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Modelos triangular y parabólico
ClassPad 330
Prof. Jean-Pierre Marcaillou
INTRODUCCIÓN
La calculadora CASIO ClassPad 330 dispone de la Aplicación Principal para realizar los cálculos correspondientes
a los modelos triangular y parabólico. El material presentado a continuación reposa sobre el Capítulo 5.- Modelación
probabilística: parte I del libro “Probabilidad: Elementos para modelar situaciones con incertidumbre” Edgar Elías
Osuna (obra actualmente en prensa Ediciones IESA).
CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS
Experimento aleatorio  : Es un proceso que genera resultados bien definidos.
Espacio descriptivo S: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio  .
Evento: Cualquier subconjunto del espacio descriptivo S.
Variable aleatoria: Es una función X(a) que asigna un número real x(a) a cada elemento a de S; es decir, es una
función que toma valores en un espacio de probabilidades S. En general, las variables aleatorias se representan por
las últimas letras del alfabeto, en mayúsculas, mientras que las minúsculas se reservan para el valor que toma la
variable aleatoria.
Clasificación
 Variable aleatoria discreta: Es aquella cuando el conjunto de llegada es finito o infinito numerable.
 Variable aleatoria continua: Es aquella cuando el conjunto de llegada es infinito no numerable.
Recorrido RX: Es el conjunto de valores reales que puede tomar la función X(a).
Funciones que definen el comportamiento de una variable aleatoria unidimensional discreta:
 Función de masa de probabilidades: Sean x1, x2, x3,..., xn los valores que puede tomar la variable aleatoria
X. Se define la función de probabilidad de la variable aleatoria X como p( xi )  P( X  xi ) (i  1,2,3,...,n) .
Propiedades:
1) 0  p(xi )  1
n
2)  p(xi )  1
i1
3) P(a  X  b ) 

i:a xi b
p( xi )
 Función de distribución acumulativa: F( x )  P( X  x )   p( xi )
i:xi  x
Propiedades:
1) 0  F( x )  1 para todo x.
2) F(x) es no decreciente
1
3) lim F( x )  1
x 
4) lim F( x )  0
x 
5) Si a  b, P(a  X  b)  F(b)  F(a)
Funciones que definen el comportamiento de una variable aleatoria unidimensional discreta:
 Función de densidad de una variable aleatoria continua: Es una función f(x) tal que
a) f ( x )  0

b)  f ( x )dx  1

b
c) Para a  b, P(a  X  b )   f ( x )dx
a
x
 Función de distribución acumulativa: F( x )  P( X  x )   f ( x )dx

Propiedades:
1) dF( x ) / dx  f ( x )
2) F(x) es no decreciente
3) lim F( x )  1
x 
4) lim F( x )  0
x 
5) Si a  b, P(a  X  b)  F(b)  F(a)
Esperanza matemática E(X): La esperanza matemática de una variable aleatoria X se define como:
 Variable aleatoria discreta: E ( X ) 
 xi p( xi )
i

 Variable aleatoria continua: E ( X ) 
 xf ( x )dx

Propiedades de la esperanza matemática:
1) Si X  C , siendo C una constante, E( X )  C
2) Si C es una constante, E(CX )  CE( X )
3)
E H1( X )  H2 ( X )  ...  Hn ( X )  E H1( X )  E H2 ( X )  ...  E Hn ( X )
4) Para A y B constantes, E( AX  B)  AE( X )  B
5) Desigualdad de Jensen: Si H(X) es una función convexa y si E(X) existe, E H( X )  H E( X )
6) Interpretación geométrica: E ( X ) 

0
0

 1  F ( X ) dx   F ( X )dx
2
Varianza V(X): La varianza de una variable aleatoria X, se define como la esperanza matemática del cuadrado de su
desviación con respecto a la media, es decir, V ( X )  E
 Variable aleatoria discreta: V ( X ) 
 X  E( X )   E( X
2
2
)  E ( X )
2
  xi  E( X )2 p( xi )
i

 Variable aleatoria continua: V ( X ) 
  x  E( X ) f ( x )dx
2

Propiedades de la varianza:
1) Si X  C , siendo C una constante, V ( X )  0
2) Si C es una constante, V ( X  C )  V ( X )
3) Si C es una constante, V (CX )  C 2V ( X )
4) Para A y B constantes, V ( AX  B)  A2V ( X )
Desviación estándar  : La desviación estándar de una variable aleatoria X se define como la raíz cuadrada de su
varianza.
Desigualdad de Tchebyshev: Si X es una variable aleatoria con una distribución cualquiera cuya esperanza
matemática y varianza  y  son finitas, entonces:
P  X    h 
2
h2
(h  0)
Modelos triangular y parabólico: Describen situaciones en las cuales sabemos que la variable toma valores entre un
mínimo y un máximo conocidos, y que cierto valor en ese intervalo tiene mayor probabilidad de ocurrencia que los
demás (un mínimo, un máximo y un valor más probable).
Modelo triangular: Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad triangular en la cual el valor mínimo
posible es a, el máximo posible es b y el más probable es c, donde a < c < b.
Funciones de densidad de probabilidad y de distribución acumulativa de la distribución uniforme:
Presentaremos a continuación los diferentes casos que suelen ocurrir:
Caso I: Triángulo cualquiera.
Caso II: Triángulo isósceles.
Caso III: Triángulo rectángulo.
Para cada caso se presentan las funciones de densidad de probabilidad con sus correspondientes ilustraciones
gráficas, la esperanza matemática, la varianza y la función de distribución acumulativa.
3
f (x)
0

 2( x  a )

 (b  a )(c  a )

f (x)  
 2(b  x )

 (b  a )(b  c )

0
para x  a
para a  x  c
h
2
ba
para c  x  b
para x  b
0


E( X ) 
V( X ) 
a
c
b

para x  a
0


2
 ( x  a)
para a  x  c
 (b  a )(c  a )

F ( x )  P( X  x )  

(b  x )2
1 
para c  x  b
 (b  a )(b  c )

1
para x  b


P( X  x )  1  P( X  x )  1  F ( x )
abc
3
( b  c )2  ( b  a )(c  a )
18
x
f (x)
0

 4( x  a )

 (b  a )2

f (x)  
 4(b  x )

2
 (b  a)

0



E( X ) 
V(X ) 
para x  a
para a  x 
para
ab
2
h
2
ba
ab
xb
2
para x  b
ab
2
0
a
c
b

para x  a
0


2
ab
 2( x  a )
para a  x 
 (b  a )2
2

F ( x )  P( X  x )  
 2(b  x )2
ab
1 
para
xb
2
2

(b  a )


para x  b
1

P( X  x )  1  P( X  x )  1  F ( x )
(b  a)2
24
4
x
f (x)
0


 2(b  x )
f (x)  
2
 (b  a )

0

para x  a
h
para a  x  b
2
ba
para x  b
0


2a  b
ba
E( X ) 
a
3
3
V(X ) 
(b  a)2
18


a
b
x
para x  a
0


2
 (b  x )
F ( x )  P ( X  x )  1 
2
 (b  a)

1

para a  x  b
para x  b
P( X  x )  1  P( X  x )  1  F ( x )
f (x)
0


 2( x  a )
f (x)  
2
 (b  a)

0

para x  a
h
para a  x  b
2
ba
para x  b
0


2(b  a)
a  2b
E( X ) 
a
3
3
V(X ) 
(b  a)2
18


a
0


2
 ( x  a)
F ( x )  P( X  x )  
2
 (b  a )

1

b
para x  a
para a  x  b
P( X  x )  1  P( X  x )  1  F ( x )
5
para x  b
x
Modelo parabólico simétrico: Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad en forma de parábola
simétrica, en la cual el valor mínimo posible es a, el valor máximo posible es b, y el más probable es el punto medio
del intervalo (a,b), m = (a+b)/2
0


2
 6(  x  (a  b )x  ab )
f (x)  
(b  a )3


0

para x  a
f (x)
para a  x  b
h
3
2(b  a)
para x  b
o
para x  a
0


2
2
2
 3 x  6mx  3m  12h
f (x)  
para m  h  x  m  h
4h 3


0
para x  b


ab
E( X ) 
m
2

V( X ) 
0
a
m
b
m–h
m
m+h
x
para x  a
0


2
 F ( x )  P ( X  x )   (3b  a  2x )( x  a ) para a  x  b

(b  a )3


1
para x  b

 P( X  x )  1  P( X  x )  1  F ( x )
( b  c )2
20
Aplicaciones de los modelos triangular y parabólico:
Estos modelos constituyen una buena aproximación para modelar variables aleatorias de las cuales conocemos el
rango finito de valores entre los cuales puede variar (mínimo y máximo), así como su valor más probable. Su
utilización es frecuente en la simulación probabilística Nos permite estimar las duraciones de las actividades de un
proyecto usando las tres estimaciones: optimista, muy pesimista, y pesimista.
Ley del estadístico inconsciente:
Sea Y  H( X ) una función cualquiera de la variable aleatoria X; sea f ( x ) la función de densidad de X (o p( xi ) su
función de masa de probabilidades si X es discreta). La esperanza matemática de Y es:

  H ( x )f ( x )dx cuando x es continua


E (Y )  

 H ( xi )p( xi ) cuando x es discreta
 i
Lo cual significa que no se necesita encontrar la distribución de probabilidades de Y a fin de evaluar E(Y); es suficiente
conocer la distribución de X.
6
Teorema del límite central:
Sean X1, X2, X3,..., Xn variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con cualquier distribución para
la cual existen E( X i )   y V( X i )   2 . Sea la suma Sn  X1  X2  X3  ...  Xn . Entonces:
 S  n

lim P  n
 z    ( z ) para   z   , donde  denota la función de distribución acumulativa de una normal
n    n

estándar. Si queremos una interpretación intuitiva del teorema, podríamos decir que, cuando n   , la distribución Sn
“tiende” a una normal de parámetros ( n  ; n 2 )
El promedio X  ( X1  X2  ...  Xn ) / n tendrá una distribución aproximadamente normal cuando n es “grande”, o
una distribución que “tiende” a normal cuando n   . Sus parámetros son  X  E( X )   ;
función de densidad es f X ( x ) 
1
  

 2
 n
 x  


e  n 
2
para   z  
CALCULADORA: APLICACIÓN PRINCIPAL
1. ¿Cómo acceder, limpiar y configurar la Aplicación Principal?
(1)
Presione la tecla [ON/OFF] y toque
diferentes Aplicaciones.
del panel de iconos para mostrar las
(2) Utilice la barra (botón) de desplazamiento e identifique la Aplicación Principal.
(3) Toque
y se activa la pantalla de la Aplicación Principal donde aparecen:

Barra de menús:

Barra de herramientas:

Barra de estado:
(4) Toque en la barra de menús [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] con la finalidad de limpiar
el área de trabajo de la Aplicación Principal y aparece la pantalla inicial de dicha
Aplicación.
7
2
X
 V( X ) 
2
n
y su
(5) Toque en la barra de menús, seguidamente [Formato básico] y realice la siguiente
configuración.
(6) Toque el botón de flecha hacia abajo
de Formato número, y luego toque Fijo 4 en
la lista desplegable que aparece con la finalidad de presentar los resultados numéricos
con 4 cifras decimales.
(7) Toque el cuadro de marcación de Cálculo decimal para activarlo y luego toque,
si es necesario, los restantes cuadros de marcación activados para desactivarlos .
(8)
Toque [Def.] para validar la configuración, y se regresa a la ventana inicial de la
Aplicación Principal.
Ejemplo 5.3.21
Un vendedor es contratado por una empresa con la siguiente remuneración: Bs. 300.000 más 10% de lo que venda en
el mes. Supongamos que lo que vende en el mes es una cantidad aleatoria sobre la cual se sabe (por información
histórica) que nunca es menor que Bs. 2.000.000 ni mayor que Bs. 5.000.000. Se sabe, asimismo, que casi siempre la
cantidad vendida está cerca de los Bs. 2.000.000, y rara vez cerca de Bs. 5.000.000. El vendedor tiene compromisos
financieros para los que necesita ingresos del orden de Bs. 600.000 al mes, por lo que quisiera tener una estimación
de la probabilidad de que en un mes reciba menos de esa cantidad.
Con la información anterior, ¿cuál sería para Ud. Una razonable estimación de esa probabilidad?
Solución analítica:
En primer lugar plantearemos una aproximación (aunque gruesa) a la descripción del comportamiento aleatorio de su
ingreso mensual. Plantearemos una distribución triangular, como en la figura siguiente:
f (x)
0
1
2
3
4
en millones de Bs.
8
5
6 x
Utilizando la formulación para triángulos rectángulos, podemos escribir para la función de densidad de la venta
mensual X:
0


 2(b  x ) 2(5  x )
f (x)  

2
9
 (b  a )

0

para x  2
para 2  x  5
para x  5
Sea Y el ingreso mensual del vendedor. Tenemos Y  0,3  0,1X .
3
3
2(5  x )
0,6  0,3 
2  (5  x )2 

P (Y  0,6)  P (0,3  0,1X  0,6)  P  X 

P
(
X

3)

dx  



0,1 
9
9 
2

 2
2

2  (5  3)2 (5  2)2  2  4 9  2 5 5


       
9 
2
2
 9  2 2  9 2 9
Se verifica también que P ( X  3)  1 
(b  x )2
2
(b  a)
 1
(5  3)2
2
(5  2)
 1
4 5

9 9
Solución calculadora:
En este Procedimiento se muestra el uso del teclado 2D del teclado virtual de la Aplicación Principal para evaluar
una integral definida en vista de que se tiene la ventaja de registrar el integrando, el diferencial, y los límites inferior y
superior de integración de la misma manera que se escribe la integral definida con lápiz y papel.
PROCEDIMIENTO: APLICACIÓN PRINCIPAL
(1)
Presione la tecla [ON/OFF] y toque
diferentes Aplicaciones.
del panel de iconos para mostrar las
(2)
Utilice la barra (botón) de desplazamiento e identifique la Aplicación Principal.
(3)
Toque
y se activa la pantalla de la Aplicación Principal.
(4) Toque en la barra de menús [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] con la finalidad de limpiar
el área de trabajo de la Aplicación Principal y aparece la pantalla inicial de dicha
Aplicación.
(5)
Presione el teclado virtual
toque
(6) Toque
, toque
e identifique el símbolo
y se activa el teclado plantilla, luego
.
para introducirlo en la pantalla.
9
(7) Registre en el recuadro claro inferior el valor 2, y luego registre en el recuadro claro
superior el valor 5.
(8) Toque
pantalla.
, identifique el símbolo
y luego toque
para introducirlo en la
(9) Registre en el recuadro oscuro el numerador 2(5  x) .
(10) Registre en el recuadro claro el denominador 9 .
(11) Registre en el recuadro claro del diferencial la variable x .
(12) Toque [Ejec] y verifica que P ( X  3) 
5
.
9
1.- Una empresa que funciona con tres tipos de máquina sabe que X = “Número de horas que la máquina A está
parada debido a una avería” sigue una distribución triangular de parámetros (1,2,6), que Y = “Número de horas que la
máquina B está parada debido a una avería” sigue una distribución triangular de parámetros (3,4,5), y Z = “Número
de horas que la máquina C está parada debido a una avería” sigue una distribución triangular de parámetros (2,5,6).
a) Calcule el número medio de horas en las que no funciona la empresa y su desviación estándar.
Suponga que el costo asociado en miles de bolívares de la máquina A es C1 ( X )  5 X 2  10 X  2 , de la máquina B
es C2 (Y )  6Y 2  1 y de la C es C3 (Z )  12Z  5 .
b) Determine el costo medio total.
2.- En un proyecto se sabe que el camino crítico está formado por 100 actividades, tal que la duración de cada una de
ellas es aleatoria y sigue una distribución triangular con tiempo optimista 3, pesimista 13 y habitual 5. Calcule:
a) La duración media del proyecto.
b) La desviación estándar de la duración media del proyecto.
c) La probabilidad de que el proyecto se termine antes de 250 días.
10