Matemáticas I (1º Bach A)

ACTIVIDADES PARA EL VERANO: MATEMÁTICAS I
1.- Efectúa las siguientes operaciones:

1
a) 3   1   5
9

d)
90  4
f)
a 3  2a
 4
32  
18
3

b)
3 2 2
3 2 2
a 2  3a
6
1
c) 3 6  4
2
4 a  b 2 
18 1 45

125 3 8
4

e)
a 3  8 a12
g)
25
27
32
3

6
2
3
b
27  a 2
31  a 3
5
6
2

6 3 2

4 2
3
3 A
log7 4 7  A 2

2.- Sabiendo que log7 A  1 . Calcula el valor de la expresión:
 log7 

49
1


log7  
A
 
 A3 
3

3.- Sabiendo que log8 A  2 . Calcula: log8 8 A  log8 
 64A 


4.- Aplicando la definición de logaritmo, calcula:


a) log1  2 2 2 2 

2
b) log
3
3 
34 3

5.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
1
log  log a 3
a
4
6.- Demuestra que
log a
7.- Sea P( x)  2x 3  ax2  bx  3 , calcula a y b sabiendo que:
 - 1 es raíz de P(x)
 El resto de la división de P(x) por ( x + 3) es -24.
8.- Consideramos el polinomio P( x)  ax4  x 3  4x 2  bx . Determina a y b sabiendo que P(x) es divisible
por (x +1) y que el resto de la división P(x) : ( x - 1) es 2.
9.- Realiza la siguiente operación:


x  2 x 2  3  2x  1  x  3  x  2
2
3


2x x 2  1  4
7x

10.- Opera y simplifica la siguiente expresión algebraica:
2
x4
x  3x  4
11.- Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los polinomios:
P(x) = x 6  3x 4  2 x 5  4 x 3  4 x 2 y
Q(x)= x 3  3x 2  4
12.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 7 2 x 1  50  7 x  7  0
c)
e)
2x  3  x  7  4
b) 2 log x  log(x  1)  log 4  log(1  x)
d)
31 x  3 x  4  0
x 3  x 1
13.- Clasifica y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
x  y  2 z  4
2 x  3 y  z  5
x  5 z  7
b)
x  y  2 z  1
2x  y  z  2
x  2 y  3z  3
14.- El cajero de un banco sólo dispone de billetes de 10, 20 y 50 euros. Hemos sacado 290 euros del banco
y el cajero nos ha entregado exactamente 8 billetes. El número de billetes de 10 euros que nos ha dado es el
doble del de 20 euros. ¿Cuántos billetes de cada tipo que nos ha entregado el cajero?
15.- En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla,
chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es
de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata. Conocidos los gustos de los
estudiantes, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% más que de vainilla.
¿Cuántos helados de cada sabor se compran a la semana?
16.- Resuelve las siguientes inecuaciones:
2x  1
x

0
a) 2
x  x6 x2


b) 2x 3  x 2  2x  1  x  x 2  1
17.- Demuestra las siguientes igualdades trigonométricas:
a)
c)
2sen
 cos  sen  tag
tag2
senx  cos x   cos 2 x  1  sen 2 x
cos x  senx
b) sen  sen(   )  cos  cos(   )  cos 
d)
sen 2
 tag
1  cos 2
18.- Para determinar la distancia entre dos puntos
inaccesibles A y B, tomamos desde otros puntos P y Q,
situados en el mismo plano que A y B, las medidas
indicadas en la figura. Calcula la distancia entre los
puntos A y B.
19.- Halla la altura de la torre QR de pie inaccesible y más bajo que
el punto de observación, con los datos de la figura:
20.- Calcular el ángulo que forman la recta tangente exterior a dos circunferencias, de radios 6 y 4 cm, con la
recta que une los centros de ambas, si estos distan 12 cm.
(Recuerda: En el punto de tangencia, la recta tangente y el radio de la
circunferencia forman un ángulo recto)
21.- Los pueblos A, B y C están unidos por tres carreteras. La distancia de A a B es de 6 km, la distancia de B
a C es de 8 km y del pueblo B sale un camino que lleva a un punto de la carretera que une A con C, siendo la
longitud del camino de 5 km. Si el camino forma un ángulo de 120º con la carretera que va desde A hasta C,
halla la distancia entre A y C.
22.- Desde el punto más alto de un edificio vemos un coche aparcado con un ángulo de depresión de 14º. Si
bajamos a un piso del mismo edificio situado a 12 metros del anterior punto de observación, el ángulo de
depresión pasa a ser de 28º. Calcula la distancia del coche al punto más bajo del edificio y la altura del
mismo.
23.- Dos torres de alta tensión A y B se encuentran separadas por un lago. Se toma un punto auxiliar C y se
miden las distancias AC=33 metros y BC= 45 metros y el ángulo C=73º. Halla la distancia que hay entre
dichas torres.
24.- Resuelve las siguientes ecuaciones (expresando el resultado en grados y en radianes):
a) sen(2x)  cos(2x)  1  cos x  2 sen 2 x
b)
2senx  tgx  0
c) 4 cos(2 x)  1  3 cos x
d) senx  cos 2 x  4sen 2 x
x  6  
25.- Halla el simétrico del punto P=(3, -1) respecto a la recta r  
 y  2
26.- Dos lados de un paralelogramo están contenidos en las rectas r : x + 2y - 3 = 0
y s: 3x - 5y + 10= 0,
y uno de los vértices es el punto P(7, 1).
a) Halla la ecuación de las dos rectas que definen los otros lados del paralelogramo
b) Calcula los ángulos de dicho paralelogramo.
27.- Desde un punto P=(2,-3) se traza una recta perpendicular a la recta r  3x  4 y  6  0 . ¿A qué
distancia pasa dicha recta del punto Q=(6,8)?
28.- Dada las rectas r  y  7  x ;
s
x4
 y 1 ;
2
 x  1 
t
 y  3  2
a) Determina la ecuación general de una recta paralela a t que pasa por el punto de intersección de r y s.
b) Calcula el ángulo que forman la recta r y la recta s.
c) Calcula la distancia del punto Q =(-2, 3) a la recta t.
29.- Calcula la mediatriz del segmento AB, siendo A= (2,-3) y B=(6,8)
30.- Halla el simétrico del punto P=(3, -1) respecto a la recta r  2 x  y  12  0
31.- Resuelve los siguientes límites:
x 2
a) lim
b)
x2
x 2
d)
1 x
lim 1 
x 1
lim 
x
lim
x 2
32.- Consideremos las funciones f ( x ) 
a)
b)
c)
d)
e)
2
x 
2
e)
x  1  x  3x  4
2

c)
lim
x 3
x2  x  6
x 2  6x  9
x 2
x2  4
3x  4
x2
y
g ( x) 
x5
x 2  3x
Calcula el dominio de g.
Calcula la expresión de f 1 y f  g
Asíntotas de f.
Monotonía y extremos relativos de f.
Esboza la gráfica de f.
33.- Representa las siguientes funciones:
a) f ( x)  x 3  4x
b) f ( x)  x 2  4 x  3 (previamente exprésala como función a trozos)
3x 2  x
34.- Calcula las asíntotas de la función f ( x) 
2 x
2  x2

35.- Estudia la continuidad de la función f ( x)   x

 x  4
si
x2
y represéntala.
si
x2
36.- Deriva las siguientes funciones:

a) f ( x)  2 x  ln x
3

2


sen x
x2
 2x  3 
c) f ( x)  ln 2 
 x 
d) f ( x) 
 k x 1

37.- Sea f ( x)   x
3 x 2

b) g ( x)  cos x  2x  e  arctag x
si
x -1
si
x -1
3
x 1
 arctg
x
x
 x
a) Calcula el valor del parámetro k para que f sea continua.
b) Para dicho valor de k, ¿es f derivable en x = -1?.
c) Calcula las asíntotas de la función f.
38.- Sea la función:
f ( x)  x 1 e2 x
a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Calcula sus extremos relativos.
b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la f en su punto de inflexión.
39.- Sea
f ( x)  x3  ax2  bx  c . Calcula los parámetros a, b y c sabiendo que la función tiene un
máximo en el punto (-2,5) y un punto de inflexión para x = -1.
 x2 1
si
x 4
40.- Sea f ( x)  
si
x 4
 2 x  a
a) Calcula a sabiendo que la función es continua. ¿Es derivable en x = 4?
b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =2.
x2 1
41.- Consideremos las funciones f ( x) 
.
x
a) Determina las asíntotas de la función f.
b) Estudia su monotonía y calcula sus extremos.
42.- Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada
metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100€, mientras que el resto del cercado
nos cuesta 10€ el metro. ¿Cuáles son las dimensiones del prado de área máxima que podemos cercar con
3000€?
43.- Dada la función f ( x)  x 3  6 x 2  9 x . Calcula:
a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
b) Intervalos de convexidad y concavidad. Puntos de inflexión.
c) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 2.
a x2 1
44.- Sea la función f(x) = x 2  bx  3
3x
si
si
si
x 2
- 2  x  0.
x 0
a) Determine los valores de a y b para que la función f sea continua y derivable en x= - 2.
b) Estudia la continuidad de la función f en x=0
c) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=1
45.- De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12.800 m 2 dividido en tres
parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Se quieren vallar las lindes de las
tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas), determina las dimensiones
del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.