proporcionaidad

Proporcionalidad
Este tema se trabaja en 7° y 8° básico y se profundiza en 1° Medio. Como es muy posible
que algunos cosas no las recuerdes, veamos el tema en su totalidad.
Razón: Es la comparación entre dos cantidades, la primera de ellas llamada antecedente y la
segunda llamada consecuente.
Ejemplo, 5 : 7 (se lee 5 es a 7) donde el 5 es el antecedente y el 7 el consecuente.
Para que lo comprendas mejor, piensa que al decirte 2 : 3 te estoy señalando que se va a repartir
algo, donde a uno le van a corresponder 2 partes y al otro 3 partes.
Veamos algunos ejemplos.
1. Repartir $ 75.000 entre Marta y Ricardo en razón 2 : 3, respectivamente. (Esta palabra significa
que tiene que ser en el orden dado, o sea Marta ---> 2 partes y Ricardo ---> 3 partes)
Al sumar las partes que le corresponden a Marta con las que le corresponden a Ricardo da el total
de dinero a repartir, o sea
2 partes + 3 partes = $75.000.
2p + 3p = 75.000
5p = 75.000
p = 15.000
Luego cada parte es de $15.000. Por lo tanto a cada uno le corresponde:
Marta = 2 partes = 2  15.000 = $ 30.000
Ricardo = 3 partes = 3  15.000 = $ 45.000
2. Los ángulos de un triángulo están en razón de 1:3:5. ¿Cuánto mide el ángulo mayor?
Como en un triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180º, planteamos
p + 3p + 5p = 180º
9p = 180
p = 20
Por lo tanto, los ángulos miden
p = 20º;
3p = 320 = 60º;
5p = 520 = 100º.
La respuesta es 100º
3. El perímetro de un rectángulo es 48 cm. Si sus lados están en razón 5 : 3, ¿Cuánto mide su
área?
Con cuidado ya que si nos hablan del perímetro hay que considerar los 4 lados.
Por lo tanto: 5p + 3p + 5p + 3p = 48
16p = 48
p=3
Luego los lados del rectángulo miden
5p = 53 = 15 cm y 3p = 33 = 9 cm
El área del rectángulo es largo por ancho, o sea 15 cm por 9 cm = 135 cm 2.
4. Dos números están en la razón 5 : 2 y su diferencia es 60. ¿Cuáles son los números?
5p - 2p = 60
3p = 60
p = 20
Los números son 5p = 520 = 100 y 2p = 220 = 40
Con los 4 ejemplos dados espero se te haya aclarado el significado y la utilización de las razones,
que como ves es de gran importancia para resolver algunos tipos de ejercicios.
Proporción: Es la igualdad entre dos razones.
Por ejemplo, tenemos las razones 2 es a 5 y 6 es a 15
Determinemos el valor de cada razón, efectuando las respectivas divisiones
2 : 5 = 0,4 y 6 : 15 = 0,4
Como ambas tienen el mismo valor, podemos establecer una igualdad entre ellas. Así:
2 : 5 = 6 : 15
Para verificar esta proporción efectuamos el producto de los extremos 2·15 y el producto de los
medios 5·6, como ambos dan 30 entonces la proporción es correcta.
En forma general:
a : b = c : d <===> a·d = b·c
Proporcionalidad Directa:
Dos cantidades a y b son directamente proporcionales si su cuociente es constante.
a
k
b
Ejercicio: Por 500 fotocopias me cobran $ 15.000, ¿Cuánto deberé pagar por 100 fotocopias?
Analizar que si baja la cantidad de fotocopias, obviamente bajará la cantidad a cancelar. En estos
casos estamos hablando de una proporción directa.
500
100

15 .000
x
500x = 1.500.000
x = 3.000
Por las 100 fotocopias se pagará $ 3.000.
Revisa el siguiente cuadro para entender mejor lo que significa la constante k.
a=n° de fotocopias
100
200
300
400
500
b=dinero a cancelar
$ 3.000
$ 6.000
$ 9.000
$ 12.000
$ 15.000
a/b
100 : 3000
200 : 6000
300 : 9000
400 : 12000
400 : 15000
k
0,03...
0,03...
0,03...
0,03...
0,03...
Veamos ahora la representación gráfica de una proporcionalidad directa:
Si un sobre vale $ 30, entonces 2 sobres valen $ 60 y 5 sobres valen $ 150. Graficamente lo
podemos representar asi:
Proporcionalidad Inversa:
Dos cantidades a y b son inversamente proporcionales si su producto es constante.
a·b=k
para ambos casos, k recibe el nombre de constante de proporcionalidad.
Ejercicio: Si 20 obreros demoran en hacer una obra 12 días, ¿cuánto demorarán 5 obreros en
realizar la misma obra y en las mismas condiciones?
Al analizar el problema debemos prestar mucha atención a la baja del número de trabajadores lo
que implicará una mayor cantidad de días de trabajo para finalizar la obra. O sea se establece una
proporcionalidad inversa. (Cuidado al plantear la ecuación)
20 x

5 12
5x = 240
x = 48 ds.
Veamos en la siguiente tabla lo definido sobre la constante de proporcionalidad
a=n° de obreros
20
15
10
5
1
b=n° de días
12
16
24
48
240
ab
20  12
15  16
10  24
5  48
1  240
k
240
240
240
240
240
Grafiquemos la siguiente situación: Un vehículo a 40 km/hr demora 4 horas en llegar a su destino,
por lo que a 80 km/hr llegará en sólo 2 horas. Si el viaje fuese a 160 km/hr, demoraría 1 hora.
¿A qué velocidad demoró 16 horas?
Gráficos extraídos de “Matemática I Medio”, Pilar Maiz y Silvia Toro – Ed. Arrayán
EJERCICIOS
1. La diferencia de dos números es 56 y su razón es 9:5. ¿Cuál es el número mayor?
a) 126
b) 70
c) 36
d) 20
e) 14
2. La tabla siguiente muestra los valores de x e y, donde x es directamente proporcional a y. ¿Cuál
es el valor de P + Q?
x
y
3
5
6
Q
P
25
a) 10
b) 25
c) 24
d) 25
e) 31
3. Si A : B : C = 4 : 6 : 5 y A + B + C = 45. El valor de A + B - C es:
a) 12
b) 15
c) 30
d) 45
e) 60
4. Cuatro pares de zapatos valen $ t. Entonces dos docenas de zapatos valen:
a) $ 6t
b) $ 4t
c) $ 3t
d) $ 1,5t
e) 0,5t
5. La tabla siguiente muestra los valores de x e y, donde x es inversamente proporcional a y. El
valor de P es:
x
y
2
18
6
P
a) 54
b) 36
c) 24
d) 22
e) 6
6. Cuatro obreros cavan en dos horas una zanja de 12 m. ¿Cuántos metros cavarán, en el mismo
tiempo, seis obreros?
a) 8
b) 12
c) 18
d) 36
e) 72
7. Con un jarro de jugo se alcanza a llenar 36 vasos, ¿cuántos de estos vasos se podrán servir si
sólo son llenados hasta 3/4 de su capacidad?
a) 12
b) 27
c) 36
d) 37
e) 48
8. En el gráfico siguiente, la abscisa representa la cantidad de obreros trabajando y la ordenada,
los días que demoran en realizar la obra. ¿Cuánto días, según el gráfico, se demorarían 8 obreros?
a) 1
b) 2
c) 2,5
d) 3
e) Falta Información
9. Los lados de un rectángulo están en la razón de 3 : 8. Si su área es 600 cm 2, entonces su lado
mayor mide:
a) 15 cm
b) 30 cm.
c) 40 cm.
d) 80 cm.
e) 90 cm.
10. Una dactilógrafa escribe a máquina una página de 54 líneas a doble espacio. ¿Cuántas líneas
escribirá en la misma página a triple espacio?
a) 18
b) 36
c) 81
d) 162
e) 324
ALTERNATIVAS
1.
Alternativa A: CORRECTA. 9p – 5p = 56, o sea p = 14. El número mayor es 9p = 9  14 = 126
Alternativa B: Incorrecta. Corresponde al valor del número menor.
Alternativa C: Incorrecta. Al plantear erróneamente 9p + 5p = 56, se obtiene para p el valor 4. De
donde se concluye que el número mayor es 36.
Alternativa D: Incorrecta. Al plantear erróneamente 9p + 5p = 56, se obtiene para p el valor 4. El
valor 20 corresponde al número menor.
Alternativa E: Incorrecta. Es el valor de cada parte de edad que le corresponde a cada hermano.
2.
Alternativa A: Incorrecta. Corresponde al valor de P y no de P+Q.
Alternativa B: Incorrecta. Corresponde al valor de Q y no de P+Q.
Alternativa C: Incorrecta. Al considerar las columnas de x e y como sucesiones, lo cual es un error,
se obtiene que P es 9 y que Q es 15, lo que al sumarlas da 24.
Alternativa D: CORRECTA. Como la tabla corresponde a una variación directamente proporcional,
podemos determina su constante de proporcionalidad, realizando la operación x : y, o sea 3 : 5 =
0,6.
Luego 6 : Q = 0,6, despejando obtenemos que Q = 10.
Lo mismo realizamos para determinar P, o sea P : 25 = 0,6, resultando P = 15.
Entonces P + Q = 15 + 10 = 25.
Alternativa E: Incorrecta. Como para x = 3 se obtiene y = 5, se podría pensar, incorrectamente, que
para obtener los valores y, siempre hay que sumarle 2 a x. Según esto, Q = 8 y P = 23, donde P +
Q = 31.
3.
Alternativa A: Incorrecta. Corresponde al valor de A.
Alternativa B: CORRECTA. La razón 4:6:5 nos indica que 4p + 6p + 5p = 45, de donde p = 3.
Luego A = 12, B = 18 y C = 15.
A + B – C = 12 + 18 – 15 = 15.
Alternativa C: Incorrecta. Corresponde al valor de A + B.
Alternativa D: Incorrecta. Corresponde al valor de A + B + C.
Alternativa E: Incorrecta. Al valor de A + B + C se le sumo el valor de las razones 4 + 6 + 5, no
teniendo ningún sentido esta operación.
4.
Alternativa A: Incorrecta. Se resuelve la proporción 4:24 = t:x, donde x = 6t. El error está en
relacionar pares de zapatos con zapatos.
Alternativa B: Incorrecta. Se plantea 8:2 = t:x, haciendo una mala relación entre zapatos y docenas
de zapatos. Se obtiene 4t.
Alternativa C: CORRECTA. Si cuatro pares de zapatos valen $ t entonces 1 par vale $ t/4.
Nos preguntan por 2 docenas de zapatos que corresponde a 12 pares de zapatos.
El valor de 12 pares es 12  t/4 = $ 3t.
Alternativa D: Incorrecta. Se plantea 4:6 = t:x, donde x=1,5t.
Alternativa E: Incorrecta. Se plantea 4:2 = t:x, donde x = 0,5t. Es errónea la relación entre pares de
zapatos y cantidad de docenas de zapatos.
5.
Alternativa A: Incorrecta. El error se produce al no considerar que la tabla muestra pares de valores
inversamente proporcionales.
Alternativa B: Incorrecta. Es el valor de la constante de proporcionalidad y no el valor de P.
Alternativa C: Incorrecta. Algunos errores de calculo llevan a obtener este valor.
Alternativa D: Incorrecta. Como para x = 2, resulta y = 18, se puede pensar erróneamente que x +
16 = y. Entonces 6 + 16 = 22.
Alternativa E: CORRECTA. Si x e y son inversamente proporcionales se cumple que xy = k.
Como 218 = 36, entonces 6P igual debe dar la constante de proporcionalidad, 36. Y esto se
cumple si P = 6.
6.
Alternativa A: Incorrecta. Se obtiene este valor asumiendo que se trata de una proporción inversa.
Alternativa B: Incorrecta. Al hablar el enunciado de que trabajan el mismo tiempo puede llevar a
que se piense que cavarán los mismos 12 metros que los 4 obreros.
Alternativa C: CORRECTA. Si analizas el problemas te darás cuenta de que corresponde a una
proporcionalidad directa, ya que al aumentar la cantidad de obreros, la cantidad de metros a cavar,
también aumentará.
Entonces 4 : 12 = 6 : x, de donde se obtiene que x = 18 metros.
Alternativa D: Incorrecta. Se obtienen los 18 metros correctamente, pero como se habla de dos
horas, incorrectamente se multiplica por 2 y se obtiene 36 metros.
Alternativa E: Incorrecta. Corresponde a la multiplicación de los 12 metros por el número de
obreros que cavarán la zanja. No se considera que inicialmente son 4 obreros.
7.
Alternativa A: Incorrecta. El error viene de obtener que se deben llenar 12 vasos más de los 36.
Alternativa B: Incorrecta. No corresponde determinar los 3/4 de 36 ya que da 27 vasos y es lógico
que si sólo son llenados hasta las 3/4 partes deberán ocuparse más de 36 vasos.
Alternativa C: Incorrecta. No es lo mismo llenarlos en su totalidad a llenarlos 3/4 partes de su
capacidad. Se necesitan más vasos.
Alternativa D: Incorrecta. Un mal planteamiento lleva a sumar 3/4 + 36, obteniéndose
aproximadamente 37.
Alternativa E: CORRECTA. El enunciado del problema nos plantea una proporción inversa, ya que
al disminuir la cantidad de llenado a 3/4, la cantidad de vasos a ocupar deberá aumentar para
contener todo el jugo del jarro.
Entonces 1 : 3/4 = x : 36, resultando que 36 = 3x/4 de donde x = 48.
8.
Alternativa A: Incorrecta. La visualización del gráfico es equivocada.
Alternativa B: Incorrecta. Confusión entre abscisa y ordenada, lleva a determinar que 8 obreros
demoran 2 días.
Alternativa C: CORRECTA. En el gráfico observamos que a 2 obreros les corresponde 10 días en
finalizar el trabajo encomendado. Al aumentar la cantidad de obreros, es obvio que el trabajo se
hará más rápido, por lo tanto, en menos días, o sea, estamos hablando de una proporción inversa.
Luego debe cumplirse que ab = k, entonces 210 = 20.
Si los obreros son 8, debe cumplirse que 8b = 20, obteniéndose que b = 2,5.
Alternativa D: Incorrecta. Se visualiza mal el valor correspondiente a los 8 obreros y no se
comprueba algebraicamente.
Alternativa E: Incorrecta. El gráfico es suficiente para determinar lo pedido.
9.
Alternativa A: Incorrecta. Corresponde al lado menor del rectángulo.
Alternativa B: Incorrecta.
Alternativa C: CORRECTA. Como el área de un rectángulo es largo por ancho, podemos escribir
que 3p8p = 600, o sea 24p2 = 600, de donde p = 5.
El lado mayor mide 8p = 85 = 40 cm.
Alternativa D: Incorrecta.
Alternativa E: Incorrecta.
10.
Alternativa A: Incorrecta. Resulta de efectuar la operación entre el número de líneas y el triple
espacio, o sea 54:3 = 18.
Alternativa B: CORRECTA. Al aumentar los espacios al triple, la cantidad de líneas contenidas en
la página disminuirán. Estamos hablando, entonces de una proporción inversa.
La proporción es 54 : x = 3 . 2, de donde x = 36.
Alternativa C: Incorrecta. Se resuelve como si se tratase de un problema de proporcionalidad
directa.
Alternativa D: Incorrecta. Como en una página se escriben 54 líneas a doble espacio, se supone
que a triple espacio será 54 por 3, o sea 162, lo que no es correcto.
Alternativa E: Incorrecta. 54 líneas a doble espacio, lleva a pensa en el producto 54 por 2, lo que
resulta 108. Luego, se determina el triple de 108, dando 324.