solu2.pdf

ÀLGEBRA DE MATRIUS
UNITAT 2
Pàgina 30
Els sis consellers d’una empresa (A, B, C, D, E, F) han d’escollir un president d’entre
ells mateixos. Cadascun opina, sobre els altres i sobre si mateix de la manera següent:
– Si creu que és idoni, posa 1.
– Si creu que és no idoni, posa –1.
– Si no té una opció definida, posa 0.
Aquests en són els resultats:
A
B
C
D
E
F
(
A
–1
–1
–0
–1
–1
–1
B
–1
–0
–1
–0
–1
–0
C
–1
–1
–1
–1
–1
–0
D
–1
–0
–1
–0
–1
–0
E
–1
–1
–0
–1
–1
–1
F
–1
–0
–0
–0
–0
–0
)
Per exemple, el –1 assenyalat en vermell significa que D opina que E és no idoni.
Amb l’ajuda de la taula, estudia detalladament els resultats de la votació, analitza algunes característiques dels participants i opina qui creus que hauria de
ser president.
El candidat C és qui té més suport.
En un país A hi ha tres aeroports internacionals, A1, A2, A3, mentre que en el país B
n’hi ha quatre, B1, B2, B3, B4.
Una persona que dilluns vulgui anar de A a B disposa dels vols següents:
A
B
A1
B1
A2
A3
Unitat 8. Àlgebra de matrius
B2
B3
B4
81
La informació anterior pot ser representada mitjançant la taula següent:
B1
B2
B3
B4
A1
1
0
2
0
A2
0
1
1
1
A3
0
0
0
1
Aquí tens representats, mitjançant fletxes, els vols que hi ha dimarts des del
país B fins al país C.
B
C
B1
C1
B2
B3
C2
B4
Representa, mitjançant una taula com l’anterior, la informació recollida en el
diagrama.
C1
C2
B1
3
2
B2
1
0
B3
1
0
B4
0
2
Una persona vol sortir dilluns de A, passar la nit a B i arribar dimarts a C.
Quantes possibles combinacions té per cada punt de sortida i cada punt d’arribada? Una bona manera de presentar la resposta que ens demanen és omplint una taula com aquesta:
C1
A1
C2
5
A2
A3
En total tenim 5 possibles formes d’anar de A1 a C1.
Continua tu, omplint raonadament la resta de la taula i explica, en cada cas,
com arribes a la resposta.
Unitat 2. Àlgebra de matrius
82
Pàgina 33
1. Escriu les matrius transposades de:
( )
3 1
A= 2 5
7 6
B=
(
2 5 7
4 1 0
(
1 3 5 –1
C= 0 2 4 1
6 1 0 3
)
( )
1 7 4
E = 7 –1 0
4 0 3
(
Bt
2 4
= 5 1
7 0
Et
1 7 4
= 7 –1 0
4 0 3
7
2
D=
0
6
4
1
1
3
(
1
0
7
2
)
At
3 2 7
=
1 5 6
Dt
7 2 0 6
= 4 1 1 3
1 0 7 2
(
)
)
F = (5 4 6 1)
( )
(
)
)
( )
()
Ct
1
3
=
5
–1
Ft
5
4
=
6
1
0
2
4
1
6
1
0
3
2. Escriu una matriu X de tal manera que X t = X.
Per exemple, X =
(
)
1 2 –1
2 3 0 .
–1 0 4
3. Escriu una matriu que descrigui el següent:
( )
2
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
1
0
1
1
0
0
0
0
2
0
Unitat 2. Àlgebra de matrius
83
Pàgina 34
4. Siguin les matrius:
A=
( 14
0 –2
1 –3
)
B=
( ––14
0 1
1 3
)
C=
( 78
1 –1
–10 0
)
D=
( –36
1 5
2 4
)
Calcula E = 2A – 3B + C – 2D.
E=
( 28
) (
) (
) (
) (
0 –4
–3 0 3
7 1 –1
–6 2 10
18 –1 –18
–
+
–
=
2 –6
–12 3 9
8 –10 0
12 4 8
16 –15 –23
)
Pàgina 37
5. Efectua tots els possibles productes entre les matrius següents:
(
1 2
A=
–2 5
3
1
)
(
( )
7
–1
B=
0
3
0
1
1
4
)
( )
(
2 7 1
6 3 0
–2 –5 1
(
8 –2 4 5
A·C=
;
24 –4 –1 –10
22 28
C · B = 39 3 ;
–9 –4
C=
)
7 18 –4
A·D=
;
0 30 5
(
)
–6 –1 2 5
D · C = 26 5 2 0 ;
28 38 –1 10
5
0
0
) (
1 –1 1
D= 0 5 2
2 3 –3
)
( )
7
–3
B·A=
–2
–5
D·D=
(
14 21
3 –2
5 1
26 13
3 –3 –4
4 31 4
–4 4 17
)
6. Intenta aconseguir una matriu I3 de dimensió 3 × 3 que, multiplicada per
qualsevol matriu quadrada A (3 × 3), la deixi igual.
És a dir: A · I3 = I3 · A = A
La matriu I3 s’anomena matriu unitat d’ordre 3. Quan la tinguis, sabràs obtenir una matriu unitat de qualsevol ordre.
( )
1 0 0
I3 = 0 1 0
0 0 1
Unitat 2. Àlgebra de matrius
84
Pàgina 38
7. Comprova les propietats 2 i 3 anteriors, referents al producte de nombres per
matrius, prenent: a = 3, b = 6
A=
(
3 5 –1
2 –3 0
(
)
B=
)
(
7 –2 1
4 6 8
)




9 15 –3
18 30 –6
27 45 –9 
3A + 6A =
+
=

6 –9 0
12 –18 0
18 –27 0 
2) 9A =
27 45 –9
18 –27 0
(
) (
) (
) (
) (
)
) (
)
9A = 3A + 6A
(




9 15 –3
21 –6 3
30 9 0 
3A + 3B =
+
=

6 –9 0
12 18 24
18 9 24 
3) 3(A + B) = 3
(
10 3 0
30 9 0
=
6 3 8
18 9 24
)
3(A + B) = 3A + 3B
4) 1 · A =
(
)
3 5 –1
=A
2 –3 0
Pàgina 39
8. Comprova les propietats distributives per a les matrius següents:
( )
1 4
A= 0 5
1 6
(
–1 5 6 7
B=
3 0 9 –2
)
(
4 1 6 0
C=
0 –1 5 5
(
)
)(
)
()
1
2
D=
–5
3





11 5 42 –1
4 –3 26 20
15 2 68 19 

A · B + A · C = 15 0 45 –10 + 0 –5 25 25 = 15 –5 70 15 
17 5 60 –5
4 –5 36 30
21 0 96 25 
A · (B + C) = A ·
(
15 2 68 19
3 6 12 7
= 15 –5 70 15
3 –1 14 3
21 0 96 25
(
)
)(
)
A · (B + C) = A · B + A · C


( 33 –16 1214 73 ) · D = ( –24
–60 ) 

0
–24
–24 
B·D+C·D=(
+
=

–48 ) ( –12 ) ( –60 ) 
(B + C) · D =
(B + C) · D = B · D + C · D
Unitat 2. Àlgebra de matrius
85
Pàgina 41
19. Calcula, utilitzant el mètode de Gauss, la inversa de cada una de les matrius
següents o esbrina que no la té:
a)
a)
b)
( ) ( ) ( )
(  )
(  )
(  )
(  )
(
)
(  )
(  )
1 1
0 1
1 2
3 4
b)
c)
1 2
–2 –4
1 0
0 1
1 1
0 1
1 0
0 1
1a
1a – 2a
1 2
3 4
1 0
0 1
1a
3 · 1a – 2a
1 –1
0 1
( )
( 
1 –1
Solució: A–1 = 0 1
1 2
0 2
1 0
3 –1
1 2
0 0
1 0
2 1
1a – 2a
2a : 2
1 0
0 1
–2 1
3/2 –1/2
)
–2 –1
Solució: A–1 = 3/2 –1/2
c)
1 2 1 0
–2 –4 0 1
1a
2 · 1a + 2a
Fila de zeros. La matriu no té inversa.
10. Calcula la inversa de cada una de les matrius següents o esbrina que no la té:
1 2 3
a) 4 5 6
7 8 9
(
(
(
) (
1 2
a) 4 5
7 8
3
6
9



1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 2
0 3
0 0
3
6
0



1 0 0
4 –1 0
1 –2 1
) (
)
(
)
1 2 3
b) 0 1 2
1 2 4
1 1 3
c) 1 2 1
2 0 0
)
1 2 3
0 3 6
0 6 12



1a
4 · 1a – 2a
7 · 1a – 3a
1 0 0
4 –1 0
7 0 –1
)
1a
2a
2 · 2a – 3a
Fila de zeros. La matriu no té inversa.
(
(
3
2
4



1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 –1
0 1 0
0 0 –1



1 –2 0
2 1 –2
1 0 –1
1 2
b) 0 1
1 2
Solució:
A–1
(
)
)
0 –2 1
= 2 –1 –2
–1 0 1
Unitat 2. Àlgebra de matrius
1a
2a
1a – 3a
1a – 3a
2a
– 3a
)
(
(
1 2 3
0 1 2
0 0 –1



1 0 0
0 1 0
1 0 –1
1 0
0 1
0 0



0 –2 1
2 1 –2
–1 0 1
0
0
1
)
)
1a – 2 · 2a
2a + 2 · 3a
3a
86
(
(
3
1
0



1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 5
0 –1 2
0 0 10



2 –1 0
1 –1 0
4 –2 –1
1 1
c) 1 2
2 0
Solució:
A–1
(
)
)
(
1a
1a – 2a
2 · 1a – 3a
1a – 3a/2
1/5 · 3a – 2a
3a : 10
0
0
1/2
–1/5
3/5
–1/5
=
2/5 –1/5 –1/10
)
(
1 0
0 1
0 0
Pàgina 43
11. Calcula x, y, z, t perquè es compleixi:
( )( ) (
x y
2x – z 2y – t
=
z t
z
t
2y – t = 1
z=0
t=2
Solució:









2x – z = 5
x=
5
2
y=
3
2
z=0
t=2
( ) (









2 –1
0 1
x y
5/2 3/2
=
z t
0
2
12. Per a les matrius: A =



1 1 3
0 –1 2
0 2 6
(
0
0
1
1 0 0
1 –1 0
2 0 –1
 0
 –1/5
 2/5
)
1a + 2a
2a
2 – 2a + 3a
0
1/2
3/5 –1/5
–1/5 –1/10
)
)( ) ( )
x y
2 –1
5 1
·
=
z t
0 1
0 2
) ( )
5 1
0 2
=
)
( )
(
)
( )
1 0
–1 5
4 0
, B=
, C=
, comprova:
2 7
4 –1
1 1
a) A · (B + C ) = (A · B ) + (A · C )
b) (A + B ) · C = (A · C ) + (B · C )
c) A · (B · C ) = (A · B ) · C
( ) ( )
( ) ( ) (
)







A · (B + C) = A · B + A · C
( ) ( )
( ) ( ) ( )







(A + B) · C = A · C + B · C
a) A · (B + C) = A ·
A·B+A·C=
b) (A + B) · C =
–1 5
4 0
3 5
+
=
26 3
15 7
41 10
0 5
5 5
·C=
6 6
30 6
A·C+B·C=
Unitat 2. Àlgebra de matrius
3 5
3 5
=
5 0
41 10
4 0
1 5
5 5
+
=
15 7
15 –1
30 6
87
(
1 5
1 5
=
15 –1
107 3
–1 5
1 5
(A · B) · C =
·C=
26 3
107 3
13. Siguin A =
(
3 0
5 –1
)
i B=
(







) ( )
( ) ( )
c) A · (B · C) = A ·
A · (B · C) = (A · B) · C
)
0 6
.
1 –3
Troba X que compleixi: 3 · X – 2 · A = 5 · B
(
3X = 5B + 2A =
) (
) (
0 30
6 0
6 30
+
=
5 –15
10 –2
15 –17
)
X=
(
2
10
5 –17/3
)
14. Troba dues matrius, A i B, de dimensió 2 × 2 que compleixin:
2A + B =







B=A–
1 4
2 0
A–B=
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 4
2 0
2A + B =
A–B=
( )
–1 2
1 0
Sumant: 3A =
0 6
3 0
( )
→ A=
–1 2
1 0
( )
0 2
1 0
–1 2
0 2
–1 2
1 0
=
–
=
1 0
1 0
1 0
0 0
Solució: A =
0 2
1 0
, B=
1 0
0 0
15. Troba dues matrius X i Y que verifiquin:







X–Y=
1 5
4 2
–1 0
3 6
Sumant: –Y =
2X – 3Y =
–2X + 2Y =
3 5
–2 –10
( )
1 5
–1 0
i X–Y=
4 2
3 6
( )
(
( )
(
( )
( ) ( ) (
( ) (
2X – 3Y =
X=
( )
)
1 5
4 2
2 0
–6 –12
→ Y=
(
)







2X – 3Y =
–3 –5
2 10
) (
)
)
–1 0
–1 0
–3 –5
–4 –5
+Y=
+
=
3 6
3 6
2 10
5 16
Solució: X =
)
–4 –5
–3 –5
, Y=
5 16
2 10
Unitat 2. Àlgebra de matrius
88
16. Busca com ha de ser una matriu X que compleixi:
( ) ( )
1 1
1 1
=
·X
0 1
0 1
( )
( ) ( )( ) (
( ) ( )( ) (
X=
x y
z t
X·
1 1
x y
1 1
x x+y
=
·
=
0 1
z t
0 1
z z+t
)
1 1
1 1
x y
x+z y+t
·X=
·
=
0 1
0 1
z t
z
t
x=x+z
x+y=y+t
z=z
z+t=t









x=t 


z = 0 
Solució: X =
)







X·
han de ser iguals
( )
x y
, en què x i y són nombres reals
0 x
qualssevol.
17. Efectua les operacions següents amb les matrius donades:
A=
( )
1 2
0 3
B=
(
–4 7
3 0
)
C=
(
1 –1
3 2
)
a) (A · B ) + (A · C )
b) (A – B ) · C
c) A · B · C
( ) ( ) ( )
( )( ) (
)
( )( ) ( )
a) A · B + A · C =
5 –5
1 –1
–10 –15
·
=
–3 3
3 2
6
9
b) (A – B ) · C =
c) A · B · C =
2 7
7 3
9 10
+
+
9 0
9 6
18 6
2 7
1 –1
23 12
·
=
9 0
3 2
9 –9
( )
( )( ) ( )
1 2
comprova que (A – I )2 = 0.
0 1
18. Donada la matriu A =
(A – I ) 2 =
0 2
0 2
0 0
·
=
0 0
0 0
0 0
19. Troba la inversa de les matrius:
( )
7 3
a)
2 1
(
3 –2
b)
–8 5
Unitat 2. Àlgebra de matrius
)
(
1 0 0
c) 0 2 0
0 0 1
) (
1 2 3
d) 0 1 2
0 1 1
)
89
a)
( )( ) ( )
7 3
2 1
x y
1 0
=
z t
0 1
(
→
) ( )
7x + 3z 7y + 3t
1 0
=
2x + z 2y + t
0 1
7x + 3z = 1  x = 1

2x + z = 0  z = –2
Per tant, la inversa és
b)
(
3 –2
–8 5
7y + 3t = 0  y = –3

2y + t = 1  t = 7
(
)
1 –3
.
–2 7
)( ) ( )
x y
1 0
=
z t
0 1
(
→
3x – 2z = 1  x = –5

–8x + 5z = 0  z = –8
Per tant, la inversa és
c)
A–1
(
(
1 0 0
= 0 1/2 0
0 0 1
d) A–1 =
) ( )
3x – 2z
3y – 2t
1 0
=
–8x + 5z –8y + 5t
0 1
3y – 2t = 0  y = –2

–8y + 5t = 1  t = –3
(
)
–5 –2
.
–8 –3
)
+1 –1 –1
0 –1 2
0 1 –1
)
Pàgina 44
→
→
→
20. Considera u (7, 4, –2), v (5, 0, 6), w (4, 6, –3), a = 8, b = –5, elements de
3 i Á. Comprova les vuit propietats que s’enumeren a dalt.
Á
→
→
→
→
→
→
• Associativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w)
→
→
→
→
( u + v ) + w = (12, 4, 4) + w = (16, 10, 1)
→
→
→
→
u + ( v + w) = u + (9, 6, 3) = (16, 10, 1)
→
→
→
→
→
→
• Commutativa: u + v = v + u
→
→
u + v = (12, 4, 4) = v + u
→
→
→
• Vector nul: v + 0 = v
→
→
→
v + 0 = (5, 0, 6) + (0, 0, 0) = (5, 0, 6) = v
→
→
→
• Vector oposat: v + (– v ) = 0
→
→
v + (– v ) = (5, 0, 6) + (–5, 0, –6) = (0, 0, 0)
Unitat 2. Àlgebra de matrius
90
→
→
• Associativa: (a · b) · v = a · (b · v )
(8 · (–5)) · (5, 0, 6) = –40 · (5, 0, 6) = (–200, 0, –240)
8 · [–5 · (5, 0, 6)] = 8 · (–25, 0, –30) = (–200, 0, –240)
→
→
→
• Distributiva I: (a + b) · v = a · v + b · v
→
(a + b) · v = 3 · (5, 0, 6) = (15, 0, 18)
→
→
a · v + b · v = 8 · (5, 0, 6) – 5 · (5, 0, 6) = (40, 0, 48) – (25, 0, 30) = (15, 0, 18)
→
→
→
→
• Distributiva II: a · ( u + v ) = a · u + a · v
→
→
a · ( u + v ) = 8 · (12, 4, 4) = (96, 32, 32)
→
→
a · u + a · v = 8 · (7, 4, –2) + 8 · (5, 0, 6) = (56, 32, –16) + (40, 0, 48) = (96, 32, 32)
→
→
• Producte per 1: 1 · v = v
→
→
1 · v = 1 · (5, 0, 6) = (5, 0, 6) = v
Pàgina 46
Comprova si els següents conjunts de n-uples són L.I. o L.D.
21. (3, 0, 1, 0), (2, –1, 5, 0), (0, 0, 1, 1), (4, –2, 0, –5)
Apliquem la propietat fonamental:
x (3, 0, 1, 0) + y(2, –1, 5, 0) + z (0, 0, 1, 1) + w (4, –2, 0, –5) = (0, 0, 0, 0)
Si operem, arribem a:
(3x + 2y + 4w, –y – 2w, x + 5y + z, z – 5w) = (0, 0, 0, 0)
Aquesta igualtat dóna lloc al següent sistema:
3x + 2y
+ 4w = 0 

–y
– 2w = 0 
x + 5y + z
= 0 
z – 5w = 0 
Aquest sistema té com a solució única x = 0, y = 0, z = 0, w = 0. Per tant, els
vectors són linealment independents.
22. (3, 0, 1, 0), (2, –1, 5, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)
Apliquem la propietat fonamental:
x (3, 0, 1, 0) + y (2, –1, 5, 0) + z (0, 0, 1, 1) + w (0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0)
Si operem, arribem a:
(3x + 2y, –y, x + 5y + z, z + w) = (0, 0, 0, 0)
Unitat 2. Àlgebra de matrius
91
Aquesta igualtat dóna lloc al sistema:
3x + 2y
–y
x + 5y + z
z+w
=
=
=
=
0
0
0
0







Aquest sistema té com a solució única x = 0, y = 0, z = 0, w = 0. Per tant, els
vectors són linealment independents.
23. (2, – 4, 7), (1, 0, 2), (0, 1, 2)
Apliquem la propietat fonamental:
x (2, –4, 7) + y (1, 0, 2) + z (0, 1, 2) = (0, 0, 0)
Si operem, arribem a:
(2x + y, –4x + z, 7x + 2y + 2z) = (0, 0, 0)
Aquesta igualtat dóna lloc al sistema:
2x + y
=0 

–4x
+ z=0 
7x + 2y + 2z = 0 
Aquest sistema té com a solució única x = 0, y = 0, z = 0. Per tant, els vectors són
linealment independents.
24. (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 0)
Explica per què si en un conjunt de vectors hi ha el vector zero, llavors són
L.D.
• Apliquem la propietat fonamental:
x (1, 0, 0) + y (1, 1, 0) + z (0, 0, 0) = (0, 0, 0)
• Si fem x = 0, y = 0, z pot adoptar qualsevol valor, per tant, els vectors són linealment dependents.
→
→
→
• Si en un conjunt de vectors u1, u2, …, un hi ha el vector zero, podem aconseguir una combinació lineal d’aquests:
→
→
→
→
x1 u1 + x2 u2 + … + xn – 1 un – 1 + xn 0 = (0, 0, 0, …, 0)
• en la qual x1 = x2 = … = xn – 1 = 0 i xn ≠ 0. Com que no tots els coeficients són
nuls, els vectors són linealment dependents.
Unitat 2. Àlgebra de matrius
92
Pàgina 48
25. Calcula el rang de les matrius següents:
( ) ( ) (
( )
( )
( )
( )
(
)
(
(
)
1 4 –1
A = –1 3 2
2 2 0
1 3 –1
B = 2 –1 5
1 10 –8
1 4 –1
–1
3 2 →
A=
2 2 0
1 –2 0 –3
C = –1 3 1 4
2 1 5 –1
(
(
1 –2 0 –3
0 1 1 1
0 0 0 0
1
0
D=
–1
0
1
0
0
0
1 4 –1
0 7 1 →
0 –6 2
1a
2a + 1a
3a – 2 · 1a
1 3 –1
B = 2 –1 5 →
1 10 –8
1 –2 0 –3
C = –1 3 1 4
2 1 5 –1
1a
2a – 2 · 1a
3a – 1a
(
(
1a
2a
3a – 2 · 2a
1 3 –1
0 –7 7 →
0 7 –7
1a
2a + 1a
3a – 2 · 1a
→
)
1a
2a
3a + 2a
1 –2 0 –3
0 1 1 1
0 5 5 5
)
(
1
0
D=
–1
0
0 2 1 –1
2 –1 1 2
1 3 2 0
8 7 9 4
)
)
)
1 4 –1
0 7 1 → ran (A) = 3
0 –20 0
1 3 –1
0 –7 7 → ran (B) = 2
0 0 0
1a
2a
3a – 5 · 2a
→
→ ran (D) = 2
0 2 1 –1
2 –1 1 2
1 3 2 0
8 7 9 4
0 2 1 –1
2 –1 1 2
0 –11 –5 4
0 11 5 –4
)
)
→
→
1a
2a
3a + 1a
4a
1a
2a
3a
4a + 3a
(
(
1
0
0
0
1
0
0
0
0 2 1 –1
2 –1 1 2
1 5 3 –1
8 7 9 4
0 2 1 –1
2 –1 1 2
0 –11 –5 4
0 0 0 0
)
)
→
1a
2a
–2 · 3a + 2a
4a – 4 · 2a
→ ran (C ) = 3
Pàgina 49
26. Demostra que els vectors (7, 2, –1, 0), (0, 4, 0, 5), (0, 0, –2, 0) són L.I.
α (7, 2, –1, 0) + β (0, 4, 0, 5) + γ (0, 0, –2, 0) = (0, 0, 0, 0)
De la primera component:
7α + β0 + γ0 = 0 → α = 0
De la segona component:
2α + 4β + γ0 = 0 con que α = 0 → β = 0
De la tercera component:
–α + β0 – 2γ = 0 con que α = 0 → γ = 0
L’única solució per l’equació és α = β = γ = 0, i per tant vector L.I.
Unitat 2. Àlgebra de matrius
93
Pàgina 54
EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS
PER PRACTICAR
Operacions amb matrius
27. Donades les matrius A =
a) –2A + 3B
a)
(
–23 4
–12 4
b)
)
b)
(
( 73 –21 ) y B = ( –3–2 02 ), calcula:
1
A·B
2
–17/2 –2
–11/2 1
c) B · (–A)
)
28. Efectua el producte (–3 2)
(7 7)
c)
(
21 –6
8 –6
d) A · A – B · B
)
d)
(
) ( ) (
43 –16
9 0
34 –16
–
=
24 –5
2 4
22 –9
)
( 15 –12 ) ( 01 ).
( 01 ) = (7)
29. a) Són iguals les matrius A =
( 23 ) i B = (2 3)?
b) Troba, si és possible, les matrius AB; BA; A + B; At – B.
a) No, A té dimensió 2 × 1 i B té dimensió 1 × 2. Perquè dues matrius siguin
iguals, han de tenir la mateixa dimensió i coincidir terme a terme.
( )
4 6
; B · A = (1 3); A + B no es pot fer, ja que no tenen la mateixa
6 9
dimensió.
b) A · B =
A t – B = (2 3) – (2 3) = (0 0)
30. Donades les matrius: A =
a) (A + B) t = At + B t
( 13 –20 11 )
i B=
( –24 01 –10 ) comprova que:
b) (3A) t = 3At
( 51
–2 0
1 1
)=
t
5 1
–2 1
0 1
1 3
4 –2
5 1
A t + B t = –2 0 + 0 1 = –2 1
1 1
–1 0
0 1
Unitat 2. Àlgebra de matrius











( )
( )( )( )
a) (A + B) t =
(A + B) t = A t + B t
94
( )
( )( )
(
3 –6 3
9 0 3
)
t











b) (3A) t =
3 9
= –6 0
3 3
3 9
1 3
3A t = 3 –2 0 = –6 0
3 3
1 1
31. Calcula 3AAt – 2I, si A =
( 35 12 ).
( )( ) ( ) (
( ) ( ) ( )
3A A t – 2I = 3
=
(3A) t = 3A t
3 1
5 2
) ( )
3 5
2 0
10 17
2 0
–
=3
–
=
1 2
0 2
17 29
0 2
30 51
2 0
28 51
–
=
51 87
0 2
51 85
( 32 –1–3 ) i B = ( –10 21 ), comprova que (A · B) = B · A .
–3 5
–3 –2
A·B=(
→ (A · B) = (
–2 1 )
5 1 )
–1 0
3 2
–3 –2
B ·A =(
·
=
2 1 ) ( –1 –3 ) ( 5 1 )
32. Donades les matrius A =
t
t
t
t
t
33. Calcula, en cada cas, la matriu B que verifica la igualtat:
( 31 –10 53 ) + B = ( 40 02 62 )
–1 4
–5 4
b) 2 (
– 3B = (
–3 –2 )
0 –1 )
a)
a) B =
(
) (
) (
4 0 6
3 –1 5
1 1 1
–
=
0 2 2
1 0 3
–1 2 –1
( –1–3 –24 ) – 3B = ( –50 –14 )
1 4/3
B=(
–2 –1 )
b) 2
34. Donades les matrius: A =
)
→ 3B = 2
( –1–3 –24 ) – ( –50 –14 ) = ( –63 –34 )
( 12 –1–1 ) i B = ( 14 –11 ).
a) Calcula A · B i B · A.
b) Comprova que (A + B)2 = A2 + B2
( –3–2 23 )
3 –2
B·A=(
2 –3 )
a) A · B =
Unitat 2. Àlgebra de matrius
95
t
[( 26 –20 )] = ( 04 04 )
–1 0
5 0
4 0
=(
+
=
0 –1 ) ( 0 5 ) ( 0 4 )
2
b) (A + B)2 =
A2 + B2
35. Donada la matriu A =
(
)
3 0 8
3 –1 6 , comprova que (A + I )2 = 0 i expressa A2
–2 0 –5
com a combinació lineal de A i I.
A+I=
(
4 0 8
3 0 6
–2 0 –4
)
(
0 0 0
(A + I )2 = 0 0 0
0 0 0
)
A2 = –2A – I
Equacions amb matrius
36. Troba les matrius X i Y que verifiquen el sistema
( 12 40 ), X – Y = ( 11 –10 ).
1 4
2X + Y = (
2 0)
Sumant les dues equacions, queda:
1 –1
X–Y=(
)
1 0
2 3
2/3 1
3X = (
→ X=(
3 0)
1 0)
2X + Y =







Aïllem Y en la segona equació:
2
( 11 –10 ) = ( 2/31 01 ) – ( 11 –10 ) = ( –1/3
0 0)
2/3 1
–1/3 2
Per tant, X = (
i Y=(
.
1 0)
0 0)
Y=X–
37. Calcula X de tal manera que X – B 2 = A · B, si:
( )
( )
(
( )
1 0 1
A= 1 1 0
0 0 2
B2
B2
0 0
1 0
0 2
1 0 –2
= 2 1 1
0 0 1
Unitat 2. Àlgebra de matrius











X=A·B+
1
A·B= 2
0
2 0 –2
X= 4 2 1
0 0 3
(
1 0 –1
B= 1 1 1
0 0 1
)
)
96
38. Determina els valors de m per als quals
m 0
5
verifiqui X 2 – X + I = 0.
X=
0 2
2
( )
X2 –
( ) ( m0 02 ) – 52 ( m0 20 ) + ( 10 01 ) =
m 0
5
X+I=
0 2
2
=
( )
( ) ( ) (
1 0
m 2 – (5/2)m + 1
m2 0
5 m 0
–
+
=
0 1
0 4
0
2 0 2
) ( )
0 0
0
=
0 0
0
Ha de complir-se que:
5
m + 1 = 0 → 2m 2 – 5m + 2 = 0 →
2
m2 –
→ m=
Hi ha dues solucions: m1 = 2; m2 =
39. Resol:
5 ±√ 25 – 16
5±3
=
=
4
4
1
2
( 13 –12 ) ( xy ) = ( 1y –1x ) ( 32 )
( 13 –12 ) ( xy ) = ( y1 –1x ) ( 32 )
→
( 3xx +– y2y ) = ( 33y+–2x2 )
x – y = 3 + 2x 

3x + 2y = 3y – 2 
→
Sumant: 4x = –5 → x =
Solució: x =
–5
4
x + y = –3 

3x – y = –2 
→ y = –3 – x = –3 +
5
–7
=
4
4
–5
–7
; y=
4
4
40. Troba dos matrius A i B en les quals:
(
8 4 7
2A + 3B = 18 11 –6
8 3 13
(
m=2
1
m=—
2
1 +2 –1
A = 3 +4 0
1 0 2
)
)
(
9 –2 16
–A + 5B = 17 1 –10
9 5 13
(
2 0 3
B = 4 1 –2
2 1 3
)
)
 2a + 3b = 8
a =1
Per a cada element cal plantejar  –a11 + 5b11 = 9 → b11 = 2
 11
11
11
i així per a tots els elements.
Unitat 2. Àlgebra de matrius
97
41. Troba X i Y sabent que 5X + 3Y =
( –42 150 ) i 3X + 2Y = ( –21 –19 )
 5x + 3y = 2
x =1
Per a cada element cal plantejar  3x11 + 2y11 = 1 → y11 = –1
 11
11
11
x=
( –21 33 )
y=
( –12 –50 )
Matriu inversa
42. Comprova que la matriu inversa de A és A–1:
( )
1 2 1
A= 0 1 0
2 0 3
A–1 =
(
3 – 6 –1
0 1 0
–2 4 1
)
A · A –1 = I
43. Quina és la matriu inversa de la matriu unitat?
La matriu unitat, I.
44. Donada la matriu A =
inversa:
M=
( 3/2
1/2
3/2
1/2
)
( 10 –12 ) prova quina de les matrius següents és la seva
N=
( 10
1/2
1/2
)
La matriu inversa és N ja que A · N = N · A =
45. Troba la matriu inversa de A =
(
0
A  = 2 → A –1 = 1/2
(
–1
B = –4 → B –1 = 1/2
–1
1/2
)
0
1/4
(
( 10 01 )
( )
1 0 1
1 2
–1 0
, B=
i C= 0 1 0 .
–1 0
2 4
1 1 1
)
(
)
)
C no té inversa, ja que C  = 0.
Unitat 2. Àlgebra de matrius
98
Pàgina 55
Rang d’una matriu
46. Estudia el rang de les matrius següents:
A =
(
1 –2 3 4
–2 4 –6 8
)
B =
(
1 3 1
–1 0 0
(
1 –2 3
C = –2 4 –6
12 –24 36
)
)
( )
1 2 3
D = 2 4 0
3 6 0
rang A = 1
2a fila = 2 · 1a fila
rang B = 2
 1 3
 –1 0 
rang C = 1
El determinant 3 × 3 i tots els determinants 2 × 2 són igual a zero.
rang D = 2
1
2
3
≠0
2 3
4 0 = 0
6 0
2
4
3
≠0
0
47. Estudia el rang d’aquestes matrius i digues, en cada cas, el nombre de columnes que són L.I.:
1 –3 –1 –1
1 1 1 1
1 1 1 2
2 1 3
1 5 3 3
1 –1 1 –1
D = 1 1 –1 –1
A = 2 3 5 11 B = 4 2 –1 C = 1 1 1 1
1 –1 6 29
6 3 2
3 7 5 5
1 1 1 –1
(
(
(
) (
1 1 1 2
A = 2 3 5 11
1 –1 6 29
1 1 1 2
0 1 3 7
0 0 11 41
)
)
→
(
)
(
1a
2a – 2 · 1a
3a – 1a
1 1 1 2
0 1 3 7
0 –2 5 27
)
) (
→
)
1a
2a
3a + 2 · 2a
→ ran (A) = 3
Hi ha tres columnes linealment independents en A.
( )
2 1 3
B = 4 2 –1 →
6 3 2
1a
2a – 2 · 1a
3a – 3 · 1a
( )
2 1 3
0 0 –7 →
0 0 –7
1a
2a
3a – 2a
( )
2 1 3
0 0 –7 → ran (B) = 2
0 0 0
Hi ha dues columnes linealment independents en B.
(
1
1
C=
1
3
–3
5
1
7
–1
3
1
5
–1
3
1
5
Unitat 2. Àlgebra de matrius
)
→
3a
2a
1a
4a
(
1
1
1
3
1
5
–3
7
1
3
–1
5
1
3
–1
5
)
→
1a
2a – 1a
3a – 1a
4a – 3 · 1a
99
(
1
0
0
0
1
4
–4
4
1
2
–2
2
1
2
–2
2
)
1a
2a
3a + 2a
4a – 2a
→
( )
1
0
0
0
1
4
0
0
1
2
0
0
1
2
0
0
→ ran (C ) = 2
Hi ha dues columnes linealment independents en C.
(
1
1
D=
1
1
1
–1
1
1
1
1
–1
1
1
–1
–1
–1
)
1a
2a – 1a
3a – 1a
4a – 1a
→
(
1
0
0
0
1
–2
0
0
1
0
–2
0
1
–2
–2
–2
)
→ ran (D) = 4
Les quatre columnes de D són linealment independents.
Pàgina 55
PER RESOLDRE
(
5 –4 2
48. Comprova que A2 = 2A – I, si: A = 2 –1 1
– 4 4 –1
dre 33.
)
i I la matriu unitat d’or-
Utilitza aquesta igualtat per calcular A4.
2A – I =
(
(
)
)( )(
9 –8 4
4 –3 2
–8 8 –3
10 –8 4
1 0 0
9 –8 4
4 –2 2 – 0 1 0 = 4 –3 2
–8 8 –2
0 0 1
–8 8 –3
)











A2 = A · A =
A2 = 2A – I
Calculem A 4:
A 4 = (A 2 ) 2 = (2A – I ) 2 = (2A – I )(2A – I ) = 4A 2 – 2A – 2A + I 2 =
= 4(2A – I ) – 4A + I = 8A – 4I – 4A + I = 4A – 3I =
=4
(
) ( )(
)( )(
5 –4 2
1 0 0
20 –16 8
3 0 0
17 –16 8
2 –1 1 – 3 0 1 0 = 8 –4 4 – 0 3 0 = 8 –7 4
–4 4 –1
0 0 1
–16 16 –4
0 0 3
–16 16 –7
)
49. Determina a i b de forma que la matriu
A=
( a2 –1b ) verifiqui A
A2 = A · A =
2
(
2 –1
a b
Unitat 8.
2. Àlgebra de matrius
)(
= A.
) (
4–a
–2 – b
2 –1
= 2a + ab –a + b 2
a b
)
100
→
A2 = A
(
) (
4–a
–2 – b
2 –1
2a + ab –a + b 2 = a b
)
→
4 – a = 2

 –2 – b = –1
 2a + ab = a

 –a + b 2 = b

→
→
→
→
a=2
b = –1
4–2=2
–2 + 1 = –1
Per tant, a = 2 i b = –1.
50. Donada la matriu A =
( 03 30 ).
0 3
→ A
A·B=(
3 0)
( 12 21 ), troba una matriu B de tal manera que
A·B=
–1
( 03 30 ) → B = A · ( 03 30 )
–1 1 –2
=
3 ( –2 1 )
AB = A–1 ·
Calculem A –1: A  = –3; A –1
–1
Per tant:
B=
(
) ( ) (
) (
) (
0 3
1 –2
0 –1
2 –1
–1 1 –2
·
=
·
=
3 0
–2 1
–1 0
–1 2
3 –2 1
(
)
)
( )
4 5 –1
51. Donada la matriu A = –3 –4 1 , calcula A2, A3, …, A128.
– 3 –4 0
(
4 4 1
A2 = –3 –3 –1
0 +1 –1
)
1 0 0
A3 = 0 1 0
0 0 1
con que A3 = I, qualsevol potència a partir d’aquí segueix la pauta següent:
A4 = A
A5 = A2
A6 = A3 = I i per tant:
A3n + 2 = A2
A3n = I
con que 128 = 3n + 2, on n = 42 → A128 = A2
52. Calcula An i Bn si:
(
1 1/7 1/7
• A2 = A · A = 0 1 0
0 0 1
(
(
)(
)(
1 1/7 1/7
A= 0 1 0
0 0 1
1 2/7 2/7
A3 = A2 · A = 0 1 0
0 0 1
Unitat 2. Àlgebra de matrius
)
B=
)(
)(
( 10 03 )
1 1/7 1/7
1 2/7 2/7
0 1 0 = 0 1 0
0 0 1
0 0 1
)
1 1/7 1/7
1 3/7 3/7
0 1 0 = 0 1 0
0 0 1
0 0 1
)
101
(
)
1 n/7 n/7
Així, A n = 0 1 0 . Ho comprovem per inducció:
0 0 1
Acabem de comprovar que per a n = 2 (primer cas rellevant), funciona.
Suposem que és cert per a n – 1:
(
)(
)(
1 n – 1/7 n – 1/7
1 1/7 1/7
1 n/7 n/7
1
0
An = An – 1 · A = 0
· 0 1 0 = 0 1 0
0
0
1
0 0 1
0 0 1
• B2 =
)
( 10 03 ) ( 10 03 ) = ( 10 30 ) = ( 10 09 )
2
B3 = B2 · B =
( 10 09 ) ( 10 03 ) = ( 10 270 ) = ( 10 30 )
3
( )
1 0
Per tant, B n = 0 3 n . Ho comprovem per inducció:
Igual que en el cas anterior, per a n = 2 es compleix.
Suposem que és cert per a n – 1:
(
)( ) ( )
1 0
1 0
1 0
= 0 3n
Bn = Bn – 1 · B = 0 3 n – 1 ·
0 3
(
)
0 2 –1
53. Donada la matriu A = 0 0 1 , prova que A3 és la matriu nul·la.
0 0 0
Demostra després que la matriu I + A + A2 és la matriu inversa de I – A.
☛ Multiplica I + A + A2 per I – A.
A2
( )
( )
0 0 2
0 0 0
3
2
0
0
0
=
; A =A ·A= 0 0 0
0 0 0
0 0 0
Veiem que I + A + A 2 és la inversa de I – A:
(I + A + A 2) (I – A) = I – A + A – A 2 + A 2 – A 3 = I – A 3 = I – 0 = I.
Com que (I + A + A 2) · (I – A) = I, aleshores I + A + A 2 és la inversa de I – A.
54. a) Comprova que la inversa de A és A–1:
( )
5 0 2
A= 0 0 1
3 1 0
A–1
(
1/5 –2/5 0
–3/5
6/5 1
=
0
1 0
)
b) Calcula la matriu X que verifica XA = B, essent A la matriu anterior i
B = (1 –2 3).
Unitat 2. Àlgebra de matrius
102
a) A · A –1 = I
b) XA = B → X · A · A –1 = B · A –1 → X = B · A –1
Per tant:
1/5 –2/5 0
7 1
X = (1 –2 3) –3/5 6/5 1 =
–2
5 5
0
1 0
(
)
(
)
55. Estudia la dependència o independència lineal dels següents conjunts de
vectors:
→
→
a) u1 = (1, –1, 3, 7), u2 = (2, 5, 0, 4) i digues quin és el rang de la matriu les co→
→
lumnes de la qual són u1 i u2.
→
→
b) v1 = (1, 0, –2, 3, 1), v2 = (2, –1, 3, 0, 2), i v3 = (4, –1, –1, 6, 4) i digues quin
→ → →
és el rang de la matriu les files de la qual són v1, v2, v3.
→
→
( )
a) u1 i u2 són linealment independents ja que no són proporcionals.
1 2
–1 5
a) rang
=2
3 0
7 4
→
→
→
b) α v1 + β v2 + γ v3 = (0, 0, 0, 0, 0)
 0 = α + 2β + 4γ

sistema compatible indeterminat
 0 = –β –γ
α = –2λ
α=2

 0 = –2α + 3β – γ
β = –λ
per exemple
β=1
 0 = 3α + 6γ
γ=λ
γ = –1

0 = α + 2β + 4γ
vectors linealment dependents
El rang de la matriu serà 2.
56. Estudia la dependència lineal dels següents conjunts de vectors segons els
valors del paràmetre t :
→
→
a) u1 = (1, –1, 0, 2), u2 = (2, 0, 1, –2),
→
u3 = (3, 1, 1, t)
→
→
b) v1 = (2, –2, 0, 0), v2 = (1, 5, 3, 3),
→
→
v3 = (1, 1, t, 1), v4 = (2, 6, 4, 4)
a) Hem d’estudiar el rang de la matriu:
(
(
1 –1 0 2
M = 2 0 1 –2
3 1 1 t
)
1 –1 0 2
M = 0 2 1 –6
0 4 –1 t + 6
→
)
1a
2a – 2 · 1a
3a – 3 · 1a
(
1 –1 0 2
0 2 1 –6
0 4 1 t–6
)
→
1a
2a
3a – 2 · 2a
→ ran (M) = 3 per a qualsevol valor de t
Els tres vectors són linealment independents, qualsevol que sigui el valor de t.
Unitat 2. Àlgebra de matrius
103
b) Busquem el rang de la matriu:
( )
( )
2
1
M=
1
2
1
0
0
0
–2 0 0
5 3 3
→
1 t 1
6 4 4
–1 0 0
6 3 3
4 2 2
2 t 1
( )
( )
1
1
1
1
1a : 2
2a
4a : 2
3a
1
0
0
0
1a
2a : 3
3a : 2
4a
→
–1 0 0
5 3 3
→
3 2 2
1 t 1
–1 0 0
2 1 1
2 1 1
2 t 1
→
1a
2a – 1a
3a – 1a
4ª – 1a
( )
1
0
0
0
1a
2a
3a – 2a
4a – 2a
–1
2
0
0 t
0
1
0
–1
0
1
0
0
• Si t = 1, ran (M ) = 2 → Hi ha dos vectors linealment independents.
• Si t ≠ 1, ran (M ) = 3 → Hi ha tres vectors linealment independents.
57. Estudia el rang de les matrius següents segons el valor del paràmetre k :
(
(
1 –1 –1
M = 1 –1 2
2 1 k
1 –1 –1
M = 1 –1 2
2 1 k
) (
)
) (
( )
2 –1 4
N = –2 1 3
1 k 2
1 –1 –1
0 0
3
0 3 k+2
1a
2a – 1a
3a – 2 · 1a
→
1 3 2 –1
P= 2 6 4 k
4 12 8 – 4
) (
Q=
–1 1 0 2
1 3 1 0
2 10 3 k
)
→
→ ran (M ) = 3 per a qualsevol valor de k.
(
2 –1 4
N = –2 1 3
1 k 2
)
(
1a
2a + 1a
2 · 3a – 1a
→
2
–1
0
0
0 1 + 2k
• Si k = –
1
, ran (N ) = 2.
2
• Si k ≠ –
1
, ran (N ) = 3.
2
(
)
1 3 2 –1
P = 2 6 4 k →
4 12 8 –4
1a
3a : 4
2a
(
4
7
0
)
)
1 3 2 –1
1 3 2 –1 →
2 6 4 k
→ 1 + 2k = 0 si k = –
1a
2a – 1a
3a – 2 · 1a
(
1
2
1 3 2 –1
0 0 0 0
0 0 0 k+2
• Si k = –2 → ran (P ) = 1
• Si k ≠ –2 → ran (P ) = 2
Q=
(
–1 1 0 2
1 3 1 0
2 10 3 k
Unitat 2. Àlgebra de matrius
)
→
1a
2a + 1a
3a + 2 · 1a
(
–1 1 0 2
0 4 1 2
0 12 3 k + 4
)
→
1a
2a
3a – 3 · 2a
104
)
(
–1 1 0 2
0 4 1 2
0 0 0 k–2
)
• Si k = 2 → ran (Q) = 2
• Si k ≠ 2 → ran (Q) = 3
58. Troba el valor de k perquè el rang de la matriu A sigui 2.
(
)
5 –5 – 6
A = –5 3 –1
0 k 7
(
5 –5 –6
A = –5 3 –1
0 k 7
)
1a
2a + 1a
3a
→
(
5 –5 –6
0 –2 –7
0 k 7
)
→
(
1a
2a
3a + 2a
5 –5 –6
0 –2 –7
0 k–2 0
)
Perquè ran (A) = 2, ha de ser k – 2 = 0; és a dir, k = 2.
59. Donada la matriu A =
A + mA + nI = 0 →
(
( 22 13), troba dos nombres reals m i n tals que A + mA + nI = 0.
( 22 13 ) + m ( 22 13 ) + n ( 10 01 ) = ( 00 00 )
) ( )
2 + 2m + n
1+m
0 0
=
2 + 2m
3 + 3m + n
0 0
→
2

1
2

3

+
+
+
+
2m + n
m
2m
3m + n
=
=
=
=
0
0
0
0
→
→
→
→
n
m
m
n
= 0
= –1
= –1
= 0
Solució: m = –1; n = 0
60. Determina, si és possible, un valor de k perquè la matriu (A – k I)2 sigui la
matriu nul·la, si:
(
0 –1 –2
A = –1 0 –2
1 1 3
(
)(
)(
)
0 –1 –2
k 0 0
–k –1 –2
A – k I = –1 0 –2 – 0 k 0 = –1 –k –2
1 1 3
0 0 k
1 1 3–k
(
)(
( )
–k –1 –2
(A – k I ) 2 = –1 –k –2
1 1 3–k
0 0 0
= 0 0 0
0 0 0
Unitat 2. Àlgebra de matrius
)(
)
–k –1 –2
k2 – 1
–1 –k –2 = 2k – 2
1 1 3–k
2 – 2k
2k – 2
k2 – 1
2 – 2k
)
4k – 4
4k – 4
=
k 2 – 6k + 5
→ k=1
105
Pàgina 56
61. En un edifici hi ha tres tipus d’habitatges: L3, L4 i L5. Els habitatges L3 tenen
4 finestres petites i 3 de grans; els L4 tenen 5 finestres petites i 4 de grans, i
els L5, 6 de petites i 5 de grans. Cada finestra petita té 2 vidres i 4 frontisses,
i les grans, 4 vidres i 6 frontisses.
a) Escriu una matriu que descrigui el nombre i grandària de finestres de cada habitatge i una altra que expressi el nombre de vidres i frontisses de
cada tipus de finestra.
b) Calcula la matriu que expressa el nombre de vidres i de frontisses de cada
tipus d’habitatge.
P
L3 4
a) L4 5
L5 6
G
V
3
P 2
4 ;
G 4
5
F
4
6
P
L3 4
b) L4 5
L5 6
G
V
3
P 2
4 ·
G 4
5
V F
F
L3 20 34
4
= L4 26 44
6
L5 32 54
( )
( )
( )
( )
( )
62. Un industrial fabrica dos tipus de bombetes: transparents (T) i opaques (O).
De cada tipus se’n fan quatre models: M1, M2, M3 i M4.
( )
T
300
400
250
500
M1
M2
M3
M4
O
200
250
180
300
Aquesta taula mostra la producció setmanal de bombetes de cada tipus i model.
El percentatge de bombetes defectuoses és el 2% en el model M1, el 5% en el
M2, el 8% en el M3 i el 10% en el M4.
Calcula la matriu que expressa el nombre de bombetes transparents i opaques, bones i defectuoses, que es produeixen.
M1 M2 M3 M4
M1
D 0,02 0,05 0,08 0,1 · M2
B 0,98 0,95 0,92 0,9
M3
M4
(
)
( )
T
300
400
250
500
O
200
250
180
300
= D
B
(
T
O
T
O
96 60,9 ≈ D
96
61
1 354 869,1
B 1 354 869
( )
)( )
)
(
( )
a 1 0
1 0 1
63. Troba totes les matrius X de la forma 0 b 1 tals que X 2 = 0 1 0 .
0 0 c
0 0 1
X2
( )( ) (
a 1 0
= 0 b 1
0 0 c
Unitat 2. Àlgebra de matrius
a 1 0
1 0 1
a2 a + b 1
0 b 1 = 0
b2 b + c = 0 1 0
0 0 c
0 0 1
0
0
c2
106
)
a2 = 1
a+b=0
b2 = 1
b+c=0
c2 = 1







a = ±1
a = –b
b = ±1
c = –b
c = ±1


 a = 1 → b = –1 → c = 1

 a = –1 → b = 1 → c = –1


Hi ha dues solucions:
( ) (
1 1 0
0 –1 1
0 0 1
i
–1 1 0
0 1 1
0 0 –1
)
64. Calcula una matriu X que commuta amb la matriu A, això és, A · X = X · A,
1 1
quan A =
, i calcula A 2 + 2A–1 · X.
0 1
a+c b+d 
1 1 a b

A·X=
=
c
d
0 1 c d

 han de ser iguals

a b 1 1
a a+b

X·A=
=
c d 0 1
c c+d

( )
( )( ) (
( )( ) (
 c=0
a+c=a

b+d=a+b d=a
 c=0
d=c+d






X=
)
( a0 ab ) , amb a, b ∈
)
Á
( 10 21 ) + 2 ( 10 –11 ) ( a0 ab ) = ( 10 21 ) + 2 ( a0
1 + 2a 2 + 2b – 2a
=(
0
1 + 2a )
A 2 + 2A –1 · X =
)
b–a
=
a
(Observem que la matriu que hem obtingut també és de les que commuten amb A.)
65. Siguin A i B les matrius donades per:
( ) ( )
5 2 0
A= 2 5 0
0 0 1
a b 0
B= c c 0
0 0 1
Troba les condicions que han de complir els coeficients a, b, c perquè es
verifiqui A · B = B · A.
( )( ) (
( )( ) (
5 2 0
A·B= 2 5 0
0 0 1
a b 0
5a + 2c 5b + 2c 0
c c 0 = 2a + 5c 2b + 5c 0
0 0 1
0
0
1
a b 0
B·A= c c 0
0 0 1
5 2 0
5a + 2b 2a + 5b 0
2 5 0 =
7c
7c
0
0 0 1
0
0
1
)
)
Perquè A · B = B · A, ha de complir-se que:
5a + 2c = 5a + 2b
5b + 2c = 2a + 5b
2a + 5c = 7c
2b + 5c = 7c
Unitat 2. Àlgebra de matrius







c=b
c=a
7c = 7c
7c = 7c



 a=b=c



107
(
0 3 4
1 – 4 –5
–1 3 4
aquesta igualtat per obtenir A10.
66. Donada la matriu: A =
)
prova que es verifica A3 + I = 0 i utilitza
☛ Fes A10 = (A3)3 · A i tingues en compte que A3 = – I.
A2 =
(
) (
–1 0 1
–1 0 0
1 4 4 ; A 3 = 0 –1 0
–1 –3 –3
0 0 –1
)
( )
( )
0 0 0
→ A3 + I = 0 0 0
0 0 0
Obtenim A 10 (tenint en compte que A 3 + I = 0 →
0
A 10 = (A 3 ) 3 · A = (–I ) 3 · A = –I · A = –A = –1
1
A3
–3
4
–3
= –I ):
–4
5
–4
67. Una matriu quadrada s’anomena ortogonal quan la seva inversa coincideix
amb la seva transposada.
3/5 x 0
Calcula x i y perquè aquesta matriu A sigui ortogonal: A = y –3/5 0
0
0 1
t
(
☛ Fes A · A = I.
Si A –1 = A t, ha de ser A · A t = I; aleshores:
A·
At
(
)(
)(
)
)( )
3/5 x
0
3/5 y
0
9/25 + x 2 3/5y – 3/5x 0
1 0 0
y
–3/5
0
x
–3/5
0
3/5y
– 3/5x y 2 + 9/25 0 = 0 1 0
=
·
=
0 0 1
0 0 1
0
0
1
0 0 1
9
+ x2 = 1
25
3
3
y– x=0
5
5
9
2
=1
y +
25
x2 =
16
25
x=±
y=x
y2 =
4
5
y=x
16
25
Hi ha dues solucions: x1 =
4
4
; y1 =
5
5
x2 = –
4
4
; y2 = –
5
5
( 13 14 ) · X · ( –14 –20 ) = ( 226 144 )
0
–1
( 13 14 ) = ( –34 –11 ); ( –14 –20 ) = ( –1/2
–2 )
68. Resol l’equació matricial:
–1
–1
Per tant:
0
–1
=
( 13 14 ) · X · ( –14 –20 ) = ( 226 144 ) → X = ( –34 –11 ) · ( 226 144 ) · ( –1/2
–2 )
2 2
0
–1
–1 –6
=(
=
4 2 ) ( –1/2 –2 ) ( –1 –8 )
Solució: X =
( –1–1 –6–8 )
Unitat 2. Àlgebra de matrius
108
QÜESTIONS TEÒRIQUES
69. Justifica per què no és certa la igualtat: (A + B) · (A – B) = A2 – B2 quan A i B
són dues matrius qualssevol.
(A + B ) · (A – B ) = A 2 – AB + BA – B 2
Perquè la igualtat fos certa, hauria de ser AB = BA; i, en general, no és cert per a
dues matrius qualssevol.
70. Si A és una matriu de dimensió 2 × 3:
a) Hi ha una matriu B tal que A · B sigui una matriu d’una sola fila?
b) I per a B · A ?
Posa un exemple per a cada cas, si: A =
( 12
0 0
1 0
)
(
1 0 0
a) No; A · B tindrà 2 files necessàriament. Per exemple, agafant A =
2 1 0
1
1
i B = 2 , tenim que: A · B =
4
0
()
()
)
b) Sí; si agafem una matriu de dimensió 1 × 2 (ha de tenir dues columnes per poder
multiplicar B · A), el resultat tindrà una sola fila. Per exemple:
Si A =
( 12
0 0
1 0
) i B = (1
2), aleshores B · A = (5 2 0)
71. Si A i B són dues matrius quadrades d’igual grandària. Si A i B són simètriques, ho és també el seu producte A · B ?
Si la resposta és afirmativa, justifica-la, i si és negativa, posa’n un contraexemple.
Si A i B són dues matrius quadrades d’igual grandària, simètriques, el seu producte, A · B, no té perquè ser una matriu simètrica. Per exemple:
( ) (
1 2 0
Si A = 2 1 1
0 1 1
i B=
–1 3 1
3 –1 0
1 0 –1
)
(
5 1 1
→ A·B= 2 5 1
4 –1 –1
)
no és simètrica.
Pàgina 57
72. Definim la traça d’una matriu quadrada A d’ordre 2 com tr (A) = a11 + a22.
Prova que si A i B són dues matrius quadrades d’ordre 2, llavors tr (A · B ) =
= tr (B · A).
(
(
a
a
Si A = a11 a12
21
22
)
(
)
b
b
i B = b11 b12 ; aleshores:
21
22
a b +a b
A · B = a11b11 + a12b21
21 11
22 21
a11b12 + a12b22
a21b12 + a22b22
)
→
→ tr (A · B) = a11b11 + a12b21 + a21b12 + a22b22
Unitat 2. Àlgebra de matrius
109
(
b a +b a
B · A = b11a11 + b12a21
21 11
22 21
b11a12 + b12a22
b21a12 + b22a22
)
→
→ tr (B · A) = a11b11 + a21b12 + a12b21 + a22b22
Per tant, tr (A · B) = tr (B · A).
73. A és una matriu quadrada d’ordre 3 tal que aij = 0 si i ≠ j (A és una matriu
diagonal). Prova que el producte de dues matrius diagonals és una matriu diagonal.
Si A =
A·B=
(
(
a11 0 0
0 a22 0
0 0 a33
) (
i B=
)
b11 0 0
0 b22 0 , el seu producte és:
0 0 b33
)
a11b11
0
0
0
a22b22
0
, que també és una matriu diagonal.
0
0
a33b33
74. Siguin A = (aij)m, n , B = (bij)n, p , C = (cij)q, r . Quines condicions han de complir p, q i r perquè es puguin efectuar les operacions següents?
a) A · C · B
b) A · (B + C )
a) n = q = r

b) n = q; p = r 

75. A és una matriu de dues files i dues columnes el rang de la qual és 2. En pot
variar el seu rang si li afegim una fila o una columna?
No, perquè el nombre de files linealment independents coincideix amb el nombre
de columnes linealment independents. Si afegim una fila, A seguiria tenint dues
columnes; i si afegim una columna, A seguiria tenint dues files. Per tant, el rang
seguiria sent 2.
76. Una matriu de 3 files i 3 columnes té rang 3.
a) Com pot variar el rang si li traiem una columna?
b) Si li suprimim una fila i una columna, podem assegurar que el rang de la
matriu que en resulti serà 2?
a) Tindrà rang dos.
b) No. Podria ser dos o un. Per exemple:
( )
1 1 1
Si en A = 0 1 1
0 0 1
queda
suprimim la primera fila i la tercera columna,
( )
0 1
, que té rang 1 (A tenia rang 3).
0 0
Unitat 2. Àlgebra de matrius
110
77. a) Si A és una matriu regular d’ordre n i hi ha una matriu B de tal manera que AB + BA = 0, prova que BA–1 + A–1B = 0.
–3 –2
, troba una matriu B ≠ 0 que compleixi AB + BA = 0.
b) Si A =
4 3
(
)
a) Multipliquem per A –1 per l’esquerra en la igualtat:
AB + BA = 0 → A –1AB + A –1BA = 0 → B + A –1BA = 0
Ara multipliquem la igualtat obtinguda per A –1 per la dreta:
BA –1 + A –1BAA –1 = 0 → BA –1 + A –1B = 0
b) Si B =
( )
a b
, aleshores:
c d
– 2c
( –34 –23 ) · ( ac db ) = ( –3a
4a + 3c
a b
–3 –2
–3a + 4b
B·A=(
·
=
c d ) ( 4 3 ) ( –3c + 4d
A·B=
Així:
AB + BA =
( –6a4a+ +4b4d– 2c
)
–2a + 3b
–2c + 3d )
–3b – 2d
4b + 3d
) ( )
–2a – 2d
0 0
=
4b – 2c + 6d
0 0
=0
–6a + 4b – 2c
= 0  3a – 2b + c

+ d=0
–2a
– 2d = 0  a
d = –a
+ d=0
4a
+ 4d = 0  a
2b – c + 3d = 0 → 3a – 2b + c = 0 →
4b – 2c + 6d = 0 
→ c = –3a + 2b
a
b
Per tant: B =
, a i b≠0
–3a + 2b –a
1 1
.
Per exemple, amb a = 1 i b = 1, queda B =
–1 –1
(
)
(
)
78. Demostra que si una matriu verifica A2 = 0 (0 és la matriu nul·la), aleshores
A no pot tenir inversa.
Suposem que es verifica que A 2 = 0, però que A sí té inversa, que existeix A –1.
Multiplicant la igualtat A 2 = 0 per (A –1) 2, quedaria:
(A –1) 2 · A 2 = 0 → (A –1 · A) 2 = 0 → I = 0; la qual cosa és absurda.
Per tant, deduïm que no existeix A –1.
79. ¿És possible afegir una fila a la matriu
matriu tingui rang 4?
Raona la resposta.
Calculem el rang de la matriu donada:
(
)
1 2 0 3
0 1 –1 –2 →
2 7 –3 0
1a
2a
3a – 2 · 1a
(
(
1 2 0 3
0 1 –1 –2
2 7 –3 0
)
1 2 0 3
0 1 –1 –2 →
0 3 –3 –6
)
de forma que la nova
1a
2a
3a – 3 · 2a
(
1 2 0 3
0 1 –1 –2
0 0 0 0
)
Té rang 2; així doncs, afegint una fila, la matriu resultant no podrà tenir rang 4 (tindria rang 2 o 3).
Unitat 2. Àlgebra de matrius
111
PER APROFUNDIR
80. A i B són dues matrius quadrades del mateix ordre. De la igualtat A · B = A ·
· C no pot deduir-se, en general, que B = C.
a) Prova aquesta afirmació buscant dues matrius B i C diferents de manera
1 1
que A · B = A · C, si A =
.
1 1
b) Quina condició ha de complir la matriu A perquè de A · B = A · C es pugui deduir que B = C ?
( )
a) Per exemple, si B =
A·B=
( 12 –13 ) i C = ( 30 11 ), aleshores:
( 33 22 ) = A · C, però B ≠ C.
b) Ha d’existir A –1.
81. Prova que qualsevol matriu quadrada d’ordre 3 pot escriure’s com a suma
d’una matriu simètrica i una altra d’antisimètrica.
Tenim una matriu quadrada d’ordre 3
( ) ( )
(
)
(
)
(
( )
a b c
A= d e f
g h i
a d g
At = b e h
c f i
2a b + d
2e
A + At = d + b
g+c h+f
c+g
f+h
2i
simètrica
0
d
–
b
=
g–c
c–g
f–h
0
antisimètrica
A–
At
b–d
0
h–f
)(
2a b + d
2e
(A + At ) + (A – At ) = d + b
g+c h+f
=2
a b c
d e f
g h i
c+g
0
f+h + d–b
2i
g–c
b–d
0
h–f
)(
)
c–g
2a 2b 2c
f – h = 2d 2e 2f =
0
2g 2h 2i
= 2A
A = 1 [(A + At ) + (A – At )] = 1 (A – At ) + 1 (A – At )
2
2
2
1 (A + At ) simètrica i 1 (A – At ) antisimètrica
2
2
82. Estudia el rang de les matrius següents segons els valors de a :
(
1 2 –1
M= 2 4 a
a 2 –1
Unitat 2. Àlgebra de matrius
)
( )
a 1 0
A= 0 1 3
a 1 1
112
( )
1 2 –1
M= 2 4 a
a 2 –1
→
(
1a
2a – 2 · 1a
3a – 1a
1 2 –1
0 0 a+2
a–1 0 0
)
• Si a = 1, ran (M) = 2
• Si a = –2, ran (M) = 2
• Si a ≠ 1 i a ≠ –2, ran (M) = 3
( )
a 1 0
A= 0 1 3
a 1 1
1a
2a
3a – 1a
→
( )
a 1 0
0 1 3
0 0 1
• Si a = 0, ran (A) = 2
• Si a ≠ 0, ran (A) = 3
83. Es diu que una matriu és antisimètrica quan la seva transposada és igual a la
seva oposada. Obtén la forma general d’una matriu d’ordre 2 que sigui antisimètrica.
Si A =
( )
( )
a b
a c
, aleshores A t =
c d
b d
i –A =
(
)
–a –b
.
–c –d
Perquè A t = –A, ha de ser:
( ) (
a c
–a –b
=
b d
–c –d
)
a = –a
c = –b
→
b = –c
d = –d
 a=0

 c = –b


 d=0

Per tant, una matriu antisimètrica d’ordre 2 és de la forma:
(
)
0 b
.
–b 0
PER PENSAR UNA MICA MÉS
84. Recorda que una matriu A és simètrica si At = A. Una matriu s’anomena
antisimètrica si –At = A. (Tant les matrius simètriques com les antisimètriques són, òbviament, quadrades.) Demostra que en una matriu antisimètrica
tots els elements de la diagonal principal són zeros.
• Si A = (aij)n × n , els elements de la seva diagonal principal són aii , i = 1, 2, …, n.
• La transposada és A t = (aji)n × n; els elements de la seva diagonal principal també
seran aii (els mateixos que els de A).
• L’oposada de la transposada és –A t = (aji)n × n; els elements de la seva diagonal
principal seran –aii.
• Perquè –A t = A, han de ser aii = –aii; per tant, aii = 0, i = 1, …, n (és a dir, els
elements de la diagonal principal són zeros).
85. Diem que una matriu quadrada és màgica de suma k quan la suma dels elements de cada fila, com també els de cada columna i els de les dues diagonals, és, en tots els casos, igual a k. Quant val k si una matriu màgica és antisimètrica? Troba totes les matrius màgiques antisimètriques d’ordre 3.
• Hem vist en l’exercici anterior que, en una matriu antisimètrica, els elements de la
diagonal principal són zeros. Per tant, si la matriu és antisimètrica, k = 0.
Unitat 2. Àlgebra de matrius
113
• Busquem les matrius màgiques antisimètriques d’ordre 3 (sabem que, en aquest
cas, la suma ha de ser zero).
Vegem com és una matriu antisimètrica d’ordre 3:
( )
( )(
a b c
A= d e f
g h i
( )
a d g
→ At = b e h
c f i
a d g
–a –b –c
b e h = –d –e –f
c f i
–g –h –i
)
→
· A antisimètrica si A t = –A; és a dir:
 a = –a

 d = –b
 g = –c

b = –d
e = –e
h = –f
c = –g
f = –h
i = –i
(
0 b
Així doncs, una matriu antisimètrica d’ordre 3 és de la forma: A = –b 0
–c –f
b+c=0
Perquè A sigui màgica, ha de donar-se que: –b + f = 0
–c – f = 0
 c = –b
és a dir: 
f= b
 –b – c = 0

 b–f=0
 c+f=0

c
f
0





Per tant, les matrius màgiques antisimètriques d’ordre 3 són de la forma:
(
)
0 b –b
A = –b 0 b , amb b ∈ Á.
b –b 0
86. Obtén totes les matrius màgiques simètriques d’ordre 3 per a k = 0.
Una matriu simètrica d’ordre 3 és de la forma:
( )
a b c
A= b d e
c e f
(ja que A = A t ). Perquè sigui màgica amb k = 0, ha de ser:
a+b+ c
=0 
b
+d+e
= 0 
c
+e+f=0 
a
+d
+f=0 

2c + d
=0 
(
1
0
0
0
0
→
1
1
0
–1
0
1
0
1
–1
2
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1a
2a
3a
4a + 3a
5a – 2 · 3a
Unitat 2. Àlgebra de matrius
0
0
1
1
0





(
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
)
→
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
2
0
1
0
1
1
1a
2a
3a
4a + 2a
5a
0
1
0
2
1
0
1
1
2
–2
0
0
1
2
–2





0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
(
)
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
→
)





0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
–1
2
1a
2a
3a
4a – 1a
5a
→
0
1
0
2
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0





0
0
0
0
0
)
→
1a
2a
3a
4a : 2
5a + 4a
114
)
(
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
3
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0





0
0
0
0
0
)
a + b + c

b
+ d+e

c
+e+f


d+e+f

3d

→
→
→
→
→
→
=0
=0
=0
=0
=0
a = –b – c = –f
b = –e = f
c=0
e = –f
d=0
Per tant, una matriu màgica simètrica d’ordre 3 amb k = 0, és de la forma:
A=
(
)
–f f 0
f 0 –f , amb f ∈ Á.
0 –f f
87. Obtén totes les matrius màgiques simètriques d’ordre 3 per a k = 3.
( )
a b c
Una matriu simètrica d’odre 3 és de la forma: A = b d e
c e f
Perquè sigui màgica amb k = 3, ha de ser:
a+b+ c
=3 
b
+d+e
= 3 
c
+e+f=3 
a
+d
+f=3 

2c + d
=3 
(
(
3
3
3
0
3
)
1
0
0
0
0
1
1
0
–1
0
1
0
1
–1
2
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
2
1
0
1
1
2
–2
0  3
0  3
1  3
2  6
–2  –3
(
→
)
a + b + c

b
+ d+e

→ 
c
+e+f

d+e+f

3d

1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
2
1a
2a
3a
4a + 2a
5a
→
=3
=3
=3
=3
=3
0
1
0
1
1
(
1a
2a
3a
4a : 2
5a + 4a
→
→
→
→
→
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0





3
3
3
3
3
)
→
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
–1
2
0
1
0
2
1
0
1
1
1
0
(
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
3
1a
2a
3a
4a – 1a
5a
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
3
3
3
3
3
)





3
3
3
3
3
0
0
1
1
0
→
)
1a
2a
3a
4a + 3a
5a – 2 · 3a
→
a=3–b–c=3–f–1=2–f
b=3–d–e=3–1–2+f=f
c=3–e–f=3–2+f–f=1
e=3–d–f=3–1–f=2–f
d=1
Per tant, una matriu màgica simètrica d’ordre 3 amb k = 3, és de la forma:
A=
(
)
2–f f
1
f
1 2–f , amb f ∈ Á
1 2–f f
( )
2 0 1
Per exemple, amb f = 0, queda: A = 0 1 2 .
1 2 0
Unitat 2. Àlgebra de matrius
115