13 en el punto
2. ( x - 7 )2 + ( y - 3)2 = 11 en el punto
3. ( x + 2 )2 + ( y -5 )2 = 6 en el punto
4. ( x - 4 )2 + ( y - 5)2 = 4 en el punto
tangente en el punto P, para cada una de las
P = (-2, 3).
P = ( -3, 1).
P = ( 2, - 3).
P = ( -3, 7).
TABLA DE FORMULAS DE LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación de la circunferencia con centro en ( 0, 0 ); x2 + y2 = r2
La ecuación de la circunferencia con centro en ( h , k ); y radio r es: ( x - h )2 + ( y - k )2
= r2
Ecuación general de la circunferencia de centro en ( h , k ) y radio
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 donde D, E ,F son números reales
r;
es
Ecuación de la recta tangente a una circunferencia en un punto dado; P = ( x1 ,y1 ) y
centro ( h, k)
y  y1 
( x1  h)
( x  x1 )
(k  y1 )
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