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PROFESOR: Leonardo Flórez
1
INSTITUCIÓN EDUCATIVA DEOGRACIAS CARDONA J.M.
ÁREA DE MATEMÁTICAS
PRIMERA UNIDAD – FUNCIONES REALES
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
(Tomado de ALFA 11)
Cómo surge el concepto de función:
La idea de función es importante no solo en matemáticas, sino en cualquier ciencia que desee establecer
nexos entre sus objetos de estudio, pues es una de las mejores formas de poner en correspondencia una
cantidad con otra. El universo está lleno de objetos que se encuentran asociados con otros. De hecho
podríamos decir que a lo largo de la historia del hombre, en su deseo de interpretar el mundo, ha establecido
relaciones con los objetos que lo rodean. Sin embargo, pasó mucho tiempo antes de que el pudiera
establecer una notación útil para representar la dependencia de las característica de un objeto y otro.
En la historia de las matemáticas se le dan los créditos al matemático suizo Leonhard Euler (1707 – 1783),
por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones
elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo el concepto mismo de función nació con las
primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgió desde los inicios de la
matemática en la humanidad, con civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la china.
Antes de Euler el matemático y filósofo francés René Descartes (1596 - 1650), mostró en sus trabajos de
geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de variable y función, realizando una clasificación
de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se
obtienen resolviendo, en forma simultánea, las ecuaciones que las representan.
Para qué sirven las funciones?
Las funciones sirven para establecer patrones de correspondencia entre diferentes cantidades. Veamos
algunos ejemplos
Un ser humano, en condiciones normales de supervivencia, presenta características comunes de
mortalidad en períodos determinados de su existencia, por ejemplo tiene mayor riesgo en los primeros y
últimos años de vida. La siguiente función ejemplifica esta situación para modelar la supervivencia de un
recién nacido (en cierta comunidad, en un tiempo ):
S (t ) =
t + 65
, donde S(t) representa el número de años que se espera sobreviva el recién nacido
0.01t + 1
Para una persona en descanso, la velocidad v (en litros por segundo), del flujo de aire durante un ciclo
respiratorio es modelada por la función
⎛ πt ⎞
v = 0.85Sen⎜ ⎟ . Una persona, después de hacer ejercicio físico
⎝3⎠
durante pocos minutos, tiene un ciclo respiratorio para el cual la velocidad del flujo de aire es modelada
por la función
⎛ πt ⎞
v = 1.75Sen⎜ ⎟
⎝3⎠
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2
PRODUCTO CARTESIANO
“El entrenador de un equipo de fútbol debe elegir el uniforme para sus jugadores. El diseñador le
enseña 3 pantalonetas diferentes y 4 camisetas diferentes; ¿Entre cuántos uniformes puede elegir
el entrenador el que usarán sus jugadores?”
La solución al problema anterior consiste en establecer correspondencias entre los elementos del
conjunto de las pantalonetas y el conjunto de las camisetas. De hecho si notamos las
pantalonetas con P1, P2, P3 y las camisetas con C1, C2, C3 y C4, los posibles uniformes son:
S = {(P1, C1), ( P1, C2), ( P1, C3), ( P1, C4), ( P2, C1), ( P2, C2), ( P2, C3), ( P2, C4), ( P3, C1), ( P3, C2), ( P3, C3), ( P3, C4)}
El producto cartesiano entre dos conjuntos A y B, diferentes de vacío, se denota como A x B y se
define como el conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b), siendo a un elemento de A y
siendo b un elemento de b. Simbólicamente se define:
AxB = {(a, b) / a ∈ A, ∧, b ∈ B}
Ejemplo: (lo hace leo.) Defina dos conjuntos A
encuentre A x B y B x A
y
B, por comprensión y por extensión y
RELACIONES
Es
-
habitual escuchar expresiones como:
A cada estudiante le corresponde un pupitre.
A cada ciudadano le corresponde un número de identificación
A cada polígono le corresponde un área.
Establecer la correspondencia entre diversos fenómenos, es un aspecto de mucha importancia en
la ciencia. Un ingeniero civil emplea una fórmula para determinar que altura le corresponde a cada
cable de soporte en un puente colgante. Un Químico puede determinar mediante una fórmula de
correspondencia, la fecha de vencimiento de un alimento, en función de sus componentes.
Una relación no es mas que una correspondencia establecida entre los elementos de dos
conjuntos.
Ejemplo: (lo hace leo.) Sean A = {x / -1 ≤ x ≤ 2} y B = {x / 0 ≤ x ≤ 2},
1. Hallar A x B
2. Hallar M = {(a, b) / a < b}
En el segundo ejemplo M recibe el nombre de relación, por ser un subconjunto del producto
cartesiano A x B.
DEFINICIÓN DE RELACIÓN:
Si se tienen dos conjuntos A y B diferentes de vacío, se define una relación de A en B como un
subconjunto del producto cartesiano A x B, de tal manera que entre las componentes de las
parejas ordenadas existe una regla de correspondencia.
Centraremos nuestro trabajo en relaciones definidas en el producto R x R, son ejemplos de estas:
A = {(x, y) / y = 2x + 1}
B = {(x, y) / y = x2}
C = {(x, y) / x2 + y2 = 9}
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3
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
El dominio de una relación es el conjunto formado por las primeras componentes de cada pareja
ordenada. El rango es el conjunto formado por las segundas componentes de cada pareja
ordenada.
Ejemplo: (lo hace leo.) Hallar el dominio y el rango de la relación
A = {(x, y) / y = 2x + 1, con -1 ≤ x ≤ 2}
Sin embargo no es común encontrar una regla que restrinja la relación, por ejemplo la relación
anterior podría aparecer planteada simplemente como A = {(x, y) / y = 2x + 1}. Para hallar el
dominio y el rango en casos como este se hace necesario recurrir a un método que facilite los
procesos.
MÉTODO ANALÍTICO PARA HALLAR EL DOMINIO Y EL RANGO DE UNA RELACIÓN:
Para hallar el dominio de una relación, despejamos y en la expresión dada y analizamos los
posibles valores que pueda tomar la variable x. Similarmente, para hallar el rango de una
relación, despejamos x en la expresión dada y analizamos los posibles valores que pueda tomar la
variable y.
Ejemplos: (los hace leo.)
Hallar el dominio y el rango de cada una de las siguientes relaciones:
c) 3x – 5y = 8
a) 2y + 5 = 3xy
b) –2x + 4y2 – 9 = 0
TALLER N°1
1. Dados los conjuntos
A = {2,3,4} y B = {2,4,9,16}, hallar el conjunto solución (S), para cada una de las siguientes
relaciones, definidas de A en B
b) R2 = {(a, b)/ a<b}
a) R1 = {(a, b)/ a>b}
c) R3 = {(a, b)/a = b/2}
d) R4 = {(a, b)/a = b }
2. Determine el dominio y el rango de las siguientes relaciones:
a) 4xy – 5y = -2
b) –xy – y – 3 = 0
d) 5xy = 4 – y
e) 3y – 4 = – xy
h) y(x2 – 9) – 1 = 0
g) y(x2 – 4) = 5
c) 3xy + 2y – 1 = 0
f) xy = 1
i) 5x – y2 –3 = 0
j) 4xy–3x = 0
m) 2x – 5xy – 3 = 0
k) x2 + y2 = 16
n) 5x + 3xy + 2 = 0
l) y = 4 x + 2
o) 5x2 – 2y = –3
p) 3x + 4y = –1
q) x2 + y2 = 4
r) y =
4 − x2
CONCEPTO DE FUNCIÓN
El concepto de función es uno de los conceptos matemáticos más importantes; muchas
situaciones de la vida diaria, de la industria, de la economía, de la medicina, de la misma
matemática, así como de otras ciencias están ligadas con la palabra función. Veamos:
•
•
En una empresa que paga por horas trabajadas, el salario de un trabajador está en
función del número de horas trabajadas
La velocidad de un vehículo está en función del tiempo que emplea en recorrer
determinada distancia
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•
•
4
La ganancia obtenida por un bus urbano el final del día está en función del número de
pasajeros que ha movilizado
El volumen de una esfera está en función de la medida del radio.
Claramente se intuye que el concepto de función se puede asociar con la dependencia que
existe entre los elementos de dos conjuntos. El siguiente ejemplo nos permitirá comprender el
significado del concepto de función:
Ejemplo: A un grupo de personas que solicitaban cita médica con especialista, se les pidió que
escribieran sus nombres y números de carné de afiliación. Las citas se pueden relacionar en el
siguiente esquema:
Del diagrama podemos deducir que:
• Todas las personas tienen carné
• No hay persona con dos números de carne diferentes
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Sabemos ya que una relación es la correspondencia de un primer conjunto (dominio), con un
segundo conjunto (rango), de manera que a cada elemento del dominio le corresponden uno o
más elementos del rango. Una función es una relación en la cual a cada elemento del
dominio le corresponde uno y solo un elemento del rango.
Lo anterior significa que para que una relación f (definida en los reales), de X en Y sea una
función debe cumplir dos condiciones:
1. El dominio de f es todo el conjunto X.
2. Cada elemento de X aparece en una y solamente en una pareja de f, como primer
elemento.
_______________
Una función se nota como y o f(x), que se lee f de x y en ningún momento significa f por
x. la variable x se denomina variable independiente y la variable y se denomina variable
dependiente
_______________
NOTA:
Por lo común se consideran funciones para las cuales X y Y son dos conjuntos de números
reales. El conjunto X se llama dominio de la función y el conjunto Y se llama rango de la función
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MÁQUINA DE UNA FUNCIÓN
(Dominio y rango)
En una función real los posibles valores de la variable independiente x representan el dominio,
mientras que los posibles valores de la variable dependiente y representan el rango.
Ejemplos:
1. Las siguientes son representaciones sagitales de diferentes tipos de relaciones. Indique cuál es
función y cuál no lo es, justificando la respuesta:
a)
b)
c)
d)
Nota: En el literal d) es importante establecer la diferencia que existe entre el rango y
el codominio de una función:
Rango = {1, 4, 9, 16, 25}
Codominio = {1, 4, 9, 16}
2. Determine si los puntos indicados pertenecen a la función dada:
Puntos (-1, 3); (-1, 6); (1/2, 15/4); (0, 3)
y = x2 + x + 3
3. Dada la función
a) f(1)
f(x) =
3x − 1
, determinar el valor de:
x
⎛2⎞
c) f(b)
b) f ⎜ ⎟
⎝3⎠
d)
⎛1⎞
f⎜ ⎟
⎝5⎠
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6
TALLER N°2
1. Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {2, 4, 6, 8}, determine cuáles de las
siguientes relaciones son funciones y cuáles no. Justifique su respuesta.
a) S = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (3, 6), (4, 8), (5, 6), (7, 2), (8, 8), (9, 6)}
b) T = {(1, 2), (2, 2), (3, 6), (8, 4), (9, 8), (7, 6), (4, 8), (5, 2), (6, 6)}
c) R = {(1, 8), (2, 2), (3, 4), (4, 2), (5, 6), (6, 2), (7, 4), (8, 8)}
2. Las siguientes son representaciones sagitales de diferentes tipos de relaciones. Indique cuál es
función y cuál no lo es, justificando la respuesta:
a)
b)
c)
3. Dada la función f(x) = 2 – 2x, definida en ℜ (conjunto de los números reales), determina:
a) f(3/4)
b) f(-1)
c) f(0)
d) f(-2)
e) f(3)
f) f(1/2)
g) f(1)
e) f(-5)
4. Dada la función: f (m) =
a) f(1/b)
d) f(b2)
1
, determina:
m −4
b) f( b )
1
e)
f (b)
2
c) [f(b)]2
f)
f (b)
5. Determine si los puntos indicados pertenecen a la función dada:
a) y = x2 – 3x + 2
Puntos (-1, 0); (-1, 6); (1/2, 3/4); (-2, 0)
b) y = (x – 4 )1/2
Puntos (4, 0); (0, -2); (20, 4); (-5, 3)
c) y =
1
x −1
2
Puntos
(0, 1); (0, -1); (1, 0); (-1, 0)
Prueba analítica para una función
Para verificar si una relación es una función, es necesario comprobar que las dos condiciones
señaladas anteriormente se cumplen. Veamos algunos ejemplos
Ejemplos:
1. Hallar el dominio de las siguientes funciones
a) V = {(x, y) / 4y – 3x2 + 2 = 0}
b) X = {(x, y) / y =
1
}
x −4
2
2. Comprobar si las siguientes relaciones R definidas de ℜ en ℜ (de los reales en los reales),
son funciones, si no lo son redefinirlas para que lo sean
a) xy + 3y = 5
b) y2 + 3x – 2 = 0 (ilustrar gráficamente)
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Prueba de la línea vertical para una función
Una relación es una función, si cada recta vertical en el sistema de coordenadas, corta la gráfica
en un solo un punto.
Ejemplos: Entre las siguientes gráficas identifique las que son funciones y en todos los casos
halle el dominio y el rango:
a)
b)
c)
TALLER N°3
1. Determinar cuáles de las relaciones son funciones y cuáles no. Aquellas que no lo son,
redefinirlas de tal manera que se conviertan en funciones
a) 2x + 3y = – 2
b) x – 5y = 4
c) – 3x + 4y = 2
f) 3y = x2
d) 2x – 3y = –1
e) y = x2
g) x = y2
h) x2 + y2 = 1
i) 3xy = 2
2. Indicar cuáles de las siguientes gráficas representa funciones:
a)
b)
c)
d)
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e)
f)
CLASES DE FUNCIONES REALES
A continuación se definen algunas funciones reales, que serán analizadas en el aula de clase en
mayor o menor grado, dependiendo del tratamiento que hallan recibido en cursos anteriores.
Algunas de ellas serán retomadas posteriormente, cuando se tengan herramientas suficientes
para construir sus gráficas.
⎧
⎪
⎧Función constante
⎪
⎪Función lineal
⎪
⎪
Función
polinómica
⎪
⎨
FUNCIONES ALGEBRAICAS ⎨
⎪Función cuadrática
⎪
⎪⎩Función polinómica general
⎪
⎪Función Racional
⎪
⎩Función radical
⎧Función exponencial
⎪
⎪
⎪Función logarítmica
⎪
⎧Función seno
⎪
⎪
⎪Función coseno
FUNCIONES TRASCENDENTES ⎨
⎪
⎪
⎪Función tangente
⎪ Función trigonométrica ⎪⎨
⎪
⎪Función cotangente
⎪
⎪Función secante
⎪
⎪
⎪⎩
⎪⎩Función cosecante
⎧Función segmentada o por tramos
⎪
FUNCIONES ESPECIALES ⎨Función valor absoluto
⎪Función mayor entero contenido
⎩
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FUNCIÓN LINEAL
Se sabe que la temperatura de ebullición del agua es de 212°F, equivalentes a 100°C y que su
punto de congelación es de 32°F, equivalentes a 0°C.
1. Represente la relación entre ambas temperatura mediante una gráfica.
2. Encuentre la expresión que relaciona estas dos temperaturas.
3. A qué tipo de función corresponde la expresión hallada?
4. Cuál es la pendiente de la recta anterior?
5. A qué temperatura Fahrenheit corresponden 20°C?
Una función es lineal si cualquier cambio o incremento de la variable independiente ocasiona un
cambio proporcional o incremento en la variable dependiente
Una función lineal esta representada por una línea recta y su forma general es
donde:
m: es la pendiente de la recta.
Si m > 0 , la función es creciente
Si m < 0 , la función es decreciente
Si m = 0 , la función es constante
b: es el intercepto de la recta con el eje Y
f(x) = mx + b,
Ejemplo: Complete la tabla
Pendiente
Función
Intercepto
Creciente Decreciente Constante
con y
15 x − 10
5
3
f(x) = 9
f ( x) =
f(x) = -6x + 13
f(x) = x +
1
2
Recuerde que la línea recta fue objeto de estudio detallado en el curso de geometría analítica en
grado 10. teniendo en cuenta esto, responda las siguientes preguntas:
1. Cómo son las pendientes de dos o más rectas que sean paralelas?
2. Qué relación existe entre dos rectas perpendiculares?
3. Escriba la ecuación de la recta para cada uno de los siguientes casos:
a. Se conocen dos puntos de la recta
b. Se conocen un punto y la pendiente de la recta
c. Se conocen los interceptos de la recta con los ejes
TALLER N°4
1. Dibujar la gráfica, hallar la pendiente e indicar si la función es creciente, decreciente o
constante
a) y = −
1
x+4
3
d) 3y + 4x = 12
b) y = 3 x −
e)
−
1
4
3
4
x+ y =0
4
3
c) y = 3(x – 2)
f) y = – x + 1
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10
2. Un taxista debe pagar al final del día $80.000 de sus ganancias por concepto de arriendo del
auto. Además se sabe que:
Consume en promedio 7 galones de gasolina corriente a un precio de $5600 cada galón.
El precio de la lavada del taxi es de $3.100
Si el promedio por carrera es de $5.000, determine:
a) La función que relaciona las ganancias con el número de carreras diarias.
b) Cuántas carreras debe hacer como mínimo en un día para no tener pérdidas.
c) Cuántas carreras deberá hacer para obtener una ganancia de $100.000?
d) A cuánto ascienden las ganancias o las pérdidas si en un día realiza:
¾ 25 carreras
¾ 48 carreras
e) Una gráfica (puede ser un polígono de frecucencias), que muestre las ganancias del
taxista en la última semana, si se sabe que el número de carreras hechas por día
fueron lunes: 28; martes: 35; miércoles: 39; jueves: 29; viernes: 51; sábado: 55;
domingo: 26
3. Una empresa que alquila autos tiene una tarifa de $200.000 diarios. Si el arrendatario usa el
vehículo por más de 5 días, el costo baja a partir del sexto día a 180.000 diarios. Sabiendo
que el tiempo máximo de alquiler es de 10 días. Hallar la ecuación de costo
4. Elabore en un mismo plano cada grUpo de funciones y escriba una conclusión:
a) y = 3x;
y = – 4x;
b) y = x + 1
y = 2x + 1
c) y = 2(cos π ) y = log10100
y=
1
x
2
y = – 4x + 1
y = -3
1. Cuál es el domino y el rango de una función lineal?
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Forma general
f ( x) = ax 2 + bx + c
La gráfica de Una función cuadrática está representada por una parábola vertical, que bien puede
abrirse hacia arriba o hacia abajo.
Procedimiento para graficar una función cuadrática:
⎛ − b ⎛ − b ⎞⎞
, f⎜
⎟ ⎟⎟
⎝ 2a ⎝ 2a ⎠ ⎠
¾
Vértice está determinado por las coordenadas ⎜⎜
¾
Interceptos con el eje X (raíces de la función): se hace y = 0 y se resuelve la ecuación
resultante.
Interceptos con el eje Y: se hace x = 0 y se resuelve ecuación resultante
Si a > 0, la curva se abre hacia arriba
Si a < 0, la curva se abre hacia abajo
¾
¾
¾
Rango de una función cuadrática:
⎡ ⎛−b⎞ ⎞
⎢ f ⎜ 2a ⎟, ∞ ⎟⎟ , si a > 0
⎠ ⎠
⎣ ⎝
⎛
⎛ − b ⎞⎤
⎜⎜ − ∞, f ⎜
⎟⎥ , si a < 0
⎝ 2a ⎠⎦
⎝
El dominio de una función cuadrática son todos los números reales
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Ejemplos
1. La altura en metros de un proyectil con velocidad inicial de 19.2 metros por segundo, lanzado
desde un punto situado a 24 metros del suelo, es f(t) = – 4.8t2 + 19.2t + 24.
a. Dibujar una gráfica que represente este movimiento
b. Hallar el tiempo t que tarda el proyectil en alcanzar su máxima altura.
c. Determinar la altura máxima alcanzada por el proyectil
2. A partir de un lamina metálica rectangular y larga, de 12 pulg. De
ancho, hay que fabricar un canal doblando hacia arriba dos lados, de
modo que sean perpendiculares a la lámina. ¿Cuántas pulgadas
deben doblarse para dar al canal su máxima capacidad?
⎛ − b ⎛ − b ⎞⎞
, f⎜
⎟ ⎟⎟ será
⎝ 2a ⎝ 2 a ⎠ ⎠
(sugerencia: si la parábola se abre hacia abajo, ⎜⎜
un máximo )
3. f(x) = 2x2 – x – 3
TALLER N°5
1. Representar los siguientes grupos de funciones en un mismo sistema de coordenadas y
determinar el dominio y rango:
g(x) = x2 + 1,
h(x) = x2 – 1
a) f(x) = x2,
2
2
g(x) = 2x ,
h(x) = 3x2
b) f(x) = x ,
2
2
c) f(x) = x ,
g(x) = x /2 ,
h(x) = x2/3
2. Escriba algunas conclusiones acerca de la práctica anterior.
3. Un excursionista lanza al aire una bengala en línea vertical desde el suelo, en el instante t =
0, con una velocidad de 19.2 metros por segundo. Su altura en el tiempo t está dada por y =
– 4.8t2 + 19.2t. hallar:
a) El tiempo que tarda la bengala en regresar al suelo.
b) El instante en que llega a su punto más alto.
c) La altura máxima que alcanza la bengala
4. Graficar las siguientes funciones, determinando el vértice y los puntos de corte (indique
también el dominio y el rango para cada una de ellas):
b) f(x) =x2 – x
c) f(x) = – 2x2 – x – 1
a ) f(x) =2x2 – x – 1
2
2
e) f(x) =x + x
f) f(x) =x2 + 2x + 1
d) f(x) =x – x
2
2
h) f(x) =x – 5 x + 6
g) f(x) = –x – x – 2
5. El número Q de litros de agua que hay en un estanque, t minutos después de haber empezado
a vaciarlo, esta dado por la expresión: Q (t ) = 200(30 − t ) .
2
a) ¿Cuántos litros de agua habían en el estanque antes de iniciar el vaciado?
b) ¿Cuánto tiempo tarda el estanque en quedar vacío?
c) Represente la situación en forma
gráfica
6. Realice la gráfica de la expresión x = y2 –
5y + 6.
Se puede afirmar que esta
expresión
representa
una
función?
Justifique su respuesta
7. El cable de un puente de suspensión tiene
forma de parábola. El cable se extiende
sobre 200 pies de autopista. El cable de
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soporte más largo, en cada extremo del puente, mide 100 pies; el más corto, a la mitad del
puente, mide 30 pies. Determine la longitud del cable de soporte que está a 40 pies del cable
de soporte más largo.
8. Los puntos más altos de dos torres de un puente colgante están a 30.5 m. sobre el nivel del
agua y separados entre sí 115 m. un cable que los une tiene forma de parábola y su punto
más bajo está a 12 m. arriba del agua. ¿a qué altura se encuentra un punto en el cable, cuya
distancia horizontal a una de las torres es 18 m? (ilustre con el gráfico)
9. El cable de suspensión de un puente colgante adopta la forma de un arco de parábola. Los
pilares que la soportan están a 60 m. de altura y están separados una distancia de 500 m.,
quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 m. sobre la calzada del puente:
a) Hallar la ecuación de la parábola que describe el cable de suspensión.
b) Calcula la altura de un punto situado a 80 metros del centro del puente.
10. Vista de frente, una embarcación tiene forma de parábola. La altura del arco formado tiene 9
m. y el ancho de la cubierta es de 6 m. ¿Qué ancho tiene la embarcación 3 m. debajo de la
cubierta?
11. Un reflector está diseñado de modo que una cubierta cilíndrica guarda un espejo reflejante
parabólico y la fuente de luz. ¿Si la cubierta tiene una profundidad de 2 pulgadas y un
diámetro de 4 pulgadas, ¿dónde debe colocarse la fuente de luz con respecto al vértice del
espejo. (consulte la propiedad de la reflexión de la parábola)
FUNCIÓN RADICAL
Una función radical es una función que contiene raíces de variables.
El dominio de una función radical depende de si el índice de la raíz es par o impar
Ejemplos: Graficar las funciones y determinar el dominio y el rango a partir de la gráfica
a) f(x) =
x
b) f(x) = 3 x + 1
c) f(x) =
3
x −3
Ejercicio: Graficar las funciones y determinar el dominio y el rango a partir de la gráfica
a) f(x) =
2x + 1
b) f(x) = −
3x
c) f(x) =
3
x+6
2
FUNCIÓN EXPONENCIAL:
Algunas funciones, a diferencia de las estudiadas anteriormente, tienen como exponente a la
variable independiente x:
Este tipo de función recibe el nombre de función exponencial y se utilizan para describir el
crecimiento de poblaciones de humanos, animales y bacterias, crecimiento de sustancias químicas
en una reacción química, elevación o descenso de la temperatura de una sustancia, incremento de
dinero invertido a cierto interés compuesto, etc.
Definición:
Para b > 0 y b ≠ 1
f(x) = bx
recibe el nombre de función exponencial
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13
Gráfica de una función exponencial
Ejemplo. Graficar y determinar el dominio y el rango de:
b) y = 2-x
a) y = 2x
Función exponencial de base e: f(x) = ex
Esta función es considerada como la función exponencial por
excelencia.
e, es número de gran importancia, tan sólo comparable a la
π
de
, por su gran variedad de aplicaciones. El número e
suele definirse como el límite de la expresión (1 + 1/n)n
cuando n tiende hacia infinito. Algunos valores de esta
expresión para determinados valores de la n se muestran en
la tabla de la derecha:
Observando la columna de la derecha de la tabla anterior, se
puede ver que a medida que n crece el valor de la expresión
se aproxima, cada vez más, a un valor límite. Este límite es
2,7182818285.
FUNCIÓN INVERSA
Este tema queda como tarea para el alumno como complemento a lo ya estudiado
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Definición:
Para b > 0 y b ≠ 1
Y = logbx es equivalente a x = b
y
El logaritmo de base b de x es la potencia
y a la cual se debe elevar b para ser igual
ax
Gráfica de una función logarítmica
En la calculadora es posible calcular el
logaritmo de cualquier número x > 0,
siempre y cuando su base sea 10 (log) o e
(ln). En caso de querer calcular el logaritmo en una base diferente, se utiliza la fórmula para
cambio de base: log b x =
log a x
log a b
Ejemplo. Graficar y determinar el dominio y el rango de:
a) y = logx
b) y = log4x
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Este tema queda como tarea para el alumno como complemento a lo ya estudiado
Cálculo
Funciones
PROFESOR: Leonardo Flórez
14
TALLER N°6
Trazar la gráfica de cada función y determinar el dominio y el rango en cada caso:
1. y = 3x
2. y = 4-x
3. y = log3x
4. y = log4x
PROBLEMITAS
1. Interés Compuesto. Si cierta cantidad de dinero P (llamada la principal) se invierte al r por
ciento de interés compuesto anual, la cantidad A de dinero, después de t años, está dada
por esta ecuación:
A = P (1 + r) t.
a. ¿Cuánto producirán $1000 (dólares)en
5 años,
al 6 por ciento de interés
compuesto anual?
b. Trace la gráfica de esta función para P = 10; r = 0.10 y 0 ≤ t ≤ 10
c. ¿Cuánto tiempo (hasta el año completo más cercano) se necesitará para que una
suma de dinero se duplique, si se invierte al 5 por ciento de interés compuesto
anual? Consulte el problema anterior.
2. Ciencias de la tierra. La presión atmosférica P, en libras por pulgada cuadrada, se puede
calcular aproximadamente por medio de la fórmula
P = 14.7e-0.21x, donde x es la altura sobre el nivel del mar, en millas.
Trace la gráfica de la función para:
–1
≤ x ≤ 5
3. Crecimiento Bacteriano. Una sola bacteria del cólera se divide cada media hora para
producir dos bacterias íntegras del cólera. Si empezamos con una colonia de 5000 bacterias,
al cabo de t horas tendremos
A = 5000 · 2 2 t bacterias.
¿Cuánto tiempo se necesitará para que A sea 1’000.000?
4. Astronomía. Se necesita un instrumento óptico para observar estrellas menores que las de
sexta magnitud, que el límite de la vista ordinaria. No obstante, aún los instrumentos ópticos
tienen limitaciones. La magnitud limitante L de cualquier telescopio óptico, con una lente de
diámetro D, en pulgadas, está dada por:
L = 8.8 + 5.1 log10 D.
a. Encuentre la magnitud limitante de un telescopio reflejante, de 6 pulgadas de
diámetro, hecho en casa.
b. Encuentre el diámetro de una lente que tiene una magnitud limitante de 20.6
FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
Son funciones definidas por fórmulas diferentes en diferentes partes de sus dominios.
Cálculo
Funciones
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15
Ejemplos:
1.
⎧1 − x, si x ≤ 1
f ( x) = ⎨ 2
⎩ x , si x > 1
⎧1, si x > 0
⎩− 1, si x < 0
2. Sign( x) = ⎨
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Recordemos que si x es un número real, x denota
la distancia desde el punto x hasta el origen 0
⎧ x, si x ≥ 0
⎩− x, x < 0
|x|= ⎨
se denomina función valor
la función f(x) = x
absoluto y tiene como dominio el conjunto de toso
los números reales y como rango el intervalo 0, ∞ )
[
Ejemplos:
Trazar las gráficas y hallar el dominio y el rango de:
1. f(x) = x − 1
2.
x +1
3.
x +1
FUNCIÓN PARTE ENTERA
Ejercicio:
En cada caso escojamos el mayor número entero menor o igual que x
1. x = 3.8
2. x = 0.15
3. x = -0.15
4. x = 2
5. x =1.99
6. x = -1.99
7. x = -2
8. x = 0
[]
La correspondencia que asigna a cada número real x el número entero x , recibe el nombre de
FUNCIÓN PARTE ENTERA
[]
f(x) = x = a,
donde a ≤ x < a + 1
y
a∈Ζ
Explicación a la gráfica:
-3 ≤
-2 ≤
-1 ≤
0≤
1≤
2≤
3≤
x
x < -2, [x]
x < -1, [x]
x < 0, [x]
x < 1, [x]
x < 2, [x]
x < 3, [x]
x < 4, [x]
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
Observe en la gráfica que el dominio de la función son
todos los números reales y el rango son todos los
R= Ζ
números enteros: D = ℜ
Cálculo
Funciones
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16
Ejemplos:
1. Dibujar la gráfica de f(x) = x – [x] (parte decimal de x)
2. Un parqueadero público cobra su alquiler de la siguiente manera: por la primera hora o
fracción $2.000 y por cada hora o fracción de hora adicional, $1.200.
Si x es la variable tiempo en horas, entonces el costo estará dado por la función f(x) = 2 –
1.2[1 – x]
Hacer una representación gráfica para valores de x en el intervalo (0, 5]
TALLER N°7
Clasificar las siguientes funciones, realizar sus gráficas y hallar su dominio y rango:
⎧2 x + 3, si x < −1
1. f ( x) = ⎨
⎩3 − x, si x ≥ −1
4.
f ( x) = 1 − x
5.
1⎤
⎡
f ( x) = ⎢ x + ⎥
2⎦
⎣
7.
f ( x) = x + x
8.
f ( x) =
10. f(x) = |x + 1|
⎧− 1, si x ≤ −1
⎪
3. f ( x) = ⎨3 x + 2, si − 1 < x < 1
⎪7 − 2 x, si x ≥ 1
⎩
⎧ x + 2, si x ≤ −1
2. f ( x) = ⎨ 2
⎩ x , si x > −1
6.
[]
1
2
⎧ x, si x ≤ 0
⎩ x + 1, si x > 0
x
x
11. f(x) = x + 2
f ( x ) = [x ] +
9. f ( x) = ⎨
⎧ x + 1, si x ≤ −2
⎪
12. f(x) = ⎨− 1, si − 2 < x < 1
⎪ x − 2, si x ≥ 1
⎩
13. El costo de una llamada telefónica de larga distancia a cierto país, tiene una tarifa dada por la
función f(t):
si 0 ≤ t ≤ 2
⎧4.2[t + 1],
f (t ) = ⎨
⎩12.6 + 2.5[t + 1], si t > 2
donde t está medido en minutos y f(t) en miles de pesos.
a) Calcular el costo de una llamada de 5 minutos
b) Dibujar la gráfica de f(t) para 0 < t ≤ 6
c) Explicar este sistema de tarifación telefónica
ÁLGEBRA DE FUNCIONES
A partir de dos funciones reales f y g es posible definir otras funciones generadas por su suma,
producto o cociente. Veamos:
1. Función suma denotada por f + g, y definida por
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. Función diferencia denotada por f – g, y definida por
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
3. Función producto denotada por f·g, y definida por
(fg)(x) = f(x) x g(x)
Cálculo
Funciones
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4. Función cociente denotada por
17
f
, y definida por
g
⎛f ⎞
f ( x)
⎜⎜ ⎟⎟( x) =
, siendo g(x) ≠ 0
g ( x)
⎝g⎠
Dominio de f + g, f – g, f·g, y f/g
En cada caso el dominio de la nueva función está dado por aquellos valores de x comunes a los
dominios de las funciones f y g, con la condición de que en la función cociente deben excluirse
todos los valores de x que hagan g(x) = 0.
Ejemplo:
1. Con las funciones f(x) = x + 1 y f(x) = x2 hallar:
a. Hallar la función f + g y su dominio
b. Trazar y analizar la gráfica de f + g
2. Sean f y g dos funciones reales definidas por las reglas f ( x) =
a) f·g y su dominio
x − 4 y g ( x) = 7 − x . Hallar
b) f/g y su dominio
FUNCIÓN COMPUESTA
La composición de funciones es de suma importancia en el tema de límites, continuidad,
derivación e integración de funciones. Analicemos algunos ejemplos que nos aproximen al
concepto de función compuesta:
1. Un ejecutivo de éxito debe:
a) Alimentarse bien
b) Destacarse académicamente
c) Contar con un buen empleo
Analizando, se deduce que para contar con un buen empleo, depende del desempeño
académico y éste a su vez depende de la alimentación, es decir, alimentarse bien y rendir
académicamente son componentes o condiciones para contar con un buen empleo. En otras
palabras la función C es una composición de las funciones A y D
2. En el esquema que se presenta abajo, el conductor aplica una fuerza F al acelerador para
impulsarla gasolina hacia el carburador. A su vez, el carburador C vaporiza la gasolina, que
activa el motor.
De esta manera, la potencia P desarrollada por el motor depende de las acciones (funciones) F
y C.
Matemáticamente decimos que P es una composición de la función F realizada por el
conductor sobre el acelerador y de la función C que realiza el carburador
vaporizando la gasolina.
Cálculo
Funciones
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El
•
•
•
18
siguiente diagrama nos muestra que:
f es una función de A en B
g es una función de B en C
h es una función de A en C, mediante la cual a
cada elemento de A se le asigna un elemento de
C. veamos por ejemplo que:
f(-2) = -3
g(-3) = -6
g[f(-2)]=-6
Por lo tanto h(-2) = -6
Definición
Si X, Y y Z son conjuntos de números reales, f es una función
de X en Y y g otra función de Y en Z, de tal manera que f
envía X a Y y g envía Y a Z, se puede definir una función que
envía X a Z; esta función se llama función compuesta
La función compuesta g o f , llamada también composición de
g y f, es la función de A en Z dada por:
( g o f )( x) = g [ f ( x )] , ∀x ∈ X
El dominio de la función compuesta, es el dominio de la función resultante.
Aclaración: ( f o g )( x) no necesariamente es igual a ( g o f )( x)
Ejemplos:
1. Evaluar
( f o g ) , para f(x) = 5x + 2, g(x) = x2 – 3 (dos formas diferentes)
2. Evaluar
( f o g )(2) , para el ejemplo anterior
3. La expresión
f ( x + h) − f ( x )
, con h ≠ 0, se llama cociente de diferencias de f. Hallar el
h
cociente de diferencias para cada una de las funciones, simplificando hasta donde sea posible
a. f(x) = x2
b. f(x) = 1/x
c. f(x) =
x
=
Senx
(Recuerde
Sen(α + β ) = SenαCosβ + Senβ Cosα )
d. f(x)
que
4. Un tanque tiene forma de cono circular recto, de altura 4.8
metros y radio 2.4 metros. El agua fluye al tanque de tal
forma que el radio del nivel del agua es r = 0.4t meros,
donde t es el tiempo (en minutos) necesario para llegar a
este nivel. La figura ilustra la situación.
a. El área A de la superficie del círculo que se forma en
el nivel del agua es π r2. hallemos el área en función
del tiempo (A(t)) y utilicémosla para determinar el
área de la superficie del agua cuando t = 2 minutos.
b. En qué instante el área de la superficie es 5.76 π m2?
Cálculo
Funciones
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19
c. El volumen V del agua esta dado por V =
πr 2 h
3
. Hallemos el volumen en función del
tiempo (V(t)) y utilicemos esta expresión para determinar el volumen del agua
contenido en el tanque al cabo de t = 3 minutos.
d. En qué instante el volumen del agua es 9.216 π m3?
TALLER N°8
1. Dadas las funciones
g (x) = x2 – 2;
f (x) = x(x + 1);
h (x) =
encuentre la operación indicada y el dominio correspondiente:
a) ( f + g) (1)
b. ( fg)(x)
2. Sean f(x) = x + 1 y g(x) = x2. hallar:
a) ( f o g )( x)
b) ( g o f )( x)
3. Hallar el cociente de diferencias
c.
( h – p)(1)
c)
( f o g )(2)
1
x +1
y
p (x) = 2x2,
⎛ p⎞
⎟⎟(x)
⎝g⎠
d) ⎜⎜
d)
( g o f )(2)
f ( x + h) − f ( x )
de:
h
a) f(x) = 2x – 4
b) f(x)= x3
c) f(x) = Cosx (Recuerde que Cos (α + β ) = CosαCosβ − SenαSenβ )
4. Dadas las siguientes funciones,
2
a)
b)
c)
d)
f (x) = 2x + 5
f (x) = x3
f (x) = 3x2 + 2
f (x) = x2
e)
f (x) =
f.)
f (x) =
evalúa ( f o g )( x)
g
g
g
g
(x)
(x)
(x)
(x)
= 4 – 7x
=x+1
=1/(3x2 + 2)
= 1/x2
1
(3 x + 1)
g (x) = 2/x2
x2 + 4
g (x) = 7x2 + 1
5. La distancia recorrida por una bola de boliche, que
rueda hacia abajo por una rampa, está dada por la
función f(t) = 1.8t2 metros, donde t esta medido
en segundos, después de soltar la bola.
La velocidad promedio de la bola en el intervalo
a, a + ∆t , con ∆t ≠ 0 , es el cociente de diferencias
[
]
f (a + ∆t ) − f (a )
,
∆t
donde ∆t es el intervalo de
tiempo desde a hasta a + ∆t . Evaluar la velocidad
promedio de la bola de boliche para cada uno de los intervalos de tiempo.
a) [2, 3]
b) [2, 2.5]
c) [2, 2.1]
Temas complementarios:
Funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, pares, impares.
Cálculo
Funciones
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20
RESPUESTAS
TALLER N° 1
1) a) {(3, 2),(4,2)}
c) {(2, 4)}
b) {(2, 4), (2, 9), (2, 16), (3, 4), (3, 9), (3, 16), (4, 9), (4, 16)}
d) {(2, 4), (3, ), (4, 16)}
2) a) D= ℜ - {5/4}
R= ℜ -{0}
d) D= ℜ -{-1/5} R= ℜ -{0}
b) D= ℜ -{-1}
e) D= ℜ -{-3}
R= ℜ -{0}
R= ℜ -{0}
c) D= ℜ -{-2/3} R= ℜ -{0}
R= ℜ -{0}
m)D= ℜ -{0}
R= ℜ -{2/5}
n) D= ℜ -{0}
R= ℜ -{-5/3}
[3 / 5, ∞ ) R= ℜ
l) D= [− 1 / 2, ∞ ) R= ℜ
o) D= ℜ
R= [3 / 2, ∞ )
p) D= ℜ
R= ℜ
q) D=[-2, 2]
R=[-2, 2]
r) D=[-2, 2]
g) D= ℜ -{ ± 2 } R= y ≤ - 5/4 ∨ y > 0
j) D= ℜ R=3/4
h) D= ℜ -{ ± 3 } R=
k) D=[-4, 4]
R=[-4, 4]
(− ∞,−1 / 9] ∪ (0, ∞ )
d) D= ℜ -{0}
i) D=
R=[-2, 2]
TALLER N° 2
1) a) No por que no cumple las condiciones
b) Sí
c) No, pues sobra un elemento del dominio
2) a) Sí, cumple ambas condiciones
b) No, 6 tiene dos imágenes
c) No, pues sobra un elemento en el dominio
3) a) 1/2
b) 4
c) 2
d) 6
e) -4
f) 1
g) 0
h) 12
b2
4) a)
(1 + 2b)(1 − 2b)
1
d)
2
(b + 2)(b 2 − 2)
b)
c)
e) (b + 2)(b – 2)
5) a)Los puntos (-1, 6); (1/2, 3/4 ) Sí
TALLER N° 3
1
b−4
ℜ→ℜ
ℜ→ℜ
f)
1
b − 8b 2 + 16
1
4
b2 − 4
b) Los puntos (4, 0); (20, 4) Sí
ℜ→ℜ
d) Sï, esta definida de
e) Sï, esta definida de ℜ → ℜ
g) No cumple ninguna de las condiciones. Será función, si y = + x o y = − x
1) a) Sï, esta definida de
b) Sï, esta definida de
c) Sï, esta definida de
f) Sï, esta definida de
y su dominio es [0,
ℜ→ℜ
ℜ→ℜ
∞)
y = − 1 + x 2 y su dominio es [-1, 1]
i) No es función, ya que el dominio no son todos los reales. Será función, si el dominio es ℜ − {0}
h) No cumple ninguna de las condiciones. Será función, si
2) a) Sí
b) No
c) Sí
y = + 1− x2
c) El punto (0, -1) Sí
d) Sí
e) No
o
f) Sí
TALLER N° 4
1) a) m=-1/3; decreciente
b) m=3; creciente
c) m=3; creciente
d) m=-4/3; decreciente
e) m=9/16; creciente
f) m=-1; decreciente
Cálculo
Funciones
PROFESOR: Leonardo Flórez
21
2) a) f(x)=5000x-122300
c) 44 carreras aprox.
e)
180000
160000
140000
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
b) 24 carreras aprox.
d) $2700 de ganancia y $117700 de ganancia
152700
132700
72700
52700
22700
17700
L
3) a) f(x)=200000x, si
4) a)
7700
M
M
J
x≤5
3) a) t=4seg.
4) a) D=
ℜ
S
D
b) f(x)=1000000+180000(x–5), si
b)
5) Tanto el dominio como el rango es
TALLER N° 5
1) a)
V
b) t=2seg
c)
ℜ
b)
R=[-1.125, ∞ )
5 ≤ x ≤ 10
c) 19,2 m.
b) D=
c)
ℜ
R=[-0.125, ∞ )
c) D=
ℜ
R=(- ∞ , -0.875]
Cálculo
Funciones
PROFESOR: Leonardo Flórez
22
d) D=
ℜ
R=(- ∞ , 0.25]
e) D=
ℜ
R=[-0.25, ∞ )
g) D=
ℜ
R=(- ∞ , -1.75]
h) D=
ℜ
R=[-0.25, ∞ )
5) a) 180000 lts.
c)
7) 55.2 fts.
TALLER N° 6
b) t=30 min.
8) 21.36 m.
1) D= ℜ R=(0, ∞ )
f) D=
ℜ
R=[0, ∞ )
6) No es función
9) a) y = 0.0008x2 + 10
2) D= ℜ R=(0, ∞ )
b) 15.12 m.
10) 4.9 m.
3) D=(0, ∞ ) R= ℜ
11) a 1/2plg del vértice
4)D=(0, ∞ ) R= ℜ
Problemitas
Cálculo
Funciones
PROFESOR: Leonardo Flórez
1) a) $1338,2
4) t=3.8 horas
b)
TALLER N° 7
5) a) l=12.77
1) D= ℜ
R=
(− ∞,4]
4) D= ℜ
R=
(− ∞,1]
7) D= ℜ
10) D= ℜ
23
2)
b) D= 22plg aprox.
2) D= ℜ
3) t=14 años
R= ℜ
3)D= ℜ R=
(− ∞,5]
5) D= ℜ
R= Ζ
R=[0, ∞ )
8) D= ℜ –{0}
R={-1,1}
9) D= ℜ
R= ℜ –(0,1)
R=[0, ∞ )
11) D= ℜ
R= Ζ
12) D= ℜ
R= ℜ
6) D= ℜ
R=n/2, con n
Ζ
impar
Cálculo
Funciones
PROFESOR: Leonardo Flórez
24
13) a) $27.6
b)
c) Sistema de tarifación viable para menos de 2min, o más de 7 min
TALLER N° 8
1) a) 1
2) a) x2+1
b) x4+x3–2x2–2x
b) x2+2x+1
c) -3/2
c) 5
3) a) 2
b) 3x2+3xh
c)
4) a) 98x2–112x–107
CosxCosh + SenxSenh − Cosx
h
b) x3+3x2+3x+1
d) 1/x4
5) a) 9m/seg
d) 2x2(x+1)
d) 9
e)
b) 8.1m/seg
x2
6 + x2
c)
18 x 4 + 24 x 2 + 11
9 x 4 + 12 x 2 + 4
f)
49 x 4 + 14 x 2 + 4
c) 7.38m/seg
Cálculo
Funciones