1.2 Movimiento rectilineo

1.2 MOVIMIENTO RECTILINEO
Movimiento rectilíneo
Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t.
Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm
1.2.1 DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION.
Posición
La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).
Desplazamiento
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se
encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado x=x'-x en el intervalo de tiempo t=t'-t,
medido desde el instante t al instante t'.
Velocidad
La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por
Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo t tan pequeño como sea
posible, en el límite cuando t tiende a cero.
Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.
Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio
Ejercicio
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por
x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.
Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:






2 y 3 s.
2 y 2.1 s.
2 y 2.01 s.
2 y 2.001 s.
2 y 2.0001 s.
Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s) x’ (m)
Δx=x'-x
Δt=t'-t
m/s
3
2.1
2.01
2.001
2.0001
...
46
23.05
21.2005
21.020005
21.00200005
...
25
2.05
0.2005
0.020005
0.00200005
...
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
...
0
25
20.5
20.05
20.005
20.0005
...
20
Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad
en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
Calculamos la velocidad en cualquier instante t




La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
La posición del móvil en el instante t+t es x'=5(t+t)2+1=5t2+10tt+5t2+1
El desplazamiento es x=x'-x=10tt+5t2
La velocidad media <v> es
La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero
La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del
tiempo.
En el instante t=2 s, v=20 m/s
Aceleración
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad
del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t
y t' al cociente entre el cambio de velocidad v=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar
dicho cambio, t=t'-t.
La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo t tiende a cero, que es la
definición de la derivada de v.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresión de


La velocidad
La aceleración del móvil en función del tiempo.
Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento
Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0
y t, mediante la integral definida.
El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El
desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.
En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en
función del tiempo, el área en color azul mide el
desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el
segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.
Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la
posición inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la
medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la
integral definida en la fórmula anterior.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s. está
situado en x0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.
Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad
Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un
registro de la velocidad v en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que experimenta
el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.
En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva
a-t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula
anterior.
Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el
instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t.
Ejemplo:
La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2.
Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad
del móvil en cualquier instante
Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm
Aceleración.
Al aumento o disminución de la velocidad se le llama aceleración.
La velocidad de un móvil generalmente varia conforme pase el tiempo.
Al aumentar o disminuir la velocidad, decimos se acelero, entonces podemos decir que la aceleración es
la rapidez con que varia la velocidad en un tiempo dado. Para determinar la aceleración se requiere de una
dirección y sentido.
Esta se calcula relacionando la velocidad inicial y la final que alcanza el cuerpo con el tiempo empleado
de lo cual se deduce la formula de aceleración:
A = Vf - Vi/t donde:
A = aceleración
Vf = velocidad final Vi = velocidad inicial t = tiempo
Fuente: http://www.micromegas.com.mx/apuntes/documents/fisqui1-1/fisqui01.doc
Desplazamiento:
Al cambio de la posición de la partícula se le denomina desplazamiento,
.
Es decir, el esplazamiento es la resta vectorial entre el vector posición final y el
vector posición inicial:
.
En la figura 4 se ilustra la operación.
Es de anotar que como el desplazamiento es la resta de dos vectores, debe ser
también un vector.
De la misma figura 4 se puede observar que el desplazamiento es un vector
trazado desde la posición inicial hasta la posición final.
Figura 4
De la definición de desplazamiento se puede concluir que éste no depende de
la trayectoria seguida por la partícula, sino que sólo depende del punto de
partida y del punto de llegada. La figura 5 nos ilustra esta importante afirmación.
En esta figura, tres partículas tienen el mismo desplazamiento siguiendo
trayectorias diferentes.
Figura 5
Tanto el vector posición
como el vector desplazamiento
tienen como ecuación dimensional L. Es decir, esas dos
magnitudes se miden en unidades de longitud. Específicamente en el MKS se miden en metros (m).
Aceleración media,
:
Se define la aceleración media como el cambio en la velocidad instantánea,
, dividido por el intervalo de tiempo,
:
Su ecuación dimensional es LT-2 , es decir , en el sistema M-K.S se mide en m.s-2 .
La aceleración media es un vector dirigido hacia donde se dirige el cambio de velocidad,
que nos ilustren esta idea fundamental:
. Veamos algunos ejemplos
Ejemplo :
Una partícula que se mueve rectilíneamente, ocupa la posición A en el instante
con velocidad,
, y en el instante
, ocupa la posición B con velocidad
, tal como se ilustra en la figura 9. El cambio de la velocidad,
según el resultado de la siguiente resta vectorial:
, se dirigirá
Esta operación está ilustrada en la misma figura. En ella se observa que como,
, apunta hacia la derecha, la aceleración media,
, también se dirige así.
Figura 9
Ejemplo :
Una partícula que se mueve rectilíneamente, ocupa la posición A en el instante
con velocidad,
, y en el instante
, ocupa la posición B con velocidad
, tal como se ilustra en la figura 10. El cambio de la velocidad,
dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial:
, se
Esta operación está ilustrada en la misma figura. En ella se observa que como,
, apunta hacia la ixquierda, la aceleración media,
, también se dirige así.
Figura 10
Ejemplo :
Una partícula sigue la trayectoria ilustrada en la figura 11. En el instante
ocupa la posición A con velocidad,
, y en el instante
B con velocidad
. Por tanto, el cambio de la velocidad,
el resultado de la siguiente resta vectorial:
, ocupa la posición
, se dirigirá según
Esta operación está ilustrada en la misma figura . En ella se observa que como,
, apunta hacia la derecha, la aceleración media,
, también se dirige así.
Figura 11
Ejemplo
Una partícula se mueve con movimiento circular uniforme (M.C.U).
En el instante
se encuentra en la posición A con velocidad,
y en el instante
, ocupa la posición B con velocidad
, tal
como se ilustra en la figura 12. Por lo tanto, el cambio de la
velocidad,
vectorial:
, se dirigirá según el resultado de la siguiente resta
El resultado de esta operación está ilustrada en la figura 12. La
aceleración apunta hacia donde apunta el vector ,
.
Figura 12
Clases de aceleración:
De la definicón de aceleración se concluye que ésta es diferente de cero
siempre que hayan cambios en la velocidad. Como la velocidad es un vector,
puede cambiar en magnitud, en dirección, o en ambas. Si la velocidad cambia
en magnitud se dice que el cuerpo tiene aceleración tangencial (
) ; si
cambia en dirección , se dice que el cuerpo tiene aceleración centrípeta o
normal (
). En el caso que cambie simultáneamente en magnitud y en
dirección, la aceleración resultante
(
) será la suma vectorial de las aceleración tangencial y de la aceleración
centrípeta, por lo que la magnitud de la aceleración resultante será igual a:
Figura 13
Fuente: http://www.unalmed.edu.co/~daristiz/preuniversitario/unidades/cinematica/definiciones/concepto/
Desplazamiento, velocidad y aceleración
Para comprender como se mueven los objetos cuando actúan en ellos fuerzas y momentos de rotación externos no
equilibrados, es importante configurar exactas imágenes físicas y matemáticas del desplazamiento, la velocidad y la
aceleración, comprender las relaciones entre estas tres cantidades.
En el proceso se imaginará un sistema que comprende tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares y un
pequeño cuerpo en movimiento, que en el curso del tiempo, describe alguna clase de trayectoria en el espacio de
coordenadas.
El principio, no se tendrá interés en las fuerzas que provoca este movimiento, ni en la relación entre estas causas
físicas y la trayectoria resultante.
En vez de ello, se supondrá que se conoce una ecuación de movimiento que puede resolverse para dar información
explícita en todo momento acerca de la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula.
Sólo se considerarán los aspectos geométricos del movimiento, cuyo estudio se llama cinemática.
Inicialmente se supone que, de alguna manera, la partícula objeto del estudio está limitada a moverse sólo a lo largo
del eje x.
Entonces se puede describir su posición en cualquier instante t por medio de la distancia x entre el origen y la
partícula, como hay un valor bien definido de x asociado a cada valor t del tiempo, x es una función de t.
Por lo anterior será posible representar gráficamente el desplazamiento x en función del tiempo y obtener una
gráfica como la de la figura (2.1)
.
x
Q
(x + ∆x, t + ∆t)
∆x
θ
P(x, t)
t
0
t
∆t
t + ∆t
Desplazamiento de un objeto que se mueve sobre el eje x graficado en función del tiempo. La cantidad ∆x/∆t representa
la velocidad media en el intervalo de tiempo ∆t, mientras que el límite de esta cantidad cuando ∆t tiende a cero, que es la
derivada dx/dt, representa la velocidad instantánea en el tiempo t.
La velocidad media
vx durante un intervalo de tiempo t pude obtenerse determinado la distancia x que recorre la
partícula en ese intervalo, y observando que
(2.2.1)
desplazamento
i
x
Vx 

int .de.tiem po
t
De la figura 2.1 es claro que vx es la tangente del ángulo θ, por lo que representa también la pendiente de la secante
PQ que une los dos puntos de la curva que corresponde al tiempo t y al desplazamiento x + x .
Ahora podrá definirse la velocidad instantánea v x asociada a un instante t y el desplazamiento correspondiente x, como
el límite de
vx cuando el intervalo de tiempo t tiende a cero. Pero esto es precisamente la definición de la derivada de
x con respecto a t; entonces,
V X  lim t 0
x dx

t dt
(2.2.2)
La velocidad instantánea puede considerarse como la pendiente de la tangente en P a la curva de la figura 2.1.
Es claro que conforme ∆t y ∆x tienden a cero en el límite, la pendiente de la secante PQ se aproxima a la pendiente
de la tangente a la curva en P.
Por la ecuación (2.2.2), se puede considerar que la velocidad instantánea Vx es la rapidez de variación del
desplazamiento.
Fácilmente se demuestra que si la velocidad instantánea es constante, entonces la velocidad media un intervalo de
tiempo es igual a la velocidad instantánea.
Si la velocidad instantánea no fuese constante, entonces la velocidad dependerá del intervalo tiempo escogido y, en
general, no será igual a la velocidad instantánea al principio o al final del intervalo.
También se puede hablar de la aceleración media āx durante cierto intervalo, como el cambio en la velocidad
instantánea Vx que experimenta la partícula durante aquél, dividido entre la duración del mismo,.. t ; entonces,
ax 
cam bio.de.velocidad v x

int .de.tiem po
t
(2.2.3)
Como antes, la aceleración instantánea ax asociada al tiempo t se considera como el límite de a x conforme el intervalo t
tiende a cero, es decir, como la derivada de v x con respecto a t, o bien en vista de (2.1.2), como la segunda derivada de x
con respecto a t:
vx dvx d 2x
ax  lím

 2
t 0 t
dt
dt
(2.2.4)
En consecuencia, se puede decir que la aceleración instantánea es la rapidez de variación de la velocidad
instantánea.
Si se graficara la velocidad vx como función del tiempo (y no del desplazamiento), se encontraría que la pendiente
dvx/dt en cualquier punto sería igual a la aceleración instantánea en el tiempo correspondiente.
Utilizando (2.2.2) y (2.2.4) es posible expresar la aceleración a x en forma ligeramente distinta, lo que a menudo es
muy útil.
Escribiendo dv/dt = (dvx/dx) (dx/dt), que equivale a multiplicar dvx/dt por dx/dx (es decir, por la unidad), se obtiene:
(2.2.5)
dv
dv x dx
dv
a x relación
 x 
 v x xel desplazamiento en términos de la velocidad, o viceversa.
Se verá que esta
sirve para encontrar
dt
dx dt
dx
NOTA 1:
De aquí en adelante se usarán poco la velocidad media o la aceleración media, y a menos que se especifique lo
contrario, los términos velocidad o aceleración se referirán a los valores instantáneos de estas cantidades.
GRÀFICA DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÌCULA EN EL ESPACIO
z
Q(t +
∆t)
(x + ∆x, y + ∆y,
z, + ∆z)
∆r
∆z
r + ∆r
P
∆y
(tiempo
Desplazamiento de un punto que se mueve a lo largo de una trayectoria arbitraria en el espacio coordenado
t)
∆x
tridimensional. El vector ∆r/∆t es la velocidad media durante el intervalo t , en tanto que la derivada dr/dt. (Que se
(x, y, z)
obtiene en el limite cuando t →0, representa el vector velocidad instantánea al tiempo t) (Figura 2.2)
Si no se confina el movimiento de la partícula al eje x aquella describirá una cierta curva o trayectoria en el espacio,
r
como se muestra en la figura2.2. En el tiempo
t, la partícula estará en algún punto P cuyas coordenadas espaciales son
z
(x, y, z); y en este momento se pede describir su desplazamiento
con respecto al origen mediante un vector de posición r,
cuyas componentes según0los ejes coordenados son x, y e z, respectivamente. Entonces el vector
y
de posición r en el
tiempo t es



r

x
i

y
j

z
k
t
x
(2.2.6)

t
En un tiempo
posterior
t
+
,
la
partícula
se
habrá
movido
a
lo
largo
de
su
trayectoria
hasta
un
punto
Q
de
coordenadas
∆y
( x +  x, y +  y, z +  z). El vector de posición
r +  r asociado
a Q es:
∆x
x
r +  r =(x +  x)i +(y +  y)j +(z +  z)k
(2.2.7)
En forma análoga a (2.1.1) la velocidad media puede explicarse como el vector
v  r / t .
Por tanto:

 
r (r  r )  r  x   y    z  
V

  i    j   k
t
t
 t   t 
 t 
(2.2.8)
Ahora se define la velocidad instantánea v como un vector que exprésale valor límite de v conforme t tiende a cero, por
lo que:
r
x 
v 
z 



 i x  lím
  i y  lím
  i z  lím

t 0 t
 r 0 t 
 r 0 t 
 r 0 t 
v  lím
V
o sea que,
dx  dx 
 dy 
 dz 
  ix   i y   iz
dt  dt 
 dt 
 dt 
(2.2.9)
La velocidad instantánea es, entonces, un vector cuyas componentes x, y y z son:
dx
dt
(2.2.10)
dy
vy 
dt
dz límite del vector  r cuando  t 0; es decir, conforme Q se mueve a lo
La dirección de este vector es la vdirección
z 
dt es evidente que en este límite la dirección  r es la de la tangente a la
largo de la curva hacia P. De la figura 1.2
vx 
trayectoria en P.
En consecuencia, la dirección de v también es la dirección de la tangente a la trayectoria en P.
V  Vx  V y  Vz
2
Desde luego, la expresión:
2
2
es el módulo de la velocidad
(2.2.11)
Ahora se puede utilizar precisamente el mismo método para estudiar la aceleración. El vector
velocidad V en el tiempo t es:




V  vx i  v y j  vz k
(2.2.12)
En que (2.1.10) de vx’ vy y vz’ en tanto que en el tiempo t+  t, la velocidad serà:




V  v  (v x  v x )i  (v y  v y ) j  (v z  v z )k
La aceleración media
Por lo que:
(2.2.13)
a en el intervalo  t es  v/  t


a = v  (v  v)  v   v x
t
t
 t
   v y
i  
  t
   v z
 j  
 t


k

(2.2.14)
La aceleración instantánea en el tiempo t se obtiene evaluado la aceleración media en el límite cuando
 t  0. Como en (1.19), las relaciones  vx/  t,  vy/  t, etc., se convierten en derivadas en este límite, y el resultado
final es:
a
dv  dvx

dt  dt
  dvy
i  
  dt
   dvz
 j  
 dt


k

(2.2.15)
La aceleración instantánea a es un vector cuyas componentes son:
dvx d 2 x
 2
dt
dt
dvy d 2 y
ay 
 2
dt
dt
dv
d 2z
az  z  2
dt
dt
ax 
(2.2.16)
La dirección del vector aceleración es la del vector dv que representa el cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo
infinitesimal. No es el necesario que este vector tenga la misma dirección que el vector velocidad v, y en realidad,
generalmente no la tiene.
Como siempre, la magnitud del vector aceleración está dada por:
a
ax  a y  az
2
2
(2.2.17)
2
Como antes, usando el mismo razonamiento algebraico, es posible demostrar que las componentes de la
aceleración se pueden escribir en la forma alternativa
 dv 
ax  vx  x 
 dx 
 dv y 

a y  v y 
dy


 dv 
az  vz  z 
 dz 
(2.2.18)
Al resolver problemas reales en la dinámica de estados físicos, se podrán determinar los valores de las
componentes de la aceleración ax’ ay y az’ a partir de las leyes del movimiento expresadas como un sistema de ecuaciones
de movimiento. Entonces será posible obtener las componentes de la velocidad por integración, ya que de (2.2.16)
v x   a x dt
Bdvx  a x dt
dvy  a y dt
dvz  a z dt
de donde
(2.2.19)
v y   a y dt
v z   a z dt
Al evaluar las integrales se obtiene una constante de integración que no puede determinarse a menos que se
conozca de antemano el valor de la velocidad en un tiempo específico.
A menudo se encontrara que se conoce o puede especificar la velocidad inicial (cuando t=0).
De modo que para obtener los valores precisos de la velocidad en todo tiempo, es necesario conocer (además de
las ecuaciones de movimiento que dan la aceleración) algo acerca de la velocidad en algún momento o lugar
determinado.
A esta información complementaria se la llama condición en la frontera.
Una vez evaluadas las componentes de la velocidad a partir de la aceleración dada, con ayuda de una condición
en la frontera adecuada será posible evaluar el desplazamiento de la partícula integrando nuevamente.
De (2.2.10) se puede escribir:
x   v x dt
dx  v x dt
dy  v y dt
dz  v z dt
y por tanto
y   v y dt
z   v z dt
(2.2.20)
Otra vez más aparece una constante de integración que no puede evaluarse sin datos adicionales.
-Otra condición en la frontera, que esta vez especifica que la ubicación de la partícula en determinado instante. Al estudiar
los ejemplos, se examinarán en detalle las técnicas a emplear en la integración de ecuaciones de movimiento y el uso de
las condiciones en la frontera.
2.3 OTRAS CONSIDERACIONES IMPORTANTES SOBRE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y RAPIDEZ
El movimiento de una partícula se conoce por completo si su posición en el espacio se conoce en todo
momento.
Por ejemplo, considérese un auto (que trataremos como una partícula) que se mueve a lo largo del eje x desde un
punto P a un punto Q.
Su posición en el punto P es x, en el tiempo t i y su posición en el punto Q es xf en el tempo tf. (Los índices i y f se
refieren a los valores inicial y final.) (Figura 2.3)
Pendiente = v
Q
Xf
∆x
P
xi
∆t
o
ti
tf
b)
A. Un auto se mueve a la derecha a lo largo de una línea recta tomando como el eje x. Debido a que nos interesa
solo el movimiento de traslación del auto se puede tratar como una partícula
B. Grafica posición-tiempo para el movimiento de la “partícula
En tiempos diferentes a ti y tf, la posición de la partícula entre estos dos puntos puede variar,.
Una gráfica con estas características recibe el nombre de gráfica de posición - tiempo, Cuando la partícula se
mueve de la posición xi a la posición xf, su desplazamiento está dado por Xf - xi.
Como se sabe con la letra griega delta se indica el cambio en una cantidad.
Por consiguiente, se escribe el cambio en la posición de la partícula (el desplazamiento).
x  x  xi
(2.3.1)
El desplazamiento no debe confundirse con la distancia recorrida puesto que en cualquier movimiento ésta es por
completo diferente a cero.
Por ejemplo, en la figura 2.4 se ve que un jugador de béisbol cuando batea un home run, recorre una distancia de
360 pies en su viaje alrededor de las bases; sin embargo, su desplazamiento es 0 porque las posiciones final e inicial del
jugador son idénticas.
90 pies
90 pies
Plato de home
Vista aérea de un diamante de béisbol. Un bateador que batea un home run viaja 360 pies cuando recorre las
bases, pero su desplazamiento en la vuelta completa es cero
La velocidad promedio no nos brinda detalles del movimiento entre los puntos P y Q en la figura 2.3b.
La velocidad promedio de una partícula en una dimensión puede ser positiva o negativa, según el signo del
desplazamiento.
(El intervalo de tiempo,  t, siempre es positivo.)
Si la coordenada de la partícula aumenta en el tiempo (es decir, si x f > xi), entonces  x es positiva, y también
Este caso corresponde al movimiento en la dirección x positiva.
Si la coordenada disminuye en el tiempo (xf< xi),  x es negativa y consecuentemente es
Este caso corresponde al movimiento en la dirección de x negativa.
v negativa.
Fuente: http://www.monografias.com/trabajos13/cinemat/cinemat2.shtml
1.2.2 MOVIMIENTO UNIFORME Y UNIFORMEMENTE
ACELERADO
Movimiento rectilíneo uniforme
v.
Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es
constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del
móvil en el instante t lo podemos calcular integrando
o gráficamente, en la representación de v en función de t.
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme
resultan
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya
aceleración es constante. Dada la aceleración podemos
obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes
t0 y t, mediante integración, o gráficamente.
Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el
desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t,
gráficamente (área de un rectángulo + área de un
triángulo), o integrando
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado, las siguientes.
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el
desplazamiento x-x0
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm
Movimiento Rectilíneo Uniforme.
Se llama movimiento rectilíneo uniforme cuando un movimiento recorre distancias iguales en tiempos
iguales.
En todo movimiento implica una distancia recorrida y un x tiempo para recorrer esa distancia.
Se puede calcular la velocidad mediante la siguiente formula:
V=d/t donde:
V = velocidad
d = distancia
t = tiempo
Cuando se conoce la velocidad y se desconoce la distancia se aplica la siguiente formula:
d=v*t
Y cuando se va a calcular el tiempo se emplea la formula:
t=d/v
Fuente: http://www.micromegas.com.mx/apuntes/documents/fisqui1-1/fisqui01.doc
Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.)
Existen varios tipos especiales de movimiento fáciles de describir. En primer lugar, aquél en el que la velocidad
es constante. En el caso más sencillo, la velocidad podría ser nula, y la posición no cambiaría en el intervalo de
tiempo considerado. Si la velocidad es constante, la velocidad media (o promedio) es igual a la velocidad en
cualquier instante determinado. Si el tiempo t se mide con un reloj que se pone en marcha con t = 0, la distancia
e recorrida a velocidad constante v será igual al producto de la velocidad por el tiempo. En el movimiento
rectilíneo uniforme la velocidad es constante y la aceleración es nula.
v = e/t
v = cte.
a=0
Fuente: http://www.fisicanet.com.ar/fisica/f1ap01/apf1_04a.html
1.2.3 MOVIMIENTO RELATIVO
El movimiento es relativo, depende del sistema al cual me refiera ("sistema de referencia"). Cuando digo que la
velocidad de un objeto es tal, tengo que indicar con respecto de qué.
Tomamos a P como la partícula cuyo movimiento queremos describir y A y B son los dos sistemas de referencia.
La cosa es que si representamos el movimiento de P en A será distinto que si lo representamos en B y queremos
encontrar la vinculación. La ecuación de la transformación de las velocidades es: Vap=Vab+Vbp donde las tres
magnitudes son vectoriales (es decir, ojo con los signos) y sabiendo que Vap= -Vpa. (la fórmula es similar para
el caso de las posiciones)
Por ejemplo: un típico problema de relativo es el del bote y la corriente: Entre los muelles A y B que están en la
misma orilla de un canal rectilíneo hay una distancia de 400m. Un bote de remos tarda 40 segundos en ir de A
hasta B y 50 segundos en regresar. Considerando constantes los módulos de las velocidades del bote respecto del
agua y de la corriente respecto a la orilla, hallar el valor de los mismos.
Entonces: de A a B tarda 40s (en MRU) y de B a A tarda 50 s(también en MRU). En realidad, el bote siempre va
al mismo ritmo, entonces por qué tarda más en volver que en ir? porque a la vuelta, la corriente intenta frenarlo,
pero a la ida (de A a B), iba a favor de la corriente (ésta favoreció su movimiento y entonces tardó menos en
recorrer la misma distancia).
Así que: Vat es la velocidad de la corriente respecto de la tierra u orilla, Vba es la velocidad del bote con
respecto a la corriente.
De A a B: Vba=400m/40s-Vat , mientras que, de B a A: Vba=-Vba=-400m/50s-Vat (fijate que consideré los
signos, puse, por ejemplo, -Vba porque va contrario a mi eje positivo que de en dirección A-B). Con esas dos
ecuaciones formo el sistema y llego a Vba=9m/s (velocidad del bote si el agua estuviera quieta) y Vat=1m/s
Fuente: http://www.geocities.com/id_imaginedream/movimrelativo.htm
Vamos a analizar ahora el movimiento de un sistema rígido aplicando una metodología distinta a la vista
recientemente.
Para ello analizaremos el movimiento del sólido respecto de una terna que se mueve con respecto a otra
considerada fija y a la cual se desea referir el movimiento.
A la terna "fija" la llamamos absoluta y a la móvil, de arrastre siendo
terna móvil y
el vector rotación absoluta de la
la velocidad de dicho punto también absoluta, pueden distinguirse 3 movimientos:
1) Movimiento Relativo: es el movimiento del sistema rígido con respecto a la terna de arrastre como si
ésta estuviese fija.
2) Movimiento de Arrastre: Es el movimiento del sólido como si estuviera solidariamente unido a la
terna móvil y ésta lo "arrastrase" en su movimiento.
3) Movimiento Absoluto: Es el movimiento del sistema rígido respecto de la terna absoluta como
consecuencia de la simultaneidad de los dos movimientos anteriores.
Habrá siempre un movimiento absoluto y uno relativo pero puede haber muchos de arrastre según las
ternas que se intercalen; todos ellos pueden reducirse a uno solo por composición de movimientos.
Notar que
es la velocidad de rotación de los ejes
mientras que la velocidad de rotación
del sólido es
(ambas absolutas). Tomemos un punto P del sólido y analicemos cuál sería su velocidad
con respecto a la terna absoluta como consecuencia de los movimientos relativos y de arrastre. Será:
(19)
derivando con respecto al tiempo:
(19’)
pero siendo
vectores de posición con respecto a la terna absoluta, sus derivadas temporales darán
las velocidades de P y 01 respecto del sistema absoluto;
Con respecto a los 3 últimos sumandos del lado derecho de la igualdad, pueden aplicarse las fórmulas de
Poisson, obteniéndose:
Por lo tanto y teniendo en cuenta que los 3 primeros sumandos representan la velocidad de P como si la
terna móvil estuviese quieta:
(20)
donde:
= velocidad absoluta de P
= velocidad relativa de P
= sería la velocidad de P como si éste fuese arrastrado por la terna móvil (velocidad de
arrastre); así, rotaría con
y 01 sería el centro de reducción del movimiento.
Luego:
(20’)
Es decir que la velocidad absoluta de un punto cualquiera de un sistema rígido resulta de la suma de sus
velocidades de arrastre y relativa.
Veamos ahora qué ocurre con la aceleración; derivamos dos veces la expresión (19):
(21)
resolvamos el primer paréntesis:
=
=
el segundo paréntesis nos da:
; por (20)
=
Reemplazamos en (21)
(22)
donde:
aceleración absoluta de P
aceleración relativa de P
es la forma impropia de la ley de distribución de aceleraciones en un sistema
rígido (tal como si éste fuese arrastrado por la terna móvil) y se denomina aceleración de arrastre.
aceleración complementaria o de Coriolis, aparece por la rotación de los ejes de la terna
móvil y representa la diferencia en aceleración de P como si fuera medida a partir de unos ejes (0,i,j,k) no
giratorios y de otros (01, i1, j1, k1) giratorios, ambos con origen en 01. Se anula si no hay rotación o bien si
no hay movimiento relativo y también en los movimientos helicoidales permanentes donde
Así resulta:
(22’)
EJEMPLO DE APLICACION
Movimiento Relativo
La barra de la figura rota en 0 con  = 3t + 1 mientras que el punto P se desplaza sobre la barra con una
ley r = 4 t2 + 4. Encontrar la velocidad y aceleración absolutas de P respecto del sistema
y graficar
los vectores.
Solución
Adoptemos una terna móvil de origen 01  0 y con su eje
Así:
y
Luego
;
fijo a la barra, es decir rotando con
Obsérvese que
está en
DIAG. DE VELOCIDADES
por lo tanto actúa sobre el módulo de
y sobre la dirección
DIAG. DE ACELERACION
Fuente:
http://www.frbb.utn.edu.ar/carreras/materias/mecanicadelsolido/apuntes/2.5.2Movimiento%20Relativo.htm
1.2.4 CAIDA LIBRE DE CUERPOS
Un cuerpo es lanzado desde el techo de un edificio de altura x0 con velocidad
v0, determinar las ecuaciones del movimiento, la altura máxima y el tiempo que
tarda el cuerpo en alcanzar el origen.
En primer lugar, establecemos el origen y la dirección del movimiento, el eje X.
Después, los valores de la posición inicial y los valores y signos de la velocidad
inicial, y de la aceleración, tal como se indica en la figura. Resultando las
siguientes ecuaciones del movimiento.
Cuando alcanza la altura máxima, la velocidad del móvil es cero. De la ecuación de la velocidad, se obtiene el
tiempo que transcurre desde que se lanza hasta que llega a dicha posición. El tiempo transcurrido se sustituye en
la ecuación de la posición, obteniéndose la máxima altura que alcanza el móvil medida desde el suelo.
El tiempo que tarda en llegar al suelo, se obtiene a partir de la ecuación de la posición, poniendo x=0,
resolviendo una ecuación de segundo grado.
Nota: como podrá comprobar el lector, la solución del problema es independiente de la situación del origen. Si
colocamos el origen en el punto de lanzamiento, la posición inicial x0 es cero, pero el suelo se encuentra en la
posición -x0 respecto de dicho origen, resultando la misma ecuación. La altura máxima se calcula ahora desde el
techo del edificio, no desde el origen.
Signo de la aceleración:
Si el eje X apunta hacia arriba la aceleración de la gravedad vale a=-g,
g=9.8 ó 10 m/s2
Signo de la velocidad inicial:
Si el eje X apunta hacia arriba y el cuerpo es inicialmente lanzado hacia
arriba el signo de la velocidad inicial es positivo, en caso de ser lanzado
hacia abajo el signo es negativo
Situación del origen:
Se acostumbra a poner en el origen, en el punto en el que es lanzado el
móvil en el instante inicial. Esto no tiene que ser siempre así, si un cuerpo
es lanzado desde el techo de un edificio podemos situar el origen en el
suelo, la posición inicial del móvil correspondería a la altura del edificio h.
Si situamos el origen en el techo del edificio y lanzamos el móvil desde el
suelo, la posición inicial sería -h.
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/graves/graves.htm
Para entender el concepto de caída libre de los cuerpos,veremos el siguiente ejemplo: Si dejamos caer una pelota
de hule macizo y una hoja de papel , al mismo tiempo y de la misma altura,observaremos que la pelota llega
primero al suelo.Pero,si arrugamos la hoja de papel y realizamos de nuevo el experimento observaremos que los
tiempos de caída son casi iguales.
El movimiento vertical de cualquier objeto en movimiento libre,para el que se pueda pasar por elto la resistencia
del aire, se resume entonces mediante las ecuaciones:
a). v = -gt + v0
b). vm = (vo + v)/2
c). y = -0.5 gt² + vo t + y0
d). v²= -2gt(y - y0 )
Fuente: http://guillermoga.galeon.com/enlaces13781.html
Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo que la resistencia del aire no afecte su movimiento,
encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos independientemente de su tamaño, forma o composición,
caen con la misma aceleración en la misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta aceleración,
denotada por el símbolo g , se llama aceleración en caída libre
Si bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con movimiento hacia arriba experimentan la misma
aceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de la aceleración en caída libre varía con la latitud y con la
altitud. Hay tambien variaciones significativas causadas por diferencias en la densidad local de la corteza
terrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiar en esta sección.
Las ecuaciones vistas en la sección anterior para un movimiento rectilíneo con aceleración constante pueden ser
aplicadas a la caída libre, con las siguientes variaciones:
Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Y y tomamos como positiva la dirección hacia arriba.+
Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto
que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es negativa.
En la gráfica anterior podemos observar la dirección de los vectores aceleración y velocidad, de un objeto que
ha sido lanzado hacia arriba con una velocidad inicial; en el primer instante (bola a la izquierda) notamos que el
vector velocidad apunta hacia arriba, en el sentido positivo del eje Y, mientras el vector aceleración ( g ) tiene
una dirección hacia abajo, en el sentido negativo del eje Y. En el segundo instante cuando el objeto cae (bola a la
derecha) la dirección de la velocidad es hacia abajo en el mismo sentido del desplazamiento y el vector
aceleración ( g ) mantiene su misma dirección, en el sentido negativo del eje Y.
Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser:
a(t)=-g
v ( t ) = v0 - g . t
Fuente: http://www.manizales.unal.edu.co/cursofisica/contenido/caida.htm
OBJETOS QUE CAEN LIBREMENTE
Es bastante conocido que todos los objetos, cuando se sueltan, caen hacia la tierra con aceleración casi constante.
Hay una leyenda según la cual fue Galileo quien descubrió este hecho al observar que dos diferentes pesas dejadas caer
simultáneamente desde la inclinada Torre de Pisa golpeaban el suelo casi al mismo tiempo. Si bien hay cierta duda de
que este particular experimento se llevó a cabo, está perfectamente establecido que Galileo efectuó muchos experimentos
sistemáticos en objetos que se movían sobre planos inclinados. Con cuidadosas mediciones de distancias e intervalos de
tiempo, fue capaz de mostrar que el desplazamiento de un objeto que parte del reposo es proporcional al cuadrado del
tiempo en que el objeto está en movimiento.
Esta observación es consistente con una de las ecuaciones cinemáticas que se obtuvo para el movimiento con
aceleración constante (ecuación 2.4.4). Los logros de Galileo en la ciencia de la mecánica prepararon el camino para que
Newton desarrollara sus leyes del movimiento.
Tal vez el lector desee intentar el siguiente experimento. Deje caer una moneda
y un pedazo de papel apretado con la mano simultáneamente desde la misma altura.
Como no hay resistencia del aire, ambos experimentarán el mismo movimiento y
llegarán al suelo al mismo tiempo. En un experimento real (no ideal), la resistencia del aire no puede ignorarse. En el caso
idealizado; donde se desprecia la resistencia del aire, dicho movimiento se conoce como caída Ubre. Si este mismo
experimento se llevará a cabo en un buen vacío, donde la fricción del aire es despreciable, el papel y la moneda caerían
con la misma aceleración, sin que importara la forma del papel.
Este caso se ilustra de manera muy convincente en la fotografía de la manzana y la pluma que caen en un vacío. El 2 de
agosto de 1971 el astronauta David Scott realizó un experimento de estas características en la Luna (donde la resistencia
del aire es despreciable). Simultáneamente soltó un martillo de geólogo y la pluma de un halcón, que hicieron contacto
con la superficie lunar al mismo tiempo. ¡Esa demostración seguramente habría complacido a Galileo!
Denotaremos la aceleración de caída libre con el símbolo g. El valor de g sobre la Tierra disminuye conforme aumenta la
altitud. También, hay ligeras variaciones de g con la latitud. La aceleración de caída libre está dirigida hacia el centro de la
Tierra.
En la superficie, el valor de g es aproximadamente 9.80 m/s 2, o 980 cm./s2 o 32 pies/s2. A menos que se establezca lo
contrario, cuando efectuemos cálculos usaremos este valor para g.
Cuando se emplea la expresión objeto que cae libremente no se hace referencia necesariamente a un objeto que se soltó
desde el reposo. Un objeto que cae libremente es cualquiera que se mueve con libertad bajo la influencia de la gravedad,
sin importarse movimiento inicial. Los objetos lanzados hacia arriba o hacia abajo y los que se sueltan desde el reposo
todos caen libremente una vez que se han liberado. También, es importante recordar que cualquier objeto que cae
libremente experimenta una aceleración dirigida hacia abajo. Esto es cierto independientemente del movimiento inicial del
objeto.
Un objeto lanzado hacia arriba y uno lanzado hacia abajo experimentarán la misma aceleración que un objeto que se deja
caer desde el reposo. Una vez que están en caída libre, todos los objetos tienen una aceleración hacia abajo, igual a la
aceleración de caída libre.
Sí se desprecia la resistencia del aire y se supone que la aceleración en caída libre novaría con la altitud, entonces el
movimiento vertical de un objeto que cae libremente es equivalente al movimiento en una dimensión con aceleración
constante.
Por tanto, pueden aplicarse las ecuaciones cinemáticas para aceleración constante.
Se tomará la dirección vertical como el eje y-y se indicará positiva hacia arriba. Con estas coordenadas es posible sustituir
x por y en las ecuaciones 2.4.3, 2.4.4 y 2.4.5.
Asimismo, como es positiva, hacia arriba, la aceleración es negativa (hacia abajo) y está dada por a = -g. El signo
negativo indica simplemente que la aceleración es hada abajo. Con estas sustituciones se obtienen las siguientes
expresiones:
v  v0  gt
1
y  y 0  v  v0 t
2
1
y  y 0  v0 t  gt 2
2
2
2
v  v0  2g y  y0 
(2.5.1)
(para a constante = -g)
(2.5.2)
(2.5.3)
(2.5.4)
Adviértase que el .signo negativo para la aceleración ya está incluido en estas expresiones.
Por consiguiente, cuando se utilicen estas ecuaciones en cualquier problema de caída libre, sólo debe sustituirse g = 9.80
m/s2
Fotografía de destellos múltiples de
una bola de billar que cae.
Conforme esto ocurre, el espacio
entre imágenes sucesivas aumenta,
lo que indica que la bola se acelera
hacia abajo. El diagrama de
movimiento
muestra
que
la
velocidad de la bola (flechas del
lado izquierdo) aumenta con el
tiempo, en tanto que su aceleración
(flechas
del
lado
derecho)
permanece constante.
EJEMPLO CONCEPTUAL
Un niño lanza una canica al aire con cierta velocidad inicial. Otro niño deja caer una pelota en el mismo instante. Compare
las aceleraciones de los dos objetos mientras permanecen en el aire.
Razonamiento Una vez que los objetos abandonan la mano ambos están en caída libre y, en consecuencia,
experimentan la misma aceleración hacia abajo igual a la aceleración de caída libre, g= 9.80 m/s 2.
EJEMPLO
Una pelota de golf se lanza desde arriba. Mientras esta en el aire,
a)¿qué pasa con su velocidad?
b)¿Su aceleración aumenta, disminuye o permanece constante?
Razonamiento
a) La velocidad de la pelota cambia continuamente. Cuando viaja hacia arriba su velocidad disminuye 9.80 m/s durante
cada segundo de su movimiento. Cuando alcanza el punto máximo de su movimiento, su velocidad se vuelve cero.
Conforme se mueve hacia abajo, su velocidad aumenta 9.80 m/s cada segundo, b) La aceleración de la pelota permanece
constante mientras permanece en el aire, desde el instante que se separa de la mano hasta el instante anterior a su
choque con el suelo. Su magnitud es la aceleración de caída libre, g = - 9.80 m/s2. (Si la aceleración fuera cero en el
punto máximo cuando la velocidad es cero, esto indicaría que de ahí en adelante ya no habría cambio en la velocidad, por
lo que la pelota se detendría en dicho máximo, y permanecería ahí, que no es el caso.)