Unitat_8.pdf

·
U NITAT
LLOCS
DIDÀCTICA
GEOMÈTRICS.
Pàgina 187
■
β = 90°
β>α
β=α
β<α
π PASSA
PEL VÈRTEX
punt
punt
recta
paràbol·la
circumferència
el·lipse
paràbol·la
paràbol·la
π NO
PASSA PEL
VÈRTEX
Pàgina 189
1. a) 3x + y = 2
b) b1 = –3 √5 + 16 √26
b2 = –3 √5 – 16 √26
c) x2 + y2 + 6x – 8y = 0
Pàgina 191
2. x2 + y2 + 10x – 24y = 0
3. Una circumferència de centre –3, 0 i
radi 3.
Pàgina 193
4. (6, –2)
5. b = ±3 √2
6. dist(0C, s1) ≈ 7,8 exterior a la circumferència
dist(0C, s2) ≈ 4 secant amb la circumferència
dist(0C, s3) ≈ tangent a la circumferència
Pàgina 195
7. (1, 2) i (–1, –2)
8. a) Tangents interiors, al punt (–2, 0)
b) Tangents exteriors, al punt (3, 0)
Pàgina 197
9. √(x – 4)2 + y2 + √(x + 4)2 + y2 = 10
10. √(x – 5)2 + y2 – √(x + 5)2 + y2 = 6
11. √(x + 1)2 + y2 = x – 1
8
CÒNIQUES
Resultat coincident amb el desenvolupament.
Pàgina 199
12. a = 13, b = 12, c = 5
exc = 0,38
x2 + y2 = 1
169 144
Solució gràfica.
Pàgina 200
13. Excentricitat = √3
Solució gràfica.
14. Excentricitat = 0,87
Solució gràfica.
Pàgina 202
15. a = 3; b = 4; c = 5
)
exc = 5 = 1,6
3
asímp: y = 4 x; y = – 4 x
3
3
x2 – y2 = 1
9
16
Solució gràfica.
Pàgina 203
16. Solució gràfica.
17. Solució gràfica.
Pàgina 204
18. y2 = 6x
19. x2 = 8y
Pàgina 206
1. Resultat coincident amb el desenvolupament.
2. Resultat coincident amb el desenvolupament.
Matemàtiques 1
33
·
Matemàtiques 1
34
LLOCS
GEOMÈTRICS.
3. Solució gràfica.
Pàgina 211
20. a) x2 + y2 = 5
b) x2 + y2 – 4x + –9 = 0
4
2
2
c) x + y + 4x + 3y + 6 = 0
21. a) centre (4, –1)
radi = √7
b) No és cap circumferència.
c) No és cap circumferència.
d) centre (4, 0)
radi = 2
e) centre (–3, –5)
radi = 2
22. a) x2 + y2 + 4x – 2y – 24 = 0
b) (x – 2)2 + (y – 4)2 = 5
c) (x + 1)2 + (y + 5)2 = 52
d) (x – 3)2 + (y – 5)2 = 25
23. Una circumferència de centre P(–3, 2)
i radi 5.
x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0
Solució gràfica.
24. Radi de la circumferència = 2, centre
(–3, –1)
No es tallen en cap punt. Recta externa a
la circumferència.
25. a) Són secants.
b) Són exteriors.
c) Són tangents.
26. b = ± √2
27. Distància = 2 . Com que és menor
√5
que el radi ( √2 ), la recta és secant a la circumferència.
28. a) Com que radi = distància, són tangents.
b) Un únic punt de tall (2, 0): és tangent.
29. a) Focus = (8, 0) i (–8, 0)
exc = 0,8
CÒNIQUES
a = 10; b = 6; c = 8
Solució gràfica.
b) Focus = (0, 6) i (0, –6)
exc = 6 = 0,6
10
a = 10; b = 8; c = 6
Solució gràfica.
( ) (
c) Focus = 4 , 0 i – 4 , 0
3
3
)
exc = 4 = 0,8
5
a = 5 ; b = 1; c = 4
8
3
Solució gràfica.
(
) (
d) Focus = 0, √5 i 0, – √5
6
6
)
exc = √5
3
a = 1 ; b = 1 ; c = √5
2
3
6
Solució gràfica.
2
2
30. a) x + y = 1
25 21
2
2
c) x + 16y = 1
25
225
Pàgina
2
31. x
25
2
32. x
4
2
33. x
18
2
2
b) x + y = 1
36 27
2
d) 4x + y2 = 1
3
212
2
+ y =1
9
2
+ y =1
3
2
+ y =1
2
34. a) És una el·lipse.
b) Vèrtexs: 4 , 0 i – 4 , 0
3
3
( ) ( )
Focus: ( 5 , 0) i (– 5 , 0)
3
3
·
LLOCS
Asímptotes: y = 3 x i y = – 3 x
4
4
Solució gràfica.
c) Vèrtexs: (1, 0) i (–1, 0)
Focus: √5 , 0 i – √5 , 0
2
2
) (
CÒNIQUES
h) Vèrtexs: (0, 4) i (0, –4)
Focus: (0, √20 ) i (0, – √20 )
Exc. = 5 = 1,25
4
(
GEOMÈTRICS.
)
Exc. = √5 = 1,12
2
Asímptotes: y = 1 x i y = – 1 x
2
2
Solució gràfica.
d) Vèrtexs: (2, 0) i (–2, 0)
Focus: ( √5 , 0) i (– √5 , 0)
Exc. = √5 = 1,12
2
Asímptotes: y = 1 x i y = – 1 x
2
2
Solució gràfica.
e) Vèrtexs: (0, 2) i (0, –2)
Focus: (0, √40 ) i (0, – √40 )
Exc. = √40 = 3,16
2
Asímptotes: y = 1 x i y = – 1 x
3
3
Solució gràfica.
f ) Vèrtexs: (0, 4) i (0, –4)
Focus: (0, √17 ) i (0, – √17 )
Exc. = √17 = 1,03
4
Asímptotes: y = 4x i y = –4x
Solució gràfica.
g) Vèrtexs: (2, 0) i (–2, 0)
Focus: ( √13 , 0) i (– √13 , 0)
Exc. = √13 = 1,80
2
Asímptotes: y = 3 x i y = – 3 x
2
2
Solució gràfica.
Exc. = √20 = 1,12
4
Asímptotes: y = 2x i y = –2x
Solució gràfica.
2
2
2
2
35. a) x – y = 1
b) x – 25y = 1
4
12
4
4
2
2
2
c) 9x – y = 1
d) x 2 – y = 1
35
35
8
2
2
36. x – y = 1
9
7
2
2
x
11y
37.
–
=1
9
135
38. a) Vèrtex: (0, 0)
Focus: 3 , 0
2
Directriu: x = – 3
2
Solució gràfica.
b) Vèrtex: (0, 0)
Focus: – 3 , 0
2
Directriu: x = 3
2
Solució gràfica.
( )
(
)
c) Vèrtex: (0, 0)
Focus: 0, 1
4
Directriu: y = – 1
4
Solució gràfica.
( )
d) Vèrtex: (0, 0)
Focus: 0, 1
16
(
)
Directriu: y = – 1
16
Solució gràfica.
e) Vèrtex: (1, 0)
Focus (2, 0)
Directriu: x = 0
Matemàtiques 1
35
·
Matemàtiques 1
36
LLOCS
GEOMÈTRICS.
Solució gràfica.
f ) Vèrtex: (0, 2)
Focus (2, 2)
Directriu: x = –2
Solució gràfica.
g) Vèrtex: (0, –1)
Focus (0, 0)
Directriu: x = –2
Solució gràfica.
h) Vèrtex: (2, 0)
Focus 1 , 0
2
Directriu: x = 7
2
Solució gràfica.
39. a) y2 = 20x b) x2 = –12y;
c) y2 = 9 x; x2 = 4 y
2
3
2
40. (x – 3) = 6y
41. (y – 1)2 = 10 x + 1
2
( )
(
)
42. a) –x + y + 5 = 0
b) x = –1
2
c) y = 3
43. x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0
Solució gràfica.
44. x2 + y2 = 25
Solució gràfica.
45. Una recta d’equació: 2x + y = 5
Pàgina 213
46. –4x – 3y = 19
–4x + 3y = 41
|3x
–
5y
+
11|
|3x
– 5y + 3|
47.
=
2
2
2
√3 + (–5)
√3 + (–5)2
• Tenint en compte el valor absolut, 3x –
5y + 7 = 0.
• És una recta paral·lela a les altres dues,
que passa entremig seu, a igual distància
de totes dues.
48. –8x – 64y = –139
112x – 14y = –69
CÒNIQUES
49. a) És una el·lipse
Vèrtexs: (0, 2); (0, –2); (3, 0) i (–3, 0)
Focus: ( √5 , 0) i (– √5 , 0)
Exc: √5 = 0,75
3
Solució gràfica.
b) És una hipèrbola
Vèrtexs: (3, 0) i (–3, 0)
Focus: (5, 0) i (–5, 0)
)
Exc: 5 = 1,6
3
Asímptotes: y = 4 x i y = – 4 x
3
3
Solució gràfica.
c) És una circumferència
Centre: (0, 0)
Radi: 5
3
Solució gràfica.
d) És una hipèrbola
Vèrtexs: (4, 0) i (–4, 0)
Focus: ( √20 , 0) i (– √20 , 0)
Exc: √20 = 1,12
4
Asímptotes: y = 1 x i y = – 1 x
2
2
Solució gràfica.
e) És una paràbola
Directriu: x = – 7
2
Focus: 7 , 0
2
Solució gràfica.
f ) És una el·lipse
a = 6; b = 5 ; c = √119
2
2
( )
( )( )
Focus: ( √119 , 0) i (– √119 , 0)
2
2
Vèrtexs: 0, 5 ; 0, – 5 ; (6, 0) i (–6, 0)
2
2
·
LLOCS
Exc: √119/2 = 0,91
6
Solució gràfica.
(
GEOMÈTRICS.
)
2
50. a) (x + 2)2 + y – 5 = 25
2
4
2
2
b) x + y – 4x – 3y = 0
c) x2 + y2 – 6x –2y – 15 = 0
2
2
51. 4x + y = 1
265
265
52. No existeix cap hipèrbola que compleixi aquestes característiques.
2
2
53. 2x – 2y = 1
25
25
2
2
54. 17x – 17y = 1
50
18
2
55. (x – 9) + (y + 3)2 = 100
56. a) x2 = 4(y + 1)2
b) y2 = 6 x – 1
2
(
)
(
)
c) (x – 1)2 = 2 y – 1
2
2
2
57. a) x + y + 2x – 2y – 2 = 0
b) y = x + 2(1 – √2 )
y = x + 2( √2 – 1)
58. x2 + y2 – 6x – 4y + 324 = 0
25
El punt (3, 3) és exterior.
59. a) És la seva mediatriu.
4x – 2y – 6 = 0
b) 2 solucions (0, –3) i 12 , 9
5 5
60. a) Tangents interiors, al punt (–2, 0)
b) Tangents exteriors, al punt (3, 0)
(
)
Pàgina 214
2
2
61. (x – 1) + (y – 2) = 1
36
32
62. x = –3
2
2
63. x – y = 1
4
12
b) És una hipèrbola de focus a (4, 0) i
(–4, 0)
64. –3x2 + y2 + 120x – 1 008 = 0
Matemàtiques 1
37
CÒNIQUES
Solució gràfica.
65. x2 + y2 = –3
És una el·lipse.
66. a) Centre (3, –2)
a=5ib=3
Solució gràfica.
b) Centre (3, –2)
a=3ib=5
Solució gràfica.
c) Centre (3, –2)
a=4ib=2
Solució gràfica.
d) Centre (3, –2)
a=2ib=4
Solució gràfica.
67. a) IV b)V c) VI
f ) XI
g) XII
h) III
k) IX
l) X
d) I
i) II
e) VIII
j) VII
Pàgina 215
68. a) x 2 + y 2 – 25 = 0
radi = 5
2
b) x2 + y2 + a – k = 0
2
2
–a –k
2
per tant, cal que k > a2 perquè sigui realment una circumferència.
69. x2 + y2 – 30x – 10y + 225 = 0
70. x2 + y2 – 2x – 10y + 1 = 0
71. x2 + y2 – 2x – 20y + 1 = 0; o
x2 + y2 – 26x + 12y + 105 = 0
72. (y – 3)2 = 2(x – 2), o
(x – 2)2 = 2(y – 3)
2
2
73. a) Realment: (x – 2) + (y + 3) = 1
16
9
El·lipse de centre (2, –3)
Vèrtexs: (2, 0); (2, –6); (6, –3) i (–2, –3)
Focus: (2 + √7 , –3) i (2 – √7 , –3)
Exc: √7 = 0,66
4
on radi =
√
·
Matemàtiques 1
38
LLOCS
GEOMÈTRICS.
2
b) Realment: (x – 1) + y2 = 1
4
Hipèrbola de centre (1, 0)
Vèrtexs: (3, 0) i (–1, 0)
Focus: (1 + √5 , 0) i (1 – √5 , 0)
Exc: √5 = 1,12
2
2
c) Realment: x + (y + 2)2 = 1
9
El·lipse de centre (0, –2)
Vèrtexs: (0, –1); (0, –3); (3, –2) i (–3, –2)
Focus: ( √8 , –2) i (– √8 , –2)
Exc: √8 = 0,94
3
74. Una circumferència d’igual centre i radi superior.
Centre (2, –3) i radi √13
x2 + y2 – 4x + 6y = 0
75. a) (x – 6)2 + (y + 1)2 = 16
És una paràbola
b) Solució gràfica.
k=8
76. a) 2x = √4 – y2
2
b) És una el·lipse x2 + y = 1
4
4
2
2
77. x + y – y = 2
3
2
78. x = –4(y – 2)
CÒNIQUES
79. a) x = 2 + 2λ ⎧
⎨r
a)
y=1+λ ⎩
a)
x = 2 + 2α ⎧
⎨s
a)
y = –1 – α ⎩
b) r → (2 + 2λ, 1 + λ)
s → (2 + 2α, –1 – α)
c) (2 + 2λ) + (2 + 2α) , (1 + λ) + (–1 – α)
2
2
(
)
d) √(2 + 2λ – 2 –2α) + (1 + λ + 1 + α) = 4
e) (2λ – 2α)2 + (2 + λ + α)2 = 16 →
→ (4y)2 + x2 = 16
f ) És una el·lipse.
2
2
Pàgina 218
1. La persona que parla es troba en el focus de l’el·lipse que forma la volta de
l’andana. Les ones sonores reboten a la volta, dirigint-se cap al focus contrari, on la
persona que és allà pot sentir perfectament
la persona de l’andana contrària.
2. Fent servir l’esquema de la pàgina 217,
s’observa que una trajectòria, passant pel
focus F, genera un rebot en direcció al focus F!
3. 3x + 5y – 30 = 0 → correcte.
4. 5x – 4y – 16 = 0 → correcte.
5. x – y + 3 = 0 → correcte.