Taller(Derivadas)

TALLER DE TÓPICOS MATEMÁTICAS 1
Ciclo 2006-0
Sección : Todas
Profesor : Aldrin Peña
Duración : 110 minutos
http://beta.upc.edu.pe/matematica/NivMat/paginas/recursos/OAs/oa2/plantilla_oa/index.htm
1) Resuelva las siguientes ecuaciones y determine su conjunto solución.

21 6 x 2 11x

x( x  9)  2  (2 x  1)(x  4)

x( x  3)  2( x  2)  2

2 2 3
3
x  x7
5
10
5
Respuesta: C.S. = {3; 7/6}
Respuesta: C.S. = {1+
3 ; 1  3 }
Respuesta: C.S. = {2; 3}
Respuesta: C.S. = { 4;

(x1)(x2) = 6
Respuesta: C.S. = 4;

3x  2 x 2  3 6


6
4
9
Respuesta: C.S. =
1
19
}
4
 1


ESFERA
Es el sólido generado por la rotación en el espacio de
un semicírculo de centro O y radio r, alrededor de su
diámetro.
O
R
R
Área = 4 r2
Volumen 
4 3
πr
3

VOLUMEN DEL CONO CIRCULAR
RECTO
P
Consideremos un punto B
sobre la circunferencia de la
base; si lo unimos con los
puntos O y P, obtenemos el
triángulo rectángulo BOP.
En todo cono circular
recto:
g
A
Volumen

1
π r 2h
3
h
r
O
B
7

10

2) Calcular el volumen de una caja rectangular de a metros de largo , b metros de ancho y c metros de altura
y su superficie total.
3) Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad. Se suelta un pedazo metálico y el nivel del agua sube
3.5cm.Si el diámetro del cilindro es 8cm ¿Cuál es el volumen del pedazo .
4) Se funde una bola de plomo de radio 8cm , para obtener luego bolitas del mismo material , con radio 1cm
cada una ¿cuántas bolitas , como máximo se obtendrán?
5) Una pintura de tamaño 15cm por 20cm es colocada sobre una cartulina de 414cm2 de área de tal forma que
todo el borde que rodea a la pintura tiene ancho constante. ¿Cuánto mide el ancho de dicho borde?
Respuesta: 1,5cm
6) Se quiere construir dos veredas del mismo ancho que dividan un terreno cuadrado en cuatro
zonas cuadradas iguales (ver figura). Si el costo por metro cuadrado de vereda es S/. 30,00 y se
piensa invertir S/. 4 680,00 en éstas, ¿cuál debe ser el ancho de las veredas?
40 m
7) Realice las siguientes derivadas
a ) f ( x) : x 3  3 x  4
b) f ( x) : x 5  5 x 4  100
c) f ( x) : 3 x 4  8 x 3  6 x 2  2
d ) f ( x) : ( x 3  1) 4
e) f ( x) : xe  2 x
f ) f ( x) : ln(x 2  1)
8) Calcular el valor de x para el cuál la primera derivada de la función se anula y los
valores de x donde la segunda derivada se anula
a.
f ( x)  10x3  7 x 2 10x 16
b. f(x) = 3x4-4x3+4
c. f(x) = xex
d. f(x)=xlnx
e. f(x) = 2x6 – 6x4
27
f. f(x) = x2 – 2
x
g. f(x)=e-2x
9) Graficar las siguientes funciones indicando:




Intervalo de crecimiento y decrecimiento.
Intervalos de concavidad
Los máximo y mínimos (si los tuviese)
Puntos de inflexión
1.1) f ( x)  x 3  3x  4
1.2) f ( x)  x 5  5 x 4  100
1.3) f ( x)  3x 5  5 x 3
1.4) f ( x)  3x 4  8 x 3  6 x 2  2
1.5) f ( x)  ( x 3  1) 4
10) Hallar constantes a, b y c tales que la gráfica de la función tenga un máximo relativo en (5,12) y corte el
eje y en (0,3).
f ( x)  ax2  bx  c
11) Trazar la gráfica de una función que tenga todas las propiedades siguientes:





df
(x) > 0 cuando x<-1 y cuando x>3
dx
df
(x)<0 cuando -1<x<3
dx
d2 f
x  <0 cuando x<2
dx2
d2 f
x  >0 cuando x>2
dx2
f(-1)=10; f(2)=-5; f(3)=-10; f(0)=0; f(-6)=0; f(6)=0.
12) Un almacén vende motopatines a $40 la unidad. A este precio , las personas han comprado 50
monopatines al mes. El propietario del almacén desea aumentar el precio y estima que por cada aumento
de $1 se venderán 3 monopatines menos cada mes. Si cada monopatin tiene un costo de $25 para el
almacén ¿a qué precio debería vender los monopatines para maximizar las utilidades?
13) Se tendera un cable desde una central eléctrica situada a la orilla de un río de 1200m de ancho hasta la
fábrica ubicada 1500m río abajo en otra orilla. El costo de tender el cable bajo el agua es $25 por metro,
mientras que el costo sobre tierra es $20 por metro ¿Cuál es la ruta más económica para tender el cable?
14) Un envase cilíndrico (con tapa) debe contener 4Pi pulgadas cúbicas de jugo de naranja helado. Si las
partes superior e inferior se construyen en metal , el costo de cada pulgada cuadrada es de 2 veces el costo
por pulgada cuadrada de cartón con que se construye la parte lateral ¿cuáles son las dimensiones del
envase menos costoso?
15) Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja rectangular de cartón de 16
cm de ancho y 21cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba.
Calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo.
16) Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal sin tapa que tenga una capacidad de 1 metro cúbico
.Encuentre las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material sea mínima ,suponiendo que
no se desperdicia nada en la construcción.
17)
18)
Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo .Halle las dimensiones de la
ventana que permite admitir más luz suponiendo que el perímetro debe ser 5m.
19) Se desea que las páginas de un libro tengan un área de 900 centímetros cuadrados con márgenes de 2,5cm
abajo y a los costados, y de 1.5cm arriba. Determine las dimensiones de la página que darán la mayor área
posible para el texto.
20) Se desea construir un almacén con un volumen de 100 metros cúbicos que tenga techo plano y base
rectangular cuya anchura sea tres cuartas partes de su longitud. El costo por metro cuadrado de los
materiales es de $36 para el piso ,$54 para parte lateral y $27 para el techo. ¿Qué dimensiones minimizan
el costo?
21) Se desea construir un tanque de acero con al forma de un cilindro circular recto y semiesferas en los
extremos para almacenar gas propano. El costo por metro cuadrado de los extremos es el doble de la parte
cilíndrica. ¿Qué dimensiones minimizan el costo si la capacidad deseada es de 16000/3 pi metros cúbicos?
22) Calcule:
f (10)  ¿?
6
1  Ae kx
f (0)  3
f (5)  2
f ( x) 
23) Encuentre la primera derivada
1
g ( x)  ln x2  4 x  1  ln(3x  36)40  e x
24) Una empresa estima que cuando se emplean x miles de personas , la utilidad será P en millones de dólares ¿Qué
nivel de empleo maximiza la utilidad?¿Cuál es la máxima utilidad?
P ( x)  ln(
x
)  12 x 2
25
25) El ritmo aeróbico de una persona de x años es A: ¿ a qué edad se maximiza la capacidad aeróbica?
A( x)  110
(ln x  2)
;
x
x  10
26) Parte conceptual.











¿Existe una función que siempre es creciente?
¿Existe una función que siempre es decreciente?
¿Existe una función que siempre es cóncava hacia arriba?
¿Existe una función que siempre es cóncava hacia abajo?
¿Existe una función que no es creciente ,no es decreciente, no es cóncava hacia arriba ,no es cóncava hacia
abajo?
¿En todo punto crítico de una función f , se encontrará un mínimo ó un máximo?
Si y=3 es la recta tangente de f en el punto (2,3) Calcule la derivada de la función en x=2
Si F`(x)=G`(x) entonces podemos afirmar F(x)=G(x)
¿Ln(1+2+3)=Ln(1)+ln(2)+ln(3)?
f es continua y derivable en ]a, c[ y además es cóncava hacia arriba , y f`(b)=0 con a<b<c ¿La función
tiene un máximo ?
Una función es continua en c podemos afirmar que la función es derivable en c.