LABORATORIO 8 RAPIDEZ DE CAMBIO INSTANTANEO

LABORATORIO
8
RAPIDEZ DE CAMBIO INSTANTANEO
Objetivos:
(1)
Desarrollar una perspectiva del concepto de rapidez de cambio
instantánea que difiere de la presentación habitual.
(2)
Realizar un estudio de la nueva función desde la perspectiva
numérica, gráfica y algebraica.
Actividad: 1
PROMEDIO DE RAPIDEZ DE CAMBIO
En 1798 un economista británico predijo que el problema que se iba a presentar con el
crecimiento de la población humana tenía relación con el hecho de que la producción de alimentos a
nivel mundial en relación al tiempo crecería solamente en forma lineal, mientras que la población
mundial, iba a crecer a una razón mucho mayor. Esto implicaba que el mundo no iba a ser capaz de
alimentarse a menos que ocurriese algun desastre que destruyese la población. No está claro si esa
predicción se cumplió. Y ojalá jamás se cumpla. Lo que si está claro es que el hombre sigue
preocupado por el problema de la superpoblación. Esto ha conllevado la necesidad de conocer la
relación existente entre el crecimiento poblacional y el uso de los recursos esenciales, lo que a su vez
implica la necesidad de comparar la rapidez del crecimiento poblacional con la rapidez del crecimiento
de los recursos alimenticios. Este es un ejemplo de un problema de rapidez de cambio. La rapidez de
cambio constituye el objetivo principal de todo primer curso de Calculo.
El caso más simple de promedio de rapidez de cambio se puede ver en la función lineal
y = mx + b . Para éste tipo de función es sabido que:
m=
diferenciade de las ordenadas y
diferencia de las abscisas x
O sea, la pendiente m de la recta que une dos puntos es la razón decrita en ésta fórmula. Ahora
bien, es importante tener en cuenta que en dicha fórmula m no depende de qué puntos se seleccionaron
para calcular el cuociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas. Esa es
precisamente la esencia de la linealidad: la rapidez de cambio es siempre constante.
Ahora bien, observe que en el concepto que queremos trabajar hay involucrados varios
términos: uno es variación, y otro es promedio de rapidez de cambio.
Si x 1 y x 2 son valores de la variable x, la variación en x desde x 1 a x 2 es la diferencia
∇ x = x 2 − x1
65
Si y = f(x), entonces el promedio de la rapidez de cambio de y a medida que x varía de x 1 a x 2 es la
razón entre la variación en y, en relación a la variación en x, o sea :
∇y
∇x
lo que es equivalente a afirmar que:
Promedio de la rapidez de cambio
de f
en el intervalo de x 1 a x 2
_
variación en la variable dependiente
_ ------------------------------------------------------variación en la variable independiente
Este cuociente, entre éstas dos diferencias, se llama cuociente de diferencia.
Se lanza un objeto desde cierta altura. La siguiente tabla da la distancia recorrida en su caída en cada
segundo:
Tiempo (seg)
Distancia(mts)
1
5
2
19,4
3
44,1
4
78
5
122,8
6
175,8
7
240
8
312,8
9
396,1
10
489
¿ Cuál es el promedio de velocidad del objeto durante los primeros 6 segundos? ¿durante los
primeros 4 segundos? ¿durante el primer segundo?
Promedio de velocidad durante los primeros 6 segundos :
Durante los primeros 4 segundos:
¿Cuál cree usted es el promedio de velocidad durante los primeros 5,5 segundos?
Se intuye que el promedio de velocidad durante los primeros 5,5 segundos es el promedio de los
primeros 5 segundos con los primeros 6 segundos.
En ese caso:
66
Suponga que la altura desde la cual se lanzó el objeto está a 489 metros. ¿Cuál será el promedio de
velocidad durante los dos últimos segundos de su caída ?
Promedio de velocidad de los 2 ultimos segundos
Ingrese los datos de la tabla en la calculadora en la ventana LIST y obtenga un gráfico en la
ventana w. Adapte la ventana de visualización Le V-WINDOWS de tal manera que aparezca
en la ventana de graficación sólo la parte correspondiete a la caída de los dos últimos segundos. ¿Qué
observa en el gráfico?
El en gráfico se aprecia en primer lugar que los puntos son colineares, dado que la diferencia entre el
segundo 8-9 y 9-10 son relativamente cercanas, sin embargo no son iguales.
¿ Tendría sentido hablar en esta función de una razón de cambio única? Justifique su respuesta.
Está claro que esta función no tiene una razón de cambio única. De ser así los promedios calculados
anteriormente darían todos el mismo valor, y sin embargo, no es así.
Obtenga nuevamente una curva para todos los puntos de la tabla y la fórmula de regresión en la
ventana w que mejor se ajuste a la curva observada . Exporte la fórmula obtenida a la ventana
y y verifique que la curva efectivamente se adapta muy bien a los valores de la tabla.
Para hacer esta regresión, en primer lugar se grafican los puntos y enseguida CALC (q). Luego la
opción x^2 (r). Para terminar l.
67
Note que la curva obtenida se adapta satisfactoriamente a los puntos dados.
Determine los promedios de velocidad en intervalos cuyos puntos finales no aparecen en la
tabla. Para ello, calcule primero las distancias en esos puntos finales con la fórmula de regresión que
obtuvo. Por ejemplo observe que a los 5,5 segundos, la distancia en la caída será de 147,99 metros, o
sea estará un poco más cerca de los 122,8 metros que de los 175,8 metros. Esto implica que el objeto
cae más lejos en la segunda mitad del intervalo [5,6] de tiempo que en la primera mitad. Note que el
promedio de velocidad durante los primeros 5,5 segundos será de 26,91 metros por segundo.
El promedio de velocidad de los últimos tres segundos es de 83 metros por segundo
(¡compruébelo!) que es también la pendiente de la recta que conecta los puntos de la tabla
correspondientes a 7 y 10 segundos.
Ingrese en y y obtenga una gráfica de la misma función que obtuvo por regresión, pero
adapte el Le V-WINDOW de tal manera que sólo aparezca el tramo de los últimos cuatro puntos.
Observe que la gráfica se asemeja casi a una recta. Estando en la ventana y, ingrese al Lp
(SET UP) y elija en DUAL SCREEN la opción G TO T. Salga con d y obtenga un nueva ventana
de graficación donde aparecerá una pantalla doble GRAFICO A TABLA.. Con L q (TRACE)
recorra la curva (que se asemeja a una recta) y detengase en varios puntos. Durante esas detenciones
oprima l. Al hacerlo habrá almacenado en la tabla que aparece en pantalla varias coordenadas de
puntos. Nuestro propósito ahora es que usted traslade esos puntos a la ventana LIST. Para lograrlo
oprima i - CHNG. Observe que con esta acción el cursor se trasladó a la primera columna de la
tabla. Oprima ahora i LMEM LIST1. Con esta acción hemos almacenado la primera columna de la
tabla en la Lista 1. Con flecha a la derecha lleve el cursor a la segunda columna y oprima LIST2.
Salga con p al menú central y de allí a la ventana w. Obtenga una gráfica de puntos tipo
SCATTER . Observe que sigue pareciendose a una recta. Obtenga una fórmula de regresión de una
función lineal y copie (exporte) la fórmula que obtuvo a la ventana y. Observe el valor de la
pendiente de la recta y compare ese valor con el valor obtenido anteriormente por otra vía. Trate de
encontrar una explicación para relacionar este valor con el de los anteriores.
68
Actividad: 2
UN PROBLEMA DE CONCEPTO
Es importante insistir en que el promedio de la rapidez de cambio de una función en un
intervalo no es lo mismo que la variación (absoluta). La variación corresponde a la diferencia de los
valores de f en los extremos del intervalo. En cambio la rapidez de cambio (o promedio de la rapidez
de cambio) es la variación dividida por el tamaño del intervalo
La rapidez de cambio indica qué tan rápido (o lento) cambia la función de un extremo del
intervalo al otro en relación al tamaño del intervalo. Muchas veces es más útil saber la rapidez de
cambio que el cambio absoluto. Conteste la siguiente pregunta.
Pregunta:
Suponga que alguien le ofrece $ 1500 a cambio de $1000. ¿Cuál sería en éste caso la variación
absoluta? ¿ Qué importancia conllevaría el conocer el promedio de la rapidez de cambio? ¿A qué
equivale en términos prácticos esta pregunta?
Actividad: 3
RAPIDEZ DE CAMBIO INSTANTANEA EN UN PUNTO
La rapidez de cambio instantánea de una función en un punto es:
69
lím
x→ x0
f (x ) − f (x 0 )
∆y
= lím
∆ x→ 0 ∆ x
x − x0
Es decir, se debe analizar el promedio de rapidez de cambio en intervalos cada vez más
pequeños. Esto corresponde al concepto de derivada de f en x = x 0
En la actividad 1 calcule la rapidez de cambio instantánea (velocidad instantánea) de la función
de regresión que obtuvo en el instante t = 3
= 9.77x + 0.0528
Actividad: 4
UNA VERSION DIFERENTE DE LA RAPIDEZ DE CAMBIO
En la actividad siguiente construiremos un desarrollo completo, diferente al que vimos en las
actividades anteriores y a los que se suelen dar en los textos, en relación al concepto del promedio de
rapidez de cambio y por lo tanto un desarrollo diferente de la función derivada.
En particular, no son las mismas fórmulas que definen la función derivada y deberá tomarse en
cuenta que los cuocientes de diferencia que aparecerán a continuación podrán dar eventualmente
respuestas erróneas, a menos que la derivada en el sentido habitual, exista. Sin embargo, en los cursos
regulares de Cálculo casi siempre ése es el caso. Y cuando la derivada existe, el cuociente de
diferencias que construiremos:
f (x + ∆ x) − f (x − ∆ x)
2⋅ ∆ x
es casi siempre una aproximación mejor de la derivada que la clásica:
f (x + ∆ x) − f (x )
∆x
Considere ahora la función f ( x ) = 3 x . Calcule el promedio de la rapidez de cambio de f en el
intervalo que va desde x = 1 a x = 3.
70
Ingrese ahora la función f en el menú y . Queremos efectuar acercamientos con ZOOM
IN en x = 2. Use la ventana de visualización Le V-WINDOW para fijar Xmin: 1 y Xmáx: 3. Con
esto nos estamos dando un intervalo [1,3] que contiene a x = 2. Elija valores apropiados para el eje Y
en la ventana de visualización de tal manera que la función f ( x ) = 3 x sea visible completamente en la
ventana de graficación en relación al intervalo que nos dimos para x.
Obtenga un gráfico de la función. Use a continuación Lq (TRACE) para recorrer la curva
desde el extremo izquierdo de la pantalla hasta el extremo derecho de la pantalla, tomando la
precaución de no salirse de la pantalla producida por el V-WINDOW que usted eligió. O sea, no deberá
salirse ni a la izquierda de x =1 ni a la derecha de x = 3. Ubique el cursor en x = 2. Seleccione a
continuación ZOOM IN. Aparecerá un nuevo gráfico. Conduzca al cursor al extremo izquierdo de la
pantalla (¡sin salirse de la pantalla!) e ingrese los datos que observa allí en la tabla que aparece a
continuación. Después conduzca el cursor al extremo derecho (¡sin salirse de la pantalla!) e ingrese los
datos que observa allí en la tabla. Vuelva a conducir el cursor hasta x = 2 y vuelva a aplicar ZOOM IN.
Repita el procedimiento de llevar el cursor a ambos extremos de la pantalla y vuelva a ingresar los
nuevos datos en la tabla. Repita el procedimiento hasta que complete la tabla siguiente:
Coordenadas
Extremo Izq.
Original
Zoom 1
Zoom 2
Zoom 3
Coordenadas
Extremo Der.
Variación en
Coordenadas
x1
y1
x2
y2
∇x
∇y
1
1.5
1.75
1.875
3
2.5
2.25
2.125
3
5.19
6.83
7.845
27
15.58
11.84
10.32
2
1
0.5
0.25
24
10.39
5
2.475
Pendiente
∇y ∇x
12
10.39
10
9.9
Analice y responda a las siguientes preguntas:
¿ Qué le ocurre a la curva a medida que aplica sucesivamente ZOOM ?
A medida que se aplica Zoom sucesivamente, la curva tiende a una recta.
¿ Cuál cree usted que será la rapidez de cambio instantánea ?
La rapidez de cambio instantánea, será la pendiente de dicha recta.
71
¿ Qué característica tuvo el gráfico final, que le permitió formular la conjetura que
realizó en la pregunta anterior, en relación a la rapidez de cambio instantánea, en contraposición al
promedio en un intervalo ?
La característica que nos permite formular la conjetura es que el intervalo es cada vez más pequeño,
de modo que la curva toma visualmente forma de recta que permite estimar la pendiente.
Actividad: 5
APLICACIÓN A OTRAS FUNCIONES
Repita el procedimiento de la actividad anterior para conjeturar el valor de la rapidez de cambio
instantánea de y( x ) = x 2 − 1 en x = 3.
Coordenadas
Izquierdas
Original
Zoom 1
Zoom 2
Zoom 3
Coordenadas
Derechas
x1
y1
x2
y2
2
3
4
15
Cambios en
Coordenadas
∇x
∇y
Pendiente
∇y ∇x
Haga una conjetura para la rapidez de cambio instantánea en x = 3
Actividad: 6
CONVERSION DE GRAFICOS EN EXPRESIONES MATEMATICAS
Ahora queremos transformar en expresiones matemáticas lo que en las actividades 4 y 5
anteriores hicimos graficamente. Supongamos que estamos trabajando con la función de la actividad 4,
es decir con f ( x ) = 3 x . Sea x 0 la abscisa del punto en el cual queremos calcular el promedio de la
rapidez de cambio. Entonces para un valor pequeño a se tiene que la abscisa izquierda será:
x1 = x 0 − a
Por lo tanto, la ordenada izquierda será :
y1 = f ( x 0 − a )
o sea:
y1 = 3 x 0 − a
72
Complete a continuación lo que falta:
La abscisa derecha será:
x2 = x0 + a
La ordenada derecha será:
y2 =
La variación en la abscisa será :
∇ x=
La variación en la ordenada será:
∇y=
El promedio de la rapidez de cambio será:
La rapidez de cambio instantánea será:
∆y
=
∆x
∆y
lím
=
∆ x→ 0 ∆ x
Confronte la fórmula obtenida con sus respuestas de la actividad 4 tomando x 0 = 2 y una
elección adecuada para un número pequeño a.
Actividad: 7 OBTENCION DE UNA FORMULA PARA LA FUNCION DE LA ACTIVIDAD 5
Considere la función g ( x ) = x 2 − 1 que trabajó en la actividad 5 y aplique los pasos de la
actividad 6 a ésta función. Obtenga una fórmula para la rapidez de cambio instantánea de g(x).
Confronte su fórmula con la respuesta obtenida en la actividad 5 tomando x = 3 y una elección
adecuada de un número pequeño a.
Actividad: 8 VISION GRAFICA DE LA FORMULA DE RAPIDEZ DE CAMBIO
DE f ( x ) = 3 x
La fórmula que usted obtuvo en la actividad 6:
3 x0 + a − 3x0 − a
2a
(1)
da una manera diferente de calcular la rapidez de cambio instantánea en cualquier número x 0 de la
función f ( x ) = 3 x . Análogamente la fórmula que usted obtuvo en la actividad 7 permite calcular la
rapidez de cambio instantánea para cualquier número x 0 de la función g ( x ) = x 2 − 1 .
73
De manera que basta elegir un valor pequeño para a y se puede definir una función de rapidez
de cambio. Para los propósitos de ésta actividad tomaremos como “pequeño” a = 0,0001.
Sustituya éste número elegido en la fórmula (1) y haga un estudio de la gráfica de su fórmula:
3 x 0 + 0, 0001 − 3 x 0 − 0, 0001
h(x) =
2 ⋅ (0,0001)
x
En la ventana y ingrese la fórmula f ( x ) = 3 como Y1, y la función h recién obtenida
como Y2. Prepare los parámetros de V-WINDOW de tal manera que los gráficos de f(x) y h(x) se
puedan apreciar razonablemente. Use la función de gráfico doble que posee su calculadora para
determinar de qué manera parecen estar relacionadas ambas funciones. En papel milimetrado, haga un
bosquejo de las dos funciones anteriores y explique qué es lo que usted ve. Obtenga una vía para
apoyar su conjetura y ponga en practica su conclusión.
Actividad: 9 VISION GRAFICA DE LA FORMULA DE RAPIDEZ DE CAMBIO
DE g ( x ) = x 2 − 1
Denomine a la fórmula que usted obtuvo en la actividad 7 como u(x) y que servirá para calcular
la rapidez de cambio instantánea en cualquier número x de g ( x ) = x 2 − 1 . Al igual que para la función f
considere para su función u(x) , un valor a = 0,0001. Sustituya éste valor en u(x) y haga un estudio de
la gráfica similar al estudio realizado en la actividad 8 ingresando en la ventana y tanto g(x)
como u(x) y obteniendo un gráfico doble. En papel milimetrado haga un bosquejo de las dos funciones
anteriores e intente hallar una relación entre g(x) y u(x) justificando los razonamientos que conducen a
la conclusión.
Actividad: 10
DEPURACION ALGEBRAICA DE LAS FORMULAS OBTENIDAS
La expresión algebraica de la fórmula u(x) que usted obtuvo en la actividad anterior se puede
reducir y depurar y así obtener una fórmula muy simple para calcular la rapidez de cambio de
g ( x ) = x 2 − 1 . Efectúe dicha reducción algebraica y obtenga dicha fórmula simplificada.
¿Cree usted que se podría hacer algo similar con la fórmula h(x)? Como ayuda le sugerimos
averiguarlo en el tema de la derivada en sus clases regulares de Cálculo.
Actividad: 11
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
Haga estudios completos similares de funciones de rapidez de cambio para:
f (x) = x 3 − 1
y
g(x ) = 2 x + 1
74
Actividad: 12
COMPARACION CON LA DERIVADA
Compare las fórmulas finales obtenidas para f y g de la actividad 11, en base al
concepto de rapidez de cambio instantánea introducido en éste laboratorio, con el concepto clásico de
derivada visto en clases de Cálculo. Haga un comentario.
75