TEORÍA DE ESTIMACIÓN INTERVALOS DE CONFIANZA Una

TEORÍA DE ESTIMACIÓN
INTERVALOS DE CONFIANZA
Una estimación del intervalo de un parámetro θ, es un intervalo en el cual se puede
esperar, con un grado razonable de certeza, que contenga el parámetro que se desea
estimar.
La forma general para un intervalo de confianza para un parámetro θ es:
P (Li ≤ θ ≤ Ls) = 1- α
donde 1- α es el nivel de confianza fijado previamente, para 0 < α < 1.
Los valores de Li y Ls dependen del estadístico seleccionado para estimar el parámetro y
de la distribución de muestreo de dicho estadístico.
La interpretación del intervalo de confianza es la siguiente: Al seleccionar una muestra
aleatoria y calcular el intervalo de confianza para un parámetro, dicho intervalo contiene
el verdadero valor de θ con una confianza (1- α)*100 %.
Mientras más grande sea el intervalo, mayor es la seguridad de que el intervalo
contenga el verdadero valor de θ, pero menor información se tiene sobre el verdadero
valor de θ.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA, CON VARIANZA
CONOCIDA
Si X es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño n de una población de
varianza conocida σ2, un intervalo de confianza para μ del (1-α) 100 por ciento esta
dado por:


 
 
Z  
X   Z  



X

 1
n 
n 
 1 2
 2
Para muestras tomadas de población normal o para muestras n ≥ 30 sin importar la
distribución de la población.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN
NORMAL, CON VARIANZA DESCONOCIDA
Si X y S son la media y la desviación estándar de una muestra tomada de una
población normal con varianza σ2 desconocida, entonces un intervalo de confianza
para μ del (1-α) 100 por ciento esta dado por:


S 
S 
    X   T  ; n  1

X   T  ; n  1


1
1

n
n 
 2
 2
INTERVALO DE CONFIANZA
DISTRIBUCIÓN NORMAL
PARA
LA
VARIANZA
DE
UNA
Si S2 es la varianza muestral de una muestra aleatoria de n observaciones tomadas de
una distribución normal con varianza desconocida σ2, entonces un intervalo de
confianza para σ2 del (1-α) 100 por ciento esta dado por:
n  1S 2   2  n  1S 2
X2
1 ; n 1
2
X 2
2
; n 1
EJERCICIOS
1-. Se toma una muestra de diez esferas metálicas y se mide su diámetro, obteniéndose
una media igual a 4,38 cm. y una desviación estándar igual a 0,06 cm. Se supone que
los diámetros de las esferas metálicas siguen una distribución normal.
a) Encuentre los límites de confianza del 99 % para el diámetro promedio.
b) Encuentre los límites de confianza del 95 % para la desviación estándar de los
diámetros de las esferas metálicas.
2-. El salario promedio semanal de una muestra de 30 empleados de una empresa es 280
$, con una desviación estándar muestral de s = 14 $. Se supone que los montos
salariales semanales de la empresa siguen una distribución normal.
a) Calcule un intervalo de confianza del 95% para estimar la desviación estándar de los
salarios semanales de la población.
b) Calcule un intervalo de confianza del 95% para estimar el promedio de los salarios
semanales de la población.
3-. Se conoce que la duración, en horas, de los focos de 75 Watts tiene una distribución
aproximadamente normal, con una desviación estándar de 25 horas. Se toma una
muestra de 20 focos, la cual resulta tener una duración promedio de 1014 horas.
a) Construya un intervalo de confianza del 99% para la duración promedio de los focos
de 75 Watts.
b) Construya un intervalo de confianza del 97% para la duración promedio de los focos
de 75 Watts.
4-. Los siguientes son los tiempos de combustión de un determinado producto en
segundos para una muestra tamaño 20. Suponga que los tiempos de combustión siguen
una distribución normal.
9,85
9,87
9,83
9,95
9,93
9,67
9,92
9,95
9,75
9,94
9,74
9,93
9,77
9,85
9,99
9,92
9,67
9,75
9,88
9,89
a) Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo de combustión
promedio.
b) Calcule un intervalo de confianza del 99% para la varianza de los tiempos de
combustión.
5-. Un ingeniero civil hace pruebas sobre la resistencia a la compresión del concreto.
Para ello examina la resistencia a la compresión de 12 especimenes y obtiene un
promedio y una desviación estándar de 2259,92 psi. y 35,57 psi respectivamente.
Suponga que la resistencia a la compresión está distribuida aproximadamente de manera
normal.
a) Construya un intervalo de confianza del 95% para la resistencia promedio del
concreto.
b) Construya un intervalo de confianza del 98% para varianza de la resistencia del
concreto.
6-. Una máquina produce varillas de metal utilizadas en el sistema de suspensión de un
automóvil. Se toma una muestra aleatoria de 15 varillas, se mide el diámetro (mm.) y se
obtienen los siguientes resultados: 8,24; 8,23; 8,20; 8,21; 8,20; 8,28; 8,23; 8,26; 8,24;
8,25; 8,19; 8,25; 8,26; 8,23; 8,24. Suponga que el diámetro sigue una distribución
normal.
a) Construya un intervalo de confianza del 99% para el diámetro promedio de la varilla.
b) Construya un intervalo de confianza del 98% para varianza del diámetro de la varilla.
7-. Un ingeniero de control de calidad midió el espesor de la pared de 25 botellas de
vidrio y obtuvo como resultado una media igual a 4.05 mm. y una desviación estándar
de 0.08 mm. Suponga que el espesor de las paredes sigue una distribución normal.
a) Encuentre el intervalo de confianza del 98% para la varianza del espesor de la pared
de todas las botellas fabricadas.
b) Encuentre el intervalo de confianza del 95% para la media del espesor de la pared de
todas las botellas fabricadas.
8-. Un ingeniero civil hace pruebas sobre la resistencia a la compresión del concreto.
Para ello examina 12 especimenes y obtiene los siguientes datos (psi): 2216, 2237,
2249, 2204, 2225, 2301, 2318, 2255, 2275, 2295, 2281, 2263. Suponga que la
resistencia a la compresión está distribuida aproximadamente de manera normal.
a) Construya un intervalo de confianza del 97% para la resistencia promedio del
concreto.
b) Construya un intervalo de confianza del 95% para la varianza del concreto.
9-. Un fabricante produce anillos para los pistones de un motor. Se sabe que el diámetro
del anillo sigue una distribución aproximadamente normal y tiene una desviación
estándar de 0,001 mm. Se toma una muestra aleatoria de 15 anillos para la cual se
obtiene un diámetro promedio 74,036 mm.
a) Construya un intervalo de confianza del 95% para el diámetro promedio de los anillos
producidos por dicho fabricante.
b) Construya un intervalo de confianza del 99% para el diámetro promedio de los
anillos producidos por dicho fabricante.
10-. Una máquina produce varillas de metal utilizadas en el sistema de suspensión de un
automóvil. Se toma una muestra aleatoria de 15 varillas y se mide el diámetro, el
promedio y la desviación estándar muestral son 8,234 mm. y 0,025 mm.
respectivamente. Suponga que el diámetro sigue una distribución normal.
a) Construya un intervalo de confianza del 98% para el diámetro promedio de la varilla.
b) Construya un intervalo de confianza del 97% para la desviación estándar del
diámetro de la varilla.
11-. Se analiza la carga máxima que puede soportar un determinado tipo de cable. La
carga máxima que puede soportar este tipo de cable está distribuida normalmente con
varianza igual a 0,5329 (ton.)2. Se toma una muestra de 60 trozos de cable y se obtuvo
una carga máxima promedio de 11,09 ton.
a) Encuentre lo límites de confianza del 95% para la carga máxima promedio que
pueden soportar el tipo de cables estudiados.
b) Encuentre lo límites de confianza del 98% para la carga máxima promedio que
pueden soportar el tipo de cables estudiados.
12-. Una distribuidora de máquinas expendedoras de refresco desea estudiar el número
promedio de unidades vendidas por sus máquinas semanalmente. Se sabe que la
desviación estándar para las máquinas es de 48,2 unidades semanales. Para una muestra
de 60 máquinas estudiadas se obtuvo un promedio de venta semanal de 255,3 unidades.
a) Calcular un intervalo de confianza del 99% para el promedio de unidades vendidas
por dichas máquinas.
a) Calcular un intervalo de confianza del 98% para el promedio de unidades vendidas
por dichas máquinas.
Ejercicios Nº 1 y 4
ARGUELLO ANGEL
JIMENEZ
AGUSTIN
Ejercicios Nº 2 y 9
LÓPEZ
LINETTE
MARTINEZ VILMER
Ejercicios Nº 3 y 10
OLIVEROS ROBERT
ORTEGA
ANA KARINA
Ejercicios Nº 4 y 11
ROA
JENIFER
SÁNCHEZ MARCOS
Ejercicios Nº 7 y 12
GÁMEZ
KARLA
CAPDEVILLA FACNER
Ejercicios Nº 6 y 4
MATA
AQUILES
BLANCO
JOSELIS
Ejercicios Nº 5 y 8
BLANCO
GUSTAVO
GONZALEZ JUAN DEL C
Ejercicios Nº 12 y 9
MATUTE
BEATRIZ
RODRIGUEZ YONES
RIVERO
DELIMAR
Ejercicios Nº 8 y 1
MEDINA
MARIELBA
MONTOYA ROBERT
Ejercicios Nº 5 y 4
CARRILLO JOSÉ
MORA
ALEJANDRO
REGLAS PARA LA ENTREGA DEL TRABAJO
 Entregar individualmente.
 Entregar
en hojas blancas tamaño carta y de forma manuscrita, es obligatorio
excelente presentación y buena letra.
 En
cada ejercicio:
1-. Escribir el enunciado completo, no pegar fotocopia de la guía.
2-. Especificar que parámetro se va a estimar (es decir σ ó μ)
3-. Escribir la fórmula a utilizar
3-. Especificar los datos que se dan en el problema.
4-. Especificar el valor del fractíl (
T
1
 ,
2
Z
1
 ……..)
2
,5-. Resolver el problema.
IMPORTANTE:
Para la realización de estos ejercicios el alumno deberá estudiar la parte teórica
que esta en este mismo archivo (Págs. 1 y 2), además de la clase del jueves 07 de julio e
investigar sobre el tema.
MUY IMPORTANTE:
Se evaluará también la participación en clase. La clase será una clase
participativa el profesor preguntará y el alumno debe responder o explicar a el grupo lo
que se ha preguntado. Así que deben tener claro como resolvieron cada uno de los
problemas
La persona que no asista perderá la evaluación. No recibo
trabajos después del jueves 15/07/2010.
Los trabajos idénticos se les dividirán la nota entre dos.