MODELO ECONÓMICO DE LA DISTRIBUCIÓN ESPACIAL DE LA POBLACIÓN YOANE FONTES CABRERA ANÁLISIS DINÁMICO JUNIO 2004 ÍNDICE INTRODUCCIÓN....................................................3 HIPÓTESIS A ESTUDIAR......................................3 FORMULACIÓN MATEMÁTICA.........................3 SOLUCIÓN CON EL MATHEMATICA................4 ESTABILIDAD......................................................17 BIBLIOGRAFÍA....................................................20 2 YOANE FONTES CABRERA INTRODUCCIÓN Supongamos que consideramos la población de cierto país dividida en dos grandes sectores: Rural y urbano. La población en cada uno de estos sectores cambia no sólo debido a la evolución en el tamaño de la población global sino debido a la migración de personas entre ambos núcleos. Para denotar lo que es un espacio rural y uno urbano, depende de delimitaciones arbitrarias, basadas en tamaños de los municipios, el número de habitantes, la existencia de industrias y de otra diversidad de servicios. Urbano: poblaciones con más de 50.000 habitantes, los cuales cuentan con luz, agua, teléfono, escuelas y servicios médicos. Semirrurales: poblaciones que tienen entre 2.500-50.000 habitantes y no tienen los servicios que tienen los otros. Se dedican principalmente a actividades del sector primario. HIPÓTESIS A ESTUDIAR Fenómeno migratorio de una zona a otra. ¿Llega a desaparecer la población rural? ¿Y la urbana? ¿Se regresa a las zonas rurales? FORMULACIÓN MATEMÁTICA. Rt+1= α Rt + (1-β) Ut Ut+1 = (1-α) Rt + β Ut t→ tiempo medido en años. Rt→ millones de habitantes en la zona rural. Ut→ millones de habitantes en la zona urbana. α→ porcentaje de población que permanece en la zona rural. β→ porcentaje de población que permanece en la zona urbana. 3 YOANE FONTES CABRERA SOLUCIÓN CON EL MATHEMATICA @D @ 8 < 8@ < D 8 @ D @ D H L @ D @ D H L @ D @ D < 8 @ D @ D < D :@ D H H L H L L @ D H L H H L L @ D L @ D H H L H H L L @ D HH LH LL@ D L> << DiscreteMath`RSolve` ? RSolve RSolve eqn, a, n solves a recurrence equation for the function a, with independent variable n. RSolve eqn1, eqn2, ... , a1, a2, ... , n solves a list of recurrence equations. RSolve r t + 1 Š a r t + 1 - b u t , u t + 1 Š 1 - a r t + b u t , r t ,u t ,t 1 r t ® - 2+a + b - 1+ b - 1+ b - 1+ - 1 + a + b 1 u t ® - - - 2+a + b - - - 1+ a + b t C 2 1+ a 1+ a - - 1+ a +b t +b t +a 1+ a + b - t C 1 - , - 1+ - 1+a + b - 1+ a +b t t C 1 + C 2 @ D H H H L H L L @ D H L H H L L @ D L @ D H H L H H L L @ D H H LH LL@ D L HH LH LL@ DHLHH LL@ D Comprobamos si la solución es correcta. r t_ = 1 - 2+a + b -1+b- -1+b - 1+ a +b t + a -1+ a +b - 1+ - 1 + a + b t C 2 - 1 + - 1+ a + b t C 1 + t C 1 - u t_ = 1 - 2+a + b - - 1+a -1+a - - 1+ a +b t + b -1+ a +b - 1+b - - 1+a + b t+ a - 1+a + b t C 1 - - 1+ b t C 2 - 1 + - 1+ a + b t C 2 - 2+ a + b 4 YOANE FONTES CABRERA HLHH LL@ DHH LH LL@ D @ D @ D H L @ D @ DHL@ D@ D 1- a - 1+ - 1+a + b t C 1 + - 1+a - - 1+a + b t+ b - 1+a + b t C 2 - 2+ a + b r t+ 1 Š a r t + 1 - b u t Simplify u t+ 1 Š Simplify 1- a r t +bu t True True 1º Suponemos que en cada zona la población que permanece es un 50% de la misma, y como condiciones iniciales suponemos: R[0]=5, U[0]=1. a = 0.5 b = 0.5 0.5 0.5 @ D @ 8 @ D @ D H L @ D @ D H L @ D @ D @ D @ D < 8 @ D @ D < D 8@ D @ D@ D @ D< A @ D 8 < E 8 @< D Clear r, u RSolve r t + 1 Š a r t + 1 - b u t , u t + 1 Š 1 - a r t + b u t , r 0 Š 5, u 0 == 1 , r t , u t , t r t ® 3. 1.1+t + 2. If t == 0, 1, 0 , u t ® 3. 1.t - 2. If t == 0, 1, 0 Para ver la evolución de la población rural. Table 3.` 1.`1+t + 2.` If t == 0, 1, 0 , t, 0, 5 5., 3., 3., 3., 3., 3. m1 = ListPlot %, PlotJoined ® True 5 4.5 4 3.5 2 5 3 4 5 6 YOANE FONTES CABRERA …Graphics … Para el año 2 ya se concentra en el 3 y ahí sigue, no varía. @ @ D 8 < D 8 @< D Para ver la evolución de la población urbana. Table 3.` 1.`t - 2.` If t == 0, 1, 0 , t, 0, 5 1., 3., 3., 3., 3., 3. m2 = ListPlot %, PlotJoined ® True 3 2.5 2 1.5 2 3 4 5 6 …Graphics … @D Si juntamos las dos gráficas anteriores. Show m1, m2 5 4 3 2 2 …Graphics … 6 3 4 5 6 YOANE FONTES CABRERA 2º Supongamos que varía el porcentaje de población que permanece en cada zona, siendo ahora de un 25%, la misma para ambas zonas. @ D @ D Clear a , b Clear r, u a = 0.25 b = 0.25 0.25 0.25 @ 8 @ D @ D H L @ D @ D H L @ D @ D @ D @ D < 8 @ D @ D < D 8@ DHL @ DHL < @ H L 8 < D 8 @ D < RSolve r t + 1 Š a r t + 1 - b u t , u t + 1 Š 1 - a r t + b u t , r 0 Š 5, u 0 Š 1 , r t , u t , t r t ® 2. - 0.5 t t + 3. 1. , u t ® - 2. - 0.5 t t + 3. 1. Para ver gráficamente la población rural. Table 2.` - 0.5` t t + 3.` 1.` , t, 0, 7 5., 2., 3.5, 2.75, 3.125, 2.9375, 3.03125, 2.98438 m1 = ListPlot %, PlotJoined ® True 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 3 …Graphics … 7 4 5 6 7 8 YOANE FONTES CABRERA @ H L 8 < D 8 < @ D Para ver que pasó con la población urbana. Table - 2.` - 0.5` t + 3.` 1.`t, t, 0, 7 1., 4., 2.5, 3.25, 2.875, 3.0625, 2.96875, 3.01563 m2 = ListPlot %, PlotJoined ® True 4 3.5 3 2.5 2 1.5 2 3 …Graphics … @ 4 5 6 7 8 D Veamos la población de ambas zonas en el mismo gráfico. Show m1, m2, Axes ® False …Graphics … 8 YOANE FONTES CABRERA 3º Se empieza una vuelta a zonas rurales desabitadas, este regreso se produce por incentivos que dan diferentes instituciones para el repoblamiento de dichas zonas, veamos que pasa, suponemos que nadie permanece fijo en la zona rural y además su población para el año 0 es 0, R[0]=0. @ D @ D Clear a , b Clear r, u a= 0 b = 0.5 0 0.5 @ 8 @ D @ D H L @ D @ D H L @ D @ D @ D @ D < 8 @ D @ D < D 88@ D H L @ D HL < @ H L 8 < D 8 @ <D RSolve r t+ 1 Š a r t + 1 - b u t , u t+ 1 Š 1 - a r t + b u t , r 0 Š 0, u 0 == 10 , r t , u t r t ® - 3.33333 - 0.5 u t ® 3.33333 - 0.5 t t + + ,t t 3.33333 1. , t 6.66667 1. Gráficamente para la población rural. Table - 3.333333333333333` - 0.5` t t + 3.333333333333333` 1.` , t, 1, 5 5., 2.5, 3.75, 3.125, 3.4375 m1 = ListPlot %, PlotJoined ® True 5 4.5 4 3.5 2 3 4 5 2.5 …Graphics … 9 YOANE FONTES CABRERA @ H L 8 < D 8 @ <D Y para la población urbana. Table 3.333333333333333` - 0.5` t t + 6.666666666666666` 1.` , t, 1, 5 5., 7.5, 6.25, 6.875, 6.5625 m2 = ListPlot %, PlotJoined ® True 7.5 7 6.5 6 5.5 2 3 4 5 …Graphics … @D La evolución de ambas es la siguiente. Show m1, m2 7 6 5 4 2 3 4 5 …Graphics … @ H L 8 <D La evolución en el tiempo para la población rural es la siguiente. Table - 3.333333333333333` - 0.5` t t, 0, 7 10 t + 3.333333333333333` 1.` , YOANE FONTES CABRERA 8 @ D < 0., 5., 2.5, 3.75, 3.125, 3.4375, 3.28125, 3.35937 m1 = ListPlot %, PlotJoined ® True 5 4 3 2 1 2 3 …Graphics … 4 5 6 7 8 @ H L 8 < D 8 @ D < Y para la población urbana. Table 3.333333333333333` - 0.5` t t, 0, 7 10., 5., 7.5, 6.25, 6.875, 6.5625, 6.71875, 6.64062 m2 = ListPlot %, PlotJoined ® True 10 9 8 7 6 2 3 …Graphics … 11 4 5 6 t + 6.666666666666666` 1.` , 7 8 YOANE FONTES CABRERA @ D Las dos juntas. Show m1, m2, Axes ® False …Graphics … 4º Con la misma población fija en cada zona, pero cambiamos lo que sucede en el año 1, que la población urbana desaparece a consecuencia de la delincuencia, se siembra el miedo en las ciudades. @ D @ 8 @ D @ D H L @ D @ D H L @ D @ D @ D @ D < 8 @ D @ D < D 88@ D H L @ D HL < @ H L 8 < D 8 @ D < Clear r, u RSolve r t+ 1 Š a r t + 1 - b u t , u t+ 1 Š 1 - a r t + b u t , r 1 Š 5, u 1 == 0 , r t , u t , t t t r t ® - 6.66667 - 0.5 + 1.66667 1. , u t ® 6.66667 - 0.5 t + t 3.33333 1. Gráficamente la población rural. Table - 6.666666666666666` - 0.5` t t + 1.6666666666666665` 1.` , t, 1, 8 5., 0., 2.5, 1.25, 1.875, 1.5625, 1.71875, 1.64062 m1 = ListPlot %, PlotJoined ® True 12 YOANE FONTES CABRERA 5 4 3 2 1 2 3 …Graphics … 4 5 6 7 8 @ H L 8 < D 8 @ D < Y gráficamente para la población urbana. Table 6.666666666666666` - 0.5` t t, 1, 8 0., 5., 2.5, 3.75, 3.125, 3.4375, 3.28125, 3.35937 m2 = ListPlot %, PlotJoined ® True 5 4 3 2 1 2 3 …Graphics … @ 4 5 6 7 8 D La evolución de ambas es la siguiente. Show m1, m2, Axes ® False 13 t + 3.333333333333333` 1.` , YOANE FONTES CABRERA …Graphics … 5º Si el porcentaje de permanencia es mayor en la zona rural (75%) que en la urbana (25%), para el año 5 en el cual la población urbana vuelve a quedarse despoblada, R[5]= 10, U[5]=0. @ D @ D Clear r, u Clear a , b a = 0.75 b = 0.25 0.75 0.25 @ 8 @ D @ D H L @ D @ D H L @ D @ D @ D @ D < 8 @ D @ D < D 8@ D @ D@ D@ D < A @ D 8 < E 8 @ < 8<D RSolve r t+ 1 Š a r t + 1 - b u t , u t+ 1 Š 1 - a r t + b u t , r 5 Š 10, u 5 == 0 , r t , u t - 5+t r t ® 7.5 1. ,t - 6+t + 2.5 If t == 5, 1, 0 , u t ® 2.5 If t ³ 6, 1. ,0 Gráficamente la población rural. Table 7.5` 1.`- 5+t + 2.5` If t == 5, 1, 0 , t, 0, 5 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 10. ListPlot %, PlotJoined ® True, PlotRange ® 0, 12 14 YOANE FONTES CABRERA 12 10 8 6 4 2 2 3 4 5 6 …Graphics … A @ D 8 < E 8 @ < 8<D Y gráficamente la evolución en el tiempo de la población rural. Table 7.5` 1.`- 5+t + 2.5` If t == 5, 1, 0 , t, 0, 7 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 10., 7.5, 7.5 m1 = ListPlot %, PlotJoined ® True, PlotRange ® 0, 12 12 10 8 6 4 2 2 3 4 5 6 7 8 …Graphics … A A E 8 < E 8 @<D Para la población urbana. Table 2.5` If t ³ 6, 1.`- 6+t, 0 , t, 0, 7 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2.5, 2.5 m2 = ListPlot %, PlotJoined ® True 15 YOANE FONTES CABRERA 2.5 2 1.5 1 0.5 2 3 …Graphics … 4 5 6 7 8 @D Ambas poblaciones juntas. Show m1, m2 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 …Graphics … 16 YOANE FONTES CABRERA Estabilidad << DiscreteMath`RSolve` @D 8 <8 < D@ ? RSolve RSolve eqn, a, n solves a recurrence equation for the function a, with independent variable n. RSolve eqn1, eqn2, ... , a1, a2, ... , @ 8 @ D @ D H L @ D @ D H L @ D @ D < 8 @ D @ D < D ::@ D H H H LH LL@ D n solves a list of recurrence equations. Resolvemos el sistema. RSolve r t + 1 Š a r t + 1 - b u t , u t+ 1 Š 1- a r t +bu t , r t ,u t ,t H L H H L L @ D L @ D H H L H H L L @ D H H LH LL@ D L> > r t ® 1 - 2+a + b - 1+ b u t ® - 1+ b - - 1+ 1 - 2+a + b - 1+ a - - 1+a + b - - 1+ a - 1+ a +b t + b t - 1+ a + b t C 2 - 1+ - 1+ a + b + a t C 1 - , - 1+a + b - 1+ a +b t t C 1 + C 2 @ D @ D @ D @ D @ D Como a partir de la solución genera que nos da no podemos saber si hay o no estabilidad, resolvemos lo siguiente: r t+ 1 = r t @ D @ 8 H L H L < D :8 <8 <: > > u t+ 1 =u t r t u t Solve r Š a * r + 1 - b * u, u Š u ® 0, r ® 0 , b ® 1, r ® 0 , a ® A J N E 1- a * r+ b* u r - u+ u b r Calculamos los autovalores: a - l 1- b Det 1- a b- l 17 YOANE FONTES CABRERA - 1+ a +b - a l - b l +l 2 Le damos los siguientes valores a α y a β: a = 1 b = 0.5 1 0.5 A 8 <8 < @ D Solve - 1 + a + b - a l - b l + l l ® 2 Š 0, l E 0.5 , l ® 1. Al existir un λ< 1, podemos afirmar que hay convergencia, es decir, las poblaciones en un punto se unen y se comportarán igual. Probemos con otros valores para α y β. Clear a , b a = 0.5 b = 0.5 A 8 8 <8 < < 0.5 0.5 Solve - 1 + a + b - a l - b l + l l ® @ D 0. , l ® 1. 2 Š 0, l E Clear a , b a= 0 b = 0.75 0 0.75 18 YOANE FONTES CABRERA A E 8@ <8 < D Solve - 1 + a + b - a l - b l + l l ® - 2 Š 0, l 0.25 , l ® 1. Clear a , b a = 0.25 b = 0.25 A E 8 <8 < 0.25 0.25 Solve - 1 + a + b - a l - b l + l l ® - 2 Š 0, l 0.5 , l ® 1. Mirando los resultados para estos diferentes valores, podemos afirmar que es asintótica, y al no existir parte imaginaria afirmar que es asintótica sin oscilaciones. 19 YOANE FONTES CABRERA BIBLIOGRAFÍA. www.google.es Análisis discreto de Economía y Empresa, Concepción González, Javier Barrios. www.tareasya.com 20 YOANE FONTES CABRERA