Vitrales en puertas Escuela: Profr. (a):
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Vitrales en puertas Plan de clase (1/3) Escuela: ______________________________________________ Fecha: ______________ Profr. (a): _______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: FE y M Contenido: 8.1.3 Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos. Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan las relaciones de igualdad de ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una transversal. Consigna: En equipo, resuelvan los siguientes problemas. 1. Un carpintero hizo una puerta de madera y en la parte media colocó un vitral en forma de paralelogramo, tal como se muestra. 40º a) Sin usar transportador, anoten las medidas de los ángulos del vidrio que se debe comprar. _________, ________, ________ y __________. b) Expliquen cómo encontraron esas medidas. __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 2. El siguiente dibujo está formado por dos rectas paralelas (p y q) que son cortadas por una transversal (r). p q 1 r a) ¿Cuántos ángulos se forman por las intersecciones? _____________________________ b) Numeren los ángulos que encontraron, el 1 ya está, continúen con el 2, 3, 4,… c) ¿Cuáles ángulos son iguales entre sí? ________________________________________ _______________________________________________________________________ d) Para comprobar la respuesta anterior, recorten el dibujo de su material recortable, superpongan una parte sobre la otra de manera que las paralelas coincidan y vean el dibujo a trasluz. Verifiquen que su respuesta anterior sea correcta. Si quieren comprobar más igualdades de ángulos pongan uno encima de otro. e) Si el ángulo 1 mide 120º, ¿cuánto miden todos los demás? ____________________________________________________________________ Consideraciones previas: Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos geométricos y tijeras. El primer problema tiene el propósito de que los estudiantes empiecen a explorar el contenido a partir de un problema real. Se espera que sus conocimientos previos les ayuden a calcular las medidas sin que por el momento tengan que mencionar los nombres de los ángulos involucrados (adyacentes suplementarios, correspondientes, alternos internos, opuestos dentro del paralelogramo, etc.). En el problema 2, la idea es trabajar ya directamente con los ángulos que se forman cuando dos paralelas son cortadas por una transversal. Una de las concepciones erróneas más comunes que tienen los estudiantes es pensar que las rectas paralelas son del “mismo tamaño”, debido a que siempre se trazan así. Por ello se decidió dibujarlas de un tamaño diferente. El propósito del inciso a) es que los alumnos visualicen los 8 ángulos que se forman mientras que en el b) ya establecerán una hipótesis sobre la igualdad de los ángulos. Es probable que descubran que hay dos grupos de cuatro ángulos que son iguales. Si se detecta que algunos alumnos quieren usar su transportador para encontrar los ángulos iguales, es conveniente invitarlos a que primero lo hagan por percepción visual o haciendo algunas deducciones y luego decirles que en la actividad del inciso c) podrán confirmar (o no) sus hipótesis sobre los ángulos que son iguales. Finalmente, en el inciso e) se da ya un caso particular con una medida para que los alumnos calculen las demás. Será hasta la puesta en común que se introducirán los nombres de algunas parejas de ángulos, en particular los correspondientes, los alternos internos y los alternos externos. La actividad se puede cerrar pidiendo a los estudiantes que tracen una pareja de rectas paralelas cortadas por una transversal y que identifiquen los ángulos mencionados así como la relación entre ellos. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre Dentro de sí Plan de clase (2/3) Escuela: ______________________________________________ Fecha: _____________ Profr. (a): ______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 8.1.3 Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos. Intenciones didácticas: Que los alumnos concluyan que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°. Consigna: Reunidos en parejas, realicen lo que se indica en cada caso 1. Dibujen un triángulo en una hoja de papel y recórtenlo; luego, corten por separado sus tres ángulos y péguenlos en el cuaderno de manera que queden uno al lado del otro y que sus vértices coincidan. Luego respondan lo que se pregunta. a) ¿Qué observan?_______________________________________________________ b) ¿Qué tipo de ángulo forman?_____________________________________________ c) ¿Siempre sucederá lo mismo?____________________________________________ d) Enuncien con palabras la propiedad anterior. ________________________________ ________________________________________________________________________ 2. Recorten el triángulo de su material y úsenlo como molde para hacer en su cuaderno una figura como la siguiente1.: a) Marquen en su figura los ángulos a, b y c que se indican abajo: b 1 a c b) ¿Cuánto suman los ángulos a, b y c? ___________________ 1 Adaptado de: Rodríguez, R. (2000), La geometría y los niveles de aprendizaje. En Cantoral, R. (coord.) Desarrollo del pensamiento matemático. Trillas: México. c) Identifiquen en el triángulo 1 un ángulo que mida lo mismo que b y otro que mida lo mismo que c. d) ¿Cuánto suman los tres ángulos interiores de un triángulo? ___________________ 3. La siguiente figura es un fragmento del dibujo que trazaron con sus triángulos en su cuaderno. Observen que r1 es paralela a r2 y que hay dos transversales a estas paralelas. r1 r2 d e b a c En las dos actividades anteriores han encontrado cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo. ¿Cómo convencerían a otra persona de ese hecho usando el dibujo anterior? Escriban lo que le dirían: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ Consideraciones previas: Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos geométricos y tijeras, además de contar con su material recortable. Es importante estar atento si los estudiantes comprendieron la actividad 1. La idea es que al pegar en su cuaderno los ángulos obtengan una figura similar a la siguiente, en donde observen que los tres ángulos de un triángulo forman juntos un ángulo llano o colineal, es decir, que suman 180º. No obstante de que se trata de un caso particular y de que es una actividad empírica, es necesario aprovechar que cada alumno trazó un triángulo diferente para hacer notar a los alumnos que parece que no importó ni el tamaño ni la forma del triángulo para que todos obtuvieran el mismo resultado. Con respecto a la actividad 2, es un paso intermedio que pretende llegar a una demostración más formal. Se espera que para los alumnos sea muy claro que, si hicieron el dibujo usando tres veces el mismo triángulo, todos los ángulos que están en dicho dibujo son iguales a los del triángulo 1, por lo que no será difícil que encuentren los ángulos iguales a los ángulos a y b. Se espera que observen que si a, b y c suman 180º, los tres ángulos encontrados en el triángulo 1 también suman 180º. Implícitamente estarán usando la propiedad de sustitución: todo número puede ser sustituido por su igual. Una demostración más formal es la que se presenta en la actividad 3. Hacer demostraciones geométricas por el método deductivo no es una habilidad sencilla. Es probable que muchos alumnos no sientan la necesidad de demostrar algo que han trabajado ya en casos particulares. Quizás convenga decirles que tendrían que estar seguros de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º para todos los triángulos y que sería imposible hacer lo que se hizo en la primera actividad para una infinidad de triángulos, es por ello que en geometría se recurre a demostraciones que permiten asegurar que lo que se demuestra se cumple siempre. No hay que esperar que todos los alumnos sean capaces de escribir un razonamiento deductivo en la actividad 3 pues son sus primeros acercamientos a este tipo de actividades. Las dificultades son de muchos tipos, entre ellas que no puedan hacer una cadena de pasos lógicos o que aunque los hagan oralmente no puedan hacerlo de manera escrita. Además, es probable que algunos alumnos utilicen aún las medidas de los ángulos, es decir, miden los ángulos y anotan que suman 180º. Otros, quizás influenciados por la segunda actividad utilicen argumentos como que los ángulos b y c son iguales a los ángulos d y e porque “salieron” del mismo triángulo. En el primer caso se puede mencionar la necesidad de demostrar para todos los triángulos y no sólo para uno, en el segundo se puede hacer notar que en este dibujo existe un solo triángulo, además de las paralelas y transversales. Si se da el caso de que a los alumnos no se les ocurre qué escribir en la actividad 3, se les puede apoyar invitándolos a que recuerden lo que saben de los ángulos entre paralelas y las relaciones de igualdad entre ellos. Otra dificultad es que quizás los alumnos logren visualizar las dos paralelas pero no las dos transversales y los ángulos que cada una de ellas forman con las dos paralelas. En la puesta en común se puede aprovechar para desarrollar en los alumnos la habilidad de argumentar de manera lógica una cadena de pasos para demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Por último, es importante recordar que este teorema es uno de los más importantes de la geometría euclidiana que es la que se enseña en educación básica. Este teorema está muy relacionado con el famoso quinto postulado de Euclides, de tal manera que si este postulado no se cumple, la suma sería diferente a 180º y los ángulos alternos entre paralelas no serían iguales. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre Paralelos Plan de clase (3/3) Escuela: ________________________________________________ Fecha: ____________ Profr. (a): _______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 8.1.3 Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos. Intenciones didácticas: Que los alumnos deduzcan las relaciones de los ángulos interiores de un paralelogramo. Consigna: En equipo, resuelvan los siguientes problemas: 1. En el siguiente diagrama todas las figuras son cuadriláteros pero se han dividido en los que son paralelogramos y los que no lo son. Son paralelogramos NO son paralelogramos C C B C B D D C D B A D A A B A C C A C C B D D B B B A B D D A D C A A a) ¿Qué es un paralelogramo? _________________________________________________ __________________________________________________________________________ b) ¿Cómo se llaman los paralelogramos que conoces? ____________________________ __________________________________________________________________________ 2. Sin medir, respondan lo que consideren a partir de lo que observan en las figuras. a) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un paralelogramo? ______________________ b) Las parejas de ángulos A y B, B y C,… en cada paralelogramo se llaman ángulos consecutivos, ¿qué relación tienen sus medidas? _______________________________ c) Las parejas de ángulos A y C, B y D en cada paralelogramo se llaman ángulos opuestos ¿qué relación tienen sus medidas? ___________________________________________ 3. Con base en la siguiente figura hagan lo que se indica. 5 4 3 6 1 2 a) ¿En cuántos triángulos se dividió la figura? _____________________________________ b) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo? ____________________________ c) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un paralelogramo? _______________________ d) Observen lo siguiente: Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos. La diagonal trazada es una transversal. En la figura hay ángulos alternos internos. e) Usando lo anterior, ¿cómo demostrarían que los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales? Anoten su razonamiento: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ Consideraciones previas: La actividad 1 tiene como propósito que los estudiantes reconozcan lo que son los paralelogramos: cuadriláteros con dos pares de lados paralelos, y que identifiquen los cuatro paralelogramos que hay: cuadrado, rectángulo, rombo y romboide. La actividad 2 tiene el propósito de que los alumnos empiecen a hacer hipótesis o conjeturas sobre las relaciones que existen entre los ángulos interiores de un paralelogramo. En este momento se pretende que, a partir de su percepción visual o de lo que saben de los paralelogramos respondan las preguntas sin medir. Es probable que encuentren relaciones falsas o que se cumplen sólo para algunos paralelogramos, por ejemplo, erróneamente pueden contestar que: Los ángulos consecutivos son iguales (sólo se cumple para cuadrados y rectángulos). Los ángulos consecutivos son uno agudo y uno obtuso (sólo se cumple para los rombos que no son cuadrados y para los romboides). Se espera que en relación con los ángulos opuestos se den cuenta de que son iguales por percepción visual y que en la actividad 3 comprueben ello a partir del uso de los ángulos entre paralelas y una transversal. Es muy probable que los alumnos aún no puedan hacer razonamientos lógicos y secuenciados, están en camino de desarrollar este tipo de habilidad. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 14/15 MATERIAL RECORTABLE Primero recorten todo el rectángulo. Luego corten por la línea punteada. p 1 r 1 q