probabilidad 2

PROBABILIDAD TOTAL
Se define la Probabilidad Total como la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B o
ambos sucesos. La podemos determinar a través de la siguiente fórmula:
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
Ejemplo:
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener el número 3 ó un número primo?
Evento A: Obtener el número 3.
Evento B: Obtener un número primo.
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) 
1 1 1 1
  
6 2 6 2
Si los eventos son excluyentes (A  B = ), la probabilidad de que se produzca A o B es:
P( A  B)  P( A)  P( B)
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional
a la situación inicial.
Ejemplo: Al tirar un dado la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si
incorporamos nueva información, por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número
par, entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.
Se llama probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a la probabilidad de que se de el suceso B
condicionada a que se haya dado el suceso A.
P ( B / A) 
P( A  B)
P ( A)
Donde:
P (B  A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B
P (A) es la probabilidad a priori del suceso A
En el ejemplo anterior:
P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un
número par (suceso A).
P (B  A) es la probabilidad de que salga el dos y número par.
P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par.
Por lo tanto:
P (B  A) = 1/6
P (A) = 1/2
P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3
Luego, la probabilidad de que salga el número 2, si ya sabemos que ha salido un número par, es
de 1/3.
La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos es igual a la probabilidad a priori del
suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionada al cumplimiento del suceso A.
O sea:
P( A  B)  P( A)  P( B / A)
Ejemplo: Un 35% de los varones mayores de 40 años están casados. De los varones mayores de
40 años y casados, un 30% tienen más de 2 hijos. Calcular la probabilidad de que un varón mayor
de 40 años esté casado y tenga más de 2 hijos.
P (A) = 35/100 = 0,35
P (B/A) = 0,30
P (A  B) = 0,35  0,30 = 0,105
Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 años están casados y tienen más de 2 hijos.
Si el suceso B es independiente de la ocurrencia del suceso A, se dice que son eventos
independientes. En este caso se da que:
P( A  B)  P( A)  P( B)
Ejemplo: Calcular la probabilidad de obtener un rey y un as de un naipe de 52 cartas, reponiendo la
primera carta al naipe.
Evento A: Sacar un rey
Evento B: Sacar un as
p( A  B)  P( A)  P( B) 
La probabilidad es de 1/169 = 0,0059 = 0,59%
4 4
1 1
1

  
52 52 13 13 169
EJERCICIOS
1. En una bolsa se echan 12 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 12. Calcular la
probabilidad de obtener un número menor que 5 o múltiplo de 5 al sacar una de ellas.
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/6
d) 1/18
e) 0
2. Calcular la probabilidad de obtener dos ases de un naipe de 52 cartas, sin devolver la primera
carta al naipe.
a) 1/26
b) 1/352
c) 4/663
d) 1/221
e) 3/674
3. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje menor que 5 ó mayor que
10?
a) 1/72
b) 1/12
c) 1/4
d) 1/6
e) Ninguna de
las anteriores
4. Calcular la probabilidad de que al sacar dos fichas de una bolsa, que contiene 3 fichas rojas y 4
blancas, con reposición, ambas sean fichas rojas.
a) 3/4
b) 2/7
c) 6/49
d) 1/7
e) 9/49
5. Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de que se obtenga un número impar o múltiplo de 3.
a) 1/2
b) 2/3
c) 1/3
d) 1/6
e) 5/6
6. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, de una baraja de 40 cartas. Calcular la
probabilidad de que ambas cartas sean reyes.
a) 1/100
b) 1/5
c) 1/130
d) 23/130
e) 1/20
7. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea menor que
6, si sabemos que dicha suma ha sido múltiplo de 4?
a) 1/3
b) 1/4
c) 5/18
d) 3/10
e) Ninguna de
las anteriores
8. Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces no se obtenga ningún 6.
a) 0
b) 1/1296
c) 10/3
d) 2/3
e) 625/1296
9. En un naipe de 40 cartas se toman 3 cartas distintas. Calcular la probabilidad de que sean
números distintos.
a) 1/64.000
b) 3/40
c) 1/59.280
d) 4/3.705
e) 192/247
10. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras; mientas
que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige una urna al azar y se extrae
una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
a) 6/5
b) 8/25
c) 2/5
d) 3/5
e) 4/5
ALTERNATIVAS
1. En una bolsa se echan 12 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 12. Calcular la
probabilidad de obtener un número menor que 5 o múltiplo de 5 al sacar una de ellas.
Alternativa A: CORRECTA. La probabilidad de obtener un número menor que 5 es 4/12 = 1/3 y de
obtener un número múltiplo de 5 es 2/12 = 1/6. El de obtener uno de esos eventos es
1 1 3 1
  
3 6 6 2
Alternativa B. Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener un número menor que 5.
Alternativa C. Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener un múltiplo de 5.
Alternativa D: Incorrecta. Se obtiene la probabilidad de cada evento, pero luego se calcula
1 1 1
equivocadamente el producto  
3 6 18
Alternativa E:. Incorrecta. Como entre los eventos no hay elementos en común, se determina que
la probabilidad es 0.
2. Calcular la probabilidad de obtener dos ases de un naipe de 52 cartas, sin devolver la
primera carta al naipe.
Alternativa A:. Incorrecta. Como se habla de obtener dos ases de un naipe de 52 cartas, se
plantea la probabilidad como 2/52 = 1/26.
2 1
2
1
Alternativa B. Incorrecta. Se plantea la probabilidad como
, la cual contiene



52 52 2704 1352
varios errores, ya que no considera el total de ases ni que la carta no es devuelta al naipe.
Alternativa C. Incorrecta. Se consideran los cuatro ases, pero no que la carta extraída es un as, o
4 4
16
4
sea
 

52 51 2652 663
4 3
Alternativa D: CORRECTA. La probabilidad pedida se obtiene calculando
ya que si no se

52 51
devuelve la carta a la baraja, los ases a sacar son 3 y las cartas 51.
4 3
12
3
Alternativa E: Incorrecta. Se resuelve
que no considera que las cartas
 

12 52 2704 674
disminuyen en una al no ser devuelta al naipe luego de extraídas.
3. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje menor que 5 ó mayor
que 10?
Alternativa A: Incorrecta. Se obtiene la probabilidad de cada evento, los cuales se multiplican, o
1 1
1
sea,  
, pero esta operación corresponde a calcular la probabilidad de que se den los dos
6 12 72
eventos.
Alternativa B. Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener un puntaje mayor que 10.
Alternativa C. CORRECTA. La probabilidad de obtener un puntaje menor que 5 al lanzar dos
dados es 6/36 = 1/6. La de obtener una suma mayor que 10 es 3/36 = 1/12. Por lo tanto, la
1 1
3 1
probabilidad de que uno de esos eventos se de, es 


6 12 12 4
Alternativa D: Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener un puntaje menor que 5 al
lanzar dos dados.
Alternativa E: Incorrecta. Diversos planteamientos errados llevan a optar por esta alternativa.
4. Calcular la probabilidad de que al sacar dos fichas de una bolsa, que contiene 3 fichas
rojas y 4 blancas, con reposición, ambas sean fichas rojas.
Alternativa A: Incorrecta. Se establece, sin mayor sentido, la razón entre las fichas rojas y las
fichas y las fichas blancas, o sea, 3/4.
Alternativa B. Incorrecta. Como se enuncia sacar dos fichas de un total de 7, se establece la
relación errada de 2/7.
Alternativa C. Incorrecta. Se resuelve correctamente la probabilidad de que la primera sea roja, o
sea 3/7, pero luego la probabilidad siguiente se determina erróneamente como 2/7. De esto se
3 2 6
obtiene que  
7 7 49
Alternativa D: Incorrecta. Se supone que la ficha extraída no es devuelta y se calcula
3 2 6 1
 

7 6 42 7
3 3 9
Alternativa E: CORRECTA. La probabilidad de extraer dos fichas rojas es  
ya que las
7 7 49
fichas rojas son 3 y el total de fichas 7, y luego de sacar la primera ficha, ésta se devuelve por lo
que se mantiene la probabilidad inicial.
5. Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de que se obtenga un número impar o
múltiplo de 3.
Alternativa A: Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener un número impar.
Alternativa B. CORRECTA. Los números impares a obtener son 1, 3 y 5; mientras que un múltiplo
de tres corresponde al 3 y 6. Lo importante es darse cuenta de que en ambos eventos figura el
3 2 1 4 2
número 3. Por lo tanto, la probabilidad es    
6 6 6 6 3
Alternativa C. Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener un múltiplo de 3.
Alternativa D: Incorrecta. Se obtienen ambas probabilidades pedidas y luego se efectúa el
3 2 6 1
producto, o sea  
 . El error es que no considera que se está pidiendo la probabilidad de
6 6 36 6
uno u otro evento.
Alternativa E: Incorrecta. No se considera el elemento 3 que pertenece a ambos eventos y se
3 2 5
resuelve  
6 6 6
6. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, de una baraja de 40 cartas. Calcular
la probabilidad de que ambas cartas sean reyes.
Alternativa A: Incorrecta. No se considera que el enunciado señala “sin devolución” y se calcula la
4 4
1 1
1
probabilidad efectuando la operación

  
40 40 10 10 100
Alternativa B. Incorrecta. No se considera que el enunciado señala “sin devolución” y se calcula la
4
4
1 1
2 1
probabilidad efectuando la operación

  

40 40 10 10 10 5
Alternativa C. CORRECTA. La probabilidad de obtener un rey en la primera sacada es 4/40 y
4 3
1 1
1
luego de extraer otro rey es 3/39, por lo tanto la probabilidad total es

  
40 39 10 13 130
Alternativa D: Incorrecta. Se determina cada probabilidad, pero luego se comete el error de
4
3
23
sumarlas, o sea
lo que lleva a obtener

40 39
130
Alternativa E: Incorrecta. Como deben extraerse 2 cartas de las 40 se plantea la probabilidad 2/40
= 1/20.
7. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea
menor que 6, si sabemos que dicha suma ha sido múltiplo de 4?
Alternativa A: CORRECTA. Los pares que cumplen la condición de que la suma de resultados
sea un múltiplo de 4 son (1, 3), (2, 2), (2, 6), (3, 1), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) y (6, 6), pero que su
suma sea menor que 6 sólo lo cumplen los pares (1, 3), (2, 2) y (3, 1). Luego la probabilidad es 3/9
= 1/3.
Alternativa B. Incorrecta. Esta probabilidad corresponde a la que se determina por los pares
múltiplos de cuatro.
Alternativa C. Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de que la suma de los resultados, al
lanzar dos dados, sea menor que 6.
Alternativa D: Incorrecta. Corresponde a la razón entre los pares múltiplos de 4, determinados de
los que suman menos de 6, y los pares que suman menos de 6.
Alternativa E: Incorrecta. Diversos procedimientos errados llevan a esta alternativa.
8. Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces no se obtenga ningún 6.
Alternativa A: Incorrecta. Se confunde le “no obtener” con la probabilidad nula.
Alternativa B. Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener un 6 en cada lanzamiento.
Alternativa C. Incorrecta. Se determina correctamente que cada probabilidad es 5/6, pero luego en
5 5 5 5 20 10
vez de multiplicar, se suma, o sea    

6 6 6 6 6
3
Alternativa D: Incorrecta. Se calcula la probabilidad entre los cuatro lanzamientos y las seis
posibilidades de un dado, o sea, 4/6 = 2/3.
Alternativa E: CORRECTA. El de obtener un 6 es 1/6, por lo tanto, de no obtenerlo es 5/6. Luego,
5 5 5 5 625
la probabilidad en 4 lanzamientos es    
6 6 6 6 1296
9. En un naipe de 40 cartas se toman 3 cartas distintas. Calcular la probabilidad de que sean
números distintos.
Alternativa A: Incorrecta. Se calcula la probabilidad efectuando
1 1 1
considerando de que
 
40 40 40
siempre se extrae una carta de las 40.
Alternativa B. Incorrecta. Como se enuncia que se toman 3 cartas de un naipe, se piensa en la
probabilidad 3/40.
1 1 1
Alternativa C. Incorrecta. Se calcula la probabilidad efectuando
considerando de que
 
40 39 38
se extrae una carta de las 40, luego una de las 39 restantes y luego una de las 38 que restan.
Alternativa D: Incorrecta. Se calcula la probabilidad efectuando el producto
4 4 4
64
4
  

40 39 38 59280 3705
Alternativa E: CORRECTA. Al extraer la primera carta la probabilidad es 40/40, al extraer la
segunda carta es de 36/39 y la tercera es de 32/38. Al efectuar el producto de estas
probabilidades, simplificando previamente, se obtiene 192/247.
10. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras;
mientas que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige una urna al
azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
Alternativa A: Incorrecta. Se calcula la probabilidad de obtener una bola blanca de cada urna y
2 4 6
luego se suman, o sea,  
5 5 5
Alternativa B. Incorrecta. Se calcula la probabilidad de obtener una bola blanca de cada urna y
2 4 8
luego se multiplican, o sea,  
5 5 25
Alternativa C. Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener una bola blanca en la primera
urna.
Alternativa D: CORRECTA. Para obtener la probabilidad pedida se debe efectuar la siguiente
1 2 1 4 3
operación     , donde el 1/2 corresponde a la probabilidad de elegir una de las urnas, el
2 5 2 5 5
2/5, de sacar una bola blanca de la primera urna y el 4/5 de sacar una bola blanca de la segunda
urna.
Alternativa E: Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener una bola blanca desde la
segunda urna.