Pruebas Cmat 2003-2008 Nivel I medio

Pruebas Cmat 2003-2008 Nivel I medio
Cmat 2003
Primera fecha
Problema 1. Se escriben los números del 1 al 100 como a continuación:
1 2 3 4 ... 98 99 100
a.
¿Es posible intercalar los símbolos + o - entre ellos de manera que el resultado de la
operación sea 0?¿Cómo?
b.
¿Es posible hacer lo mismo de manera que el resultado sea 1? ¿Por qué?
Problema 2. El promedio de 5 números es 40. Al eliminar dos de ellos el nuevo promedio es 36.
¿Cuál es el promedio de los dos números eliminados?
Segunda fecha
Problema 1. En un tablero de 10×10 se escriben, en forma aleatoria, los números del 1 al 100.
Una jugada consiste en seleccionar dos números cualesquiera y reemplazar uno de ellos por la
suma de ambos, y el otro dejarlo vacío (por ejemplo, si se escogen el 8 y el 23, se puede
reemplazar el 8 por el 31, y el casillero del 23 se deja vacío). Después de algunas jugadas,
quedará un solo número. Diga cuál es y justifique su respuesta.
Problema 2. Una mosca y un ciclista se encuentran inicialmente en los puntos
respectivamente, a
y
,
de distancia. Ambos comienzan a moverse simultáneamente, la
mosca en dirección a
rapidez constante de
y el ciclista en dirección opuesta (o sea, hacia
y el ciclista viaja con rapidez constante de
). La mosca viaja con
. Cada vez que la
mosca choca con el ciclista, da media vuelta y regresa, con la misma rapidez, al punto
. Una
vez que llega a dicho punto, vuelve a ir hacia el ciclista hasta que lo choca, y nuevamente
regresa al punto
y así sucesivamente (todos los cambios de sentido de la mosca son
instantáneos). ¿Qué distancia ha recorrido la mosca cuando el ciclista llega al punto
?
Tercera fecha
Problema 1 En un colegio hay
estudiantes. Se sabe que
es capicúa. Además, si los alumnos
se forman en filas de a 3, entonces en la última fila quedan 2 alumnos. Si se forman en filas de a
4, quedan 3 alumnos en la última fila. Finalmente, si se forman en filas de a 5, quedan 5 en la
última fila. Determine el valor de
Problema 2: Considere los círculos
puntos, en el círculo
, que no se intersecan. En el círculo
hay 12 puntos, en el círculo
hay 18 puntos y en el círculo
puntos. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden dibujar uniendo un punto de cada círculo?
hay 6
hay 24
Cuarta fecha
Problema 1. En una pizarra se escriben tres enteros. Un movimiento permitido es borrar uno de
ellos y escribir, en su lugar, la suma de los dos números que no se han borrado. Después de
varios movimientos permitidos, tenemos escritos los números 17, 75, 91 en la pizarra.
a.
Determine si es posible haber comenzado con los números 2, 2, 2.
b.
Determine si es posible haber comenzado con los números 3, 3, 3.
Problema 2. En la figura, pruebe que el área el triángulo
es mayor o igual que el área del
triángulo
. La figura muestra un cuadrado de lado , con sus diagonales dibujadas, y
exteriormente se ha dibujado un triángulo rectángulo de catetos y (vea el primer comentario)
Quinta fecha (recuperativa)
Problema 1: En un regimiento hay cien soldados, y todas las noches se escogen tres de ellos
para trabajar de centinelas. Pasado un tiempo, un soldado dice a su superior: "Señor, en las
guardias he conocido a todos mis colegas, a pesar de haber estado con cada uno de ellos sólo
una vez". ¿Es cierto lo que dice el soldado? Justifique.
Problema 2: Las piezas de un juego, que llamaremos "Lautaro juega con geometría'', son
construidas cortando un cuadrado en siete partes, como muestra la figura: dos triángulos
rectángulos grandes, uno mediano y dos pequeños, un cuadrado y un paralelógramo. Determine
qué porcentaje del área del cuadrado cubre el paralelógramo.
Cmat 2004
Primera fecha
1. Determine el valor de la siguiente expresión:
2. Encontrar la razón entre el área de las superficies de un cubo y un tetraedro regular
inscrito al cubo, tal que las aristas del tetraedro sean las diagonales de los lados del
cubo.
Segunda fecha
Problema 1.
Problema 2.
Tercera Fecha
Problema 1.
Se tiene un tablero cuadriculado de 3x3 casillas. En cada casilla se colocan 1, -1 o sólo un
0. En seguida hacemos lo siguiente:
(a) Para cada una de las filas (
componen, obteniendo los valores
(b) Para cada una de las columnas (
componen, obteniendo los valores
), calculamos la suma de los números que la
.
), calculamos la suma de los números que la
.
(c)
(d)
Problema 2.
Se tienen 2 rectas: L y L’ , con L || L’ . En L marcamos 2 puntos A, B de manera que si miramos
los puntos de izquierda a derecha aparezcan en el orden A-B; y en L’ hacemos lo mismo, pero
con los puntos C, D . Si AD ∩ BC = O, encuentre la relación entre las áreas AOC y BOD.
Quinta fecha
Problema 1.
Dos amigas, Ximena y Loreta, se juntan para ir a trotar en una pista circular y corren durante
una hora. Al empezar a correr una de ellas corre en un sentido y su amiga corre en el otro
sentido. Al finalizar la hora se dan cuenta que Ximena dio 15 vueltas a la pista y que Loreta dio
10 vueltas a la pista. Señale ¿Cuantas veces se encontraron de frente durante esa hora?
Problema 2.
Dada la siguiente figura, en la cual a+b=x pruebe que b-a=4
Sexta fecha
1. Sea ABCD un cuadrado. Dentro de este elegimos un punto P, de modo que se forman los
triángulos PAB, PBC, PCD y PAD. Si los triángulos PAB y PCD se colorean de negro y los
triángulos PBC y PAD de blanco, determine la relación que hay entre las áreas pintadas de
blanco con las pintadas de negro.
2. Pedrito midió el largo del terreno de su tío con pasos de 54 cm. Después midió el tío con
pasos de 72 cms. siguiendo el mismo recorrido de Pedrito. Quedaron marcados en total 60
pisadas, pero a veces la marca correspondía a 2 pisadas, una de Pedrito y una de su tío. ¿Cuál
es el largo del terreno?.
Séptima fecha (recuperativa)
Cmat 2005
Primera fecha
Cmat 2006
Primera fecha
1.- Considere una sucesión de "F" (efes mayúsculas) construidas con palitos de fósforo, de la
cual se muestran los tres primeros términos:
Encuentre el número de palitos de fósforo para construir la figura 2006
2.-En la siguiente figura, encuentre el valor de la suma
Segunda fecha
(1) Una pieza de dominó es una fila con dos números, no necesariamente distintos, del
conjunto {0,1,2,3,4,5,6} a cada pieza de dominó asociamos la suma de los dos números
que contiene, por ejemplo:
¿Cuánto vale la suma de todos los números asociados a las fichas de dominó?
(2) Se tiene la siguiente sucesión de triángulos. Encuentre el valor de N.
Cuarta fecha
Cmat 2007
Primera fecha
(1)
(a) Considere el número N = 100000000002 que tiene 10 ceros en su escritura. ¿Cuál es
la suma de los dígitos del resultado de dividir ese número por 3?.
(b) Considere ahora el número N = 1000 · · · 002 que tiene 2007 ceros en su escritura
¿Cuál es la suma de los dígitos del resultado de dividir ese número por 3?.
(2) En la figura se muestra un cuadrado ABCD, y dos triángulos equiláteros ABE y ADF. Usando
el hecho de que la longitud de AB es 1, calcule el área del triángulo FED.
Segunda fecha
(1) Dos jugadores: A y B, participan de un juego sobre un tablero cuadriculado de 2n filas y 2n
columnas, con las siguientes reglas:
A y B juegan por turnos, alternadamente. A tiene el primer turno.
En cada uno de sus turnos, A elige n casillas vacías, y escribe una × en cada una de ellas.
En cada uno de sus turnos, B elige una casilla vacía, y escribe una en ella.
Gana el jugador que llena una fila o una columna con sus símbolos.
a) Si n = 3, describa paso a paso la estrategia que debe seguir A para ganar en su cuarto turno
o antes, cualesquiera sean las jugadas de su contrincante B.
b) Ahora, para un tablero de 2n × 2n casillas, describa la estrategia que debe seguir A para
ganar en su turno n + 1 o antes, cualesquiera sean las jugadas de su contrincante B.
(2) Cristián construyó una máquina para pintar las líneas de una ciclo vía que funciona de la
siguiente manera:
En el principio de la ciclo vía se coloca un tambor grande lleno de pintura. El estanque de la
máquina tiene capacidad para pintar sólo un kilómetro por lo que la máquina debe volver, luego
de pintar cada kilómetro, al punto inicial y rellenar el estanque. Es así que la máquina pinta su
primer kilómetro y vuelve a rellenarse de pintura. Avanza hasta el último punto que pintó y pinta
su segundo kilómetro, vuelve al inicio y así sucesivamente.
Suponga que el abastecimiento toma tiempo cero y que la máquina se mueve siempre a un
kilómetro por minuto. Además, suponga que la máquina puede trabajar sólo 100 minutos por día
y al cumplir este tiempo se detiene y al siguiente día retoma su recorrido en el lugar donde
quedó detenida el día anterior.
a) ¿Cuántos kilómetros pinta la máquina el primer día?
b) ¿Cuántos kilómetros pinta la máquina el segundo día?
c) ¿Cuál es el primer día en que la máquina pinta sólo 2 kilómetros?
Tercera fecha
Cuarta fecha
Quinta fecha (recuperativa)
Cmat 2008
Primera fecha
1. Las abejas machos (zánganos) nacen de huevos no fecundados, es decir, solo tienen
madre. Las abejas hembras nacen de huevos fecundados, lo que significa que poseen
madre y padre.
¿Cuántos antecesores tiene un zángano en la décima generación anterior a él?
2. Un
-
A
A
A
A
A
A
7
5
3
2
2
2
grupo
de
de
de
de
de
de
de
le
le
le
le
le
le
ellos
ellos
ellos
ellos
ellos
ellos
amigos
tienen
los
siguientes
gustos
para
tres
gusta matemática.
gusta educación física.
gustan matemática y educación física, pero no historia.
gusta solo historia.
gustan los tres ramos.
gustan historia y matemática, pero no educación física.
(i) ¿A cuántos les gusta solo matemática?
(ii) ¿A cuántos les gusta solo educación física?
(iii) ¿Cuántos amigos son en total?
asignaturas:
Segunda fecha
1. Sea un número de 3 cifras
existen
combinaciones posibles de números de 3 cifras
ocupando los mismos dígitos
. Sea
igual a la suma de los 3
dígitos que forman el número.
Demostrar que la suma de los
términos formados por estos dígitos es divisible por
. ¿Cuánto
da el resultado de ésta división?
2. Para ir a la casa de su abuela, Margarita, Camilo hace siempre el mismo recorrido, como se
muestra en la figura. El punto
corresponde a la casa de Camilo y el punto
abuela. Se tiene que
y
. y
a la casa de su
. En el trayecto
son semicircunferencias. La primera de radio metros y la segunda de dos metros.
Calcule
la
distancia
recorrida
por
Camilo
para
llegar
a
la
casa
de
su
abuela.
Calcule la distancia entre las casas de Camilo y la de su abuela.
Tercera fecha
1. Angela y Jorge quieren poner un negocio de venta de chocolates. Por esto compraron
chocolates de la misma marca y los repartieron en partes iguales. Angela decide vender
chocolates en
y Jorge quiere vender en
.
Ellos le piden al buen Germán, amigo de ambos, que venda los chocolates respetando
los precios indicados.
Germán pensó que si vendía simultáneamente 3 chocolates en
nadie compraría los de Angela por ser mas caros.
y 3 en
Por esto a Germán se le ocurrió una brillante idea. Si 3 chocolates valen
y 3
chocolates valen
entonces cinco cuestan
.
Por lo tanto decidió vender chocolates en
.
Y así vendió los
chocolates que Angela y Jorge le confiaron.
Al final del día Angela fue en búsqueda de sus
que le correspondían por la venta
de sus
chocolates y Jorge sus
. Entonces Germán debía tener en su poder
, pero al contar el dinero se dió cuenta que sólo tenía
.
Explique por qué se produce esta diferencia de
.
2. En una paralelógramo
prolongamos
. Análogamente prolongamos
, como se muestra en la figura.
Demostrar que
Cuarta fecha
Sexta fecha
y
son colineales.
determinando punto
determinando un punto
tal que
tal que