Programación lineal. I.E.S. Guadalquivir. 2º Bachillerato Ciencias

Programación lineal.
2º Bachillerato Ciencias Sociales.
1.
I.E.S. Guadalquivir.
Lora del Río.
Dibuja la región del plano que determinan las soluciones de las siguientes inecuaciones:
a) x  y  4
b)2 x  3y   2
c) x  2 y  0
d)  x  y  3
2.Comprueba si los puntos A = ( -3, 0 ), B=( 4 , 2 ) , C=( 2 , -3) son solución de la inecuación
3x  5y  4
3.Resuelve estos sistemas de inecuaciones :
  2x  y  2
a) 
 2 x  3y   2
x  y  1
  2x  y  1

b) 
x  4
 y   4
y  2

c)  x   4
 x  2y  3

 x  y  2

d ) y  5

 x  0, y  0
4.Determina la región factible que representan estas restricciones calculando los vértices:
 3x  y  1

a) 2 x  y  6

 x  0, y  0
 2x  y  1

b)   x  y  6

 x  0, y  0
 2x  y  4

c)  x  y  4

 x  0, y  0
 x  3y   3

d )  6x  3y   6

 x  0, y  0
x 
x 

c)  y 

x 

y  0

d ) x  y   3
x  3

5.Halla los vértices de las regiones factibles:
 x  y  5

a) 2 x  y  0

 x  0, y  0
x  y  5
2x  y  0

b) 
 x  2y  8
 x  0, y  0
y  1
2
1
1
3y 
2
6.Determina la solución óptima para este problema de programación lineal:
 x  0, y  o

Maximizar f  x, y  2x  y sujeto a  x  y  1
 5x  3 y  15

 x  0, y  o

7.Halla la solución óptima que maximiza la función f  x, y  x  2 y en la región  x  y  3
x  y  5

 x  0, y  o

8.Maximiza f  x, y  x  2 y sujeto a   2 x  y   10
 x  2y  8

 x  0, y  0

9.Maximiza f  x, y  x  y sujeto a  2 x  3 y   6
 x  2y  6

 x  0, y  0

x  y  0
10. Maximiza f  x, y  2 x  4 y sujeto a 
 6 x  4 y  30
 x  2 y  12
  x  3y  6

11.Maximiza f  x, y  3x  6 y sujeto a  2 x  y  8
 x  2y  4

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Lora del Río.
 x  0, y  0

12.Maximiza f  x, y   x  3y sujeto a  x  y  4
 x  5 y  25

 x  0, y  0

x  y  4
13.Maximiza f  x, y  3x  2 y sujeto a 
 2x  y  8
  x  3 y  12
14. a) Representa gráficamente la región determinada por las siguientes restricciones:
2x  y  6
 x y 3
4 x  y  10
y 0
x 0
Y determina sus vértices.
b) Calcula el máximo de la función f x, y  4 x  2 y  3 en el recinto anterior e indica si se
alcanza. ( Andalucía. Junio 2008 )
15.Consideramos el recinto del plano limitado por las siguientes inecuaciones:
 
x y 4
y  2x  7
 2 x  y  13  0
x  0, y  0
a) Representa el recinto y calcula los vértices.
b) Halla en qué puntos del recinto alcanza los valores máximo y mínimo la función
f x, y  4 x  2 y  1 ( Andalucía. Junio 2007 )
16. Determina los valores máximo y mínimo de la función z  5x  3y sujeta a las restricciones
3x  y  4 , x  y  6 , 0  y  6 , x  5 ( Madrid . Septiembre 2003 )
17. Una fábrica de lámparas produce dos modelos A y B. El modelo A necesita 2 horas de
trabajo de chapa y 1 hora de pintura. El modelo B necesita 1 hora de chapa y dos horas de
pintura. Semanalmente se emplean como máximo 80 horas en trabajo de chapa y 100 horas en
pintura. Cada unidad del modelo A se vende 75 euros y cada unidad de B a 80 euros.
Determina el número de lámparas de cada tipo que interesa producir para que el beneficio
obtenido con su venta sea máximo.
 
18.Tenemos mesas de tipo A con 2m2 de madera , 1 hora de trabajo y un beneficio de 80
euros cada una, y mesas de tipo B con 1 m 2 de madera, 3 horas de trabajo y 50 euros de
beneficio. Si hay 600 m2 de madera y un máximo de 900 horas, determina cómo obtener el
máximo beneficio.
19. Tenemos como máximo 120 unidades de dos productos, A y B. Hay 65 unidades del A y,
con ganancias de 4 euros por unidad y 55 unidades de B, con 6,5 euros por unidad.
Determinar las cantidades que se venden para maximizar los beneficios.
20. Disponemos de 90000 m2 para construir parcelas de 3000 y 5000 m2 , tipos A y B. Los
beneficios son de 10000 euros por cada parcela A y de 20000 por cada parcela B. E l número
máximo de parcelas B es de 120 y el de parcelas A es de 150. Determina cuántas parcelas de
cada tipo necesitamos para obtener beneficios máximos.
21.Vamos a invertir en dos productos financieros A y B. La inversión en B será, al menos, de
3000 euros y no se invertirá en A más del doble que en B. El producto A proporciona un
beneficio del 10 % y B del 5%. Si disponemos de un máximo de 12000 euros ¿cuánto se debe
invertir en cada producto para maximizar el beneficio?
22. Se fabrican dos tipos de aparatos A y B en los talleres X e Y. En cada uno de los talleres se
trabajan 100 horas a la semana. Cada aparato A requiere 3 horas del taller X y 1 hora del Y, y
cada aparato B, 1 y 2 horas respectivamente. Cada aparato A se vende a 100 euros y cada
aparato B a 150 euros. Calcula el número de aparatos de cada tipo que hay que producir para
que la facturación sea máxima.
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23. Tenemos 120 refrescos de naranja y 180 de limón. Se venden en paquetes de dos tipos:
los paquetes de tipo A contienen 3 refrescos de naranja y 3 de limón y los de tipo B contienen
2 refrescos de naranja y 4 de limón. El beneficio es de 6 euros por cada paquete de tipo A y de
5 euros por cada paquete de tipo B. Halla, gráficamente, cuántos paquetes de cada tipo hay
que vender para maximizar los beneficios.
24. Para fabricar dos tipos de cable, A y B, que se venderán a 150 euros y 100 euros el
hectómetro, respectivamente, se emplean 16 Kg de plástico y 4 Kg de cobre para cada
hectómetro del tipo A y 6 Kg de plástico y 12 Kg de cobre para cada hectómetro del tipo B. El
cable fabricado de tipo B no puede ser mayor que el doble de tipo A y , además, sólo tenemos
252 Kg de plástico y 168 Kg de cobre. Determina la longitud, en hectómetros, de cada tipo de
cable para que la cantidad de dinero obtenida en su venta sea máxima.
25. Una fábrica elabora dos tipos de productos A y B. El tipo A necesita 2 obreros trabajando
un total de 20 horas y se obtiene un beneficio de 1500 euros por unidad. El tipo B necesita 3
obreros con un total de 10 horas y el beneficio es de 1000 euros por unidad . Si disponemos de
60 obreros y 480 horas de trabajo, determina la cantidad de unidades de A y de B que se
deben de fabricar para maximizar el beneficio.
26. Una fábrica de conserva tiene 800 Kg de guisantes para conservar en dos tipos de latas. La
lata pequeña contiene 200 gramos y aporta un beneficio de 10 céntimos por lata. La lata
grande contiene 500 gramos y aporta un beneficio de 30 céntimos. Si en el almacén sólo
disponemos de 2000 latas de tamaño pequeño y 1000 grandes, determina la cantidad de latas
de cada tamaño que tenemos que producir para maximizar el beneficio.
27. Un veterinario desea dar a sus animales una dieta que contenga un mínimo de 30 unidades
de pienso tipo A y 20 unidades de pienso tipo B. En el mercado se encuentran dos productos P
y Q que se elaboran con dichos piensos. Cada bolsa de P que cuesta 2,50 euros contiene 4
unidades del tipo A y 2 unidades de tipo B, mientras que cada bolsa de Q que cuesta 3,25
euros contiene 5 unidades de tipo A y 5 unidades de tipo B. ¿ Qué cantidad de P y Q deberá
comprar de P y Q para que la dieta sea de coste mínimo?
28. Un deportista necesita diariamente consumir 36 gramos de una sustancia M, 24 g de N y 8
g de P. En la farmacia han encontrado dos tipos de cápsulas que contienen estas sustancias.
Las cápsulas A tienen 6g de M, 2 g de N y 18 g de P y cuestan 3 céntimos por cápsula. Las
cápsulas B tienen 3 g de M, 4g de N y 18 g de P y cuestan 4,5 céntimos por cápsula. ¿
Cuántas cápsulas de cada tipo necesita para que el coste sea mínimo?
29. Los animales de una granja deben tomar, al menos, 60 mg de vitamina A y, al menos, 90
mg de vitamina B. Existen dos compuestos con esas vitaminas. El compuesto X contiene 10
mg de vitamina A y 15 mg de vitamina B y cada dosis cuesta 0,50 euros. El compuesto Y
contiene 10 mg de cada vitamina y cada dosis cuesta 0,30 euros. Además, se recomienda no
tomar más de 8 dósis diarias. Calcula qué dosis debe tomar para que el coste sea mínimo.
30. Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes de pasaje y
carga, para transportar a 1600 personas y 96 toneladas de equipaje. Los aviones disponibles
son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de un avión del tipo A cuesta 4000
euros y puede transportar a 200 personas y 6 toneladas de equipaje; los aviones del tipo B
cuestan 1000 euros y pueden transportar 100 personas y 15 toneladas. ¿ Cuántos aviones de
cada tipo deben contratar para que el coste sea mínimo?
31. Una empresa se dedica a elaborar lotes de productos que se venden en los
supermercados. En estos momentos están empaquetando dos lotes diferentes. El lote de tipo A
tiene 1 queso y 2 botellas de vino y su transporte cuesta 0,90 euros . El lote tipo B tiene 3
quesos y 1 botella de vino y cuesta 1´50 euros transportarlo. La empresa dispone de 200
quesos y 100 botellas de vino, y necesitan elaborar, al menos, 10 lotes de tipo A y 25 de tipo B.
¿ Cuántos lotes de cada clase han de elaborar para que los gastos en transporte sean
mínimos?
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32. Esta es la composición de los artículos A y B por los elementos M, N y P.
A
B
M
2
1
N
3
2
P
1
2
Necesitamos, al menos, 45 unidades de M, 71 de N y 25 de P, y los costes de traslado de A y
B son de 50 y 60 euros, respectivamente. Determina los artículos que hay que elaborar para
que los costes de traslado sean mínimos.
33. Un proyecto de jardinería puede llevarse a cabo por dos grupos diferentes de una misma
empresa: G y F. Se trata de ajardinar tres zonas A, B y C. En la siguiente tabla se recoge el
número de unidades que puede ajardinar cada grupo en cada zona durante una semana:
Zona A
Zona B
Zona C
Grupo G
4
10
7
Grupo F
10
5
7
Se necesita ajardinar un mínimo de 40 unidades en la zona A, 50 en la zona B y 49 en la C,
estimándose el coste semanal en 3300 euros para el grupo G y 400 para el grupo F. ¿ Cuántas
semanas deberá trabajar cada grupo para finalizar el proyecto con el mínimo coste? Expresa la
función objetivo y las restricciones del problema. Representa gráficamente la región factible y
calcula los vértices. (Galicia . Junio 2008 )
34. En un almacén de electrodomésticos hay neveras y lavadoras, pudiéndose almacenar
hasta un total de 180 unidades. Para atender adecuadamente la demanda de los clientes,
deben existir al menos 30 lavadoras y el número de neveras debe ser, al menos, igual al de
lavadoras más 20. Si el costo de cada nevera es de 450 euros y de cada lavadora es de 375
euros:
a) Formula el correspondiente problema.
b) Representa la región factible.
c) ¿ Cuántas unidades de cada electrodoméstico se han de almacenar minimizando los
costos totales? ( Canarias . Junio 2008 )
35. Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos modelos, ofreciendo el modelo A
a un precio de 15000 euros y el modelo B a un precio de 20000 euros. La oferta está limitada
por las existencias que son 20 coches del modelo A y 10 del modelo B, queriendo vender, al
menos, tantas unidades del modelo A COMO DEL b. Por otra parte, para cubrir los gastos de
esta campaña, los ingresos obtenidos en ella debe ser, al menos, de 60000 euros.
a) Plantea el problema y representa gráficamente su conjunto de soluciones.
b) ¿ Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? ¿ Cuál
es su importe? ( Murcia. Septiembre 2008)
36. Una empresa de instalaciones dispone de 195 Kg de cobre, 20 Kg de titanio y 14 Kg de
aluminio. Para fabricar 100 m de cable de tipo A se necesitan 10 Kg de cobre, 2 Kg de titanio y
1 Kg de aluminio, mientras que para fabricar 100 m de cable tipo B necesitan 15 Kg de cobre, 1
Kg de titanio y 1 K g de aluminio. El beneficio que se obtiene por 100 mde cable tipo A es de
1500 euros y por 100 m de cable tipo B es de 1000 euros. Calcula los metros de cada cable
que hay que fabricar para maximizar el beneficio de la empresa. Obtener dicho beneficio
máximo. ( Madrid. Junio 2007)