Problem_3.pdf

Ejercicios Capitulo 3
3.1 Verifique las siguientes dos identidades de la función gamma que fueron dadas
en el este capı́tulo
(a) Γ(α + 1) = αΓ(α)
(b) Γ( 12 ) =
√
π
3.2 Establezca una formula similar a la dada en el capı́tulo para la distribución
Gamma. Si X ∼ gamma(α, β), entonces para alguna constante positiva ν
β ν Γ(ν + α)
EX =
Γ(α)
ν
3.3 Sea la va. X con la siguiente fdp
2
2
f (x) = √ e−x /2 ,
2π
0 < x < ∞.
(a) Encuentre la media, la varianza y la fgm de X. (Esta distribución muchas
veces se llama Normal Doblada.)
(b) Si X tiene una distribución Normal doblada, encuentre la transformación
g(X) = Y , y valores α, β, para que Y ∼ gamma(α, β).
3.4 Sea X ∼ N (µ, σ 2 ). Encuentre valores de µ y σ 2 tal que P (| X |< 2) = 12 . Pruebe
o desapruebe que esos valores de µ y σ 2 son únicos.
3.5 Escriba la integral que definirı́a la fgm de la pdf
f (x) =
1 1
.
π 1 + x2
Es la integral finita?. Espera encontrar la fgm?
3.6 Para cada una de las siguientes distribuciones, verifique las fórmulas de E X; V ar X
dadas en el texto.
1
(a)
(b)
(c)
3.7 Suponiendo que X tiene fdp f (x) = 2xI(0, 1).
(a) Determine la fgm de X
(b) Usando la fgm, calcule E X; V ar X y verifique su respuesta.
3.8 Suponiendo que X tenga la fdp siguiente
f (x) = λeλ(x−a) , x ≥ a.
(a) Encuentre la fgm de X.
(b) Usando la fgm, calcule E X; V ar X y verifique su respuesta.
3.9 Suponiendo que la fgm de la va. X es de la foma
MX (t) = (0,4et + 0,6)8 .
(a) Cuál es al fgm de la va. Y = 3X + 2?
(b) Cuál es la E X.
(c) Puede verificar su respuesta (b) con algún otro método?. (Trate de reconocer la MX (t).)
2