tema 6: expresiones algebraicas y radicales

Colegio Abecé S. L.
Dosier
Matemáticas
3º ESO
TEMA 1: NÚMEROS REALES
PROBLEMAS DE NÚMEROS RACIONALES
1.- La profesora de Educación Física tiene en los equipos de baloncesto 12 chicas y 18
chicos. ¿Qué fracción del grupo representan las chicas?¿Y los chicos? Expresa el
resultado con fracciones irreducibles.
2.- A Pedro, que es un niño muy goloso, su padre le ofrece las siguientes porciones de
1 1 1
tarta: , y . ¿Cuál elegirá?¿Por qué?
3 4 5
2
3
3.- Marta ha recibido
de 80 euros, y su hermano Juan, . ¿Quién ha recibido más?
5
8
4.- Un motorista recorre 90 Km en tres cuartos de hora, y otro recorre 60 Km en media
hora.¿Cuál es más rápido?
2 4
y de la edad de su madre.
5 7
a) ¿Cuál es mayor?
b) ¿Es necesario conocer la edad de la madre?¿Por qué?
5.- María y Luis tienen
6.- Por una moto de 1200 euros pagaron
3
de su precio. Al cabo de un año se revende
5
4
de lo que se pagó. ¿Por cuánto dinero se ha vendido?
5
4
7.- En una clase de ciencias,
de los alumnos han elegido Biología y el 43% Física y
9
Química. ¿Qué asignatura es la más elegida?
por
8.- Dos chicos juegan a lanzar penaltis. Carlos ha metido el balón 9 veces de 12
lanzamientos, mientras que Kiko lo ha conseguido en 14 de 18 tiros. Escribe las
fracciones que expresan la efectividad de cada jugador. ¿Quién tiene mayor efectividad?
3
9.- ¿Cuántas botellas de
de litro se necesitarán para embotellar 360 litros de
4
1
agua?¿Cuántas se necesitarán de de litro?
3
10.- Se compran 20 kilos de melocotón para hacer mermelada. Al quitar el hueso
1
pierden de su peso y lo que queda se junta con la misma cantidad de azúcar. En la
5
1
cocción se pierde
de su peso. ¿Cuánto pesa la mermelada que se obtiene finalmente?
4
3
1
11.- Un frutero tiene 150 kilos de naranjas. Vende por la mañana y por la tarde.
5
3
¿Cuánto ha vendido por la mañana?¿Cuánto por la tarde?¿Qué fracción de kilos de
naranjas le queda para el día siguiente?
1
de litro. Carolina, para celebrar su cumpleaños,
3
ha comprado 30 latas. ¿Cuántos litros ha comprado?
12.- Una lata de limonada contiene
13.- Se deja caer una pelota desde una ventana que está a 27 metros de altura. Después
2
de cada bote en el suelo alcanza una altura igual a
del anterior.
3
a) Expresa la altura de los tres primeros botes.
b) Expresa la altura del segundo y tercer bote como producto de fracciones.
3
2
son estudiantes de secundaria,
de bachillerato y el resto son
5
6
profesores. ¿Qué fracción hay de alumnos?¿Y de profesores?
1
1
15.- Un depósito está lleno de agua. Se saca
y luego
para el riego de una huerta.
6
4
Por la noche se recupera la mitad de lo que se ha gastado. ¿Qué fracción de agua se ha
recuperado por la noche?
14.- En un instituto,
16.- Un ganadero de Cantabria tiene un tanque para recoger la leche de sus vacas. El
4
2
tanque, al comenzar el día está lleno de leche hasta los
del total. Vende
de la
5
3
leche que tiene y después ordeña las vacas, con lo que aumenta la cantidad de leche que
1
hay en del total. ¿Qué fracción queda en el tanque?
4
7
11
7
17.- En una ciudad los
son hombres adultos,
son mujeres adultas y
son
18
45
30
niños. Calcula la fracción de niñas que hay en esa ciudad. Si en la ciudad hay 900.000
habitantes, ¿Cuántos habitantes hay de cada clase?
1
1
18.- En el gasto de una comida hemos dedicado
al primer plato,
al segundo plato,
6
2
1
al postre y el resto a bebida, pan, etc. Calcula en fracción la parte que corresponde al
5
resto. Si pagamos por la comida 15 euros. ¿Qué cantidad corresponde a cada una?
1
19.- De un recipiente de leche se saca primero la mitad y luego de lo que queda.
3
Indica la fracción de leche que queda en el recipiente.
1
20.- Un niño se come en un día de los 96 caramelos que hay en una bolsa. Al día
8
2
siguiente se come los
de los que quedan en la bolsa. ¿Cuántos caramelos se ha
7
comido en los dos días?¿Qué fracción del total quedará en la bolsa?
2
21.- Pedro y Carlos van de excursión. El primer día recorren
del trayecto, el segundo
5
1
día y el tercer día el resto, que son 24 Km. Calcula la fracción del resto y luego halla
3
el trayecto de la excursión.
22.- En un colegio hay tres niveles de francés: el primer nivel reúne la tercera parte de
los alumnos; el segundo nivel la cuarta parte y el tercer nivel 20 alumnos. ¿Cuántos
alumnos estudian francés?
2
23.-Un coleccionista de sellos está revisando su colección y ya ha registrado
de sus
5
sellos. Le quedan por registrar la mitad de sus sellos y 800 sellos. ¿Cuántos sellos
forman su colección?
1
4
24.- Un viticultor vende de su cosecha de vino y luego
de lo restante. Si le quedan
3
7
aún 120 hectolitros. ¿Cuánto cosechó?
25.- María gasta la mitad del dinero en comer y un tercio del resto en vestir, quedando
200 euros para otros gastos. ¿Cuánto dinero necesita?
26.- De un boleto de Lotería de Navidad premiado se ha cobrado 30.000 euros.
1
Sabiendo que Hacienda se ha quedado del premio. ¿A cuánto ascendía el premio
5
original?
27.- Mariano sale de compras y gasta la cuarta parte del dinero que lleva en comida y
más tarde la mitad de lo que le queda en ropa. Si vuelve a casa con 30 euros. ¿Con
cuánto dinero salió?
1
4
28.- Un pastor vende de sus ovejas y luego los
del resto. ¿Qué parte del rebaño le
3
7
queda tras estas operaciones?
2
2
29.- De una finca se venden
de su superficie y después
del terreno que queda. Al
3
3
finalizar las ventas, en la finca quedan 6.000 m2. ¿Cuántos m2 medía el terreno?
30.- De una garrafa de leche se saca primero la mitad y después la quinta parte del resto
quedando todavía en la garrafa 12 litros. ¿Cuál es la capacidad de la garrafa?
1
31.- Patricia guarda la mitad de sus ahorros en el banco y de lo que resta en una caja
3
fuerte. Le quedan por guardar 60 euros.¿ A cuánto ascienden los ahorros de Patricia?
32.- El depósito de un coche está lleno de gasolina al empezar el viaje. Al terminar la
3
primera etapa le quedan los del depósito. En la segunda etapa ha gastado la mitad de
5
lo que le quedaba. Le quedan 15 litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?¿Cuántos
litros gastó en cada etapa?
3
33.- Un comerciante pierde los de su capital en una mala operación. Luego recupera
5
4
los
de lo que había perdido. Después de estas operaciones le quedan 22.568 euros.
7
¿Cuánto dinero tenía al principio?
34.- Carlos tiene una deuda. En una primera entrega paga
1
de la deuda; en una
4
3
de lo que quedaba. Finalmente, paga 378 euros y con ello la deuda
7
queda cancelada. ¿Cuánto dinero debía Carlos?
segunda, los
NÚMEROS REALES
Expresión decimal de fracciones
Escribe estas fracciones en forma decimal e indica de qué tipo es cada una:
7
3
a) =
f)
=
3
11
16
56
b)
=
g)
=
15
10
5
44
c) =
h)
=
4
12
39
35
d)
=
i)
=
22
8
75
5
e)
=
j) =
3
3
Expresión fraccionaria de decimales
Escribe en forma de fracción irreducible los siguientes números decimales:
a) 5'4 =
b) 7'26 =
c) 0'317 =
d)10'333.... =
e) 0'483483... =
f) 6'424242... =
h) 2'369999… =
i) 3'50717171… =
j) -6'5 =
k) -17'4444… =
l) -21'85555… =
Escribe los siguientes números decimales como fracciones e indica qué tipo de número
decimal se obtiene:
a) 3'4 =
b) 0'717171…. =
c) 2'1433333…. =
d) 1'55555…. =
Clasificación de números
·Clasifica los siguientes números reales:
45
=
24
39
b)
=
72
125
c)
=
65
 414
d)
=
18
852
e)
=
28
370
f)
=
200
35
g)
=
12
h) 10'384384... =
i) 10 =
j) -6'212112111... =
k) 4'324444.... =
l) 3'2546824518.. =
a)
· Completa el siguiente cuadro:
Número
irracional
3'35421
Aproximación
3'35421
3 cifras
2 cifras
3
1 cifra
3
2 cifras
3
3 cifras
11
3 cifras
11
4 cifras
55
14
3 cifras
Por defecto
Por exceso
Por redondeo
3'14159265
2 cifras
3'14159265
3 cifras
2'71828
2 cifras
2'71828
3 cifras
· Ordena los siguientes números de menor a mayor:
0'01
4'35
73'2
5'2222...
1'3579
2'4352
Intervalos y semirrectas
· Representa en la recta real los intervalos:
a) (-3, 2]
_ ___________________________________________ _
b) [0, 4]
_ ___________________________________________ _
c) [-2, 0)
_ ___________________________________________ _
d) [4, 8]
_ ___________________________________________ _
e) [3, 6)
_ ___________________________________________ _
f) (2, 7)
_ ___________________________________________ _
· Representa los intervalos:
a) A = (-1, 3]
_ ___________________________________________ _
b) B = [1, 5]
_ ___________________________________________ _
c) Halla el intervalo común a los intervalos anteriores y represéntalo.
_ ___________________________________________ _
· Representa en la recta real las siguientes semirrectas (utiliza la misma semirrecta en
cada apartado).
a) ( - ∞, 2] y (6, +∞ )
b) (-∞ , -3) y (
3
, +∞ )
2
_ ___________________________________________ _
_ ___________________________________________ _
c) (-∞ , 0] y [-2, +∞ )
_ ___________________________________________ _
d) ¿Tienen algún punto en común las semirrectas de los apartados anteriores?.
Represéntalos.
TEMA2: POTENCIAS
·1.- Expresa en notación científica los siguientes números:
a) Trece mil millones de años:
b) Doscientos mil millones de estrellas:
c) 3 750 000 000 =
d) 840 000 000 =
e) 0'00000016 =
· Escribe en notación decimal:
a) 3'25 · 108 =
b) 7'4 · 1011 =
c) 3'105 · 10 -12 =
d) 2'3147 · 10-15 =
· Calcula:
a) 10-3 · 10-5 · 102 =
b) 109 : 10-5 =
c) [(-10)-5]-2 =
d) 1'25 · 10-10 · 8'5 · 10-7 =
e) 2'4 · 106 · 5'2 · 10-15 =
f) 2'31 · 105 · 6'23 · 107 =
g) 5'05 · 10-6 · 1'22 · 108 =
· Escribe en notación científica los siguientes números:
a) 29 348 000 000 =
b) 11 015 millones de pesetas =
c) 0'00000000123 =
d) 0'000000045 =
· Escribe en forma decimal los siguientes números:
a) 7'21 · 108 =
b) 2'631 · 106 =
c) 8'81 · 10-7 =
d) 4'908 · 10-5 =
2 Realiza las siguientes operaciones con potencias:
3 Opera:
4 Efectúa
TEMA 4 : EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Valor numérico de expresiones algebraicas
1.- Halla el valor numérico de las expresiones a2 – 2ab + b2 y (a – b)2 en los
siguientes casos:
a) a = 2
b=4
b) a = -2
b = -4
c) a = 1
b=1
Ahora responde a la pregunta: ¿Cómo son estas expresiones?
2xy2 z
2.- Halla el valor numérico de la expresión
en los siguientes casos:
x1
a) x = 1
y = -2
z=3
b) x = -1
y=2
z = -3
3.- Comprueba si las siguientes expresiones son equivalentes:
A = x2 – y2
B = (x + y) (x – y)
Monomios. Suma y resta de monomios
1.- Indica el coeficiente, parte literal y grado de los siguientes monomios:
a) 8 a2bc
b) -2 x3yz4
c) 4 p4q
d) xy3z8
e) -4 x2y
f) 0’5 a2b5c4
g) -9 pqr
h) 5 xyz8
2.- Indica cuáles de los siguientes monomios son semejantes:
a) 3x2 b)-4x2 c) 11pqr d) -2 xy2 e) 5ab
3.- Efectúa las siguientes sumas y restas de monomios:
a) 2x5 + 4x5 – 3x5 =
b) 2x2 + 4x2 + x2 =
c) 8x3 – 12x3 + 2x3 =
f) 8xy
g) 2ba
e) 4x4 – 3x4 =
f) -8x2 – 10x2 =
g) 3x4 – (-5x4) =
h) 7p2qr
d) 3x + 5x – 8x =
h) -5x – (-8x) =
4.- Efectúa las siguientes sumas y restas de monomios:
4x3 – 2p2 =
a5yp2 + 5a5yp2 =
2xy2 – xy2 =
2xb – 5xb – 3xb =
a4 + 7z =
5x4 + 6x4 + x4 =
2ab + 5 ab – ab =
a3 + 5b3 =
4xy2 + 9xy2 =
7xz2 – xz2 + 3xz2 =
Polinomios. Suma y resta de polinomios.
1.- Indica el tipo y el grado de las siguientes expresiones algebraicas:
a) 5x3
10 4
b)
xy
3
c) 5a4 + 3yz
d) 5xz2y
e) 4xy – 5z
f) 5xy – 5x2ya
g) a2 – bx + 5x
h) 5x3 + 2x2 + 5x – 3
i) 4xz
j) 5a2 – 4b
k) 2x2 + 5c + 3
l) 5x7 + 3x5 – 4x2y + 1
m) 3p2 + 5b – 2
n) 5x5 + 5x2 + 3b – 3ab
ñ) 2ab + 3
2.- Dados los polinomios:
P(x) = x4 + 5x3 – 2x
Q(x) = x5 – x4 + x3
R(x) = – x4 + x3 – x2
a) Halla: P(x) + Q(x) , P(x) + R(x) y Q(x) + R(x).
b) Indica el grado de los polinomios anteriores.
3.- Tenemos los polinomios:
P(x) = x4 – 3x3 + x
Q(x) = x5 + x4 – 2x3
R(x) = x2 + 5x – 3
Calcula: P(x) – Q(x) , P(x) – R(x) y Q(x) – R(x).
4.- Siendo: P(x) = 3x3 – x2 + 2x Q(x) = 3x3 + x2 – 3x – 4
Calcula: a)
b)
c)
d)
[P(x) – Q(x)] + R(x) =
[P(x) + Q(x)] – R(x) =
P(x) – [Q(x) + R(x)] =
R(x) – [P(x) – Q(x)] =
R(x) = 2x2 – 7x + 6
Producto de monomios y polinomios
1.-Haz las siguientes operaciones:
5a4 · 7a2 =
2x5y · 11x3y2 =
3a2b4 · 5ab3 =
5x3 · 2xa =
11ab · 2a2bc =
20x5 · 4x3 =
5xy2 · xy =
32a2b3 · 8ab =
30a5xz · 5a2 =
49a2y5p7 · 7ay2p5 =
2.-Calcula:
2x2 · ( x4 – 3x2 + 2x – 1 ) =
(-3x) · ( x3 – 2x2 + x – 1 ) =
( -x3 + 2x2 – x + 1) · 3x =
–5x · ( x2 – 12x – 8 ) =
(8x3 – x2 – 6x + 8 ) · 3x2 =
3.- Sacar factor común de las siguientes expresiones algebraicas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
x4 – 4x2 + 3x =
x3 – 4x2 – x =
3x3y – 9xy2 + 27x4y3 =
5y2x – 15yx2 + y3x4 =
6x2y2 – 9x3y6 + 27xy3 =
4x3y2 – 8 x2y3 + 2x4y =
3x5y4 + 9 x2y3 – 3xy + 3y =
6xy + 54x2y – 3xy2 =
16x2y2 + 4 xy3 – 28x3y3 =
4- Calcula:
a)
b)
c)
d)
( 4x3 – 2x2 ) · ( 5x3 + 2x ) =
( 2x5 + 3x2 + 5x ) · ( x3 + 2x2 )
( 2x4 + 5x3 + 3x ) · ( 4x3 + 5x ) =
( 3x2 + 5x – 1 ) · ( 4x2 – 3x + 2 ) =
5- Dados los polinomios:
P = -x4 + x3 + 1
Q = -x3 + x2 + x – 5
R = x3 – x2 + 2x + 1
Calcular P · Q + R · P
7ax2 · 3a3xc =
2x2ya · 4y3a =
3x2 · (-4x) ·2x =
x2 · (-2x2) · 4x =
3x4 · x4 =
6.- Efectúa los siguientes productos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
( 3x2 – 5x + 6 ) · ( 5x + 2 ) =
(2x3 – 5x + 4 ) · ( 2x2 – 1 ) =
( 3x4 – 5x3 – 6x2 + 4x – 3 ) · ( 2x2 – 5x + 6 ) =
( x3 – 3x2 + x – 1 ) · ( x + 3 ) =
( x2 – 5x + 6 ) · ( x2 – 3x + 1 ) =
( x3 – x + 1 ) · ( x2 – 5x + 6 ) =
Potencias de monomios y polinomio. Igualdades notables.
1.- Calcula las siguientes potencias:
a) (2x2)3 =
b) (-3x4)3 =
c) (-4x)2 =
d) (5x4)3 =
2.- Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
(x + 1)2 =
(2x – 1)2 =
(2x + 3)2 =
(5x2 + 3x)2 =
(5x2 – 3x)2 =
(2x2 + 2)2 =
(x + 3) · (x – 3) =
(x2 + 5) ·(x2 – 5) =
(2x + 9) · (2x – 9) =
(6x – 3)2 =
(6x2 – 3)2 =
(6x – 3) · (6x + 3) =
Dados los polinomios:
P(x) = 4x2− 1
Q(x) = x3− 3x2 + 6x − 2
R(x) = 6x2 + x + 1
S(x) = 1/2x2 + 4
T(x) = 3/2x2 +5
U(x) = x2 + 2
Calcular:
P(x) + Q (x)
P(x) − U (x)
P(x) + R (x)
2P(x) − R (x)
S(x) + T(x) + U(x)
S(x) − T(x) + U(x)
Multiplicar:
e) (x – 2a)2 =
f) (2x + 1)2 =
g) (x – 4)2 =
h) (x + y)2 =
(x4−2x2 +2 ) · (x2−2x +3) =
(3x2 − 5x ) · (2x3 + 4x2 − x +2) =
Calcula:
(x + 5)2 =
(2x - 5)2 =
(x + 5) · (x − 5) =
(3x - 2) · (3x + 2) =
Efectúa las siguientes operaciones con monomios:
2a2bc3− 5a2bc3 + 3a2bc3− 2a2bc3 =
(18x6y2z5 ) : (6x3yz2 ) =
(−2x3) · (−5x) · (−3x2) =
(36x3y7z4): (12x2y2) =
Dados los polinomios:
P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1
Q(x) = x3 − 6x2 + 4
R(x) = 2x4 −2x − 2
Calcular:
P(x) + Q(x) − R(x)
P(x) + 2Q(x) − R(x)
Q(x) + R(x) − P(x)
Calcula el valor de a, para que sea cierta la igualdad:
(ax3− 5x + 3) + (−4x3− 6x + 2) = x3− 11x + 5
Multiplicar:
(2x2− 5x + 6) · (3x4− 5x3− 6x2 + 4x − 3) =
TEMA 5: DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS. RAÍCES.
EJERCICIOS
1.- Efectúa las siguientes divisiones de monomios:
a)
b)
c)
d)
15a2b4 : 5a2b =
25 x2z : 5x =
5 p5q2 : -p2q =
27 ax2c : 3 a3x =
e) 16 x2yz3 : 2xyz2 =
f) -12 a2b5 : 4ab3 =
g) 4 x2ya : 2y3a =
h) 3x5 : x5 =
2.- El cociente de dos monomios a(x) : 5x3 es igual a -3x.¿Cuánto vale el monomio
a(x)?
3.- El cociente de dos monomios 6x4 : b(x) es igual a 2x3. ¿Cuánto vale b(x)?
4.- Calcula los siguientes cocientes de polinomios y monomios:
a)
b)
c)
d)
e)
(5x7 – 15x5 + 20x4 – 5x3) : 5x3 =
(9x5 – 6x3 + 12x2 – 15x) : 3x =
(4x3y3 – 10x2y2 + 8xy4) : 2xy2 =
(a2b3 + 6ab2 – ab) : ab =
(4x2y – 24x3y + 2x2y) : 2x2y=
5.- Realiza las siguientes divisiones:
a)
b)
c)
d)
e)
(3x3 – 5x2 – 3x + 4) : (x + 3) =
(6x3 + 8x2 – 10x – 3) : (2x – 4) =
(4x5 – 2x4 + 6x3 – 2x2 + 4x – 3) : (2x2 – 4x) =
(3x5 – 4x3 + 2x – 1) : (x2 – 3) =
(6x4 – 9x3 – 12x2 + 3x – 5) : (3x2 – 3x + 6) =
6.- Aplica el método de Ruffini para realizar las siguientes divisiones y luego
comprueba que se cumple el Teorema del Resto:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
(4x3 + 5x2 – 7x + 5) : (x – 2) =
(x4 – x3 + x – 5) : (x – 2) =
(2x4 – x2 + x – 3) : (x + 3) =
(3x5 – x3 + 1) : (x + 1) =
(3x4 + x) : (x – 2) =
(2x3 + x2 – x) : (x – 2) =
(2x3 + x2 – x) : (x + 2) =
7.- Realiza las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini:
a) (x5 – 1) : (x – 1) =
b) (x2 – 49) : (x – 7) =
c) (x2 + 81) : (x – 9) =
d) (x3 – 27) : (x + 3) =
8.- Dado el polinomio (2x4 – 3x3 + ax – 3), halla el valor de a, sabiendo que al dividirlo
por (x – 2) el resto es 15.
9.- Dado el polinomio (ax4 – x3 + x2), halla el valor de a, sabiendo que al dividirlo
por (x – 3) el resto es 306.
10.- ¿Para qué valor de p el polinomio (3x2 – px + 10) es divisible por x – 5?
11.- ¿Para qué valor de a el polinomio (x2 – 7x + a) es divisible por x – 2?
12.- ¿Qué valor debe tomar b para que 3x3 – 7x2 – 9x – b sea divisible por x – 3?
13.- Halla las raíces utilizando el teorema del factor y factoriza los siguientes
polinomios:
a) x2 – 1
b) x3 – x2 – 4x + 4
c) x3 + 2x2 – x – 2
14.- Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios aplicando el método de
Ruffini:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
x3 – x
x3 – 2x2 – 5x + 6
x2 – 5x + 6
x4 + 3x3 – x2 – 3x
x4 + 2x3 – x2 – 2x
x4 + 3x3 – x – 3
x3 – x2 – 4
15.- Factoriza los siguientes polinomios aplicando el método de Ruffini:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
2x3 + 3x2 – 4x – 1
x3 – x2 – x + 1
x3 + 3x2 – x – 3
x3 + 2x2 + 2x + 1
2x4 – 5x3 + 5x – 2
x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4
2x3 – 3x2 – 9x + 10
2x3 – x2 – 2x + 1
x3 – x2 – 4x + 4
6x3 + 7x2 – 9x + 2
k) x3 + 3x2 – 4x – 12
l) x4 + 3x3 – 8x2 – 12x + 16
m) x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12
TEMA 6: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES
1Simplificar
las fracciones algebraicas :
1
2
3
4
5
2Suma
las fracciones algebraicas:
3Resta
las fracciones algebraicas :
4Multiplica
las fracciones algebraicas :
1
2
5Divide
1
las fracciones algebraicas :
2
6Opera:
7Efectúa:
8Realiza:
TEMA 7: ECUACIONES Y SISTEMAS
Resolver las ecuaciones de primer grado:
a)
3(2  x)
x
3  4x
+
=25
15
6
b)
3x  2 x  3
=0
5
2
c)
x  2 5x  1
x 1 1
+
=
4
9
3
2
d)
3x  1 2  4 x
 5x  4 7x
=
+
7
3
14
6
e)
5x  7 2 x  7
= 3x - 14
2
3
f)
3x  1
5x  2
=2
3
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Problemas de ecuaciones de primer grado
1En
u n a r e un i ón h a y d o b l e n ú me r o d e mu j er e s qu e d e h o mb r e s y t r i p l e
n ú me r o d e n i ño s q ue d e h o mb r e s y mu j e r e s j u n t o s . ¿C u á n t o s h omb r e s ,
mu j e r es y n i ñ o s h a y si l a r e un i ó n l a c o mp o n e n 9 6 pe r so n a s?
2 Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado
lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.
3 En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con
las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto
dinero tenía Ana?
4 Las dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la
menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es
el número?
5 Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de
éste. Hace cuatro años la edad del padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades
de ambos.
6 Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C
y que A mide 40° más que B.
7 Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las 9 de la mañana parte de la ciudad A
un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad B parte otro
hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h. Se pide:
El tiempo que tardarán en encontrarse.
La hora del encuentro.
La distancia recorrida por cada uno.
8 Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí. A las 9 de la mañana sale de un coche de
cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que sale de A circula a 90
km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:
El tiempo que tardarán en encontrarse.
La hora del encuentro.
La distancia recorrida por cada uno.
9 Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas más tarde sale de
la misma ciudad otro coche en persecución del primero con una velocidad de 120 km/h.
Se pide:
El tiempo que tardará en alcanzarlo.
La distancia a la que se produce el encuentro.
10 Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 40 km/h. Una hora más tarde sale
de la misma ciudad y en la misma dirección y sentido un coche a 60 km/h. Se pide:
Tiempo que tardará en alcanzarle.
Distancia al punto de encuentro.
11 Dos ciclistas salen en sentido contrario a las 9 de la mañana de los pueblos A y B
situados a 130 kilómetros de distancia. El ciclista que sale de A pedalea a una velocidad
constante de 30 km/h, y el ciclista que sale de B, a 20 km/h. ¿A qué distancia de A se
encontrarán y a qué hora?
12 Un gri fo t arda en l l enar un depósi t o t res horas y ot ro gri f o t arda en
l l enarl o cuat ro ho ra s. ¿ C uánt o t i em po t ardarán en l l enar l os dos gri fos
j unt os el depósi t o ?
SISTEMAS DE ECUACIONES
Problemas de la vida diaria
1.- Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Dispone el total de 50 habitaciones y
87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?
2.- Un librero vende 84 libros a dos precios distintos: unos a 4’50 euros y otros a 3’60
euros, obteniendo de la venta 310’50 euros. ¿Cuántos libros vendió de cada clase?
3.- En un corral hay conejos y gallinas que hacen un total de 61 cabezas y 196 patas.
Halla el número de conejos y gallinas.
4.- Varios amigos están jugando a los chinos con monedas de 5 y 25 céntimos. Al abrir
las manos cuentan 8 monedas con un valor de 140 céntimos. ¿Cuántas monedas hay de
cada clase?
5.- Dos hermanos fueron a pescar. Al final del día uno dijo: “Si tú me das uno de tus
peces, entonces yo tendré el doble que tú”. El otro le respondió:” Si tú me das uno de
tus peces, yo tendré el mismo número de peces que tú”.¿Cuántos peces tenía cada uno?
6.- Un jurado está compuesto por hombres y mujeres. El número de mujeres es igual al
doble de hombres menos 4. Con dos mujeres menos el jurado tendría el mismo número
de hombres que de mujeres.¿Cuántos hombres y mujeres había en el jurado?
7.- En una fiesta juvenil hay chicas y chicos. Quince chicas abandonan la fiesta,
quedando dos chicos por cada chica. Entonces 45 chicos se van y quedan 5 chicas por
cada chico. ¿Cuántas chicas y chicos había inicialmente en el grupo?
8.- Marcos y Jaime tienen entre los dos 40 canicas. Marcos le dice a Jaime: “Dame 4
canicas y así tendré las mismas que tú”. ¿Cuántas canicas tendrá cada uno?
3
del
4
contenido del segundo, mientras que el contenido del primero más 20 litros es igual al
contenido del segundo. ¿Cuántos litros contiene cada depósito?
9.- Se tiene dos depósitos de agua. El contenido en litros del primero es igual a
10.- Tenemos distribuidas en dos bolsas A y B un total de 50 bolas. Si pasamos 5 bolas
de la bolsa B a la bolsa A, el número de bolas de A es 4 veces el número de bolas de B.
¿Cuántas bolas hay en cada bolsa?
Problemas de edades
11.- Halla las edades de dos personas sabiendo que hace 10 años la edad de la primera
era 4 veces la edad de la segunda y dentro de 20 años la edad de la primera será sólo el
doble.
12.- La edad de una persona es doble de la de otra. Hace 7 años la suma de las edades
era igual a la edad actual de la primera. Halla las edades de las personas.
13.- Hace 18 años la edad de un apersona era el doble de la de otra; dentro de 9 años, en
5
edad, la primera será solamente los de la segunda. Halla ambas edades.
4
14.- Las tres cuartas partes de la edad de Susana exceden en 15 años a la de David.
Hace 4 años la edad de Susana era el doble de la de David. Halla la edad de cada uno.
15.- Un padre dice a su hijo: “Hoy tu edad es
1
de la mía, y hace 7 años no era más que
5
1
”. Halla las dos edades.
9
16.- Hace 1 año la edad de un padre era 3 veces mayor que la del hijo, pero dentro de 13
años no tendrá más que el doble. Halla las edades del padre y del hijo.
17.- Hace 5 años la edad de una persona era el triple de la de otra, y dentro de 5 años
será el doble. Halla las edades de cada una de las personas.
Problemas de mezclas
18.- A veces, el coñac que se vende en el mercado es el resultado de la mezcla de coñac
de distintas calidades y precios. Un comerciante dispone de dos tipos de coñac: uno de
3’35 euros/litro y otro de 3’75 euros/litro. Si desea obtener una mezcla de 1000 litros de
coñac de 3’50 euros/litro. ¿Cuántos litros deberá mezclar de cada tipo?
19.- Se desea mezclar vino de 5’50 euros/litro con otro de 4 euros/litro de modo que la
mezcla resulte a 4’50 euros el litro.¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para
obtener 300 litros de mezcla?
20.- Por la mezcla de 8 kg de café con 2 kg de torrefacto se han pagado 13’24 euros.
Calcula el precio del kilogramo de café y del kilogramo de torrefacto sabiendo que si se
mezclase un kilogramo de cada clase la mezcla costaría 1’82 euros.
21.- Se mezcla licor de 12€/l con licor de 15€/l, de modo que resultan 50 litros de licor
de 13 €/l. ¿Cuántos litros de licor de cada tipo se han mezclado?
Problemas de la vida diaria 2
22.- Halla dos números tales que su suma sea igual a 30 y el doble del primero más el
segundo sea igual al doble del segundo.
23.- En una clase hay 60 alumnos entre chicos y chicas. Usan gafas el 16% de los chicos
y el 20% de las chicas. Si el número total de alumnos que usan gafas es 11. ¿Cuántos
chicos y chicas hay en la clase?
24.- Tenemos dos vasijas. En la primera hay doble cantidad de agua que en la segunda.
Sacando de la primera 40 litros y de la segunda 10 litros, quedan en ambas igual
cantidad de litros. ¿Cuántos litros había en cada vasija?
25.- Olga ha mirado en su cartera y tiene billetes de 5 € y de 10 €; en total suman 100 €.
Si el nº de billetes es 13, ¿ cuántos billetes tiene de cada clase?
26.- Una pajarería tiene entre perros y gatos 70 animales. El precio de cada perro es de
70 € y el de cada gato 50 €. Si el precio total de los animales es de 4020 €. ¿ Cuántos
perros tiene? ¿ Y gatos?
27.- La edad de una persona es doble de la otra. Hace 7 años la suma de las edades era
igual a la edad actual de la primera. Halla las edades de las personas.
28 U n a
gr a nj a t i e n e ce r d o s y p a vo s , e n t ot al h a y 3 5 c ab e za s y 1 1 6 p a t a s .
¿C u á n t o s ce r d os y p a vo s h a y?
29 Juan compró un ordenador y un televisor por 2000 € y los vendió por 2260 €.
¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador ganó el 10% y en
la venta del televisor ganó el 15%?
30 ¿ C uál es el área de un rect án gul o sa bi endo que su perí m et ro m i de
16 cm y qu e su base es el t ri pl e de su al t ura?
31 Una granj a t i en e pavos y cerdos, en t ot al ha y 5 8 cab ez as y 168
pat as . ¿ C uánt os cer dos y pavos h a y?
32 Ant oni o di ce a P edro: " el di nero que t engo es el dobl e d el que
t i enes t ú", y P edro c ont est a: "si t ú m e da s sei s euros t endrem os l os dos
i gual c ant i dad ". ¿ C uánt o di nero t ení a c a da uno?
33 La ci fra de l a s de cenas de un núm ero de dos ci fras es el d obl e de l a
ci fra d e l as uni dade s, y si a di cho núm e ro l e rest am os 27 se obt i ene el
núm ero que r esul t a al i nvert i r el orden de sus ci fras. ¿ C uál es ese
núm ero?
34 P or l a com pra de dos el ect rodom ést i c os hem os pagad o 35 00 €. S i en
el pri m ero nos hubi eran he cho un des cu ent o del 10% y en el segundo
un des cuent o del 8% hubi éram os pa gado 3170 €. ¿ C uál es el preci o de
cada art í cul o?
35 Encuent ra un núm ero de dos ci f ras s abi endo que su ci f ra de l a
decen a sum a 5 con l a ci fr a de su uni dad y que si se i nvi e rt e el orden
de s us ci fras s e obt i ene un núm ero qu e e s i gual al pri m e ro m enos 27.
TEMA 8: SUCESIONES DE NÚMEROS RACIONALES
EJERCICIOS
1.- Estudia si son monótonas crecientes o monótonas decrecientes las siguientes
sucesiones de término general:
1
a) an =
n
b) bn = (-1)2n+1
c) cn = 0
d) dn =
n
n 1
2.- Estudia si son monótonas crecientes o monótonas decrecientes las siguientes
sucesiones de término general:
a) an = (-2)n+1
n
 1
b) bn = 1  
 n
c) cn = (-1)n · (3n + 2)
d) dn = n – 2n
3.- Estudia la acotación de las siguientes sucesiones se término general:
a) an = 2n
b) bn = -4n + 3
n 1
c) cn =
n
1
d) dn = 
n
4.- Estudia si son monótonas crecientes o monótonas decrecientes las siguientes
sucesiones de término general:
3
a) an =  
2
n
 3
b) bn =   
 2
3
c) cn =   
2
2
d) dn =  
3
n
n
n
5.- Estudia si son monótonas crecientes o monótonas decrecientes y si están acotadas las
siguientes sucesiones de término general:
n2
n+1
a) an = (-1) ·
n 1
n
3
b) bn = (-1) · (n + 1)
 1
c) cn =   
 2
n
6.- Estudia si las siguientes sucesiones son o no progresiones aritméticas y si lo son indica cuál es
su diferencia y escribe su término general:
a)
b)
c)
d)
1, 4, 7, 10, 13, ...
1, 5, 10, 17, 26, ...
–1, -3, -5, -7, -9, ...
1
3
5
, 1, , 2, , ...
2
2
2
7.- Halla el término general y el lugar que ocupa el término que vale 6 de una sucesión aritmética,
1
sabiendo que el primer término vale –1 y la diferencia .
3
8.- En cada una de las siguientes progresiones aritméticas halla el primer término y el término
general sabiendo:
a)
El segundo término vale –6 y la diferencia es 2.
b)
El séptimo término vale 6 y la diferencia –2.
c)
El segundo término es –3 y el tercero –1.
9.- Halla la suma de los 25 primeros términos de la progresión aritmética 3, 7, 11, 15, ...
10.- Calcula la suma de los 100 primeros números impares.
11.- En una progresión aritmética con a5 = 2 y d =
1
, calcula el término general y la suma de los
4
50 primeros términos.
12.- Halla el término general de la progresión geométrica:
13.- En una progresión geométrica con a2 =
1 1
, , 1, 3, 9, ...
9 3
1
2
yr=
, halla el término general y el primer
3
3
término.
14.- En una progresión geométrica el primer término es 6 y la razón –2. Calcula la suma de los
ocho primeros términos de esa progresión.
15.- El tercer término de una progresión geométrica es 12 y el cuarto 24. Calcula:
a)
b)
La razón y el término general.
La suma de los cinco primeros términos de la progresión.
16.- El primer día entrenamos durante cinco minutos y cada día que sigue entrenamos el doble de
tiempo que el anterior, ¿Cuánto tiempo hemos entrenado después de una semana?
TEMA 14: FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
FUNCIONES LINEALES
1.- Indica la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes funciones y
represéntalas gráficamente:
f(x) = x
f(x) = -x – 5
f(x) = -4x
f(x) = x + 1
f(x) = -2x + 2
f(x) = 3x – 4
2.-Representa gráficamente en el mismo diagrama las siguientes funciones:
y = -3x
y= -3x + 5
y = -3x – 1
a) Indica la pendiente y la ordenada en el origen de cada una de ellas.
b) ¿Cómo son las rectas entre si?. Razona tu respuesta.
3.- Representa gráficamente en el mismo diagrama las siguientes funciones:
f(x) = 2x
f(x) = 2x +3
f(x) = 2x – 2
a) Indica la pendiente y la ordenada en el origen de cada una de ellas.
b) ¿Cómo son las rectas entre sí?. Razona la respuesta.
4.- Halla la ecuación de la recta de pendiente 5 y que pasa por el punto A(-1, -2).
5.- Dados los puntos A(0,2) y B(2,3) .
a) Representa la función lineal que pasa por ellos
b) Halla la ecuación de esta función.
6.- Halla la ecuación de las siguientes funciones:
a)
b)
c)
d)
Tiene pendiente –1 y pasa por el punto (0,3).
Tiene pendiente 5 y pasa por el punto (2,7).
Tiene pendiente 0 y ordenada en el origen 1.
Tiene pendiente 1 y ordenada en el origen 0.
7.- Halla la ecuación de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente:
a) Pasa por los puntos A(0,2) y B(2,-4).
b) Pasa por los puntos A(1,4) y B(3,2).
c) Pasa por los puntos A(1,7) y B(-2,4)
d) Pasa por los puntos A(0,1) y B(1,0)
PROBLEMAS DE FUNCIONES LINEALES
1 Representa las siguientes funciones, sabiendo que:
Tiene pendiente −3 y ordenada en el origen −1.
Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, 2).
2 Tres kilogramos de boquerones valen 18 €. Escribe y representa la función que define
el coste de los boquerones en función de los kilogramos comprados.
3 En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado
que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera
semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una función a fin que dé la altura de la
planta en función del tiempo y representar gráficamente.
4 Cuando se excava hacia el interior de la tierra, la temperatura aumenta con arreglo a la
siguiente fórmula:
t = 15 + 0.01 h.
Donde t es la temperatura alcanzada en grados centígrados y h es la profundidad, en
metros, desde la corteza terrestre. Calcular:
1 . ¿Qué temperatura se alcanza a los 100 m de profundidad?
2 . ¿Cuántos metros hay que excavar para alcanzar una temperatura de 100 ºC?
5 El nivel de contaminación de una ciudad a las 6 de la mañana es de 30 partes por
millón y crece de forma lineal 25 partes por millón cada hora. Sea y la contaminación
en el instante t después de las 6 de la mañana.
1 . Hallar la ecuación que relaciona y con t.
2 . Calcular el nivel de contaminación a las 4 de la tarde.
Gráficas y funciones. Examen
6 Un grifo, que gotea, llena una probeta dejando caer cada minuto 0.4 cm³ de agua.
Forma una tabla de valores de la función, tiempo-capacidad de agua. Representa la
función y encuentra la ecuación.
7 Por el alquiler de un coche cobran 100 € diarios más 0.30 € por kilómetro. Encuentra
la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de kilómetros y
represéntala. Si en un día se ha hecho un total de 300 km, ¿qué importe debemos
abonar?
FUNCIONES CUADRÁTICAS
1.- Representa gráficamente sin utilizar tabla de valores e indica si la función es
cóncava o convexa:
y = x2 + 1
y = x2 – 3
y = - x2 – 3
y = -x2 + 5
y = x2 + 5
y = -x2 + 1
2.- Tenemos la función f(x) = ( x – 1 )2
a)
b)
c)
Halla el vértice de la parábola que la representa.
¿Tiene eje de simetría?. Indícalo.
Represéntala gráficamente e indica si la función es cóncava o convexa.
3.- Representa gráficamente las siguientes funciones:
f(x) = -(x – 4)2
f(x) = - (x + 3)2
f(x) = (x – 3)2
f(x) = (x + 2)2
Indica el vértice y el eje de simetría de cada una de ellas.
4.- Representa gráficamente las siguientes funciones:
f(x) = (x – 1)2 + 5
f(x) = -(x +3)2 +2
f(x) = - ( x – 2)2 – 1
f(x) = (x + 2)2 – 4
Indica el vértice y el eje de simetría de cada una de ellas.
5.- Representa gráficamente las siguientes funciones indicando en cada caso el vértice, el
eje de simetría y los puntos de corte con los ejes.
f(x) = x2 + 4x + 3
f(x) = -x2 – 4x + 5
f(x) = -x2 + 6x + 7
f(x) = x2 + 2x + 4
6- Representa gráficamente las siguientes funciones indicando en cada caso el vértice y el
eje de simetría.
f(x) = -x2 – 6x – 8
f(x) = x2 – 10x + 21
f(x) = -x2 + 4x + 1
f(x) = 2x2 – 8x + 7
f(x) = -x2 + 4x – 1
f(x) = x2 + 8x + 9
TEMA 11: SUCESOS ALEATORIOS. PROBABILIDAD.
1.- Se considera la experiencia consistente en sacar una carta de una baraja española. En
los siguientes pares de sucesos, señala si son compatibles o incompatibles:
a) “sacar un oro” y “sacar un caballo”:
b) “sacar una figura” y “sacar un tres”:
c) “sacar una carta menor que 6” y “sacar una espada”
d) “sacar el as de oros” y “sacar un rey”:
e) “sacar una carta impar” y “sacar una copa”:
2.- En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se considera la experiencia
consistente en extraer una bola de la urna. Describe los sucesos contrarios a los
siguientes sucesos y escríbelos entre llaves.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
A = “sacar un número par”
B = “sacar un múltiplo de 5”
C = “sacar un 3”
D = “sacar un número primo”
E = “sacar un número par o múltiplo de 3"
F = “sacar un número par y múltiplo de 3”
3.- Lanzamos un dado y consideramos los siguientes sucesos:
A = “sacar un 4” , B = “sacar menos de un 3” y C = “sacar par"

B
;
A

C
;
B

C
;
A

B
;
A

C
;
B

C
.
Calcular: A
4.- Tiramos un dado. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Salir un 5
b) Salir un múltiplo de 3
c) Sacar menos de 4
d) Salir un número par
e) Salir un número más pequeño o igual que 5
f) Sacar un múltiplo de 2
g) Salir un múltiplo de 7
h) Salir un número primo
i) Salir número impar
j) Salir un número mayor que 2
5.- Disponemos de una urna con 3 bolas blancas, 4 rojas, 2 azules y 5 negras.
Consideramos el experimento de extraer una bola de la urna. Cuál es la probabilidad de:
a) Sacar una bola blanca
b) No sacar roja
c) Sacar bola azul
d) Que la bola no sea ni blanca ni negra.
6.- En una clase de 4º de ESO hay 30 alumnos, de los cuales 18 son chicas. Elegimos un
alumno al azar. Calcula la probabilidad de que sea chico.
7.- Extraemos una carta de una baraja española compuesta por 40 cartas. Calcula la
probabilidad de que:
a) Sea el rey de copas
b) Sea un caballo
c) sea un oro
d) Sea una carta con el número menor o igual que 5
e) No sea un rey
8.- El juego del dominó consta de 28 fichas. Si elegimos una ficha al azar, halla la
probabilidad de que:
a) Sea el seis doble
b) Sea una ficha doble
c) Al menos uno de sus puntos sea el 1.
d) Sus puntos sumen 9.
9.- De una urna que contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10 extraemos una bola. Halla
la probabilidad de que el número extraído:
a) Sea el 9
b) No sea par
c) Sea múltiplo de 5
d) Sea de 2 cifras
10.- En un campamento internacional hay 3 jóvenes españoles, 4 franceses, 2 alemanes,
5 ingleses y un ruso. Se va a elegir, por sorteo al encargado de llevar las cuentas.
Calcula la probabilidad de que la persona elegida sea:
a) Francesa o inglesa.
b) Española o rusa
c) Alemana o inglesa
11.- Se lanza un dado de quinielas. Halla las siguientes probabilidades:
a) Que salga el 1
b) Que salga la X
c) Que salga el 2
d) Que salga el 1 o el 2
e) Que no salga el 2
12.- Se extrae una carta de una baraja española. Halla la probabilidad de:
a) Sacar una figura
b) Sacar una espada
c) Sacar una figura de espadas
d) Sacar una figura o una espada.
13.- En una urna hay 5 bolas verdes, 4 rojas y 8 amarillas. Se extrae una bola al azar.
Halla las siguientes probabilidades:
a) p(verde) =
b) p(roja) =
c) p(amarilla) =
d) p(verde o roja) =
e) p( no verde) =
14.- En un grupo de 7 amigos, 5 juegan al fútbol y 2 a baloncesto de los cuáles uno de
ellos juega también a fútbol. Halla la probabilidad de que e una persona al azar juegue a
fútbol o a baloncesto.
15.- En un grupo de 50 alumnos hay 10 que tienen 14 años, 13 que tienen 15 años, 17
que tienen 16 años y 10 que tienen 17 años. Se elige uno al azar. Halla la probabilidad
de que tenga 15 o 16 años.
16.- Alberto tiene en su bolsillo 3 monedas de 1 céntimo, 4 de 5 céntimos, 6 de 20
céntimos y 1 de 1 euro. Saca, sin mirar, una moneda del bolsillo. Halla la probabilidad
de que:
a) Sea de 1 céntimo o de 5 céntimos.
b) Sea de 1 euro o de 20 céntimos.
17.- En una urna hay 50 bolas numeradas del 1 al 50. Se extrae una bola al azar. Calcula
la probabilidad de que:
a) Sea par
b) No acabe en 7
c) Acabe en 0 o en 5
d) Sea par o múltiplo de 5
18.- En un grupo de 30 alumnos hay 14 que hacen natación y 8 que usan gafas. Se sabe
que 3 de las personas que hacen natación usan gafas. ¿Cuál es la probabilidad de que
elegida una persona al azar use gafas o haga natación?
19.- La probabilidad de que un aluno de 4ºE.S.O. apruebe Matemáticas es del 80%, que
apruebe Lengua es del 70% y de que apruebe las dos 60%.¿Cuál es la probabilidad de
que elegido un alumno al azar apruebe Matemáticas o Lengua?
20.- Se extraen dos cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de que sean dos
oros.
a) Con devolución
b) Sin devolución
21.- En un armario de cocina hay 5 refrescos de cola, 3 de limón y 6 de naranja. Se
escogen dos al azar.¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean de naranja?
22.- Una jarra contiene 2 canicas rojas, 3 canicas azules y 4 canicas verdes. Luis saca al
azar una canica. Después saca otra Sara sin que Luis devuelva la que sacó. ¿Cuál es la
probabilidad de que Luis saque canica azul y Sara roja?
23.- Lanzamos una moneda dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos cruces?
24.- En una urna hay 5 bolas blancas y 7 negras. Se extraen dos bolas, una a
continuación de la otra, calcula cuál es la probabilidad de que las dos sean blancas:
a) Con devolución
b) Sin devolución
25.- La probabilidad de que una persona fume es 0’4. Elegidas 3 personas al azar, ¿Cuál
es la probabilidad de que ninguna de ellas fume?¿Y de que fume sólo una de ellas?
26.- La probabilidad de que Juan enceste un tiro a canasta es 0’7. ¿Cuál es la
probabilidad de que enceste tres tiros seguidos a canasta?
27.- En una urna hay 3 bolas rojas y 4 verdes, en otra urna hay 3 bolas rojas y 2 verdes.
Se toma al azar una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean del
mismo color?
28.- Ana guarda en el cajón de su armario 6 camisetas: 2 blancas, 3 negras y 1 azul. En
otro cajón tiene 5 pantalones: 2 negros y 3 azules. Si abre un cajón y coge una camiseta
sin mirarla y luego abre el cajón de los pantalones y elige uno, también sin mirarlo,
¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean del mismo color?
29.- Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambos dados salgan dos
números pares o dos impares?¿ Y de que salga al menos un número par?
30.- En una clase hay 12 chicos y 18 chicas, se eligen consecutivamente dos personas al
azar para que sean delegado y subdelegado. Halla la probabilidad de que sean:
a) Las dos del mismo sexo
b) Un chico y una chica
31.- En una bolsa hay 5 caramelos de limón, 6 de naranja y 4 de cola. Sin mirar, una
persona coge un caramelo y, a continuación, otra persona coge otro caramelo. ¿Cuál es
la probabilidad de que ambos hayan cogido sus caramelos del mismo sabor?
32.- Se extraen sucesivamente y sin devolución dos cartas de una baraja española.¿Cuál
es la probabilidad de que ambas sean del mismo palo?
33.- En una familia con dos hijos, calcula la probabilidad de que:
a) El primero sea chico y la segunda chica.
b) Uno de los hijos sea chico y el otro chica
c) Al menos tengan una chica.
34.- ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres veces un dado se obtenga sólo un 5?
35.- En un grupo de amigos hay 6 rubios y 10 morenos. Si se escoge al azar tres de
ellos. Halla la probabilidad de que:
a) Los tres sean rubios
b) Los tres sean morenos
c) Sean 1 rubio y dos morenos
TEMA 15 y 16: Estadística
1. Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas:
Comida Favorita.
Profesión que te gusta.
Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.
Número de alumnos de tu Instituto.
El color de los ojos de tus compañeros de clase.
Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.
2. De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas.
Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.
Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.
Período de duración de un automóvil.
El diámetro de las ruedas de varios coches.
Número de hijos de 50 familias.
Censo anual de los españoles.
3. Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o continuas.
La nacionalidad de una persona.
Número de litros de agua contenidos en un depósito.
Número de libros en un estante de librería.
Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.
La profesión de una persona.
El área de las distintas baldosas de un edificio.
4. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:
15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.
Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el polígono de frecuencias y su
diagrama de barras.
5. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:
3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2,
2, 4, 1.
Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras y el
polígono de frecuencias.
6. Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes:
5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7,
6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.
Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras y su
polígono de frecuencias.
7. Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:
Peso [50, 60)
[60, 70)
[70, 80)
[80,90)
[90, 100)
[100, 110)
[110, 120)
fi
10
16
14
10
5
2
8
1 Construir la tabla de frecuencias.
2 Representar el histograma y el polígono de frecuencias.
8. Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en
un examen de Física.
3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11,
13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
1 Construir la tabla de frecuencias.
2 Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias.
9. Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
xi
61
64
67
70
73
fi
5
18
42
27
8
Calcular:
1 La moda, mediana y media.
2 El rango, desviación media, varianza y desviación típica.
10.Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5,
4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
11 Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
12 Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:
3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.
13. Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números
siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
14 Se ha aplicado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose la siguiente
tabla:
fi
[38, 44)
7
[44, 50)
8
[50, 56)
15
[56, 62)
25
[62, 68)
18
[68, 74)
9
[74, 80)
6
Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias acumuladas.
15. Dadas las series estadísticas:
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Calcular:
La moda, la mediana y la media.
La desviación media, la varianza y la desviación típica.
Los cuartiles 1º y 3º.
Los deciles 2º y 7º.
Los percentiles 32 y 85.
16. Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:
fi
[10, 15)
[15, 20)
[20, 25)
[25, 30)
[30, 35)
3
5
7
4
2
Hallar:
La moda, mediana y media.
El rango, desviación media y varianza.
Los cuartiles 1º y 3º.
Los deciles 3º y 6º.
Los percentiles 30 y 70.
17. Dada la distribución estadística:
[0, 5)
fi 3
[5, 10)
[10, 15)
[15, 20)
[20, 25)
[25, ∞)
5
7
8
2
6
Calcular:
La mediana y moda.
Cuartil 2º y 3º.
Media.
18. Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de cierto
colegio. La información obtenida aparece resumida en la siguiente tabla:
Nº de caries
fi
ni
0
25
0.25
1
20
0.2
2
X
z
3
15
0.15
4
Y
0.05
1. Completar la tabla obteniendo los valores de x, y, z.
2. Hacer un diagrama de sectores.
3. Calcular el número medio de caries.
19. Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su
consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses
Niños
9
1
10
4
11
9
12
16
13
11
14
8
15
1
Dibujar el polígono de frecuencias.
Calcular la moda, la mediana, la media y la varianza.
20. Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística:
xi
fi
1
4
2
4
3
7
5
5
ni
0.08
16
4
6
Fi
0.16
0.14
28
38
7
7
45
8
Calcular la media, mediana y moda de esta distribución.
21. Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:
1. Calcular su media y su varianza.
2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media y
desviación típica.
21B). El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Sumas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Veces
3
8
9
11
20
19
16
13
11
6
4
1. Calcular la media y la desviación típica.
2. Hallar el porcentaje de valores comprendidos en el intervalo (x − σ, x + σ).
22. Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:
Altura
[170,
175)
[175,
180)
[180,
185)
[185,
190)
[190,
195)
[195,
2.00)
Nº de
jugadores
1
3
4
8
5
2
Calcular:
1. La media.
2. La mediana.
3. La desviación típica.
4. ¿Cuántos jugadores se encuentran por encima de la media más una desviación
típica?
23. Los resultados al lanzar un dado 200 veces vienen dados por la siguiente tabla:
fi
1
2
3
4
5
6
a
32
35
33
B
35
Determinar a y b sabiendo que la puntuación media es 3.6.
24. El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de
Bachillerato es el siguiente:
1. Formar la tabla de la distribución.
2. Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él?
3. Calcular la moda.
4. Hallar la mediana.
5. ¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más pesados?
25. De esta distribución de frecuencias absolutas acumuladas, calcular:
Edad
Fi
[0, 2)
4
[2, 4)
11
[4, 6)
24
[6, 8)
34
[8, 10)
40
1. Media aritmética y desviación típica.
2. ¿Entre qué valores se encuentran las 10 edades centrales?
3. Representar el polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
26. Una persona A mide 1.75 m y reside en una ciudad donde la estatura media es de
1.60 m y la desviación típica es de 20 cm. Otra persona B mide 1.80 m y vive en una
ciudad donde la estatura media es de 1.70 m y la desviación típica es de 15 cm. ¿Cuál
de las dos será más alta respecto a sus conciudadanos?
27. Un profesor ha realizado dos tests a un grupo de 40 alumnos, obteniendo los
siguientes resultados: para el primer test la media es 6 y la desviación típica 1.5.
Para el segundo test la media es 4 y la desviación típica 0.5.
Un alumno obtiene un 6 en el primero y un 5 en el segundo. En relación con el grupo,
¿en cuál de los dos tests obtuvo mejor puntuación?
28 La asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine un determinado día fue de 200,
500, 300 y 1000 personas.
1. Calcular la dispersión del número de asistentes.
2. Calcular el coeficiente de variación.
3. Si el día del espectador acuden 50 personas más a cada sala, ¿qué efecto tendría sobre
la dispersión?