I. Justifique la verdad o falsedad de cada una de... Para una función Ingreso por ventas “I(q)” creciente, ¿puede ser... TALLER DE CÁLCULO PARA ADMINISTRADORES

TALLER DE CÁLCULO PARA ADMINISTRADORES
(MA-43)
CICLO 2007-I
Semana-8
Tutor: Luís Canales
I. Justifique la verdad o falsedad de cada una de las siguientes proposiciones:
a.
b.
c.
d.
Para una función Ingreso por ventas “I(q)” creciente, ¿puede ser decreciente su Ingreso marginal?
Si el costo total C (q) de producir q unidades de un artículo consta de costos variables y costos fijos,
entonces, ¿tiene asíntota horizontal la gráfica del costo medio?
Si se sabe que la utilidad marginal “U´(q)” de un bien en q = 4 es cero y U(4) no es un extremo relativo,
entonces, ¿cómo puede ser la gráfica de la utilidad U(q) en el intervalo [2, 6] ?
Se estima que el número anual de miles de artículos después de t años de su introducción al mercado para
t
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
un nuevo producto es: f (t )  150 76e ¿qué interpretación tiene la asíntota horizontal de la gráfica
de f ?
Si la gráfica de la función costo total es creciente y cóncava hacia abajo, ¿cómo varía la función costo
marginal?
Si el ingreso económico marginal es constante y positivo, ¿Cómo sería la gráfica del ingreso económico?
Para que el límite de una función en un punto exista, necesariamente la función debe estar definida en ese
punto.
La razón de cambio del costo marginal es la primera derivada del costo total.
Si para un determinado nivel de producción se tiene que el costo medio es menor que el costo marginal,
entonces se puede decir que el costo medio es decreciente.
Para el costo total C (q)  4q  1 , la gráfica del costo medio, ¿tiene asíntota horizontal?
¿Cómo puede ser la gráfica del costo total C(q) si su costo marginal va disminuyendo a medida que “q”
aumenta?
2
¿Cuántas asíntotas verticales presenta la gráfica de la función costo: C (q)  q  3q  10 ?
q 5
m. ¿Para qué valores de “q” es continua y tiene sentido económico la función costo unitario c(q) 
n.
La figura muestra la gráfica de la función derivada y  f ( x) . ¿En que valor
de x (en caso existiera) la función y = f(x) tiene mínimo relativo, máximo
relativo y punto silla?
II. Determine las expresiones de
a.
f ( x) 
df
para:
dx
2x  7
2x  3
b.
f ( x) 
e2 x
x 2 x
III. Determine:
a.
la ecuación de la recta tangente a
b.
Determine la expresión de
dy
dx
y
2 x2  1
2 x2  1
e xy  xy3
2
en:
, en x = -1
40 ?
q  10
y´=f´(x)
f ( x) 
e2x
x2
c.
la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
d.
Los extremos absolutos de
e.
La razón de cambio de “y” respecto a “x” en:
f.
Determine
g.
lim
h.
La expresión de y´ si
i.
Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x) 
j.
Determine
x 3
en x = 1
f ( x)  x 4  4 x 3 en [-1, 2]
(2  3x 2 y 3 ) 2  y  2x  3 cuando x = 0
2 3
la ecuación de la recta tangente a la gráfica de x y  2xy  6x  y  1 en x = 0
x 1  2
x3
Ln( x  x 2  1) . Simplifique su respuesta
y=
2x  9
en x = 5
x4
d
y en x = 0, donde y está dada implícitamente por x2y3 – 3x = 4y – 8.
dx
IV. Desarrolle:
 Ae3 x , si x  ; 2

1. Sea f una función definida por: f ( x)   x  2
Determine el valor de A de tal manera
, si x   2;  
 2
x 4
que
f
sea continua en los reales.
2. Para la siguiente función:
x2
f ( x) 
x 1
se tiene que
f
 (x) =
2
( x  1) 3
. Determine sus asíntotas, zonas de
crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de inflexión, zonas de concavidad y trace su gráfica
3. Para la función f ( x)  ( x  1) , tenga en cuenta que
a. los intervalos de crecimiento y decrecimiento
b. las zonas y tipos de concavidad
c. su gráfica
2
4. Para la función
f ( x) 
3
x3  x2
x2 1
f ( x)  6( x 2  1)(5x 2  1)
y determine:
determine:
a.
b.
Las ecuaciones de sus asíntotas
Los valores críticos de primer orden y los intervalos de crecimiento y decrecimiento
c.
Teniendo en cuenta que f  (x) =
d.
concavidad que se presentan entre ellos.
La gráfica de la función
2x  2
( x  1) 4
, los valores críticos de segundo orden y los tipos de
5. Una librería puede pedir cierto libro a una editorial a un costo de US$ 3 el ejemplar. La librería ofrece el libro a
US$ 15 el ejemplar. A este precio se venden 200 ejemplares. La librería planea bajar el precio para estimular las
ventas y estima que por cada reducción de US$ 1 en el precio, se venderán 20 libros mas cada mes. Exprese la
utilidad mensual de la librería por la venta de este libro como una función del precio de venta
6. El precio al que se puede vender “q” unidades de cierto artículo es
“q” unidades es
p( q)  180  2q
y el costo de producir estas
C(q)  q  5q  162, mediante el cálculo:
3
a.
b.
Estime la utilidad obtenida por la venta de la cuarta unidad.
Estime en cuanto cambia el costo marginal cuando el nivel de producción varía de 4 a 4,5
c.
d.
¿Para qué nivel de producción se tendrá un ingreso máximo?
¿Para qué precio la elasticidad de la demanda es unitaria?
7. El costo de producir “x” unidades de un artículo es
de estas “x” unidades es
U ( x)   x 3 
C ( x) 
unidades.
1 2
x  2 x  39 . La utilidad que genera la venta
3
11 2
x  8 x  39 .
3
a.
Determine la expresión matemática del precio unitario en función de las unidades producidas y vendidas.
b.
c.
d.
Use el ingreso marginal para estimar el ingreso económico por la venta de la quinta unidad
Determine el ingreso real derivado de la venta de la quinta unidad
¿Cuál es la razón de cambio porcentual para el costo cuando se producen cinco unidades?
8. La cantidad demandada de un bien (q) varía con el precio unitario (p) de un bien según:
p($/unidad)
2
10
q (unidades)
7
2
En base esta información determine:
a.
b.
c.
d.
e.
La relación que expresa a la cantidad demandada en función del precio
La expresión matemática del ingreso económico
Mediante el Cálculo, el precio que proporciona el máximo ingreso
La expresión matemática de la elasticidad de la cantidad demandada en función del precio
El rango de valores del precio en el que el bien es elástico
9. Un fabricante vende lámparas a US $ 30 la unidad. A este precio, los consumidores compran 3000 lámparas al
mes. El fabricante desea incrementar el precio y estima que por cada US $ 1 de incremento en el precio se venderán
30 lámparas menos cada mes. El fabricante puede producir las lámparas a US $ 18 cada una.
a.
Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al que se venden las lámparas
b.
Mediante el Cálculo, determine el precio de venta que proporciona la máxima utilidad
10. La ecuación de demanda de un producto es
p  10 0,2 q , donde q unidades son vendidas a un precio p.
Utilice la elasticidad de la demanda para determinar si un incremento en el precio aumentará el ingreso I cuando se
demandan 900 unidades.
11. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en dólares) por unidad esta dado por
c  2q 2  36q  210 
200
, donde 2  q  10 . ¿A que nivel dentro del intervalo  2; 10 debe fijarse la
q
producción para minimizar el Costo total?, ¿cuál es el costo total mínimo?
12. Estime la utilidad por la venta de la quinta unidad si el costo de producir “x” unidades es C ( x)  1 x 2  2 x  39
3
y el precio al cual se venderán cada una de las “x” unidades es p( x)   x 2  2 x  13 dólares.
13. Cuando el precio de cierto artículo es p dólares la unidad, el fabricante está dispuesto a ofrecer x unidades a
partir de la siguiente relación: 2p2x – x2 + 20 = 0,
a.
b.
Estime en cuánto varía la cantidad ofrecida si el precio aumenta de $2 a $2,5
¿Con qué rapidez cambia la oferta x cuando p = $2 la unidad y está disminuyendo a una tasa de 40
centavos por mes?
14. Dada la función f ( x ) 
x2  x  1
2
donde f ´´( x) 
, determine:
x 1
( x  1)3
a. Las ecuaciones de las asíntotas de la gráfica de f.
b. Los intervalos de crecimiento y concavidad.
c. Trace la gráfica de f.
15. La funciones de demanda y utilidad para un monopolista son: p = 400 – 2q y U = -3q2 + 240q – 2000
respectivamente.
a. Demuestre que la función costo promedio es C 
q 2  160q  2000
dólares por unidad para producir q
q
unidades.
b. Determine el número de unidades q en donde el costo promedio es mínimo.
16. La ecuación de demanda para un producto es q  100  p donde 0 < p < 100. Determine:
a. La elasticidad puntual de la demanda cuando p = 42.
b. El cambio porcentual en la demanda cuando el precio p = 42 se incrementa en 5%.
c. El precio de ingreso I máximo
17. Sea V (t) = 18te- t la función ventas de un producto en términos del tiempo en el tramo racionalmente
económico. Determine
a. Las asíntotas de la gráfica de V(t)
b. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de V(t)
c. c) Los valores de t en donde hay extremos relativos (máximos y/o mínimos)
d. d) El punto de inflexión e interprete
e. Trace la gráfica
18. Los consumidores compran D(p) 
40 000
unidades por año de cierto producto cuando se vende a “p” dólares la
p
unidad. Se estima que dentro de “t” años el artículo costará p (t) = 0,4t 3/2 + 6,8 dólares la unidad, ¿A qué razón
cambiará la demanda anual del artículo respecto al tiempo dentro de 4 años?
19. Un estudio de eficiencia del turno matinal en cierta fábrica revela que un trabajador medio que llega al trabajo a
3
la 8:00 a.m. habrá producido Q(t)   t 
9
2
t  15t unidades t horas mas tarde
2
a.
b.
c.
d.
e.
Calcule la tasa de producción del trabajador a las 9:00 a.m.
¿A qué razón cambia la tasa de producción del trabajador con respecto al tiempo a las 9:00 a.m.?
Aplique el cálculo para estimar el cambio en la tasa de producción del trabajador entre las 9:00 y las 9:15
a.m.
Calcule el cambio real en la tasa de producción del trabajador entre la 9:00 y las 9:15 a.m.
¿En qué momento de la mañana (entre las 8:00 a.m. y las 12:00 m.) opera el trabajador con la eficiencia
máxima?