MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

LAS INTEGRALES: CÓMO DISTINGUIR SI SON O
NO INMEDIATAS Y, EN SU CASO, ELEGIR EL
MÉTODO DE INTEGRACIÓN ADECUADO
Una condición indispensable para poder integrar es dominar la derivación,
Otro aspecto a destacar son las relaciones entre las razones trigonométrica
que nos ayudarán a realizar transformaciones en algunos integrandos.
CONCEPTO DE INTEGRACIÓN
Integrar una función f(x) es encontrar otra función F(x), llamada primitiva,
cuya derivada debe ser la función que queremos integrar: D(F(x)) = f(x). Se
trata por tanto de buscar una función que al derivarla nos de la función de
la que partimos, aplicando las reglas de derivación en sentido inverso. De ahí
la necesidad de dominar la derivación.
Aquellas integrales que se puedan resolver aplicando la definición de
primitiva se denominan INTEGRALES INMEDIATAS.
El segundo requisito para dominar la integración es saber distinguir una
integral inmediata de la que no lo es. Veamos algunos ejemplos.
a)
∫2cosx dx = 2 sex
c)
∫Lx dx
e)
∫2 e dx = 2.e
x
b)
d)
x
f)
∫e
x
· cosx dx
∫Lx/x dx= (Lx) /2
2
∫e
x
· x2 dx
Si observas con detenimiento estos ejemplos te darás cuenta que las
integrales a), d) y e) son inmediatas, mientras que para las demás no podrás
encontrar una primitiva sin aplicar algún método de integración.
A continuación, presentamos algunos ejemplos más. Fíjate en las pequeñas
transformaciones que se realizan.

∫5x· cos(x²+3) dx = 5/2∫2 x·cos(x²+3) dx = 5/2 sen (x²+ 3)
1

∫5x/ √1 + x²
dx = 5
∫x/(1 + x²)½
dx = 5 √(1+ x²)
Es importante prestar atención a las integrales cuyo integrando es
racional. El primer paso será observar la relación entre el grado del
numerador y del denominador. Si el del primero es superior será necesario
realizar la división de polinimios y expresar el radicando como C(x) +
R(x)/D(x). El cociente será una integral inmediata y se continuará con la
fracción.
La integral de integrando fraccionario será de tipo logarítmico si en el
numerador encontramos la derivada del denominador, de tipo potencial si el
denominador es una potencia y en el numerador encontramos la derivada de
la base o de tipo arcotangente si en el numerador encontramos la derivada de la expresión
que en el denominador está elevada al cuadrado.
∫2x / x + 1 dx = 2 ∫x / x + 1 dx = 2/3 Lx + 1
∫x / x + 1 dx = 1/3 arctg x
 ∫2x / (x + 1) dx = 2∫x / (x + 1) dx= - 2/15 (x + 1)
∫3x + x -10x + 1/ x - x - 2 dx = ∫(3x + 4) dx + ∫9/ x - x - 2 dx
2

2

2
2
3
6
2
3
3
3
3
3
5
2
3
5
2
3
4
2
Si no se trata de ninguno de estos casos, como la última integral
presentada, se observa si el denominador se puede descomponer. En este
caso se aplicara el método de descomposición del integrando en fracciones
simples. En caso contrario, se tratará de una integral tipo arcotangente o neperianoarcotangente.
Para resolver una integral tipo arcotangente o neperiano-arcotangente se pueden aplicar
fórmulas que se pueden deducir con facilidad:
∫ 1/ a²+x² dx = 1/a arctg x/a
∫ Df(x)/ a²+ (f(x))² dx = 1/a arctg f(x)/a

∫ 1/ 9 +x² dx = 1/3 arctg x/3

∫ 1/ x²+ x+1 dx = 4∫ 1/ (2x+1)²+3 dx = 2 3 /3arctg 2x+1/

∫ 2x+7/ x²+x+1 dx = ∫ 2x+1/x²+x+1 dx + ∫ 6/ x²+x+1 dx =
3
2
Lx2+x+ 1+ 12 3 /3arctg 2x+1/
3
METODOS DE INTEGRACIÓN
DESCOMPOSICIÓN DEL INTEGRANDO EN FRACCIONES SIMPLES:
Tras descomponer el denominador, podemos encontrarnos diferentes
situaciones:
a) p(x)/ q(x) = A/x-a + B/x-b + C/x-c … (factor lineal y simple)
b) p(x)/q(x) = … +
P/(x-p)² + Q/(x-p)
c) p(x)/q(x) = ... + Mx+n/ax² +bx +c
+ ...
( factor lineal doble)
( factor cuadrático)
Este método se utiliza para descomponer la integral en una suma o resta de
integrales inmediatas.

∫
3x+5/ x³-x²-x+1 dx
1º-> Descomposición en factores del denominador
x³– x²– x + 1 = (x+1) (x-1)²
2º-> Descomposición en fracciones simples del integrando.
3x + 5/ x³-x²-x+1 = A/(x+1) + B/(x-1)2 + C/(x-1)
3º-> Al multiplicar ambos miembros de la igualdad por el denominador
descompuesto en factores, obtenemos:
3x + 5 = A (x – 1)² + B (x + 1) + C (x + 1)(x – 1)
4º-> Los valores de A, B y C se obtienen dando los valores de las raíces (por
comodidad) y el cero.
[x=1]
3x + 5 = A (x – 1)² + B (x + 1) + C (x + 1)(x – 1)
3(1)+5 = A (1 – 1)² + B (1 + 1) + C (1 + 1)(1 – 1)
8=2B
[B=4]
3
[x=-1]
[x=0]
3(-1)+5 = A (-1 – 1)² + B (-1 + 1) + C (-1 + 1)(-1 – 1)
2= 4A
[A= 1/2]
3(0)+5 = A (0 – 1)² + B (0 + 1) + C (0 + 1)(0 – 1)
5= A + B – C
5= ½ + 4 –C
[C= -1/2]
5º-> Sustituir y resolver
∫3x+5/x³-x²-x+1 dx =
1/2∫1/(x-1) dx + 4∫1/(x-1)²dx – 1/2 ∫1/x-1
dx =
1/2 Lx+1- 4/x+1 – 1/2 Lx-1
Veamos otro ejemplo en el que es necesario realizar la división de polinomios
antes de aplicar el método de integración

∫3x³+ x²– 10x + 1/ x²- x - 2 dx = 1/2∫2·(3x +4)dx
+∫9/ x²- x - 2 dx =
∫9/ x²- x - 2 dx = 1/2 (3x²+4x) + ∫9/(x+1) (x-2) dx
= 1/2 (3x²+4x) + ∫-3/(x+1) dx + ∫3/ (x-2) dx =
1/2 (3x²+4x) +
= 1/2 (3x² + 4x) – 3L|x+1| + 3 L |x-2|
INTEGRACIÓN POR PARTES:
Las integrales que se resuelven aplicando este método son aquellas en cuyo
integrando aparecen:
- Funciones logarítmicas, siempre que no contenga su derivada.
- Arcoseno y arcotangente.
- Producto de funciones que no sean la derivada de una función
compuesta.
4
Para aplicar este método a una parte del integrando se le llama u (logaritmo,
arcoseno,arcotangente..) y al resto dv. A continuación se aplica la siguiente
fórmula:
∫u dv = u·v - ∫ v du . La integral resultante nunca puede ser más
complicada que la de partida.

∫x²· e
u = x²
dv = e2xdx
2x
dx = x²· e²/2 -
∫e
2x
/2 · 2x dx
du = 2x dx
v = e²/2
Siempre que en el integrando aparezca una potencia de x, sele llamará u, a
no ser que nos encontremos con un logaritmo, arcoseno o arcotangente.

∫e
2x
/2 · 2x dx =
∫e
∫2 e
x· e2x/2 - 1/4
u=x
dv = e2x dx

∫e
x dx = x· e2x/2 -
2x
/2 dx =
dx = x· e2x/2 - 1/4 e2x
du = dx
v = e2x/2
∫Lx dx = Lx · x - ∫x · 1/x dx = x Lx - x
u = Lx
dv = dx

2x
2x
∫e
du = 1/x dx
v=x
x
· cosx dx = ex · senx -
∫senx · e
x
dx
En este caso se puede llamar x indistintamente a cualquiera de las dos
funciones.
u = ex
dv = cosx dx
∫senx · e
x
du = ex dx
v = senx
dx = - ex · cosx +
∫cosx · e
x
dx =
5
u = ex
dv = senx dx
∫e
2
x
du = ex dx
v = - cosx
· cosx dx = ex · senx + ex · cosx -
∫e
x
∫cosx · e
x
dx
· cosx dx = ex · senx + ex · cosx
∫e · cosx dx = 1/2 e
x
(senx + cosx)
CAMBIO DE VARIABLE:
Este método es el más complicado de identificar. La condición indispensable
que debe cumplirse es en el integrando debe estar la derivada de la función
a la que llamaremos t.
Se resulten por este método las integrales de radicando irracional que no
sean inmediatas

∫e / e +3e +2 dx= ∫1/ t²+3t+2 dt =
1/3∫1/(t+1)dt - 1/3∫1/(t+2)dt =
x
2x
x
t = ex
dt = ex dt
= 1/3
∫1/(t-1)
∫1/(t-2)
dt – 1/3
dt = 1/3 L|t-1| - 1/3 L |t+2| =
= 1/3 L|ex -1| - 1/3 L|ex +2|

∫x
x  1 dx
t2 = x-1
2t dt = dx
6
INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
Para la resolución de este tipo de integrales es importante conocer las
relaciones trigonométricas más usuales (pag. 372).
Veamos algunos ejemplos

∫tg x dx = ∫tg x tgx dx = ∫(sec x -1)tgx dx = … = tg x/2 +
3
2
2
2
L|cosx|

∫tgx /cosx-1 dx = ∫senx/cosx (cosx-1) dx = - ∫1 /t(t-1) dt = ... =
t = cosx
dt = - senx dx
= - L |t-1| + L |t| = - L |cosx - 1| + L |cosx|

∫sen5x sen3x = ∫cos2x – cos8x/2 dx = 1/4 sen2x – 1/16 sen8x
7