les llama miembros o elementos del conjunto. Un conjunto se... Los libros de una biblioteca 1.2. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO

FUNDAMENTOS DE LA PROBABILIDAD
UNIDAD I
1.2. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
Conjuntos
Conjunto Es un grupo, una colección o una lista de objetos, a esos elementos se
les llama miembros o elementos del conjunto. Un conjunto se puede formar con:
Los libros de una biblioteca
Los alumnos de una escuela
Los colores del arco iris
Las vocales del alfabeto
Los días de la semana.
Un conjunto debe estar bien definido, es decir, podrá determinarse si un elemento
dado pertenece o no al conjunto. De esta manera, si el conjunto está formado por
las estaciones del año, entonces primavera es un elemento del conjunto, pero
junio no lo es.
Se ha convenido representar a los conjuntos con letras mayúsculas y a los
miembros con las letras minúsculas.
Un conjunto vacío, es el conjunto sin elementos que se denota por  ó { }, por
ejemplo supóngase que en un grupo escolar la lista de los alumnos , ordenada
alfabéticamente por apellidos, inician con la letra P y terminan con la letra Z, si
queremos formar el conjunto A con los alumnos del grupo cuyo apellido empiecen
con la letra A, no tiene elementos =  = { }
Un conjunto unitario es un conjunto que tiene un solo elemento. Por ejemplo, el
conjunto del satélite natural de la tierra = {luna}
Diagramas de Venn
La unión de dos eventos es el evento que esta formado por todos los resultados
contenidos en cualquiera de los dos eventos. La unión se denota por E 1 U E2
La intersección de dos eventos es el evento que esta formado por los resultados
contenidos en ambos eventos. La intersección se denota E1 ∩ E2
El complemento de un evento en un espacio muestral es el conjunto de los
resultados en el espacio muestral que no están en el evento. Este componente del
evento E se denota por E’.
Los diagramas se utilizan con frecuencia para representar las relaciones entre
conjuntos, y también son muy útiles para describir relaciones entre eventos. Los
diagramas de Venn pueden emplearse para representar un espacio muestral y los
eventos contenidos en éste
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UNIDAD I
Dos eventos E1 y E2 que no tienen resultados en común tienen una relación
importante. Dos eventos E1 y E2, tales que E1 ∩ E2 = , se dice que son
mutuamente excluyentes. Un evento E y su complemento E’, siempre son
mutuamente excluyentes.
Ejemplos
1. El espacio muestral de un experimento aleatorio es
S = AA, AN, NA, NN  . Si E1= {AA, AN, NA} y E2 = {AN, NA, NN}.
Calcular y representar mediante los diagramas de Venn:
E1 U E2 =
E1 ∩ E2 =
E1’ =
E2’ =
2. Sea el conjunto universal U  a ,b,c , d ,e, f , g
A  a ,c ,e, g B  d , f , gy C  b,e, f , g.
Calcular y representar mediante los diagramas de Venn:
a) A  C =
b) B  A =
c) B  C =
d) B  A
y los
subconjuntos,
Ejemplo 2.9 (libro: Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería.
Montgomery y C. Runger pág. 53) Se analizan muestras de policarbonato plástico
para determinar su resistencia a las rayaduras y a los golpes. A continuación se
presenta el resumen de los resultados obtenidos con 49 muestras:
Resistencia a las rayaduras
Resistencia a los golpes
alta
baja
Alta
40
4
Baja
2
3
Sean A: el evento “la muestra tiene una alta resistencia a los golpes”, y B: el
evento “la muestra tiene una alta resistencia a las rayaduras”. Determine el
número de muestras en A∩B, A’, B’, AUB, A’∩B, A’UB, dibujando el diagrama de
venn para cada uno.
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UNIDAD I
Ejemplo 2-22. Se analizan los discos de policarbonato plástico de un proveedor
para determinar su resistencia a las rayaduras y a los golpes. A continuación se
resumen los resultados obtenidos al analizar 100 muestras.
Resistencia a las rayaduras
Resistencia a los golpes
alta
baja
Alta
80
9
Baja
6
5
Sean A: el evento donde el disco tiene una alta resistencia a los golpes, y B el
evento donde el disco tiene una alta resistencia a las rayaduras. Determine el
número de discos en A B, A’, y AUB. Dibuje un diagrama de Venn para estos
datos.
Tarea: resuelve del libro: Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería.
Montgomery y C. Runger pág. 60 y 61, los ejercicios: 2-23 y 2-24
Técnicas de conteo
Diagrama de árbol
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta
de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser
llevado a cabo.
Ejemplos:
1.- Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes
opciones con que cuenta: auto convertible, auto de dos puertas, y auto de 4
puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar ¿Cuántos diferentes
arreglos de autos y rines puede ofrece el vendedor?
2. Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o
femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea
(Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas
clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico.
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2. En la prueba de tarjetas de circuito impreso. Cada tarjeta pasa o no pasa la
prueba. En una tarjeta que no pasa la prueba se hace una verificación adicional. Si
se representan cinco pruebas. Representa mediante un diagrama de árbol espacio
muestral de este experimento.
3. Un sistema de comunicación digital, cada mensaje se clasifica según llega o no
dentro del tiempo establecido por el diseño del sistema. Si se clasifican tres
mensajes, utilice un diagrama de árbol para representar el espacio muestral de los
posibles resultados.
Notación factorial
Notación factorial: es el producto de n entero positivo hasta 1
n! =n (n-1)*(n-2)*(n-3)*….*3*2*1
En algunos problemas de matemáticas se nos presentan multiplicaciones de
números naturales sucesivos tal como: 4 x 3 x 2 x 1 = 24; 3 x 2 x 1 = 6; 2 x 1 = 2.
Para abreviar estas expresiones, se usa una notación especial llamada notación
factorial y nos denota las multiplicaciones sucesivas de n hasta 1 y se define
como:
4 x 3 x 2 x 1 = 4!
Se lee “cuatro factorial”
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UNIDAD I
3 x 2 x 1 = 3! Se lee “tres factorial”
En términos generales:
n(n-1)(n-2)…x 2 x 1 = n! Se lee “n factorial”
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