sistemas ecuaciones

SOLUCIONES
SISTEMAS ECUACIONES
Ejercicio nº 1.Resuelve e interpreta geométricamente el sistema:
 x  3y  z  4 

x  4y
 5

2 x  6 y  2 z  3 
Solución:
En primer lugar, lo resolvemos mediante el método de Gauss:
1 3

1
4

 2 6

1 4

0 5 

2 3 
1 3

a
a
2 1  0
7

a
a 
3  2 1  0
0
a
1
1
4
 x  3y  z  4

1 9  
7y  z  9


0 11
0 x  0 y  0z  11
La última ecuación es imposible. El sistema es incompatible. Geométricamente, el
sistema representa tres planos que se cortan dos a dos, pero sin ningún punto común a
los tres.
Ejercicio nº 2.-
Resuelve, por el método de Gauss, los sistemas:
a)  3 x  y  z  4 


5 x  2y  z  6 

 x  y  3z  0 

x  2y  z  t  3 


x y
 2t  1

 x  7 y  2z  8t  1 

b)
Solución:
a)   3

 5

 1

1  4

1
6  

3
0 
1
2
1
1 1

a
 3 1  0
2


a
 5 1  0
3
a
2
a
3
a
1
a
1
2
0 

 4 

6 
3
1

 1

1  3

a 
2  5
a
3
 10
16
0 

1  4 

1
6 
3
1 1 3

a
2 : ( 2)  0
1 5


a
3
 0 3 16
a
1
0

2 

6 
 x  y  3z  0
 1 1 3 0






2
0 1 5 2 
y  5 z  2 



a 
32  0
0 1 0 
z  0

a
1

a
3
a
x  y  3 z  2


 y  2  5z  2 

z0


b)  1 2

1 1

1 7

1
1
0
2
2
8
1

0
2

a 
 3  2 0
3
a
3

 1 

1 
1

a
 1 0

a 
 1 0
a
1
2
a
3
a
a
2
1
1
a
3
1
3
0
0
0
1

La soluciónes 2, 2, 0 .
2
1
1
3
1
3
9
3
9
3

2 

4 
3 
x  2y  z  t  3 



2  
3 y  z  3t  2 


 2 
0 x  0 y  0 z  0t  2

La última ecuación es imposible. Por tanto, el sistema es incompatible.
Ejercicio nº 3.Discute, y resuelve cuando sea posible, el sistema:
2 x  3y  5z  8

2 x  2 y  mz  6 

x  y  2 z  3 
Solución:
a
a
3  1 1 2 3
1
2
3
2 3 5 8
1 1






 2 2 m 6   1a  2 3 5 8   2 a  2  1a  0 1
1
2






a 
a
a 
 1 1 2 3


2 2 2 m 6
3  2  1 0 0 m  4 0


 Si m = 4, el sistema sería compatible indeterminado. Lo resolvemos:
x  y  2z  3 
 x  y  3  2z 
 x  3  2z  y  3  2z  2  z  1  z


y  z  2
y  2z 

 y  2z
Las solucionesserían:
x  1  , y  2  , z  , con   R
 Si m  4, el sistema sería compatible determinado. Quedaría:
x  y  2z  3  x  3  y  3  2  1


y  z  2 y  2

m  4z  0 z  0
Para cada valor de m  4, tenemos un sistema diferente (hay infinitos sistemas).
Cada uno de ellos tiene como solución única (1, 2, 0).
Ejercicio nº 4.-
Una compañía fabricó tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la
fabricación de cada uno de estos tipos necesitó la utilización de ciertas unidades de
madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la tabla siguiente. La compañía tenía
en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1 500 unidades de
aluminio. Si la compañía utilizó todas sus existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y
sofás fabricó?
Solución:
Llamamos x al número de sillas fabricadas, y al de mecedoras y z al de sofás. Así,
teniendo en cuenta los datos que nos dan, tenemos que:
Madera  x  y  z  400



Plástico  x  y  2z  600


Aluminio  2 x  3 y  5 z  1 500

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss:
1

1

2

1
1
3
400 

2 600  

5 1 500 
1
1

2  1 0

a
a 
3  2 1 0
a
1
a
a
1
1
0
1
1
3
400 

200  

700 
x  y  z  400 x  400  y  z  400  100  200  100



z  200 y  700  3z  700  600  100

y  3z  700 
 z  200
Por tanto, se fabricaron 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.
Ejercicio nº 5.-
Resuelve los siguientes sistemas y haz una interpretación geométrica de los mismos:
a) 3 x  2 y  5 


x  4y  4 

 x  2 y  3 

b) x  2 z  3 


x  y  2

Solución:
a) Resolvemos el sistema por el método de Gauss:
 3 2

 1
4

1  2

1

a
 7  3 0

0
a
3

a
1

2
a
5 

4  

 3 
4
0
2
4
 1

a
1  3
2

a 
3 1  2
2
a
4 

5  

 3 
1 4

a
a
3  1  2  0 14

a
a 
1  3 0
2
a
1
4

7 

1 
4

x  4 y  4
1

0 
  y  ; x2 4  x 2

2

2
y

1

1 
 1
El sistemaes compatibledeterminado. Su soluciónes  2, .
 2
 1
Geométricamente,son tres rectasque se cortanen el punto  2, :
 2
b) Se tratade un sistemade dos ecuacionescon tres incógnitas. Pasandola x al 2o
miembroen las dos ecuaciones, tenemosque :
3 1
2z  3  x 
z  x


2 2

y  2  x

y  2x
Por tanto, se trata de un sistema compatible indeterminado, cuyas soluciones son:
x  , y  2, z 
3 1
  , con   R
2 2
Geométricamente, son dos planos que se cortan a lo largo de una recta:
Ejercicio nº6.-
Discute en función del parámetro, y resuelve cuando sea posible:
x  5 y  6 z  19 


3 x  6 y  az  16

x
z 1 

Solución:
1

3

1

6
5
6
a
1
0
19 

 16  

1 
1

a
0

2

a
a 
5  3  6  2 0
a
1
1

a 
1 1

a 
2 3
3
a
0
1
5
5
0
5a  15
0
1
5
6
6
a
1 

19  

 16 
1

2  1 0

a
a 
3  3 1 0
a
1
a
a
0
1
5
5
6
a3
1 

18  

 19 
1

18 

13 
 Si 5a  15  0, es decir, si a  3, la 3a ecuaciónquedará 0z  13, que es imposible.
Por tanto, sería incompatible.
 Si a  3, el sistema sería compatible determinado. Lo resolvemos:
13
5a  15  13
5a  2
x  z  1  x  1 z  1


5a  15
5a  15
5a  15



18a  41

13
13
18a  54  13 18a  41
 y
5 y  5z  18 5 y  18  5z  18  5 
 18 


5a  15


5
a

3
a

3
a

3
a

3



5a  15z  13 z  13
5a  15
Para cada valor de a  3, tenemos un sistema diferente (hay infinitos sistemas). Cada
uno de ellos tiene como solución única:
x
5a  2
18a  41
13
, y
, z
5a  15
5a  15
5a  15
Ejercicio nº 7.-
Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:
 x  2y  z  1 

3 x  y  2z  4 
x  y  z  1 

Solución:
Expresamos el sistema en forma matricial:
  1 2  1
x
 1 
  1 2  1  x   1 


 



  







A  3  1 2 ; X  y ; C   4   3  1 2   y     4   AX  C


 



  

 1 1 1 
z
  1
 1  1 1   z    1


 



  

Calculamos A, para v er si existe A1:
1
2
1
A  3
1
2  1  0
1
1
1

Existe A 1
Calculamos la inversa de A:
 1 1  2 


Adj A    1 0
1  
 3 1  5 


 A
1
Adj A
t
 1 1 3 


   1 0  1 
  2 1  5


 1 1  3


1
t
Adj A   1 0 1 

A
 2 1 5 


Despejamos X:
AX  C  A1AX  A1C
X  A1C
  1 1  3  1    2

    
X  1 0
1    4   0 
 2  1 5    1  1 

    
Por tanto, la solución del sistema es:
x = 2, y = 0, z = 1
Ejercicio nº 8.-
Discute y resuelve el siguiente sistema, según los valores del parámetro m:
mx  y  z  2

x  my
 1
x  my  mz  1 
Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
m

A1
1

1
m
m
1

0
m 



A  m3  m  m m2  1  0

m  0

m  1
m  1

 Si m  0, m  1 y m  1  El sistema es compatible determinado.
Para cada valor de m, distinto de 0, 1 y 1, tenemos un sistema diferente, todos ellos
con solución única:
x
y
z
2
1
1
1
m
0
1
m
m


m m 1
2
m
2
1
1
1
0
1
1
m
2


m
1
2
1
m
1
1
m
1
m m 1


m m 1
2


m 2m  1


m m 1
2
m m  2


m m 1
2

2m  1
m2 1

m2
m2 1
0
 2m  1 m  2 
Solución:  2
, 2
, 0
 m 1 m 1 
 Si m = 0, queda:
 0 1 1 2


 1 0 0 1
 1 0 0 1


Las dos últimas f ilasson iguales y
0 1
 1  0.
1 0
Luego, el sistema es compatible indeterminado.
Las soluciones serían:
y  2  z

x 1
 Es decir: x  1, y  2  , z  , con   R
z 

 Si m = 1, queda:
1

1
1

1 2

1 0 1
1 1 1 
1
Las ecuaciones1a y 3 a son contradictorias.El sistemasería
incompatible.
 Si m = 1, queda:
FILAS
1
1 1

1

1
0

 1 1 1

2

1 
1 
a
1
  1 1

a
2
 1
a
 1
3

1
1
1
0
1
1
 2

1 
1 
Las ecuaciones1a y 3a son contradictorias.El sistemaseríaincompatible.
Ejercicio nº 9.Discute, en función de  y , el siguiente sistema de ecuaciones. Resuélvelo en los
casos en los que sea compatible determinado:
x  y  z  2 

 x  2 y  z  2
x  4y  z   

Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
 1 1  


A    1 2     A  3  3  0    1
 1 4 1 


 Si  1  El sistema es compatible determinado, cualquiera que sea el valor de .
Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:
x
2
2


1  2  
1

1
0
3  3
1
6  3 2  

3  3
1 

2
1
z


1
3  3
1
y
1
2
4
2
1 2  2
1 4 
3  3

3  6   2

3  3 1  
2
 2  
La soluciones 
, 0,
.
1  
 1 
 Si  = 1, queda:
1

A'   1

 1
1
2
4
2 
 1  2

1  
1
1

1
1 2
1
4
2
 2  3  6  0

2

- Si  = 1 y   2  ran (A) = 2  ran (A') = 3. El sistema es incompatible.
- Si  = 1 y   2  ran (A) = ran (A') = 2 < no incógnitas. El sistema es compatible
indeterminado.
Ejercicio nº 10.Discute el siguiente sistema homogéneo según los diferentes valores del parámetro .
Resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado:
x
 2z  0
  2y  z  0
  1x  y  z  0
Solución:
Por tratarse de un sistema homogéneo, siempre tiene la solución trivial (0, 0, 0).
Veamos si tiene, en algún caso, más soluciones.
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
0
 

A 0
2
 1
1

 Para   1 y  
4
3
2

1
 1



 1
A  32  7  4  0 
4
 
3

El sistemasolo tiene la solucióntriv ial 0, 0, 0 .
 Para  = 1, queda:
2 0
1 0


 0  1 1 0


 0 1  1 0
Como
1 0
 1  0, ran A  ran A'  2.
0 1
El sistema sería compatible indeterminado.
Para resolverlo, pasamos z al 2o miembro:
x  2z  0 x  2z

 Hacemos z  
 y  z  0 y  z 
Las soluciones serían: x = 2; y = ; z = , con   R
 Para  
4
, queda:
3
2 0
4/ 3
0


0

2
/
3

1 0


 1 0
1
 1/ 3
4
3
Como
0
0
2
3

8
 0, ran A  ran A'  2.
9
El sistema sería compatible indeterminado.
Para resolverlo, pasamos z al 2o miembro:
4
6

x  2z  0
x
z
3
4
 4 x  6z  0 4 x  6z 



  2y  3z  0  2y  3z 
2
3
y  z  0
y
z
3
2

Las solucionesserían: x 
3
z
2
3
z
2
3
3
; y  ; z  , con   R
2
2
Ejercicio nº 11.-
Discute el siguiente sistema, y resuélvelo cuando sea posible, en función del
parámetro a:
y  az  1


x  a z  2a  1
x  y  aa  1z  2a 

2
Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
0 1

A  1 0
1  1

Como


a

aa  1
a
2

A  0 para cualquier v alor de a.
0 1
 1  0, entonces ran A  2 para cualquier v alor de a.
1 0
Estudiamos el rango de la matriz ampliada:
1 
0 1
a


2
A'   1 0
2a  1
a
 1  1 aa  1 2a 



0 1
1 0
1 1
a
2a  1  0
2a
Por tanto, ran (A') = 2.
Como ran (A) = ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado para
cualquier valor de a.
Podemosprescindirde la 3a ecuación,pues es combinación lineal de las dos primeras.
Lo resolv eremos pasandola z al 2o miembro:
y  az  1
 y  1  az


 Hacemos z  
x  a 2 z  2a  1 x  2a  1  a 2 z
Las soluciones del sistema serían:
x  2a  1  a2; y  1  a; z  , con   R.