third day

Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos: el
atractor de Lorenz y la dinámica de la
herradura de Smale
Ana Rechtman
www-irma.u-strasbg.fr/∼rechtman/cv.html
3
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Ejercicios
σ : Σ2 → Σ2
. . . v−2 v−1 . v0 v1 v2 . . . 7→ . . . v−2 v−1 v0 . v1 v2 . . .
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Ejercicios
σ : Σ2 → Σ2
. . . v−2 v−1 . v0 v1 v2 . . . 7→ . . . v−2 v−1 v0 . v1 v2 . . .
Aún mejor, para toda n ∈ N demonstrar que existen 2n puntos
periódicos.
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Ejercicios
σ : Σ2 → Σ2
. . . v−2 v−1 . v0 v1 v2 . . . 7→ . . . v−2 v−1 v0 . v1 v2 . . .
Aún mejor, para toda n ∈ N demonstrar que existen 2n puntos
periódicos.
Dependencia de condiciones iniciales:
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Ejercicios
σ : Σ2 → Σ2
. . . v−2 v−1 . v0 v1 v2 . . . 7→ . . . v−2 v−1 v0 . v1 v2 . . .
Aún mejor, para toda n ∈ N demonstrar que existen 2n puntos
periódicos.
Dependencia de condiciones iniciales: demostrar que para toda
> 0 existen v , w ∈ Σ2 y n ∈ N tales que dΣ2 (v , w) < y
dΣ2 (σ n (v ), σ n (w)) > 1.
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Ejercicios
σ : Σ2 → Σ2
. . . v−2 v−1 . v0 v1 v2 . . . 7→ . . . v−2 v−1 v0 . v1 v2 . . .
Aún mejor, para toda n ∈ N demonstrar que existen 2n puntos
periódicos.
Dependencia de condiciones iniciales: demostrar que para toda
> 0 existen v , w ∈ Σ2 y n ∈ N tales que dΣ2 (v , w) < y
dΣ2 (σ n (v ), σ n (w)) > 1.
Demostrar que la dinámica es transitiva:
Ana Rechtman
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Ejercicios
σ : Σ2 → Σ2
. . . v−2 v−1 . v0 v1 v2 . . . 7→ . . . v−2 v−1 v0 . v1 v2 . . .
Aún mejor, para toda n ∈ N demonstrar que existen 2n puntos
periódicos.
Dependencia de condiciones iniciales: demostrar que para toda
> 0 existen v , w ∈ Σ2 y n ∈ N tales que dΣ2 (v , w) < y
dΣ2 (σ n (v ), σ n (w)) > 1.
Demostrar que la dinámica es transitiva: existe un punto v ∈ Σ2
tal que para toda w y > 0 existe n ∈ N tal que dΣ2 (σ n (v ), w) < .
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Regreso al atractor de Lorenz
Encontrar una herradura en el atractor de Lorenz.
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Regreso al atractor de Lorenz
Encontrar una herradura en el atractor de Lorenz.
Estudiar el patron de Williams y Guckenheimer, conocido como el
modelo geométrico de las ecuaciones de Lorenz.
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Recordatorio de la primera plática
x 0 = σ(y − x)
y 0 = rx − y − xz
z 0 = xy − bz.
con σ, r , b > 0
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Recordatorio de la primera plática
x 0 = σ(y − x)
y 0 = rx − y − xz
z 0 = xy − bz.
con σ, r , b > 0 (σ = 10, b = 8/3, r = 28).
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Recordatorio de la primera plática
x 0 = σ(y − x)
y 0 = rx − y − xz
z 0 = xy − bz.
con σ, r , b > 0 (σ = 10, b = 8/3, r = 28).
Para 0 < r ≤ 1, hay un sólo punto fijo que es el origen y todos sus
valores propios son reales y negativos.
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Recordatorio de la primera plática
Si r > 1, tenemos dos nuevos puntos fijos
p
p
p1 = ( b(r − 1), b(r − 1), r − 1)
p
p
p2 = (− b(r − 1), − b(r − 1), r − 1).
cuyos valores propios cambian pero su parte real es siempre negativa.
El origen es, para r > 1, un punto hiperbólico con dos dimensiones
atractoras y una expulsora.
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Recordatorio de la primera plática
Cuando r crece,
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Recordatorio de la primera plática
Para r = r0 ∼ 13,926,
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Recordatorio de la primera plática
Para r > r0 ∼ 13,926,
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Buscando una herradura
Para r > r0 ∼ 13,926, buscamos una sección de Poincaré.
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Buscando una herradura
Para r > r0 ∼ 13,926, buscamos una sección de Poincaré.
Llamamos E al rectángulo.
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Buscando una herradura
Para r > r0 ∼ 13,926, buscamos una sección de Poincaré.
Llamamos E al rectángulo. Para x ∈ E definimos T (x) ∈ E como el
primer retorno
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Buscando una herradura
Para r > r0 ∼ 13,926, buscamos una sección de Poincaré.
Llamamos E al rectángulo. Para x ∈ E definimos T (x) ∈ E como el
primer retorno (si existe).
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Buscando una herradura
Para r > r0 ∼ 13,926, buscamos una sección de Poincaré.
Llamamos E al rectángulo. Para x ∈ E definimos T (x) ∈ E como el
primer retorno (si existe).
Observación o complicación
La variedad estable del origen intersecta a E en una curva `.
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Buscando una herradura
Para r > r0 ∼ 13,926, buscamos una sección de Poincaré.
Llamamos E al rectángulo. Para x ∈ E definimos T (x) ∈ E como el
primer retorno (si existe).
Observación o complicación
La variedad estable del origen intersecta a E en una curva `. Si x ∈ `,
la órbita no regresa a E.
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Buscando una herradura
Ana Rechtman
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Buscando una herradura
¿Cuál es la imagen de los rectángulos A, B, C y D?
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Buscando una herradura
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Buscando una herradura
Ana Rechtman
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La “herradura” en el sistema de Lorenz
De manera más esquemática tenemos
Ana Rechtman
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La “herradura” en el sistema de Lorenz
De manera más esquemática tenemos
Ana Rechtman
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La “herradura” en el sistema de Lorenz
De manera más esquemática tenemos
¿Por qué digo que esto es una herradura?
Ana Rechtman
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La “herradura” en el sistema de Lorenz
De manera más esquemática tenemos
¿Por qué digo que esto es una herradura?
Ana Rechtman
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La “herradura” en el sistema de Lorenz
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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La “herradura” en el sistema de Lorenz
El conjunto invariante (maximal) de T es un conjunto hiperbólico.
Ana Rechtman
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La “herradura” en el sistema de Lorenz
El conjunto invariante (maximal) de T es un conjunto hiperbólico.

0
1
A=
0
1
Ana Rechtman
0
1
0
1
1
0
1
0

1
0

1
0
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Dinámica simbólica asociada
Matriz de transición

0
1
A=
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0

1
0

1
0
A define un subconjunto de Σ4 de sucesiones admisibles que
codifican la dinámica del conjunto invariante de T .
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Otro manera de verlo: el patrón de Williams
Ana Rechtman
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Otro manera de verlo: el patrón de Williams
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Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Otro manera de verlo: el patrón de Williams
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Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Otro manera de verlo: el patrón de Williams
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Otro manera de verlo: el patrón de Williams
La dinámica de una aplicación así está conjugada a la dinámica de la
aplicación x 7→ 2x mod(1).
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La aplicación x 7→ 2xmod(1)
¿Cuál es la dinámica de las iteraciones positivas de x 7→ 2xmod(1)?
Ana Rechtman
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La aplicación x 7→ 2xmod(1)
La segunda iteración
Ana Rechtman
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La aplicación x 7→ 2xmod(1)
La segunda iteración
... y el desplazamiento
La aplicación x 7→ 2xmod(1) está conjugada al desplazamiento en Σ+
2.
Ana Rechtman
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Nudos y flujos en dimensión 3
Teorema (Ghrist)
Existe un flujo en S3 tal que todo nudo aparece como órbita periódica.
Ana Rechtman
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¿Cómo se ve S3 ?
S3 y el mapeo de Hopf
S3 = {(z1 , z2 ) ∈ C2 | |z1 |2 + |z2 |2 = 1},
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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¿Cómo se ve S3 ?
S3 y el mapeo de Hopf
S3 = {(z1 , z2 ) ∈ C2 | |z1 |2 + |z2 |2 = 1},
h : S3 → S2 ' R ∪ {∞}
z1
(z1 , z2 ) 7→
z2
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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¿Cómo se ve S3 ?
S3 y el mapeo de Hopf
S3 = {(z1 , z2 ) ∈ C2 | |z1 |2 + |z2 |2 = 1},
h : S3 → S2 ' R ∪ {∞}
z1
(z1 , z2 ) 7→
z2
¿Qué son las fibras?
Ana Rechtman
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Fibración de Hopf
Estudiemos los siguientes conjuntos:
Las fibras h−1 (p) con p ∈ R2 ∪ {∞}, si
1
p = ∞;
Ana Rechtman
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Fibración de Hopf
Estudiemos los siguientes conjuntos:
Las fibras h−1 (p) con p ∈ R2 ∪ {∞}, si
1
2
p = ∞;
p = 0;
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Fibración de Hopf
Estudiemos los siguientes conjuntos:
Las fibras h−1 (p) con p ∈ R2 ∪ {∞}, si
1
2
3
p = ∞;
p = 0;
p ∈ R2 \ {0} ' C∗ .
La imagen inversa del círculo {p ∈ R2 | |p|2 = 1}.
Ana Rechtman
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Flujos en S3 y órbitas periódicas
Flujo de Hopf
Tomamos un campo vectorial tangente a los círculos de Hopf y de
norma 1,
Ana Rechtman
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Flujos en S3 y órbitas periódicas
Flujo de Hopf
Tomamos un campo vectorial tangente a los círculos de Hopf y de
norma 1, en particular la caractéristica de Euler de S3 es cero,
Ana Rechtman
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Flujos en S3 y órbitas periódicas
Flujo de Hopf
Tomamos un campo vectorial tangente a los círculos de Hopf y de
norma 1, en particular la caractéristica de Euler de S3 es cero, el flujo
de dicho campo vectorial es
(z1 , z2 ) 7→ (eit z1 , eit z2 ) = φt (z1 , z2 ).
Ana Rechtman
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Flujos en S3 y órbitas periódicas
Flujo de Hopf
Tomamos un campo vectorial tangente a los círculos de Hopf y de
norma 1, en particular la caractéristica de Euler de S3 es cero, el flujo
de dicho campo vectorial es
(z1 , z2 ) 7→ (eit z1 , eit z2 ) = φt (z1 , z2 ).
Entonces, φ2π = φ0 = Id.
¿Cómo construir un flujo en S3 con sólo 2 órbitas periódicas?,
Ana Rechtman
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Flujos en S3 y órbitas periódicas
Flujo de Hopf
Tomamos un campo vectorial tangente a los círculos de Hopf y de
norma 1, en particular la caractéristica de Euler de S3 es cero, el flujo
de dicho campo vectorial es
(z1 , z2 ) 7→ (eit z1 , eit z2 ) = φt (z1 , z2 ).
Entonces, φ2π = φ0 = Id.
¿Cómo construir un flujo en S3 con sólo 2 órbitas periódicas?, ¿1?
Ana Rechtman
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Teorema para mañana
Teorema (K. Kuperberg)
Sea M una variedad compacta y sin frontera de dimensión 3.
Entonces M admite un campo vectorial sin singularidades y sin órbitas
periódicas de clase C ∞ .
Ana Rechtman
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Teorema para mañana
Teorema (K. Kuperberg)
Sea M una variedad compacta y sin frontera de dimensión 3.
Entonces M admite un campo vectorial sin singularidades y sin órbitas
periódicas de clase C ∞ .
Demostración
Ana Rechtman
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Un poco de historia precedente al teorema de Kuperberg
Desde 1950
Seifert pregunta si todo campo vectorial no singular en S3 tiene
una órbita periódica.
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Un poco de historia precedente al teorema de Kuperberg
Desde 1950
Seifert pregunta si todo campo vectorial no singular en S3 tiene
una órbita periódica.
Wilson construye ejemplos con un número finito de órbitas
periódicas, en cualquier variedad compacta y sin frontera.
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Un poco de historia precedente al teorema de Kuperberg
Desde 1950
Seifert pregunta si todo campo vectorial no singular en S3 tiene
una órbita periódica.
Wilson construye ejemplos con un número finito de órbitas
periódicas, en cualquier variedad compacta y sin frontera.
Schweitzer construye ejemplos sin órbitas periódicas de clase C 1 ,
en cualquier variedad compacta y sin frontera.
Ana Rechtman
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Restricción a familias de campos de vectoriales
En dimensión 3, sabemos que algunas familias de campos vectoriales
siempre tienen órbitas periódicas:
Ana Rechtman
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Restricción a familias de campos de vectoriales
En dimensión 3, sabemos que algunas familias de campos vectoriales
siempre tienen órbitas periódicas:
Los campos de Reeb de una estructura de contacto (Taubes).
Ana Rechtman
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Restricción a familias de campos de vectoriales
En dimensión 3, sabemos que algunas familias de campos vectoriales
siempre tienen órbitas periódicas:
Los campos de Reeb de una estructura de contacto (Taubes).
Los campos geodesibles que preservan un volumen si la variedad
no es un fibrado en toros sobre el círculo (Hutchings - Taubes, R.)
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Restricción a familias de campos de vectoriales
En dimensión 3, sabemos que algunas familias de campos vectoriales
siempre tienen órbitas periódicas:
Los campos de Reeb de una estructura de contacto (Taubes).
Los campos geodesibles que preservan un volumen si la variedad
no es un fibrado en toros sobre el círculo (Hutchings - Taubes, R.)
Los campos geodesibles de clase C ω en S3 (R.)
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Restricción a familias de campos de vectoriales
En dimensión 3, sabemos que algunas familias de campos vectoriales
siempre tienen órbitas periódicas:
Los campos de Reeb de una estructura de contacto (Taubes).
Los campos geodesibles que preservan un volumen si la variedad
no es un fibrado en toros sobre el círculo (Hutchings - Taubes, R.)
Los campos geodesibles de clase C ω en S3 (R.)
Las soluciones de la ecuación autónoma de Euler de clase C ω y
cuando la variedad no es un fibrado en toros sobre el círculo
(Etnyre - Ghrist).
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Restricción a familias de campos de vectoriales
En dimensión 3, sabemos que algunas familias de campos vectoriales
siempre tienen órbitas periódicas:
Los campos de Reeb de una estructura de contacto (Taubes).
Los campos geodesibles que preservan un volumen si la variedad
no es un fibrado en toros sobre el círculo (Hutchings - Taubes, R.)
Los campos geodesibles de clase C ω en S3 (R.)
Las soluciones de la ecuación autónoma de Euler de clase C ω y
cuando la variedad no es un fibrado en toros sobre el círculo
(Etnyre - Ghrist).
Teorema (G. Kuperberg)
Toda variedad compacta y sin frontera de dimensión 3 admite un
campo vectorial no singular y sin órbitas periódicas que preserva el
volumen de clase C 1 .
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Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Construcción de K. Kuperberg - paso 1
Los cilindros con coordenada r =constante son invariantes.
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Construcción de K. Kuperberg - paso 2
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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La trampa de K. Kuperberg
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Autoinserciones
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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La desigualdad del radio
Salvo en los puntos especiales,
r̃ > r .
Ana Rechtman
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