Progresión geométrica

Progresión geométrica
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En matemáticas, una progresión geométrica o sucesión geométrica está constituida por
una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el
anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele
reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos
mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta
separación no es estricta.
Así, 5, 15, 45, 135, 405, ... es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
y así sucesivamente
Tabla de contenidos
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1 Ejemplos de progresiones geométricas
2 Fórmulas pertinentes a progresiones geométricas
3 Suma de términos de una progresión geométrica
o 3.1 Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica
o 3.2 Suma de terminos infinitos de una progresión geométrica
Ejemplos de progresiones geométricas [editar]
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La progresión 1, 2, 4, 8, 16, 32 es una progresión geométrica cuya razón vale 2,
al igual que 5, 10, 20, 40.
La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75,
0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6,
12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión
alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
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Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0.
Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden
explícitamente que
en la definición.
Fórmulas pertinentes a progresiones geométricas [editar]
Si
son los términos de una progresión geométrica con razón
entonces se cumple la regla recursiva
La razón de una progresión geométrica puede entonces obtenerse dividiendo cualquier
término por su inmediato anterior:
Todos los términos de la progresión quedan determinados así por el primer término y la
razón. Efectuando la sustitución en cada paso, la progresión se convierte en
de donde se infiere la fórmula para el término n-ésimo:
Ejemplo. La secuencia 3, 6, 12, 24, 48, 96 es una progresión geométrica cuya razón es
2 ya que
Dado que a_0=3, podemos calcular directamente cualquier entrada. Por ejemplo:
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica
Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión
geométrica:
Sn = a1 + a2 + . . . + an-1 + an
Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se
multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.
Sn r = ( a1 + a2 + . . . + an-1 + an ) r
o lo que es lo mismo,
Sn r = a1 r + a2 r + . . . + an-1 r + an r
Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la
razón se obtiene el término siguiente de esa progresión,
Sn r = a2 + a3 + . . . + an + an r
Si se procede a restar de esta igualdad la primera:
Sn r = a2 + a3 + . . . + an + an r
Sn = a1 + a2 + . . . + an-1 + an
_______________________________
Sn r - Sn = - a1 + an r
o lo que es lo mismo,
Sn ( r - 1 ) = an r - a1
Si se despeja Sn,
De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica
cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la
fórmula, se puede expresar el término general de la progresión an como
an = a1 rn-1
Así, al substituirlo en la fórmula anterior se tiene lo siguiente:
con lo que se obtiene la siguiente igualdad:
Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una
progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la
progresión.
Suma de terminos infinitos de una progresión geométrica [editar]
Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad | r | < 1, la suma de los infinitos
términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En
efecto, si | r | < 1,
tiende hacia 0, de modo que
En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón
inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula: