Documento 23088

Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Unidad Culhuacán
Ecuaciones Diferenciales
Apuntes sobre Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogéneas Con Coeficientes Constantes de orden n
(EDL~HCCC orden n)
Trabajo elaborado por los alumnos:
Zarate García Curicaveri
Ocampo Zavala Oscar
Grupo:
25CM
Turno:
Matutino
Profesora:
Ramírez Castellanos Ernestina
Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas con coeficientes constantes de orden n . (EDLNHCC)
En está sección se estudiaran dos métodos para resolver EDLNHCC; y dichos métodos son:
1.− Operadores Diferenciales.
2.− Variación de parámetros.
Iniciaremos con el Método de Operadores Diferenciales.
Recordemos que la derivada ordinaria de toda función real de variable real puede denotarse como:
1
,
donde , se llama operador diferencial, porque transforma una función diferenciable en otra función.
Ejemplos:
1.−
2.−
Es también valido, escribir:
1.− .
2.− .
En general, la derivada n−ésima de una función, puede expresarse como:
Las expresiones polinomiales donde interviene , como , , , también son operadores diferenciales.
Definición de E.D.L.N.H.C.C
Una E.D.L.N.H.C.C. de orden n y grado 1 es una ecuación de la forma:
Donde,
son cantidades numéricas reales.
Identificación de E.D.L.N.H.C.C.
1.−
los coeficientes constantes son .
2.−
los coeficientes constantes son .
3.−
el coeficiente constante es 1, y todos los demás valen cero.
Ahora bien empleando la notación de operados diferenciales, * puede también escribirse como:
de donde:
de aquí, se tiene que la expresión:
es una expresión polinomial donde interviene .
La expresión , recibe el nombre de operador diferencial lineal de orden n y se denota mediante el símbolo . Es
decir,
2
Ejemplos:
Encontrar el operador diferencial lineal correspondiente a cada ecuación diferencial.
1.− .
Empleando operadores diferentes la ecuación 1. puede también escribirse como:
, donde
, de orden 2.
2.−
Esta ec. Puede escribirse como:
, donde
, de orden 5.
3.−
, donde
, de orden 4.
Propiedades de
a) puede factorizarse en operadores diferenciales de orden menor.
Ejemplos:
1.−
2.−
3.−
b) Los factores de pueden conmutarse.
Ejemplos:
1.−
2.−
3.−
El método de operadores diferenciales emplea el concepto de operador anulador, y por consiguiente antes de
pasar a resolver E.D.L.N.H.C.C estudiaremos el concepto de operador anulador, es decir, estudiaremos tres
casos de operadores anuladores, a saber:
3
Caso A.
Si ; con −constante o bien, si es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que
anula a es:
.
Caso B.
Si , o bien es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a es:
Caso C.
Si , o bien ; o bien si es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a
es:
Ejemplo 1. Encuentre un operador diferencial que anule a
Solución:
es una suma de dos funciones reales de variable real, a saber,
y.
• La función corresponde al Caso A, ya que , donde , es decir .
Por lo tanto el operador que anula a es:
• La función corresponde al Caso B, ya que , donde
Por lo tanto el operador que anula a es:
, es decir
.
Como anula a y anula a , entonces el operador que anula a es:
.
Ejemplo 2. Encuentre el operador diferencial que anule a:
Solución:
es una suma de seis funciones reales de variable real.
Los sumandos de pueden agruparse de la siguiente forma, de acuerdo a los casos A, B y C:
, donde:
• La función corresponde al Caso A, ya que es una combinación de algunas de ellas; para conocer el
operador anulador, se considera la potencia con máximo exponente, a saber,
4
.
Por tanto, el operador que anula a es:
• La función corresponde al Caso B, ya que ,
, donde
Por tanto, el operador que anula a es:
, es decir,
• La función corresponde al Caso C, y solo puede considerarse o , porque:
ambas coinciden en las potencias con base en las , las exponenciales son idénticas y los argumentos de seno y
coseno son iguales, o sea:
Por tanto el operador que anula a es:
, es decir,
Como anula a , anula a y anula a , entonces el operador que anula a es:
.
Método de solución para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes
constantes. (E.D.L.N.H.C.C)
Sea:
* , donde
y
Una E.D.L.N.H.C.C de orden n.
La solución general de * es de la forma:
, donde
• es la solución completa de la E.D.L.H.C.C
.
• Y es una solución particular de *, la cual deberá ser calculada.
El método de solución se expondrá mediante ejemplos.
Ejemplo 1. Resolver la ecuación:
Solución:
5
Paso 1. Identificaremos la ecuación diferencial.
*
Paso 2. Encontraremos la ecuación diferencial lineal homogénea asociada a *.
** asociada a *
Paso 3. Resolveremos , mediante su ecuación característica asociada:
entonces:
, es decir
, donde
Paso 4. La ecuación * se expresa con operadores diferenciales, como sigue:
Paso 5. Encontramos el operador anulador de .
corresponde al Caso A.
donde .
Por lo tanto el operador que anula a es , es decir,
Paso 6. Se aplica el operador anulador a la ecuación .
............***
Paso 7. Resolvemos *** con el método de solución de las E.D.L.H.C.C.
su ecuación característica asociada es:
Es decir,
Por lo tanto la solución de *** es de la forma:
.
Es decir,
O sea,
que es la solución general de *.
Paso 8. La ecuación se compara con:
, para identificar .
De , vemos que:
6
• (como se obtuvo en el paso 3).
•
Paso 9. Se calculan y , recordando que es una solución particular de *.
Entonces:
Sustituyendo y en *, tenemos que:
.
Agrupando los sumandos del primer miembro de acuerdo a los sumandos del segundo miembro,
De donde:
Sustituyendo y en , vemos que la solución general de * es:
.
Ejemplo 2. Resolver:
.
Solución:
Paso 1. Identificaremos la ecuación diferencial.
*
Paso 2. Escribimos la E.D.L.H.C.C asociada a *.
**
Paso 3. Resolveremos **, mediante su ecuación característica asociada:
Calculamos las raíces de:
,ó
Para resolver utilizamos división sintética.
−1
Por lo tanto, las raíces de son:
Por lo tanto, la solución completa de ** es:
Paso 4. Se busca el operador anulador a
.
Para poder emplear los casos A, B y C, se expresa como:
7
,
que es una suma de tres funciones, a saber:
• Para ,
el operador que anula a es:
.
• Para ,
, donde
Por tanto, el operador anulador de es:
.
• Para
, donde
Por tanto, el operador anulador de es:
.
Como entonces el operador que anula a es:
Paso 5. La ecuación * se expresa con operadores diferenciales, como sigue:
Paso 6. Se aplica el operador anulador a la ecuación .
............***
Paso 7. Resolvemos *** con el método de solución de las EDLHCC.
La ecuación característica asociada a *** es:
, de donde
ó
ó
ó
De aquí:
Vemos que:
Por lo tanto la solución de *** es:
8
.
Paso 8. La ecuación se compara con:
, para identificar .
De , vemos que:
•
•.
Paso 9. Se calculan y , recordando que es una solución particular de *.
Entonces:
Sustituyendo , , y en *, tenemos que:
De donde:
Sustituyendo y en , vemos que:
que es la solución general de *.
Ejercicios propuestos de la guía correspondientes a E.D.L.N.H.C.C
En los ejercicios 1−11 resuelva la ecuación diferencial dada por el método de operadores diferenciales.
Indique el tipo de ecuación diferencial, la variable dependiente e independiente, el orden y el grado; y la
forma de la solución general.
1.−
2.−
3.−
4.−
5.−
6.−
7.−
8.−
9.−
10.−
11.−
12.−
9
10