Demostración matemática - Facultad de Ciencias Matemáticas

Capítulo 2. Demostración matemática.
El propósito de este capítulo es describir y ejercitarse en algunas de las técnicas de demostración más importantes: la demostración directa, la demostración indirecta, la demostración por contraposición y la demostración por reducción al absurdo.
Cuando veamos las características de cada uno de estos métodos, podremos ver con
cierta claridad cuándo es uno de ellos preferible a los otros. Empecemos estudiando
conjuntamente los dos primeros: demostración directa y demostración indirecta.
Los métodos de demostración directa e indirecta
Cuando quieres probar que la proposición “Si A entonces B” es verdadera, lo primero
que tienes que hacer es reconocer quién es la proposición A y quién es B. Por lo general,
todo lo que está entre las palabras “si” y “entonces” constituye la proposición A, y todo
lo que está después de “entonces”, la B.
Otra forma de reconocerlo: todo lo que supones que es cierto, o sea, la hipótesis, es A y
todo lo que tienes que probar que es cierto, o sea, la tesis, es B.
Consideremos el siguiente ejemplo:
Proposición: Si el triángulo rectángulo XYZ de catetos x e y e hipotenusa z tiene de área
z2
X
, entonces es isósceles.
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z
y
Z
x
Y
En este ejemplo tenemos las proposiciones A “El triángulo rectángulo XYZ de catetos
z2
x e y e hipotenusa z tiene de área
” y B “ El triángulo rectángulo XYZ es isósceles”.
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Si recuerdas los ejercicios que has hecho en el capítulo 1 en el apartado «Algo sobre la
proposición “Si A entonces B”», cuando quieres probar que “A implica B”, puedes suponer que A es verdadera y usar de alguna forma esta información para concluir que B
es verdadera.
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El método de demostración indirecta
En el método de demostración indirecta, debes empezar preguntándote: “¿Cómo, o
cuándo, debo concluir que la proposición B es verdadera?” Esta pregunta debes hacerla
de forma general. En el ejemplo anterior, pongamos por caso, la pregunta (general) es:
“¿Cómo puedo probar que un triángulo es isósceles?”
Esta pregunta, obtenida de la proposición B, la llamaremos en lo que sigue la pregunta
clave. Una pregunta clave bien planteada no debería contener ni símbolos ni otras notaciones (salvo números) del problema que se está considerando. La llave para muchas
demostraciones es formular correctamente la tal pregunta clave.
Una vez que has planteado la pregunta clave, tu paso siguiente en este método será responderla. Volviendo al ejemplo anterior, ¿cómo puedo probar que un triángulo es isósceles? Obviamente, una forma es probando que dos de sus lados tienen la misma longitud. Considerando nuestra figura, deberías probar que x  y. Observa que en la respuesta
a la pregunta clave hay dos fases: en primer lugar, das una respuesta general que no
contiene símbolos del problema planteado: demostrar que un triángulo es isósceles, es
demostrar que dos de sus lados tienen igual longitud. Luego, aplicas esta respuesta a la
situación en cuestión: demostrar que dos de sus lados tienen igual longitud, significa
demostrar que x  y (no que x  z ó y  z).
Con el método de demostración indirecta, has construido una nueva proposición, B1,
que tiene la propiedad de que si puedes demostrar que B1, es verdadera, entonces B lo
será. En nuestro ejemplo, la nueva proposición es B1: x  y.
Si puedes probar que x  y, entonces el triángulo XYZ es isósceles. Una vez que has
planteado la proposición B1, todos tus esfuerzos deberían dirigirse a intentar llegar a la
conclusión de que B1 es verdadera, pues entonces seguiría que B es verdadera. ¿Cómo
puedes demostrar que B1 es verdadera? ¿Cómo puedes plantear una nueva pregunta clave para B1?
Puesto que x e y son longitudes de dos lados de un triángulo, una pregunta clave razonable podría ser “¿cómo puedo probar que las longitudes de dos lados de un triángulo
son iguales?”. Otra, igualmente razonable, sería “¿cómo puedo probar que dos números
reales son iguales?” Al fin y al cabo, x e y son números reales.
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Una de las dificultades que pueden surgir en el método de demostración indirecta es la
posibilidad de más de una pregunta clave en algún paso. Elegir la correcta tiene más de
arte que de ciencia. En algunos casos, habrá solamente una pregunta clave obvia; en
otros casos, deberás proceder por ensayo y error. Aquí es donde tu intuición, esfuerzo,
creatividad, tus diagramas, etc., pueden jugar un papel importante. Una norma general,
es dejar que la información que encierra A (que estás suponiendo cierta) te ayude a elegir la tal pregunta. Al margen de la pregunta clave que finalmente plantees, el siguiente
paso será responderla, primero en general y luego aplicada a la situación en cuestión.
¿Puedes hacer esto para las dos preguntas clave que supuestamente has planteado para
B1? Para la primera, podrías demostrar que dos lados de un triángulo tienen igual longitud, probando que los ángulos opuestos son iguales. En nuestro triángulo significaría
probar que los ángulos X e Y son iguales. Un rápido examen de la proposición A nos
hace ver que no aporta mucha información sobre los ángulos del triángulo XYZ. Así
pues, debemos elegir la otra pregunta clave.
Ahora estás ya frente a la pregunta “¿Cómo puedo probar que dos números reales (a
saber, x e y) son iguales? Una respuesta es probar que su diferencia es cero. Desafortunadamente hay otra respuesta perfectamente razonable: demostrar que el primer número
es menor o igual que el segundo y que el segundo es menor o igual que el primero. Así
pues, surge una segunda dificultad en el método de demostración indirecta: puedes, incluso, elegir bien la pregunta clave pero puede haber más de una respuesta para ella. Por
otra parte, puedes incluso elegir una respuesta que impida completar la demostración.
Por ejemplo, para la pregunta clave “¿Cómo puedo demostrar que un triángulo es isósceles?” estaría la respuesta “Demostrando que es equilátero”. Como puedes observar, es
imposible demostrar que el triángulo de nuestro ejemplo es equilátero, pues uno de sus
ángulos es recto.
Volviendo a la pregunta clave asociada a B1 “¿Cómo puedo demostrar que dos números
reales (a saber, x e y) son iguales”, supón, por razones que seguro ya estás viendo, que
eliges la respuesta de probar que su diferencia es cero. Has vuelto, en el método de demostración indirecta, a construir una nueva proposición B2 con la propiedad de que si
puedes probar que B2 es verdadera, así lo será B1 y, por tanto, también B. Concretamente, la nueva proposición B2 es
B2: x  y  0.
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Todos tus esfuerzos deben ahora dirigirse a llegar a la conclusión de que B2 es verdadera. Deberás, en último lugar, hacer uso de la información de A pero, de momento, continuemos una vez más con el método de demostración indirecta aplicado a B2.
Una pregunta clave asociada a B2 sería: ¿Cómo puedo probar que la diferencia de dos
números reales es cero? Después de alguna reflexión, parece que no hay una respuesta
razonable a esta pregunta. Un nuevo problema surge en el método de demostración indirecta: ¡La pregunta clave aparentemente no tiene respuesta! No hay que desanimarse; no
todo está perdido. Recuerda que cuando quieres probar “A implica B”, debes suponer
que A es verdadera. Es ahora el momento de hacer uso de ello.
El método de demostración directa
El método de demostración directa parte de la proposición A, que supones verdadera, y
deducir de ella una nueva proposición A1 que puedas ver que es verdadera como resultado de que A lo es. Es importante resaltar que las proposiciones deducidas de A no deben ser hechas de cualquier modo, deben estar enfocadas hacia la última proposición
obtenida en el método indirecto. Volviendo a nuestro ejemplo, recordemos que la última
proposición obtenida en el método indirecto era B2 : x  y  0.
En este ejemplo, la proposición A es “ El triángulo rectángulo XYZ de catetos de longiz2
tud x e y e hipotenusa de longitud z, tiene por área
”.
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Como bien sabes, de A deducimos
A1:
xy z 2

2
4
Otra proposición útil deducida de A es
A2: x2  y2  z2.
Naturalmente que podemos combinar A1 y A2 y construir más proposiciones verdaderas. Así, en nuestro caso, tendríamos
A3:
xy x 2  y 2

.
2
4
4
Uno de los problemas de este método es que es también posible construir algunas proposiciones carentes de utilidad, por ejemplo: “El ángulo X es menor de 90º”.
Como no hay normas específicas para construir nuevas proposiciones, tengamos presente que, en nuestro caso, el método de demostración directa está dirigido a probar la proposición B2: x  y  0, que fue la última que dedujimos en el método de demostración
indirecta. El hecho de que B2 no contenga el número z es la razón por la que hemos eliminado z2 de A1 y A2 para construir A3.
Continuando con el método de demostración directa, debes intentar volver a escribir A3
para que se parezca más a B2. Por ejemplo
A4: x2  2xy  y2  0, que factorizándola da A5: (x  y)2  0.
Es interesante hacer notar que el método de demostración directa nos ha dado una respuesta a la pregunta clave que habíamos asociado con B2: “¿Cómo puedo demostrar que
la diferencia de dos números reales es cero?”, que, en este caso, sería demostrando que
el cuadrado de su diferencia es cero.
Como ves, normalmente mezclamos los dos métodos vistos. Un resumen de nuestra
demostración podría ser:
Proposiciones
Justificaciones
z2
A: Área de XYZ es
4
Dado
xy z 2

A1:
2
4
Área 
A2: x2  y2  z2
Teorema de Pitágoras
A3:
xy x 2  y 2

2
4
base  altura
2
De A2 y A1
A4: x2  2xy  y2  0
De A3
A5: (x  y)2  0
Factorizando A4
B2: x  y  0.
De A5
B1 : x  y
De B2
B: XYZ es isósceles
De B1
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Como te habrás dado cuenta, no es normal escribir todos estos pasos en una demostración; suelen aparecer versiones mucho más condensadas. Por ejemplo, en nuestro caso,
aparecería algo así como
Demostración. La hipótesis, junto al teorema de Pitágoras, nos lleva a x2  y2  2xy, de
donde (x  y)2  0 y el triángulo es isósceles como queríamos probar.
El método de demostración por reducción al absurdo
Aunque hayas creído por un momento que el método de demostración que acabas de
ver, demostración directa-indirecta, te va a resolver casi cualquier tipo de demostración
que te aparezca, existen casos muy simples donde fracasa estrepitosamente. Por ejemplo:
Proposición: Si n es un entero positivo y n2 es par, entonces n es par.
Si pensamos en el método de demostración indirecta, empezamos con la pregunta clave:
“¿Cómo puedo demostrar que un entero (a saber, n) es un número par? Una respuesta
sería demostrar
B1: Existe entero k tal que n  2k.
La aparición del cuantificador existe sugiere proceder mediante un método de construcción, de forma que usaremos el método directo de demostración para intentar construir el entero buscado k.
Trabajando así, de la hipótesis de que n2 es par, podemos afirmar
A1: Existe un entero, digamos m, tal que n2  2m.
Como nuestro objetivo es encontrar el entero k para el que n  2k, parece natural tomar
la raíz cuadrada positiva de los dos términos en A1 y escribir:
A2: n  2m y ¿cómo volver a escribir ahora
2m para que se parezca a 2k? ¡Parece
que el método de demostración directa-indirecta falla aquí!
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Afortunadamente existen otras técnicas de demostración. Una de ellas, el método de
demostración por reducción al absurdo es la que vamos ahora a ver, junto con unas
indicaciones de cuándo y cómo debe utilizarse.
En el método de demostración de reducción al absurdo, debes empezar suponiendo que
A es verdadera, al igual que hacías en el método de demostración directa. Ahora, sin
embargo, para llegar a la conclusión buscada, a saber, que B es verdadera puedes proceder haciéndote una pregunta muy simple: “¿Por qué no puede B ser falsa?”
Después de todo, si B tiene que ser verdadera, debe haber alguna razón por la que no
pueda ser falsa. El objetivo del método de demostración por reducción al absurdo es,
precisamente, descubrir esa razón.
En otras palabras, la idea de la demostración por reducción al absurdo es suponer que A
es verdadera y B falsa y ver que no puede ocurrir esto.
¿Y qué significa “ver por qué no puede ocurrir esto”? Supón, por ejemplo, que después
de suponer que A es verdadera y B falsa (en lo que sigue escribiremos no B) eres capaz
de demostrar que 1  0. ¿No te convencería eso de la imposibilidad de ser A verdadera y
B falsa simultáneamente?
Así pues, en una demostración por reducción al absurdo, debes suponer que A y no B
son verdaderas y usar esta información para llegar a una contradicción de algo que tú
estás seguro de que es verdadero.
Una vez llegados aquí surgen, de forma natural, varias preguntas:
1.
¿Qué contradicción debemos buscar?
2.
¿Cómo utilizar exactamente la suposición de que A es verdadera y B falsa para llegar a esa contradicción?
3.
¿Por qué y cuándo debemos utilizar este método en lugar del de demostración directa-indirecta?
La primera pregunta es, con mucho, la más difícil de responder, porque no hay normas
específicas. Cada problema origina su propia contradicción, hay normalmente que tener
creatividad, esfuerzo, persistencia ... y suerte para llegar a esa contradicción.
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Respecto de la segunda pregunta, el método más normal para llegar a una contradicción
es trabajar conjuntamente, mediante demostración directa, partiendo de que A y no B
son verdaderas. Esta última observación también puede indicar la conveniencia de usar
a veces el método de demostración por reducción al absurdo en lugar del de demostración directa-indirecta: mientras que en este último, supones únicamente que A es verdadera, en el método de reducción al absurdo supones que tanto A como no B son verdaderas. Así pues, tienes dos proposiciones para empezar a andar en vez de una sólo. Como
contrapartida no tienes una idea exacta de cómo va a surgir la contradicción.
Como regla general, utiliza el método de demostración por reducción al absurdo cuando
la proposición no B te dé alguna información útil. Hay al menos dos casos fácilmente
reconocibles en los que esto ocurre: Recuerda la proposición B asociada a nuestro ejemplo del comienzo: “n es un entero par”. Puesto que un entero solamente puede ser par o
impar, cuando supones que B no es verdadera, debe ocurrir que n es un entero impar.
Aquí, la proposición no B te da alguna información útil.
En general, cuando la proposición B es una de dos posibles alternativas (como ocurre en
nuestro ejemplo), el método de demostración por reducción al absurdo puede ser útil, en
tanto que, suponiendo no B, sabes que ocurre la otra alternativa.
Un segundo caso en el que el método de demostración por reducción al absurdo puede
tener éxito es aquel en el que la proposición B contiene la palabra no, como se muestra
en el ejemplo más clásico y más hermoso de demostración por reducción al absurdo que
verás en el problema 2-28:
Proposición: Si r es un número real tal que r2  2, entonces r no es racional.
Uno de los matemáticos más importantes de este siglo, el inglés G.H. Hardy, decía que
“el método de reducción al absurdo, que tanto complacía a Euclides, es una de las armas
más finas que puede emplear un matemático. Es un gambito mucho más hermoso que
cualquiera de los que pueda ofrecernos el juego del ajedrez. Un jugador de ajedrez puede sacrificar un peón o incluso una pieza, pero un matemático sacrifica la partida completa”.
Otros casos en los que es útil el método de demostración por reducción al absurdo son
aquellos en los que la proposición B contiene el cuantificador existe. Con el método de
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construcción tenemos la dificultad de tener que construir el objeto buscado. El método
por reducción al absurdo abre ahora un nuevo enfoque. En lugar de demostrar que existe
un objeto con la propiedad de que tal cosa ocurre, ¿por qué no proceder con la suposición de que no existe tal objeto? Nuestra tarea sería ahora usar esta información para
llegar a algún tipo de contradicción. El cómo y dónde va a surgir la contradicción puede
no estar claro pero puede resultar mucho más fácil que construir el objeto buscado.
Considera el siguiente ejemplo: Supón que quieres demostrar que en una fiesta con 367
personas, al menos hay dos con el mismo cumpleaños. Si usas el método de construcción, tendrías que ir a la fiesta y encontrar las dos personas en cuestión. Supón, por el
contrario, que no hubiera ningún par de personas con el mismo cumpleaños e intenta
llegar tú solo a una contradicción.
La demostración por contraposición
Acabamos de ver que en el método de demostración por reducción al absurdo, partes de
las proposiciones A y no B y, por demostración directa, intentas alcanzar algún tipo de
contradicción. La dificultad de este método es que no sabes a qué contradicción te vas a
dirigir. El método que veremos ahora, la demostración por contraposición, tiene la ventaja de que te vas a dirigir hacia una contradicción concreta.
En la demostración por contraposición, al igual que la demostración por reducción al
absurdo, supones que tanto A como no B son verdaderas. En el método por contraposición, sin embargo, no partes de A y no B, sino que empiezas a trabajar solamente con
no B y tu objetivo es llegar a que A es falsa, con lo que ya has llegado a una contradicción ¿Qué mejor contradicción? ¿Cómo puede ser A a la vez verdadera y falsa?
Intenta demostrar por contraposición la siguiente proposición:
Proposición: Si m y b son números reales con m  0, entonces la función f (x)  mx  b
es inyectiva. (Recuerda que una función es inyectiva si para cualesquiera nos reales x e y
con x  y es f (x)  f (y)).
Hemos dicho que la demostración por contraposición es un cierto tipo de demostración
por reducción al absurdo. Cada uno de estos dos métodos tiene sus ventajas y sus in9
convenientes. La desventaja del método de demostración por contraposición frente al de
reducción al absurdo consiste en que en aquél partes de una sola proposición, no B, en
lugar de dos. La ventaja es que sabes exactamente a donde quieres llegar, a no A, con lo
que puedes aplicar el método de demostración indirecta a la proposición no A. La opción de trabajar con demostración indirecta no es aplicable en el método por reducción
al absurdo pues no sabes qué contradicción estás buscando.
Si comparas el método de demostración directa-indirecta (A implica B) con el de contraposición (no B implica no A) observarás que tienen la misma estructura y, por tanto,
no hay, en principio, razones aparentes para preferir uno a otro.
Hay, sin embargo, algunos casos en los que el método de contraposición o el de por
reducción al absurdo deberían elegirse o, al menos, considerarse seriamente. Son aquellos en los que en la proposición B aparece la palabra no, pues, en estos casos, es bastante normal que la proposición no B contenga alguna información útil.
Para terminar, he aquí un cuadro que resume los tres métodos:
Método
Demostración directa-indirecta
Reducción al absurdo
Contraposición
Supongo
A
A y no B
no B
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Concluyo
directa
...
directa
...
directa
...
Indirecta

B
contradicción
Indirecta
no A