PREPARAC IÓN - ProbabilidadeBacharelato

Boletín de problemas de probabilidades.
1.- Considérense dos fuentes de error en la elaboración de un producto: el error de máquina ( el 5% de los
elementos producidos), y el error humano ( el 8%). En un 3% de los casos se produce ambos errores.
a) Calcula la probabilidad de que un elemento producido tenga algún error
b) Calcular la probabilidad de que un elemento producido esté libre de errores.
2.- El 45% de la población de una determinada ciudad es aficionada al fútbol, el 18% al baloncesto y el
10% a ambos deportes.
a) ¿Qué porcentaje de la población es aficionada al menos a uno de los dos deportes?
b) ¿Qué porcentaje de la población no es aficionada a ninguno de los dos deportes?
3.- Sean los sucesos A y B tales que la probabilidad de su unión es 7/8, la probabilidad de su intersección
es ¼ y la probabilidad del complementario de A es 5/8. Calcular la probabilidad de A y la de B.
4.- Siendo A y B dos sucesos incompatibles tales que P(A) = 1/5 y P(B) = 2/5, hállese la probabilidad de
la intersección de los complementarios de A y B.
5.- De 120 personas, 60 trabajan en el sector agrícola, 50 en el sector servicios y 40 en la industria.
Sabiendo que 20 trabajan a la vez en la industria y en la agricultura, calcular la probabilidad de que
escogido un trabajador al azar sea:
a) de la industria o del campo.
b) ni de la industria ni del campo.
6.- Las piezas fabricadas por una máquina pueden presentar tres clases de defectos que denominamos A,
B, C. Se han observado 1000 unidades, de las cuales:
el 2% tienen el defecto A
el 3% tienen el defecto B
el 4% tienen el defecto C
el 0’5% tienen el defecto A y B
el 0’8% tienen el defecto A y C
el 1% tienen el defecto B y C
el 0’2% tienen el defecto A, B y C.
En base a estos datos se pregunta:
a) ¿Que porcentaje de piezas tienen algún defecto?
b) ¿Qué porcentaje de piezas no tienen los tres defectos?
c) Que porcentaje de piezas tienen los defectos A o B?
d) Que porcentaje de piezas no tienen ningún defecto?
7.- En 28 papeletas se escriben las 28 letras del abecedario. Se eligen sucesivamente, sin remplazamiento,
cuatro papeletas al azar. Calcula la probabilidad de que:
a) Se obtenga en el orden de elección la palabra “dato”.
b) Se pueda escribir con las cuatro letras la palabra “dato”
8.- Una caja contiene 1000 bombillas. La probabilidad de que contenga al menos una defectuosa es 0’1 y
la probabilidad de contenga al menos dos defectuosas es 0’05. Calcular la probabilidad de cada uno de los
siguientes sucesos:
a) La caja no contiene bombillas defectuosas.
b) La caja contiene exactamente una bombilla defectuosa.
c) La caja contiene a lo sumo una bombilla defectuosa.
9.- Se sabe que para una caja que contiene 100 ampollas existe una probabilidad del 4% de que tenga al
menos tres ampollas en mal estado, y una probabilidad del 98% de que tenga menos de cuatro ampollas
en mal estado. Con estos datos calcular la probabilidad de que en la caja haya exactamente tres ampollas
en mal estado.
10.- En una población el 40% de los individuos tienen el pelo castaño, el 25% los ojos castaños y el 15%
el pelo y los ojos castaños. Se elige un individuo al azar de esta población, y se pregunta:
a) Si ese individuo tiene el pelo castaño, ¿ cual es la probabilidad de que tenga también los ojos
castaños?.
b) Si tiene los ojos castaños, cual es la probabilidad de que el pelo no sea castaño ?.
c) ¿ Cuál es la probabilidad de que no tenga el pelo ni los ojos castaños ?.
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11.- El 30% de los estudiantes de una universidad hablan ingles, y el 6% de los que hablan inglés también
hablan alemán. ¿ Cual es la probabilidad de que un estudiante de dicha universidad elegido al azar hable
los dos idiomas?.
12.- En una ciudad se sabe que el porcentaje de coches que necesitan cambio de aceite es del 25% y el
porcentaje de coches que necesitan cambiar el filtro de aceite es del 40%. El 14% de los coches necesitan
cambiar las dos cosas.
a) Sabiendo que un coche va a cambiar el aceite, ¿cuál es la probabilidad de que también cambie el
filtro?
b) De los coches que necesitan cambiar el filtro de aceite ¿qué porcentaje no necesitar cambiar el
aceite?.
c) ¿Qué porcentaje de coches necesitan cambiar el filtro y no necesitan cambiar el aceite?
13.- Para detectar la presencia de una cierta enfermedad en un animal perteneciente a una raza
determinada, se emplea un análisis de tal forma que la probabilidad de que el resultado sea positivo si el
animal analizado tiene realmente la enfermedad es 0’96. Se sabe que el 98% de los animales de dicha raza
no padecen la enfermedad, por otro lado, se ha llegado a establecer que, realizando el análisis sobre todos
los animales de esta población, daría positivo en el 2’5% de los casos.
a) Calcular la probabilidad de que un animal cuyo análisis ha dado positivo padezca la enfermedad en
cuestión.
b) Calcular la probabilidad de que al realizar el análisis a un animal determinado, el diagnóstico resulte
equivocado.


14.- Sean dos sucesos A y B tales que P  A   a, P  A  B   b, P B  A  c . Expresa las
siguientes probabilidades en función de a, b y c:
 B , P  A  B 
P  A  B , P  B , P A
15.- Las causas por las cuales puede dejar de funcionar un motor de automóvil se clasifican en tres
categorías que se suponen independientes, A, B y C. La probabilidad de fallo del motor en su primer año
de uso por la causa A es 0,1 y las probabilidades de fallo por las causas B y C son 0,2 y 0,3
respectivamente. Hallar la probabilidad de que el motor falle en su primer año de uso.
16.- Para poder proporcionar la energía necesaria para el correcto funcionamiento de un satélite de
comunicaciones, deberán estar activados los tres paneles de que dispone. Los paneles instalados
funcionan de manera independiente unos de los otros, siendo 0.02 la probabilidad de que falle uno de
ellos durante una misión. ¿ Cual es la probabilidad de que, durante una misión no se disponga de la
energía necesaria para el funcionamiento del satélite?.
17.- Dos pruebas clínicas A y B dan positivas con probabilidades iguales a 0’4 y 0’5 respectivamente, al
aplicarlas en animales con cierta deficiencia en la sangre. Se puede considerar que el resultado de ambas
pruebas es independiente cuando se realiza sobre animales con esa deficiencia. Se toma un animal al azar
con esa deficiencia, calcular la probabilidad de que:
a) Ambas pruebas han dado positivas.
b) Sólo una de las pruebas ha dado positiva.
c) Las dos den positivas sabiendo que la A ha dado positiva.
18.- Sean A y B dos sucesos independientes tal que la probabilidad de que ocurran ambos es 1/6 y la
probabilidad de que no ocurra ninguno es 1/3. Determinar dos posibles valores para la probabilidad del
suceso A.
19.- Los 400 empleados de una compañía se encuentran separados en tres divisiones: administración,
operación en planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división
clasificados por sexo:
Administración ( A )
Operación en planta ( O )
Ventas ( V )
Mujer ( M )
20
60
100
Hombre ( H )
30
140
50
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a) Si se elige aleatoriamente un empleado, ¿ cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la
división de administración ?.
b) Si al elegir aleatoriamente un empleado, resulta que es una mujer, ¿ cuál es la probabilidad de que
trabaje en la división de operación en planta ?.
c) ¿Son los sucesos V y H independientes?
d) ¿ Son los sucesos O y M incompatibles ?.
e) Calcular las siguientes probabilidades:
P( A  M ); P( A / H);P(O  H )
20.- Supóngase que A y B son dos sucesos para los cuales P(A)=a, P(B)=b, P( A  B )=c. Expresar las
siguientes probabilidades en función de a, b y c:
P( A  B )
P( B  A )
`P( B )
A
P ( A  B)
21.- Una compañía tiene 500 empleados, de los cuales 280 están casados, y 300 son hombres. De los
hombres, 190 están casados.
a) ¿Son independientes los sucesos “ ser hombre “ y “ estar casado “.
b) Si se elige un empleado al azar en esta empresa, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer o esté
casado?
22.- Una prueba de diagnóstico de cáncer da positivo cuando una persona tiene cáncer en el 95% de los
casos. Dicha prueba da negativa cuando una persona está sana en el 99% de los casos. La probabilidad de
que una persona tenga cáncer es 0’05. Calcular la probabilidad de que una persona tenga cáncer sabiendo:
a) que la prueba ha dado positivo
b) que la prueba ha dado negativo.
23.- El comisario de un barrio de Nairobi sabe que en su distrito las mujeres cometen el 20% de los
asesinatos. Además lo hacen con arma blanca el 45% de ellas y el resto con arma de fuego. Los hombres
usan armas blancas en un 60% de los asesinatos que cometen. Aparece un cadáver con un tiro en la
cabeza. Calcular la probabilidad de que el crimen lo haya cometido una mujer.
24.- Un sistema recibe un 30% de energía eléctrica, un 60% de energía hidráulica y el 10% restante de
energía mecánica. Cuando funciona eléctricamente, la probabilidad de avería es de 0’002; cuando lo hace
hidráulicamente 0’001 y cuando lo hace mecánicamente dicha probabilidad es de 0’05.
a) Determinar la probabilidad de avería.
b) Suponiendo que el sistema haya sufrido avería, determinar la probabilidad de que funcione
eléctricamente.
25.- Una gran empresa industrial utiliza tres hoteles de una localidad para proporcionar alojamiento a sus
clientes. De pasadas experiencias se sabe que al 20% de ellos se les asigna habitación en el Palace, al 50%
en el Sheraton y al 30% en el Emperator. El sistema de aire acondicionado está averiado en el 5% de las
habitaciones del Palace, en el 4% de las del Sheraton y en el 8% de las del Emperator.
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que a un cliente se le asigne una habitación con el sistema de aire
acondicionado averiado ?.
b) Si a un cliente se le ha asignado una habitación con averías en el sistema de aire acondicionado,
calcular la probabilidad de que esté alojado en el Sheraton.
26.- La proporción de alcohólicos que existen en una población es aproximadamente de un 10%. No
obstante, en las bajas que dan los médicos difícilmente se encuentra el diagnóstico de alcoholismo, y sí
diagnósticos como lumbalgia, poliuria, etc. , que pueden hacer sospechar un alcoholismo subyacente. Se
realizó un estudio que puso de manifiesto que el 85% de los alcohólicos sufrían tales síntomas, mientras
que los mismos provenían de una enfermedad que no era el alcoholismo en un 7% de los casos. ¿ Cuál es
la probabilidad de que un individuo con tal conjunto de síntomas sea realmente un alcohólico ?.
27.- La distribución de los grupos sanguíneos en Estados Unidos es: tipo A:41%; tipo B: 9%; tipo AB:
5% y tipo 0: 45%. Se estima que, durante la Segunda Guerra Mundial, el 4% de las personas
pertenecientes al grupo 0 fueron clasificados como del grupo A, el 98% de los del grupo A fueron
correctamente clasificados, el 4% de los del tipo B fueron clasificados como del grupo A y el 10% de los
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del grupo AB fueron clasificados como del grupo A. Un soldado fue herido y conducido a la enfermería.
Se le clasificó como del grupo A. ¿ Cuál es la probabilidad de que tal grupo sea ciertamente el suyo ?.
28.- Los huevos de una granja se colocan en cajas de 12. Los controladores de un determinado
establecimiento indican que el 77’9% de las cajas no contiene huevos rotos, el 19’4% contiene un huevo
roto; el 2’6% contiene dos huevos rotos y el 0’1% contiene tres huevos rotos. La probabilidad de que
haya más de tres huevos rotos es 0. Se elige al azar un huevo de una caja y se encuentra que está roto. ¿
Cual es la probabilidad de que sea el único huevo roto de la caja?.
29.- Una urna contiene cuatro bolas rojas y 6 bolas verdes. Se extrae una bola al azar y se observa su
color. A continuación se devuelve la bola extraída a la urna, introduciéndose además otras tres bolas del
mismo color que la extraída. Finalmente, se extrae al azar una segunda bola de la urna que ahora contiene
13 bolas.
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída sea verde?.
b) Si la primera bola extraída fue verde, ¿ cuál es la probabilidad de que la segunda sea roja?.
c) ¿Cual es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea verde?.
d) Si la segunda bola es de color rojo, ¿ cuál es la probabilidad de que la primera fuese también de color
rojo?.
30.- Dos almacenes contienen 100 ordenadores cada uno. En el primero hay 15 máquinas estropeadas y
en el segundo 10. Un vendedor pasa un ordenador del primer almacén al segundo. Calcular la
probabilidad de que si un cliente compra un ordenador del segundo almacén, este se encuentre en
perfectas condiciones.
31.- En un examen de Matemáticas se les proponen a los alumnos tres problemas A, B y C, de los que hay
que elegir uno. La mitad de los alumnos elige el problema A, de ellos aprueba el 60%. El 30% elige el
problema B, suspendiendo el 25% de ellos. Por último, entre aquellos que eligen el problema C aprueban
el 30%.
a) Calcular la probabilidad de que un alumno elegido al azar apruebe el examen.
b) Sabiendo que un alumno ha aprobado, calcular la probabilidad de que haya elegido el problema
A.
c) Sabiendo que el alumno ha suspendido, calcular la probabilidad de que haya elegido el problema
C.
32.- Una máquina se encarga de la producción de una pieza muy complicada. El 10% de los días produce
una pieza, el 30% de los días produce 2 piezas, y el 60% de los días produce 3 piezas. Las piezas
producidas se someten a un proceso de control de calidad para comprobar si el producto final es correcto.
Sabiendo que la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es 0’03 y que las piezas defectuosas
aparecen independientemente, calcular la probabilidad de no obtener piezas defectuosas en un día.
33.- El 30% de los alumnos dedican más de una hora diaria a preparar una materia, el 40% dedican entre
media hora y una hora, y el 10% no estudia nada. La probabilidad de que el alumno suspenda es 0’001 si
le dedica más de una hora y 0’25 si le dedica entre media hora y una hora. Si no estudia nada suspende
seguro, y si estudia menos de media hora al día, suspende con una probabilidad de 0’70. Si al corregir el
examen de un alumno, resulta que la nota es suspenso, ¿qué probabilidad hay de que dicho alumno
dedique por lo menos media hora diaria a estudiar la materia?.
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