resolución de ecuaciones diferenciales lineales aplicada a vigas en

“ RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
APLICADA A VIGAS EN LA INGENIERÍA CON EL APOYO DE LOS
SOFTWARES MATLAB Y MATHEMATICA”
LIC. JOSÉ DEL CARMEN SILVA MECHATO. M.SC
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo de investigación es producto de la inquietud que nació al tratar de escrudiñar
aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales aplicados a Vigas en la Ingeniería con
el apoyo de los Software Científico Matlab y Mathematica.
En este trabajo se verifica cómo las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales pueden ser útiles en
las soluciones de variados tipos de problemas de la situación del mundo real, en particular se muestra
cómo al traducir problemas de un lenguaje de ecuaciones diferenciales ordinarias, esto es, establecer la
formulación matemática de problemas y realización del modelo matemático. Mediante el análisis
Matemático se resuelve ecuaciones diferenciales ordinarias lineales sujeta a condiciones, así mismo con
el apoyo de los software antes descrito se acelera significativamente los cálculos.
El presente trabajo está distribuido en cuatro capítulos, en los tres primeros capítulos se presenta el
estudio de las vigas, las ecuaciones diferenciales ordinarias, la modelación de las ecuaciones
diferenciales y en el último capítulo se describe los software científicos Matlab y Mathematica.
El Autor
1
ABSTRACT
This research is a product of the concern that was born to try to find applications of
Linear Ordinary Differential Equations Applied to Beams in Engineering with the support
of Scientific Software Matlab and Mathematic.
This paper verifies how Linear Ordinary Differential Equations may be useful in solutions
of various types of problems in real-world situation, in particular, we show how to
translate language problems of ordinary differential equations, that is, establishing
mathematical formulation of problems and implementation of mathematical modeling.
Through Mathematical analysis resolves linear ordinary differential equations subject to
Conditions, Likewise Supported by the software describes the accelerates Significantly
Above Computations calculations significantly.
This work is distributed in four chapters, the first three chapters present the study of the
beams, ordinary differential equations, modeling of differential equations and the final
chapter describes the scientific software Mathematic and Matlab.
CAPÍTULO I: ESTUDIO DE VIGAS
1.1 DEFLEXIÓN DE UNA VIGA
1.1.1. VIGA.- En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo
lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas la longitud predomina
sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal.
En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser
horizontal.
El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión,
produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior
respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el
segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen
esfuerzos cortantes. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre
todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado. Estructuralmente
el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma
mecánico.
I
x
F
x
Figura 01.
2
1.2 EJE DE SIMETRÍA
Un eje de simetría es una línea imaginaria que al dividir una forma cualquiera, lo
hace en dos partes cuyos puntos opuestos son equidistantes entre sí, es decir,
quedan simétricos
1.3 CURVA ELÁSTICA
La curva elástica o elástica es la deformada por flexión del eje longitudinal de una
viga recta, la cual se debe a momentos, fuerzas y cargas distribuidas aplicadas
sobre la viga.
1.3.1. ECUACIÓN DE LA ELÁSTICA.- La ecuación de la elástica es la ecuación
diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la
curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el
campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original
a la forma curvada o flectada final. Para una viga de material elástico lineal sometido
a pequeñas deformaciones la ecuación diferencial de la elástica viene dada por:
d 2 v( x) M z ( x)

2
dx
EI z
...(1)
Donde
v( x)
x
: representa la flecha, o desplazamiento vertical, respecto de la
posición sin cargas.
: la ordenada sobre la viga.
M z ( x) : el momento flector sobre la ordenada .
Iz
: el segundo momento de inercia de la sección transversal.
E
: el módulo de elasticidad del material.
La ecuación (1) constituye sólo una aproximación, en la que se ha supuesto que las
deformaciones son muy pequeñas con respecto a las dimensiones de la viga y, por
tanto, se ha aproximado el giro de una sección de la viga con la derivada primera de
la flecha. Para deformaciones mayores se obtiene la ecuación más exacta (1'):
d v( x) M z ( x)  dv( x) 

1 

dx 2
EI z 
dx 
2
3
2
...(1')
La ecuación de la elástica (1) puede ser reescrita en función de la carga distribuida
q(x) sobre la viga:
d2 
d 2 v( x) 
 EI Z
  q ( x)
dx 2 
dx 2 
...(2)
3
Esta última ecuación es interesante porque su generalización a elementos
bidimensionales es precisamente la ecuación fundamental de gobierno de placas o
ecuación de Lagrange para placas delgadas:
2
2

x 2 y 2

  2 w( x, y )  2 w( x, y )  

 EI pl 
   q ( x, y )
2
2

x

y



Donde
D  EI pl
: es la rigidez de una placa delgada en flexión.
Ejemplo 01
2
1
1
2
Viga deformada por flexión
Figura 02.
Para una viga elástica en la que se aplican sólo momentos M1 y M2, la forma de la
curva elástica depende sólo de dos parámetros independientes, la forma
aproximada de la deformada dependerá del valor y signo relativo de estos
momentos, siendo un caso típico el mostrado en la figura adyacente. Escribiendo la
ley de momentos flectores para los puntos intermedios de la viga y escogiendo las
condiciones de contornos llegamos a la ecuación diferencial siguiente:
M 2  M1 
d 2 v( x)
1 

x
 M1 
2
dx
EI z 
L

4
 v( L)  v(0)   2  1  



v( L)  v(0)   2  1  L
La solución analítica de ecuación anterior con cualquiera de los dos posibles
elecciones de contorno, se obtiene como:
 3x3 5 x 2 x 
 2 x 3 3x 2 x 
v( x)  L(2  1 )   3  2    L 2  3  2  
L
L
L
L
 L
 L
Para cálculo de
v( x) se puede programar en el Software científico Matlab de la
siguiente manera :
Para calcular el valor de v( x) en alguna posición x , se puede programar con
mucha facilidad, en este caso se elabora un programa, y el mismo que se hace en el
en el editor de Matlab.
Es decir:
Para calcular el valor de :
V ( x), x 0; L ,
se calcula con el siguiente programa:
Esta codificación el Software se observa en su editor, como sigue:
5
CALCULANDO
Si
v( x) :
Si L  12; 1  5;
GRÁFICA DE
2  8; x  6 , entonces se tiene:
v( x)
Ejemplo 02
Si L  12; 1  5;
2  8
En el editor se programa como sigue:
6
Ahora la gráfica:
7
Figura 03.
1.3.2. CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN VIGAS
1.3.2. 1.- MÉTODO DE INTEGRACIÓN
Este método consiste en la integración de la ecuación descrita en la
sección anterior. Es necesario obtener primero la ley de variación del
momento flector para la viga estudiada, tal como se hizo en el ejemplo
anterior. Una vez conocida la ley de momentos flectores, se procede por
integración directa.
Si se conoce para un punto concreto, digamos por ejemplo x = a, el
desplazamiento vertical y el ángulo girado por la curva elástica alrededor de
ese punto respecto a la posición original el resultado de la deformación el
resultado de la integración directa es simplemente:
8
INTRODUCCIÓN DE MÉTODO DE LA SEGUNDA INTEGRACIÓN
El llamado método del área-momento, es en realidad una versión en
términos geométricos del método de integración. De acuerdo con esta
versión la doble integral en la ecuación anterior puede calcularse del
siguiente modo:
1.
Se calcula la superficie del área bajo la curva Mz /EI.
2.
Se calcula la distancia centroide del área anterior medida a partir
del eje de la viga.
3.
La segunda integral buscada es el producto de las dos magnitudes
anteriores.
Un trabajo mucha veces laborioso es el cálculo de las integrales, para ello
una vez que se tenga definida la función, así como los limites de
integración de una función, dichos cálculos se pueden abreviar con el uso
de Software científicos Matlab o Mathematica.
Por ejemplo que se desea calcular:
5
29
x19 dx
…..
 1 
En el software Matlab se puede implementar dentro de su editor de la
siguiente manera:
OBSERVACIÓN:
Las líneas que al inicio tiene el símbolo de porcentaje, en Matlab son
comentarios.
9
Que al ejecutar este programa:
Se ubica en la ventana de trabajo de Matlab, se escribe el nombre del
programa con el cual se editado, por ejemplo intralindefinida1, y así de
esta manera se obtiene el valor de dicha integral:
Es decir:
Para el caso de integral definida como por ejemplo:

5
0
529 x19 dx
…..
 2 
En Matlab se implementa de la siguiente manera:
10
CON EL SOFTWARE CIENTIFICO MATHEMATICA:
Ahora con el Software Científico Mathematica se puede identificar la
gráfica de la función a integrar a través del siguiente comando:
Plot[ función, {variable, valor inferior, valor superior}] , es decir:
Plot[f, {x,
xmin , xmax
}]
Aquí los valores xmin , xmax , son valores que se dan de acuerdo en
qué intervalo se desea ver la gráfica de la función en estudio. Dichos
valores no indican el dominio de la función.
Y las integrales se calcula de la siguiente manera:
a) Para integrales indefinidas:
Integrate[ función, variable]
Integrate[f, x]
b) Para integrales definidas:
Integrate[ función, {variable, límite inferior, límite superior}]
Es decir:
Integrate[f, {x,
xmin , xmax
}]
Por ejemplo
Anteriormente ya se calculó en Matlab la integral indefinida
 1  , ahora
con el Mathematica vamos a graficar la función a integrar, calculamos la
integral definida, luego calculamos la integral definida
 2  de 0 a 5.
Esto es:
11
Figura 04.
Luego las integrales:
 1  y  2  , se evalúan a continuación:
Con el Mathematica se trabajar con mucha facilidad gráfica de funciones y
calcular las integrales de dichas funciones.
Ejemplo
Dada la siguiente función
f ( x)   x2 Sen(3  4x)
Grafique y encuentre la integral

5
3
f ( x)dx
Solución
12
Figura 05
1.3.2. 2.- MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
El método de superposición usa el principio de superposición de la
teoría de la elasticidad lineal. El método de superposición consiste en
descomponer el problema inicial de cálculo de vigas en problemas o
casos más simples, que sumados o "superpuestos" son equivalentes al
problema original. Puesto que para los casos más sencillos existen tablas
y fórmulas de pendientes y deformaciones en vigas al descomponer el
problema original como combinaciones de los casos más simples
recogidos en las tablas la solución del problema puede ser calculada
sumando resultados de estas tablas y fórmulas.
1.4 FLEXIÓN DE UNA VIGA
Se usará una barra empotrada de un determinado material, de longitud L, de
anchura a y de espesor b. Se fijará uno de sus extremos y se aplicará una fuerza en
su extremo libre. Mediremos el desplazamiento del extremo libre y(L) o flecha en
función de la fuerza aplicada F, comprobando su relación de proporcionalidad,
mientras que la flexión de la barra sea pequeña.
13
A continuación, examinaremos la teoría de la flexión de una viga en voladizo en
detalle, calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica una
fuerza en dicho extremo que produce una flexión considerable.
Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numéricos aplicados al:
 Cálculo de la raíz de una ecuación.
 Integral definida.
Una viga o una barra delgada son sólidos homogéneos e isótropos cuya longitud
es grande comparada con las dimensiones de su sección trasversal.
Figura 06
Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican, existen
algunas partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se alargan. Pero hay
una línea, denominada neutra, que no se acorta ni se alarga. Esta línea se encuentra
en el centro de gravedad de la sección trasversal.
1.4.1. PEQUEÑAS FLEXIONES
Consideremos una barra delgada de longitud L en posición horizontal, empotrada por
un extremo y sometida a una fuera vertical F en el extremo libre. Determinaremos la
forma de la barra y las coordenadas ( x f , y f ) del extremo libre para pequeñas
flexiones de la barra.
x
xf
y
X
Sección transversal
yf
P
b
F
Y
a
Figura 07
Supondremos que
 La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección
trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.
14
 Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de
la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección
trasversal cambia muy poco.
Que en estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el
momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura  de la barra
deformada
M
Y I

El radio de curvatura de una función y ( x) es:
  dy  2 
1    
ds   dx  


d2y
d
dx 2
3
2
Para pequeñas pendientes
1


 dx   0
dy
2
d2y
dx 2
Si despreciamos el peso de la propia barra, el momento de la fuerza F aplicada en el
extremo libre, respecto del punto P (x, y) es M  F ( x f , x)  F ( L, x)
Que integramos dos veces con las siguientes condiciones iniciales:
x  0, y  0,
y
dy
0
dx
FL  2 x3  3FLx 2  Fx3
x  
2YI 
3L 
6YI
Con el Software Mathematica se obtiene por medio de:
15
Luego
El desplazamiento y f del extremo libre x  L es proporcional a la fuerza F aplicada


Y es el módulo de Young del material.
I se denomina momento de inercia de la sección trasversal respecto de la fibra
neutra.
Se considera que la aproximación de pequeñas flexiones: el desplazamiento y del
extremo libre de la barra, es proporcional a la fuerza F aplicada, produce resultados
aceptables hasta un cierto valor del parámetro adimensional   0.375 , (véase al
final del siguiente apartado) o bien, hasta un valor máximo de la fuerza aplicada
Fm  2Y  I   / L2
1.4.2. ESTUDIO DE LA FLEXIÓN DE UNA VIGA EN VOLADIZO
Consideremos una barra delgada de longitud L en posición horizontal, empotrada
por un extremo y sometida a una fuera vertical F en el extremo libre.
Determinaremos la forma de la barra y las coordenadas (xf, yf) del extremo libre
para grandes flexiones de la barra.
16
xf
X
yf
F
Y
Figura 08
Supondremos que
 La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección
trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.
 Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de
la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección
trasversal cambia muy poco.
Que en estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que
relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de
la barra deformada
Donde Y es el módulo de Young del material e I es el momento de inercia de la
sección trasversal respecto del eje neutro.
El radio de curvatura

ds
d
d
M

ds Y  I
s
y
x
xf

X
dy
yf
Y
0
ds

dx
F
17
Figura 09
El momento flector M de la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra
respecto del punto P (x, y) es M  F ( x f  x)
Derivando con respecto a “s”, y teniendo en cuanta que: Cos 
dx
,
ds
d 2
F

Cos   0
2
ds
Y I
Para determinar  ( s) se resuelve la ecuación diferencial con las siguientes
condiciones iniciales:
Para obtener una solución de la ecuación diferencial, multiplicamos por dφ/ds la
ecuación diferencial
d d 2
F d

Cos   0
2
ds ds
Y  I ds
2

d  1  d 
F
Sen    0
 
 

ds  2  ds  Y  I

1  d 
F
Sen   k , k es una constante

 
2  ds  Y  I
2
La constante de integración la determinamos a partir de las condiciones iniciales
especificadas anteriormente
2F
 d 
 Sen 0  Sen  

 
 ds  Y  I
2
ds 
Y I
2F
d
Sen 0  Sen 
18
La Longitud L de la barra y las coordenadas x e y de cada uno de los puntos de
la misma se obtienen por:
0
L   ds  L 
0
Y I
2F
dx  ds  Cos   x 
x
dy  ds  Sen   y 
0
L   ds
0
 x

d
0
Sen 0  Sen 
0
Y I
2F

Y I
2F
Sen 0  Sen 
0
2Y  I
F
Y I
2F
Cos d



0

0
0

Sen 0  Sen 0  Sen 

Sen d
Sen 0  Sen 
d
Sen 0  Sen 
Dada la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra y conocida la longitud L
de la barra, se resuelve la primera ecuación para calcular el ángulo 0 , que
forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa del
eje horizontal X
Una vez que se conoce este ángulo 0 , se calcula la abscisa x dando valores al
ángulo φ en el intervalo (0, 0 ) .
El cálculo de la ordenada y es más complicado, ya que para cada valor del
ángulo  hay que hallar una integral definida en el intervalo (0,  ) empleando
procedimientos numéricos.
1.4.2.1.- CÁLCULO NUMÉRICO
Las ecuaciones anteriores las podemos expresar
19
2  
d
0
Sen 0  Sen 
0
x
1

L


y
1

L 2 

,
Sen 0  Sen 0  Sen 


0
FL2
2Y  I

Sen d
Sen 0  Sen 
Donde  es un parámetro adimensional que engloba las características
geométricas de la barra, del material del que está hecha, y de la fuerza aplicada
en su extremo libre
1.4.2.2.- CÁLCULO DE 0 .
Empezamos con la primera ecuación que nos determina el ángulo 0 que forma
la recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa del eje
horizontal X, tal como se ve en la figura:
s
y
x
xf

X
dy
yf
Y
ds

dx
0
F
Figura 10
Requiere dos pasos:
1.

0
0
2.
Hallar la integral
d
Sen 0  Sen 
Calcular la raíz de la ecuación
20
f 0   0
La integral se puede expresar en términos de la suma de dos integrales elípticas
de primera especie, haciendo cambios de variable. El primer cambio es

  
2
2  E (k ,  2)  E (k , 0 )   2  ,  

d
0
0
Sen 0  Sen 

d
 0  2


Cos   Cos  0  
2

 2

FL2
2YI
1  0 
2  2
d
2
  
 
Sen 2  0    Sen 2  
2
 2 4
El segundo cambio de variable es
Sen  
d 
Sen  2 
,
k
  
k  Sen  0  
 2 4
2k Cos   d
1  k 2 Sen 2
Luego tenemos

0
0
d
Sen 0  Sen 
 2
 2
0
d
1  k 2 Sen 2
 2
0
d
d
 2

 0
1  k 2 Sen2 0 1  k 2 Sen2


Sen  4 
 , Sen0 

k

Finalmente, calculamos la raíz de la ecuación
21
2  E (k ,  2)  E (k , 0 )   2  ,  
FL2
2Y  I
1.4.2.3.- CÁLCULO DE LAS COORDENADAS (X/L, Y/L) DE CADA PUNTO DE
LA BARRA DEFORMADA
El cálculo de x L no reviste dificultad alguna. Conocido 0 , se calcula x L para
cada ángulo φ en el intervalo  0,  0  . La posición x f del extremo libre es:
xf
L

1

Sen0
El cálculo de y L es más problemático. Conocido 0 , se determina la ordenada
y L para cada ángulo φ en el intervalo  0,  0  calculando la integral definida,
y
1

L 2 


0
Sen  d
Sen0  Sen
por el procedimiento numérico de Simpson
Cuando   0 el denominador de la integral tiende a cero. El ordenador no
calcula correctamente la ordenada y f L del extremo libre de la barra cuando
  0 . Para solucionar este inconveniente, empleamos el procedimiento de
interpolación que se muestra en la figura.
x
xf
X
L
0  
y
0
yf
Y
F
Figura 11
22

Calculamos las coordenadas
x
L, y L  para el ángulo   0   ,
siendo  un ángulo pequeño.
Calculamos la abscisa x f L para el ángulo 0

La ordenada y f L se obtiene resolviendo el triángulo rectángulo de la figura
1.4.2.4.- APROXIMACIÓN DE PEQUEÑAS FLEXIONES
Para pequeñas flexiones cuando el ángulo 0 es pequeño. Sustituimos
Sen    y escribimos la ecuación que calcula 0 .

0
0
d
2 
0  
El resultado es 0  
Las coordenadas  x, y  de cada punto de la barra se aproximan a
Para el extremo libre de la barra, cuando   0   , x f  L , lo que implica que
en la aproximación de pequeñas flexiones, no hay desplazamiento horizontal del
extremo libre de la barra.
La ordenada y la podemos aproximar
y
1

L 2 


0
 d
 
Integrando por partes y después de hacer algunas simplificaciones obtenemos la
siguiente expresión:
y 2



        1  
L 3

2

Las coordenadas x e y , las hemos expresado en función del parámetro  ,
eliminando el parámetro obtenemos la función y=f(x) que describe la flexión de la
barra cuando se aplica una fuerza F en su extremo libre.
23
 x 2 1 x3 
y
  2  3 
L
L 3L 
y
FL  2 x3 
x  3 
2Y  I 
3L 
Para el extremos libre de la barra, cuando   0   , x  L ,
yf
2
 ,
L 3
yf 
1 L3
F
3Y I
1.4.2.5.- LÍMITE DE LA APROXIMACIÓN DE PEQUEÑAS FLEXIONES
En la figura 12, se muestra la desviación y L del extremo libre de la barra en
función del parámetro adimensional α.

En color rojo, los resultados del cálculo, empleando procedimientos
numéricos, descrito en el apartado anterior

En color azul, la recta y L =2α/3, aproximación de pequeñas flexiones
Y
1, 0
0, 8
0, 6
0, 4
0, 2

0, 25
0, 50
0, 75
1, 0
Figura 12
Podemos considerar, que la aproximación lineal produce resultados aceptables
hasta un cierto valor límite del parámetro  m o bien, hasta un cierto valor máximo
de la fuerza aplicada Fm en el extremo libre de la barra
24
Fm 
2Y  I   m
L2
EJEMPLO:
Sea una regla de acero de longitud L  30 cm , sección rectangular a  3.04 cm , y
b  0.078 cm . El módulo de Young es y  2.06 1011 N m2 .
El momento de inercia I vale
I
ab3
 1.20 1012 m4
12
Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que   0.25 , es
decir

FL2
,
2Y  I
Observamos
F  1.38 N
en
el
programa
interactivo
que
se
encuentra
en
x f L  0.98 e y f L  0.16 es decir, a x f  29cm e y f  4.8cm del extremo
fijo.
Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones
2
1 L3
1
0.33
 , yf 
F
1.38  0.05m  5.0m
L 3
3Y I
3 2.06 1011 1.2 1012
yf
En la aproximación de pequeñas flexiones x f  L , no hay desviación apreciable
en sentido horizontal y la desviación en sentido vertical y f es proporcional a la
fuerza F aplicada en el extremo libre.
Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que   1.25 , es
decir

FL2
,
2Y  I
observamos
F  6.88 N
en
el
programa
interactivo
que
se
encuentra
en
x f L  0.79 e y f L  0.56 , es decir, a x f  24cm e y f  17cm del extremo
fijo.
Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones
25
yf 
1 L3
1
0.33
F
6.88  0.25m  25cm
3Y I
3 2.06 1011 1.2 1012
CAPÍTULO II: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
De la ecuación Diferencial Lineal de orden n:
an ( x) y( n)  an1 ( x) y( n1)  ...  a1 y ' a0 y  f ( x)
… (1 )
Donde
an ( x)  0
Cuando n=1, se obtiene:
a1 ( x)
dy
 a0 ( x) y  f ( x) , a1 ( x)  0 …. ( 2 )
dx
Llamada ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN,
Donde a1 , a0 , f son funciones solamente de x o constantes.
Dividiendo a la ecuación ( 2 ) por a1 ( x)  0 :
dy a2 ( x)
f ( x)

y
dx a1 ( x)
a1 ( x)
dy
 p( x) y  q( x)
dx
… (3 )
26
p( x), q( x) Son funciones de x o constantes
La ecuación (3 ) se llama ecuación diferencial lineal de primer orden en y.
Si q( x)  0 , la ecuación (3 ) se llama ecuación diferencial lineal homogénea, caso
contrario es no homogéneo, y es una ecuación de variable separable, cuya solución
es:
dy
  p( x)dx
y
Ln( y )    p( x)dx

y  ke 
 p ( x ) dx
q( x)  0 , la ecuación (3 )
Si
dy
 p( x) y  q( x) , se llama ecuación diferencial lineal no homogénea, no es
dx
Exacta, por tanto se busca un factor integrante para su solución.
Si I ( x) es un factor integrante solo de x a la ecuación (3 ) lo expresamos por:
 p(x) y  q(x) dx  dy  0 … (4 )
Ahora multiplicado por I ( x)
I ( x)  p( x) y  q( x) dx  I ( x)dy  0 Es una ecuación diferencial exacta, por tanto
I ( x)  p( x)  q( x) 
y
I ( x)  e 

p ( x ) dx

p ( x) 
I ( x)
x
dI ( x)
dx
dI ( x)
  p( x)dx
dx

Ln( I ( x))   p( x)dx
Efectuando
I ( x) p( x) 
dI ( x )
dI ( x )
 p ( x )dx
, de donde agrupando se tiene:
dx
dx
Integrando respecto a x

dI ( x)
  p( x)dx
dx

Ln( I ( x))   p ( x)dx
27
De donde
I ( x)  e 
p ( x ) dx
, I(X): es el factor de integración.
Multiplicando a la ecuación ( 4 ) por I(X):
e
p ( x ) dx
 p( x) y  q( x) dx  e
p ( x ) dx
dy  0
Agrupando, tenemos:
e
p ( x ) dx
d  e 

p( x) ydx  e 
p ( x ) dx
y   e 

p ( x ) dx
p ( x ) dx
dy  e 
p ( x ) dx
q ( x)dx
q( x)dx
Integrando
e
p ( x ) dx
y   e
p ( x ) dx
q( x)dx  c
De donde
 p ( x ) dx 
 p ( x ) dx q( x)dx  c 
ye 
e
 

Es la solución general de la ecuación (3 )
Ejemplo.
Resolver:
(1  x 2 ) Ln(1  x 2 )
donde
dy
 2 xy  Ln(1  x 2 )  2 xArc tan x
dx
y   / 2 , cuando
x 
Solución
Dándole la forma de ecuación diferencial lineal, se obtiene:
dy
2x
1
2 xArc tan x

y

2
2
2
dx (1  x ) Ln(1  x )
(1  x ) (1  x 2 ) Ln(1  x 2 )
Donde
28
p ( x)  
2x
1
2 xArc tan x
, q ( x) 

2
2
(1  x ) Ln(1  x )
(1  x ) (1  x 2 ) Ln(1  x 2 )
2
Luego su solución es.
 p ( x ) dx 
 p ( x ) dx q( x)dx  c 
ye 
e
 

2 x

 (1 x2 ) Ln (1 x2 ) dx   (1 x2 )Ln2 x(1 x2 ) dx  1
2 xArc tan x 
ye

dx

c
 e



2
2
2
 (1  x ) (1  x ) Ln(1  x ) 



ye
 
Ln ln 1 x2
 
 e

 
 Ln ln 1 x2
 

1
2 xArc tan x 

dx

c


2
2
2 
 (1  x ) (1  x ) Ln(1  x ) 

 

1
2 xArc tan x 
y  Ln(1  x 2 )   

dx

c


2
2
2
2
2
  (1  x ) Ln(1  x ) (1  x ) Ln (1  x ) 

  A rctan x 

y  Ln(1  x 2 )   d 
dx

c


2
  Ln(1  x ) 

 A rctan x

y  Ln(1  x 2 ) 
 c
2
 Ln(1  x ) 
Como
y   / 2 , cuando
x  , entonces c  0
y  A rctan x
Ahora usando el Software Mathematica , se encuentra la solución por medio del
siguiente formato:
2.2 REDUCCIÓN DE ORDEN
2.2.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI
29
Si la ecuación diferencial no es lineal, se debe hacer la transformación a lineal, uno de
los métodos es resolver una ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI. Que es de la
forma siguiente:
dy
 p ( x) y  q ( x) y n , n  1 ….. (5 )
dx
dy
 p( x) y  q( x)
… (3 )
dx
Como se observa dicha ecuación no es lineal , primero debe transformarse en una
ecuación diferencial lineal.
SECUENCIA A SEGUIR:
1º.- A la ecuación (5 ) multiplicarlo por y  n
dy
 p ( x) y1 n  q ( x) …….. (6 )
dx
2º.- Multiplicando a (6 ) por (1  n)
dy
(1  n) y  n
 (1  n) p ( x) y1 n  (1  n)q ( x) ... (7 )
dx
dz
dy
 (1  n) y  n
3º.- Si z  y1n ,entonces
… (8 )
dx
dx
y n
4º.- Reemplazar (8 ) en (7 ) :
dz
 (1  n) p ( x) z  (1  n) q( x) … (9 )
dx
Donde (9 ) ya es una ecuación diferencial lineal en z de primer orden.
Ejemplo
Resolver
3tdq  q(1  tSent  3q3sent )dt …(  )
Solución.
A dicha ecuación se le transforma a ecuación diferencial de Bernoulli, para luego
transformarlo a una Ecuación Diferencial Lineal.
dq
 p (t )q  r (t )q n , n  1 ,
dt
Esto es:
dq 1  tSent
Sent 4

q
q …
dt
3t
t
(10 )
Donde
(10 ) es una ecuación diferencial de Bernoulli,
1  tSent
Sent
; r (t )  
3t
t
n
4
q q n4
p (t )  
Multiplicando ecuación (10 ) por q 4
30
q 4
dq
1  tSent
Sent 4 4
 q 4
q
q q
dt
3t
t
q 4
dq 1  tSent 3
Sent

q 
dt
3t
t
…. (11 )
Multiplicando por 1-n=1-4= -3 a la ecuación (11 )
dq 1  tSent 3
Sent

q 3
…. (12 )
dt
t
t
3q 4
dz
dq
 3q 4
… (13 )
dt
dt
Ahora reemplazando (13 ) en (12 ) :
dz 1  tSent
Sent

z 3
… (14 )
dt
3t
t
Sea
z  q 3 
14 es una ecuación diferencial lineal en z de primer orden, cuya solución se puede
calcular usando el Software Mathematica , por medio del siguiente formato:
Donde al resolviendo en forma analítica se tiene que:
p (t ) 
1  tSent
;
t
q(t ) 
3Sent
t
cuya solución es:
 p ( t ) dt 
 p (t ) dt dt  c 
ze 
q
(
t
)
e
 

1 tSent

dt
t
ze 
ze
 ( Lnt Cost )
dt
 3Sent  1tSent

t

e
dt  c 

t




 3Sent ( Lnt Cost )

e
dt  c 

t


eCost
3eCost  c 
z
t
el mismo que coincide con el obtenido con Mathematica.
Ahora sustituimos z  q 3 :
31
eCost
3eCost  c 
q 
t
3
2.2.2.
es la solución de la ecuación diferencial (  )
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE RICCATI
La ecuación diferencial de Riccati es de la forma:
dy
 p( x) y  q( x) y 2  r ( x) … ( 1 )
dx
Tal que p( x), q( x), r ( x) son funciones solo de x.
La idea a seguir, es de trasformarlo a la forma de una ecuación de Bernoulli, para
luego transformarlo a una ecuación diferencial lineal.
En efecto la ecuación ( 1 ) no se puede resolver por el método de Bernoulli, ni es
ecuación diferencial lineal, sin embargo si se conoce una solución particular,
entonces se puede encontrar la solución de la ecuación diferencial.
Suponiendo que y   ( x) es una solución particular, entonces se puede hallar la
solución de la ecuación diferencial haciendo
y   ( x)  z
Donde z es una función incógnita que se va determinar con la ayuda de la ecuación
diferencial.
Es decir
y   ( x)  z

dz
dz
  ' ( x) 
dx
dx
…. ( 2 )
Reemplazando ( 2 ) en ( 1 ) :
 ' ( x) 
dz
2
 p( x)  ( x)  z  y  q ( x)  ( x)  z   r ( x)
dx
…. ( 3 )
Reordenando términos se obtiene:
dz
  p( x)  2 ( x)q( x)  z  q( x) z 2   ' ( x)  p( x) ( x)  q( x) 2 ( x)  r ( x)   0
dx
Luego
 ' ( x)  p( x) ( x)  q( x) 2 ( x)  r( x)  0
…. ( 3 )
dado que y   ( x) es una solución de la ecuación diferencial de Riccati.
En consecuencia
32
dz
  p( x)  2 ( x)q( x)  z  q( x) z 2  0
dx
dz
  p( x)  2 ( x)q( x)  z  q( x) z 2 … ( 4 )
dx
De donde se observa que ( 4 ) ya es una ecuación diferencial de Bernoulli. Por tanto
se puede transformar a una ecuación diferencial lineal.
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial:
dy 1
1
 y  2 y 2  1 … ( 5 )
dx x
x
donde una de las soluciones es y  x
Solución
La ecuación diferencial ( 5 ) es de Riccati, es decir es de la forma ( 1 ) ,
Donde
1
1
, q ( x)  2 , r ( x)  1 , son funciones que dependen solo de x . Asimismo
x
x
y   ( x)  x es una solución particular.
p( x) 
Sea
y   ( x)  x  z
La solución de la ecuación diferencial dada, donde z es una función por determinar.
y  xz

dy
dz
 1
… ( 6 )
dx
dx
Reemplazando ( 6 ) en ( 5 ) :
1
dz 1
1
2
  x  z  2  x  z 1
dx x
x
Simplificando se obtiene:
dz 3
1
 z  2 z 2 … ( 7 )
dx x
x
Donde observamos claramente que es una ecuación diferencial de Bernoulli, porque
tiene la forma de:
33
dz
 a ( x ) z  b( x ) z n , n  1
dx
Donde
3
3
a ( x )   ; b( x )  2 , n  2
x
x
Multiplicando por z 2 z 2
z 2
dz 3 1 1
 z  2 … ( 8 )
dx x
x
Multiplicando por 1-n=1-2= -1 a la ecuación ( 8 )
 z 2
dz 3 1
1
 z  2
dx x
x
Sea w  z 1 
dw
dz
  z 2
dx
dx
… ( 9 )
Ahora reemplazando ( 9 ) en ( 8 ) :
dw 3
1
 w   2 … ( 10 ) es una ecuación diferencial lineal en w de primer orden,
dx x
x
( 10 ) es una ecuación diferencial lineal en z de primer orden, cuya solución se
puede calcular usando el Software Mathematica , por medio del siguiente formato:
Ahora resolviendo en forma analítica se tiene:
3
p( x)   ;
x
q( x)  
1
x2
cuya solución es:
 p ( x ) dx 
 p ( x ) dx dx  c 
we 
q
(
x
)
e
 

3
  dx
x
we 
3


  x dx
1
  2e

dx

c
 x



34
we
3 Lnx
( 3 Lnx )


1

e
dx

c
 2

 x

 1

w  x3  4  c 
 4x

… ( 11 )
solución que coincide con lo obtenido con
Mathematica
Reemplazando w  z 1 se tiene:
 1

z 1  x3  4  c  … ( 12 )
 4x

Pero
y  x z

w  z 1
… ( 13 )
( 13 ) en ( 12 ) :
 1

( y  x)1  x3  4  c 
 4x

Es la solución de la ecuación diferencial ( 5 ) .
CAPÍTULO III: MODELACIÓN CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
3.1
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: PROBLEMAS DE VALORES EN
LA FRONTERA – DEFLEXIÓN DE UNA VIGA – VIGA EMPOTRADA.
Con frecuencia, la descripción matemática de un sistema físico requiere la
solución de una ecuación diferencial sujeta a condiciones en la frontera; es decir
condiciones especificadas para la función desconocida o una de sus derivadas, e
incluso para una combinación de la función desconocida y una de sus derivadas,
en dos o más puntos distintos.
Desviación de una viga.- Muchas estructuras se construyen a base de vigas
que se desvían o distorsionan por su propio peso o por la influencia de alguna
fuerza externa. Pues ahora estudiaremos esta desviación:
Consideremos dicha desviación por y ( x) la misma que esta determinada por una
ecuación diferencial lineal de cuarto orden.
Asumiendo que una viga de longitud L es homogénea y tiene sección
transversal uniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga alguna,
incluyendo su propio peso, la curva que une los centroides de sus secciones
transversales es una recta que se llama eje de simetría (Fig. 01).
35
I
x
F
x
Figura 13
Si a la viga se le aplica una carga en un plano vertical que contenga que
contenga al eje de simetría, sufre una distorsión y la curva que une los centroides
de las secciones transversales se llama curva de desviación, curva elástica, o
simplemente elástica. La elástica aproxima la forma de la viga. Supongamos que
el eje x coincide con el eje de simetría y que la desviación (o flecha) y ( x) ,
medida desde el eje, es positiva si es hacia abajo. En teoría de la elasticidad se
demuestra que el momento flexionante M ( x) en un punto x a lo largo de la
viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud w( x) mediante la siguiente
ecuación:
d 2M
 w( x)
dx 2
( 1 )
Además el momento flexionante M ( x) es proporcional a la curva,
elástica:
,
de la
M ( x)  EI 
Donde E e I son constantes, E es el módulo de Young de elasticidad del
material de la viga e I es el momento de inercia de la sección transversal de ésta
(respecto de un eje llamado eje neutro). El producto EZ se denomina rigidez a
la flexión de la viga.
De acuerdo al cálculo diferencial, la curvatura es:

y ''
1  ( y ') 2 
3
2
( 2 )
Cuando la desviación y ( x) es pequeña es pequeña, la pendiente y '  0 , de
modo que:
1  ( y ')2 
3
2
1
Si   y '' , entonces el momento flexionante se transforma en M  EIy '' .
La segunda derivada de esta ecuación es:
36
d 2M
d2
d4y
 EI 2 y ''  EI 4
dx 2
dx
dx
( 3 )
Remplazando resultado de ( 1 ) en ( 3 ) y vemos que la desviación y ( x) satisface
la siguiente ecuación diferencial:
d4y
EI 4  w( x)
dx
( 4 )
Las condiciones en la frontera asociados a esta ecuación dependen de la forma
en que están sostenidos los extremos de la viga. Una viga en voladizo (en
cantiliver) está empotrada en un extremo y libre en el otro. El ala de un avión,
un brazo extendido, las astas de banderas, los rascacielos son ejemplos
comunes de vigas en voladizo y los momentos pueden trabajar como vigas en
voladizo, ya que están empotrados en su base y sufren la fuerza del viento, que
los tiende a flexionar. Para una viga en voladizo, la desviación y ( x) debe
satisfacer las dos condiciones siguientes en el extremo empotrado en x  0 :
a) y (0)  0 , porque no hay desviación en ese lugar, y
b) y '(0)  0 , porque la curva de desviación es tangente al eje
pendiente de la curva de desviación es cero en ese punto).
x (es decir, la
Cuando x  L las condiciones del extremo libre son:
a) y ''( L)  0 , porque el momento flexionante es cero
b) y '''( L)  0 , porque la fuerza cortante es cero.
La función:
dM
d3y
F ( x) 
 EI 3
dx
dx
( 5 )
Se llama fuerza cortante. Si un extremo de una viga está simplemente apoyado(
a esto también se le llama embisagrado, articulado o empernado), se debe
cumplir que y (0)  0 y y ''(0)  0 en ese extremo.
A continuación se muestra una tabla de las condiciones en la frontera asociadas
con la ecuación ( 4 ) :
Extremos de
La viga
Condiciones en
La frontera
Empotrado
y (0)  0 , y '(0)  0
Libre
y ''(0)  0 , y '''(0)  0
Simplemente
apoyado
y (0)  0 , y ''(0)  0
37
EJEMPLO- VIGA EMPOTRADA.
Una viga de longitud L está empotrada en ambos extremos. Determine la
desviación de esa viga si sostiene una carga constante, w0 , uniformemente
distribuida en su longitud; esto es w( x)  w0 , 0  x  L .
Solución
Según lo que acabamos de plantear; la desviación y ( x) satisface a
d4y
EI 4  w0
dx
( 6 )
Dado que la viga está empotrada en su extremo izquierdo ( x  0 ) y en su
extremo derecho ( x  L) , no hay desviación vertical y la elástica es horizontal e
esos puntos. De esta manera las condiciones en la frontera son:
y(0)  0,
y '(0)  0,
Podemos resolver determinando
y( L)  0,
y '( L)  0
yc teniendo en cuenta que m  0
es una raíz de
multiplicidad cuatro de la ecuación auxiliar m4  0 , luego determinamos una
solución particular
yp
por el método de coeficientes indeterminados. También
podemos resolver integrando cuatro la ecuación:
d 4 y w0

dx 4 EI
( 7 )
Se obtiene como solución general:
y ( x)  c1  c2 x  c3 x 2  c4 x 3 
w0 4
x
24 EI
( 8 )
Usando el software Mathematica se obtendrá a través del siguiente formato:
Con las condiciones y(0)  0,
y '(0)  0 se obtiene c1  0
y c2  0 ,
Es decir que:
38
Sin embargo las otras condiciones restantes y( L)  0,
ecuación:
y ( x)  c3 x 2  c4 x 3 
w0 4
x
24 EI
y '( L)  0 aplicados a la
( 9 )
Dan origen a:
w0 4
L 0
24 EI
w
2c3 L  3c4 L2  0 L3  0
6 EI
c3 L2  c4 L3 
( 10 )
Resolviendo el sistema ( 10 ) se obtiene:
w0 L2
c3 
24 EI
|
y c4 
 w0 L
12 EI
( 11 )
En consecuencia la desviación es:
w0 L2 2 w0 L 3
w
w
2
y ( x) 
x 
x  0 x4  0 x2  x  L 
24 EI
12 EI
24 EI
24 EI
Si
( 12 )
w0  24EI  L  1 , se obtiene la gráfica de la curva elástica de la figura 14
Figura 14
39
3.2
VALORES PROPIOS Y FUNCIONES PROPIAS ( EIGENVALORES Y
EIGENFUNCIONES)
En las aplicaciones existen muchos problemas, que son problemas de valor en la
frontera en dos puntos, donde interviene una ecuación diferencial que contiene
un parámetro  . Se trata de hallar los valores de  para los cuales el problema
de valor en la frontera tenga soluciones no triviales.
Ejemplo: De Soluciones No Triviales De Un Problema De Valor En La
Frontera.
Resolver el problema de valor en la frontera
y ''  y  0,
y(0)  0,
Solución.
Consideremos tres casos:   0,   0
CASO I. Si   0 , la solución de
Las condiciones
y(0)  0,
y( L)  cl
y  0
y ''  0 es:
y  c1x  c2
y( L)  0 implican c2  0
y c1  0 , por tanto
cuando   0 , la única solución al problema de valor en la frontera es la trivial
y  0.
CASO II. Si   0 ,
y  c1Cosh  x  c2Senh  x ,
y  c2 Senh  x .
De y (0)  0 se obtiene c1  0 y así
La segunda condición, y ( L)  0 obliga a que
c2 Senh  x  0 . Dado que
,
se debe cumplir c2  0 ; por consiguiente, y  0 .
CASO
III.
  0,
Cuando
solución
general
de
y ''  y  0
es:
y  c1Cos  x  c2 Sen  x .
como
y (0)  0,
se
obtiene
c1  0 ,
pero
y( L)  0, implica
que:
c2 Senh  x  0 .
Si c2  0 , se obtiene y  0 ; empero si c2  0 , entonces Sen  x  0 . Sin
embargo la última condición indica que el argumento de la función seno ha de ser
un múltiplo entero de  :
 L  n
es decir

n 2 2
, n  1, 2,3,...
L2
Por lo tanto, para todo real c 2 diferente de cero,
 n x 
y  c2 Sen 

 L 
es una
solución del problema para cada n . Dado que la ecuación diferencial, es
homogénea, no necesitamos escribir c 2 si así lo deseamos; es decir, para un
número dado de la sucesión
40
 2 4 2 9 2
L2
,
L2
,
L2
,...
La función correspondiente en la sucesión
Sen

L
x, Sen
2
3
x, Sen
x,...
L
L
Es una solución no trivial del problema original.
Los números
n 2 2
n  2 , n  1, 2,3,... para los que el problema de valor en
L
la frontera del ejemplo anterior tiene soluciones no triviales se llaman valores
característicos o valores propios.
Las soluciones con respecto a esos valores de
simplemente
 n x 
yn  Sen 

 L 
 n x 

 L 
n como yn  c2 Sen 
o
se llaman funciones características, funciones
propias.
3.3
CURVATURA DE UNA COLUMNA VERTICAL ESBELTA.
En el siglo XVIII Leonhard Euler fue uno de los primeros matemáticos en
estudiar un problema de valores propios al analizar cómo se curva una columna
elástica esbelta sometida a una fuerza axial de compresión.
Examinando una columna vertical larga y esbelta de sección transversal uniforme
y longitud L . Sea y ( x) la curvatura de la columna al aplicarle una fuerza vertical
de compresión, o carga, P , en su extremo superior ver Figura 15. Al comparar
los momentos flexionantes en cualquier punto de la columna se obtiene:
d2y
d2y
EI 2   Py es decir EI 2  Py  0
dx
dx
Donde E es el módulo de elasticidad de Young e I es el momento de inercia de
una sección transversal con respecto a una recta vertical por el centroide.
41
Figura 15
Ejemplo: De Problema Relacionado Con Valores Propios.
Determinar la desviación de una columna homogénea, delgada y vertical de
altura L , sometida a una carga axial P constante. La columna se encuentra
articulada en sus dos extremos.
Solución.
El problema de valor en la frontera que se debe resolver es:
d2y
EI 2  Py  0,
dx
y (0)  0,
y ( L)  0
y0
es una solución valida para este problema, lo que indica que si la carga
P no es suficientemente grande, entonces no hay deflexión. Luego ¿para qué
valores de P se curva la columna?. En término matemáticos: ¿para qué valores
de P el problema de valor en la frontera tiene soluciones no triviales?
Haciendo la sustitución
y ''  y  0,

y(0)  0,
P
EI
se obtiene:
y( L)  0
Es idéntica al problema de soluciones no triviales de un problema de valor en la
frontera, en el caso III de este problema se observa que las curvas de desviación
son:
 n x 
yn ( x)  c2 Sen 
 , que corresponden a los valores propios
 L 
n 
Pn n 2 2
 2 , n  1, 2,3,...
EI
L
42
Esto quiere decir físicamente, que la columna se desvía sólo cuando la fuerza de
compresión tiene uno de los valores
n2 2 EI
Pn 
, n  1, 2,3,...
L2
Estas fuerzas se llaman cargas críticas. La curva de deflexión que corresponde
a la mínima carga crítica,
P1 
 2 EI
L2
se denomina carga de Euler y es
x 
y1 ( x)  c2 Sen 
 ; esta función se conoce como primer modo de
 L 
desviación.
En la siguiente figura vemos las curvas de desviación del presente ejemplo, que
corresponden para n  1, n  2 y n  3 . Si la columna original tiene algún tipo de
4 EI
L
restricción física o guía en x  , la carga crítica mínima será P2 
,y
L2
2
2
la curva de deflexión será la de la figura(b). Si ponen guías a las columnas en
x
L
2L
y en x 
, la columna no se desviará sino hasta aplicarle la carga
3
3
crítica
9 2 EI
P3 
L2
y la curva de desviación será la que se ilustra en la figura
(c) . ¿Dónde se deberían poner guías en la columna para que la carga de Euler
sea P4 ?
Figura 16
CAPÍTULO IV: APLICACIÓN DE LOS SOFTWARES MATLAB Y MATHEMATICA.
4.1
INTRODUCCIÓN AL SOFTWARE CIENTIFICO MATHEMATICA
43
El software Mathematica es una herramienta especializada en análisis numérico
y cálculo simbólico, visualización y manipulación de datos, gráficos y objetos, que
incorpora un potente lenguaje de programación propio de alto nivel y una interfaz
externa que permite salidas a C, Fortran y TEX, además de otras potentes
comunicaciones con otros paquetes mediante MathLink.
Ingenieros, científicos, analistas financieros, investigadores, profesores y
estudiantes de enseñanza superior usan en todo el mundo Mathematica para
desarrollar
sus
cálculos
de
precisión
en
proyectos
críticos.
Mathematica ha sido desarrollado por la empresa Wolfram Research Inc.,
fundada en 1987 por Stephen Wolfram. Wolfram Research Inc. se ha
caracterizado durante toda su historia por ser una compañía líder en el desarrollo
de herramientas de gran calidad para el cálculo ciéntífico y técnico y por la
incorporación de una tecnología de computación propia e innovadora.
Addlink Software Científico, desde su fundación en 1991 ostenta el título de
distribuidor oficial certificado de los productos de Wolfram Research. Esta
calificación garantiza un alto nivel de calidad en:


asesoramiento comercial que permite una optimización de la inversión
gracias a un profundo conocimiento de los productos, tipos de configuración,
licencias y precios;
soporte técnico y atención al cliente, a través de un equipo técnico altamente
cualificado en los productos, sistemas y áreas de conocimiento
Los documentos electrónicos de Mathematica, llamados notebooks le permiten
organizar de forma fácil sus textos, cálculos gráficos y animaciones para
impresionantes informes técnicos, courseware, presentaciones o registro de su
trabajo. Y además puede usar el protocolo de comunicación de Mathematica,
MathLink, para intercambiar información entre Mathematica y otros programas.
CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES

Realización de cálculos y simulaciones de cualquier nivel de complejidad
mediante el uso de la amplia librería de funciones matemáticas y
computacionales.

Rápida y fácil importación y exportación de datos, que incluye imágenes y
sonido, en más de veinte formatos.

Generación de documentos interactivos, independientes de la plataforma,
con textos, imágenes, expresiones matemáticas, botones e hyperlinks.

Entrada de expresiones a través del teclado o de la paleta (programable)
más adecuada.
44


4.2
Construcción de complejas expresiones y fórmulas con formato automático
y ruptura de líneas.
Exportación de los "notebooks" a formato HTML para presentaciones web o
LaTeX para publicaciones especiales.
INTRODUCCIÓN AL SOFTWARE CIENTIFICO MATLAB.
MATLAB es el nombre abreviado de “MATrix LABoratory”. MATLAB es un
programa para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. Como caso
particular puede también trabajar con números escalares tanto reales como
complejos, con cadenas de caracteres y con otras estructuras de información
más complejas. Una de las capacidades más atractivas es la de realizar una
amplia variedad de gráficos en dos y tres dimensiones. MATLAB tiene también
un lenguaje de programación propio. Este manual hace referencia a la versión
7.0 de este programa (también llamada release 14), aparecida a mediados de
2004.
MATLAB es un gran programa de cálculo técnico y científico. Para ciertas
operaciones es muy rápido, cuando puede ejecutar sus funciones en código
nativo con los tamaños más adecuados para aprovechar sus capacidades de
vectorización. En otras aplicaciones resulta bastante más lento que el código
equivalente desarrollado en C/C++ o Fortran. En la versión 6.5, MATLAB
incorporó un acelerador JIT (Just In Time), que mejoraba significativamente la
velocidad de ejecución de los
ficheros *.m en ciertas circunstancias, por ejemplo cuando no se hacen llamadas
a otros ficheros *.m, no se utilizan estructuras y clases, etc. Aunque limitado en
ese momento, cuando era aplicable mejoraba sensiblemente la velocidad,
haciendo innecesarias ciertas técnicas utilizadas en versiones anteriores como la
vectorización de los algoritmos. En cualquier caso, el lenguaje de programación
de MATLAB siempre es una magnífica herramienta de alto nivel para desarrollar
aplicaciones técnicas, fácil de utilizar y que, como ya se ha dicho, aumenta
significativamente la productividad de los programadores respecto a otros
entornos de desarrollo.
MATLAB dispone de un código básico y de varias librerías especializadas
(toolboxes). En estos apuntes se hará referencia exclusiva al código básico.
MATLAB se puede arrancar como cualquier otra aplicación de Windows,
clicando dos veces en el icono correspondiente en el escritorio o por medio del
menú Inicio). Al arrancar MATLAB se abre una ventana similar a la mostrada en
la Figura 1. Ésta es la vista que se obtiene eligiendo la opción
Desktop Layout/Default, en el menú View. Como esta configuración puede ser
cambiada fácilmente por el usuario, es posible que en muchos casos concretos lo
que aparezca sea muy diferente. En cualquier caso, una vista similar se puede
conseguir con el citado comando View/Desktop Layout/Default.
45
Esta ventana inicial requiere unas primeras explicaciones.
Ventana inicial de MATLAB 7.0.
La parte más importante de la ventana inicial es la Command Window, que
aparece en la parte derecha. En esta sub-ventana es donde se ejecutan los
comandos de MATLAB, a continuación del prompt (aviso) característico (>>),
que indica que el programa está preparado para recibir instrucciones.
En la pantalla mostrada en la Figura 1 se ha ejecutado el comando A=magic(6),
mostrándose a continuación el resultado proporcionado por MATLAB.
En la parte superior izquierda de la pantalla aparecen dos ventanas también muy
útiles: en la parte superior aparece la ventana Current Directory, que se puede
alternar con Workspace dando Clicando en la pestaña correspondiente. La
ventana Current Directory muestra los ficheros del directorio activo o actual. El
directorio activo se puede cambiar desde la Command Window, o desde la
propia ventana
(o desde la barra de herramientas, debajo de la barra de menús) con los métodos
de navegación de directorios propios de Windows. Clicando dos veces sobre
alguno de los ficheros *.m del directorio activo se abre el editor de ficheros de
MATLAB, herramienta fundamental para la programación sobre la que se volverá
en las próximas páginas. El Workspace contiene información sobre todas las
variables que se hayan definido en esta sesión y permite ver y modificar las
matrices con las que se esté trabajando.
En la parte inferior derecha aparece la ventana Command History que muestra
los últimos comandos ejecutados en la Command Window. Estos comandos se
pueden volver a ejecutar haciendo doble clic sobre ellos. Clicando sobre un
comando con el botón derecho del ratón se muestra un menú contextual con las
posibilidades disponibles en ese momento. Para editar uno de estos comandos
hay que copiarlo antes a la Command Window.
46
Menú Start/MATLAB.
Menú Start/Desktop Tools.
En la parte inferior izquierda de la pantalla aparece el botón Start, con una
función análoga a la del botón Inicio de Windows. Start da acceso inmediato a
ciertas capacidades del programa. La Figura 2 muestra las posibilidades de
Start/MATLAB, mientras que la Figura 3 muestra las opciones de
Start/Desktop Tools, que permiten el acceso a las principales componentes o
módulos de MATLAB.
El menú Desktop realiza un papel análogo al botón Start, dando acceso a los
módulos o componentes de MATLAB que se tengan instalados.
Puede hacerse que al arrancar MATLAB se ejecute automáticamente un fichero,
de modo que aparezca por ejemplo un saludo inicial personalizado. Esto se hace
mediante un fichero de comandos que se ejecuta de modo automático cada vez
que se entra en el programa (el fichero startup.m, que debe estar en un
directorio determinado, por ejemplo C:\Matlab701\Work. Ver apartado 2.7, en la
página 19).
Para apreciar desde el principio la potencia de MATLAB, se puede comenzar por
escribir en la Command Window la siguiente línea, a continuación del prompt. Al
final hay que pulsar intro.
>> A=rand(6), B=inv(A), B*A
Otro de los puntos fuertes de MATLAB son los gráficos. A título de ejemplo, se
puede teclear la siguiente línea y pulsar intro:
>> x=-4:.01:4; y=sin(x); plot(x,y), grid, title('Función seno(x)')
47
Figura 17. Gráfico de la función seno(x).
En la Figura 4 se puede observar que se abre una nueva ventana en la que
aparece representada la función sin( x) . Esta figura tiene un título "Función
seno(x)" y una cuadrícula o "grid". En la primera línea se crea un vector x con
801 valores reales entre -4 y 4, separados por una centésima. A continuación se
crea un vector y , cada uno de cuyos elementos es el seno del correspondiente
elemento del vector x . Después se dibujan los valores de y en ordenadas
frente a los de x en abscisas. Las dos últimas instrucciones establecen la
cuadrícula y el título.
48
CONCLUSIONES
1. Debido al avance de la tecnología es posible hacer uso de herramientas que nos
permite acelerar los procesos y que nos ayuda a visualizar geométricamente
nuestros resultados a través del uso de los Software científicos tales como el
Matlab y el Mathematica.
2. Dentro del mundo real, tales como en la ingeniería existen problemas de vigas
cuya solución se aborda con la resolución de Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias Lineales, así mismo se aceleran los cálculos con el software antes
descritos.
3. El uso de los software es como una herramienta que permite resolver el
problema, bajo ningún punto de vista se pierde el rigor matemático del problema
o modelo planteado.
4. Es posible construir programas dentro de los software como parte de ayuda de
los procesos.
49
RECOMENDACIONES
1. Difundir el uso de los Software Matlab y Mathematica, como herramientas para
resolver problemas relacionados con la resolución de Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias Lineales, aplicadas a vigas dentro del campo de la ingeniería.
2. Utilizar los Software Matlab y Mathematica para la enseñanza de las ecuaciones
diferenciales Ordinarias Lineales.
3. Realizar trabajos similares donde se apoye de estos Softwares para resolver
ecuaciones diferenciales cuyas soluciones sean elípticas, ecuaciones
diferenciales parciales o no lineales, entre otros casos.
50
BIBLIOGRAFÍA
1.
Courbón, j
Resistencia de Materiales
Ed. Aguilar S.A Madrid – España. 1968.
2.
C.H. Edwards, Jr.
David E. Penney
Ecuaciones Diferenciales Elementales
Y Problemas con condiciones en la frontera.
Prentice-Hill. Hispanoamericana S.A
Mexico 1993.
3.
Dennis G. Zill
Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones
de modelado Modelación.
Internatrional Thomson Editores. S.A.
Bogotá 2000.
4.
Erwin Kreyszig
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería.
Editorial Limusa, S.A. de C.V.
Mexico.2002.
5.
Fitzgeralds, Robert W.
Mecánica de Materiales Grupo editor Alfa y
Omega, S.A. de C.V. Mexico.1996.
6.
Jan J. Tuma Ph. D.
Teoría y problemas de Análisis
Estructructural
Ed. Mc. Graw-Hill. Inc-USA.1970.
7.
Jeffery P.Laible
Análisis Estructural
Ed. Mc. Graw-Hill. Interamericana
Mexico 1992.
8.
Robert L. Borrelli
Courtney S. Coleman
Ecuaciones Diferenciales una Perspectiva
de Modelación.
University Press
Mexico S.A de C.V.
9.
Roussel C. Hibbeler
Análisis Estructural
Ed. Prentice-Hill. Hispanoamericana S.A
Mexico 1996.
10. Roussel C. Hibbeler
Ingeniería Mecánica - Estática
Ed. Prentice-Hill. Hispanoamericana S.A
Mexico 1996.
51