Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas con coeficientes constantes

Ejercicio 13´, deducir las formulas de u1, u2, u3 ý u4, para una EDL~HCC de orden 4.
• Sea:
yIV + P(x) y''' + Q(x) y'' + R(x) y' + S(x) y = Æ (x) (â
) EDL~HCV, donde;
v. d. y. v.i. x. Grado 1. Orden 2. Ã Æ (x)â 0.
• Se debe de tener en cuenta que para que la EDL~HCC de orden 4 tenga solución por el método de
solución de parámetros, la mas alta derivada debe de tener como coeficiente 1(+)
• La función Æ (x) debe de estar, en el 2do miembro de la ecuación.
• La solución de una EDL~HCC por el método de variación de parámetros es:
◊ y(x) = yc(x) + yp(x).
◊ donde:
⋅ yc(x) es la solución general de una EDLHCC.
⋅ yp(x) es la solución particular de una EDL~HCC
• Para comenzar con la solución, se sabe que una EDL~HCC (â
yIV + P(x) y''' + Q(x) y'' + R(x) y' + S(x) y = 0 (â
â
) tiene asociada una EDLHCC.
) EDLHCC, donde:
v. d. y. v.i. x. Grado 1. Orden 2. P(x),Q(x),R(x) ý S(x) Ctes, ý Æ (x)=0.
• Solución general para una EDLHCC de 4to orden es:
♦ yc(x) = c1y1 + c2y2 + c3y3 + c4y4
♦ donde y1, y2, y3, y4, son sol. Particulares de (â
â 0
â
) y son L.I. Por que: W(y1, y2, y3, y4)
• Al decir esto damos a entender que:
◊ y1, y2, y3, y4 } satisfacen a la EDLHCC, por que:
y1IV + P(x) y1''' + Q(x) y1'' + R(x) y1' + S(x) y1 = 0
(a)
y2IV + P(x) y2''' + Q(x) y2'' + R(x) y2' + S(x) y2 = 0
(b)
y3IV + P(x) y3''' + Q(x) y3'' + R(x) y3' + S(x) y3 = 0
(c)
y4IV + P(x) y4''' + Q(x) y4'' + R(x) y4' + S(x) y4 = 0
(d)
1
• Ahora bien al tener la solución de la EDLHCC (â â ) se puede determinar yp(x) ya que esta
depende de los valores de y1, y2, y3, y4, ya que es de la forma:
♦ yp(x) = u1y1 + u2y2 + u3y3 + u4y4. (1)
♦ Donde hasta ahora no se conocen los valores de u1, u2, u3
ý u4.
♦ Entonces:
• Comenzamos la deducción de: u1, u2, u3 ý u4.
♦ Para poder obtener u1, u2, u3 ý u4 debemos derivar las veces que me nos indique la
máxima derivada de la EDLHCC, en este caso 4 veces.
♦ Derivamos (1)
◊ yp`(x) = u1y'1 + u2y'2 + u3y'3 + u4y'4 + u'1y1 + u'2y2 + u'3y'3 + u'4y4.
♦ Antes de calcular la 2da derivada, haremos la siguiente igualación.
◊ u'1y1 + u'2y2 + u'3y'3 + u'4y4 =0 (2)
⋅ ya que esta suposición nos será útil más adelante, en un sistema de
ecuaciones.
♦ Entonces sustituimos (2) en (1), y nos queda yp(x) de esta forma:
◊ yp`(x) = u1y'1 + u2y'2 + u3y'3 + u4y'4 (3)
♦ Bien entonces ahora derivamos la ecuación (3)
◊ yp`'(x) = u1y''1 + u2y''2 + u3y''3 + u4y''4 + u'1y'1 + u'2y'2 + u'3y'3 + u'4y'4 (4)
♦ Ahora haremos que en (4) queden solo las segundas derivadas de (y), entonces se propone:
◊ u'1y'1 + u'2y'2 + u'3y'3 + u'4y'4 = 0 (5)
♦ Sustituimos (5) en (4) y entonces tenemos:
◊ yp`'(x) = u1y''1 + u2y''2 + u3y''3 + u4y''4 (6)
♦ Ahora derivamos (6)
◊ yp`''(x) = u1y'''1 + u2y'''2 + u3y'''3 + u4y'''4 + u'1y''1 + u'2y''2 + u'3y''3 + u'4y''4
(7)
♦ Antes de calcular la siguiente derivada (4ta derivada de yp(x)) proponemos.
◊ u'1y''1 + u'2y''2 + u'3y''3 + u'4y''4 = 0 (8)
⋅ con el único propósito de tener solamente las 3ras derivadas de (y).
♦ Entonces sustituimos (8) en (7)
◊ yp`''(x) = u1y'''1 + u2y'''2 + u3y'''3 + u4y'''4 (9)
♦ Derivamos (9), y tenemos:
◊ ypIV(x) = u1yIV1 + u2yIV2 + u3yIV3 + u4yIV4 + u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 +
u'4y'''4 (10)
♦ Ahora bien tenemos las 4ta derivada de yp(x), y sabemos que yp(x) es la solución general de
(â ), y que satisface a la ecuación, es decir:
◊ ypIV + P(x) ypIII + Q(x) ypII + R(x) ypI + S(x) yp = Æ (x) (A)
♦ Sustituimos: (1), (3), (6), (9) ý (10) en (A), tenemos entonces:
U1yIV1 + u2yIV2 + u3yIV3 + u4yIV4 + u'1y'''1 +
u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4
P(x)
u1y'''1 + u2y'''2 + u3y'''3 + u4y'''4
[
Q(x)
u1y''1 + u2y''2 + u3y''3 + u4y''4
[
R(x)
u1y'1 + u2y'2 + u3y'3 + u4y'4
[
+
]+
]+
]+
2
S(x)
u1y1 + u2y2 + u3y3 + u4y4
[
=
Æ
(x)
♦ Realizamos las operaciones:
u1yIV1 + u'1y'''1 + u2yIV2 + u'2y'''2 + u3yIV3 + u'3y'''3 + u4yIV4 + u'4y'''4
+
P(x) u1y'''1 + P(x) u2y'''2 + P(x) u3y'''3+ P(x) u4y'''4
+
Q(x) u1y''1 + Q(x) u2y''2 + Q(x) u3y''3+ Q(x) u4y''4
+
R(x) u1y'1 + R(x) u2y'2 + R(x) u3y'3+ R(x) u4y'4
+
S(x) u1y1 + S(x) u2y2 + S(x) u3y3+ S(x) u4y4
= Æ (x)
♦ Como se observa en las sumandos marcadas con color distinto tenemos como factores
comunes a u1, u2, u3 ý u4, entonces las factorizamos.
u1 [
yIV1 + P(x)y'''1 + Q(x)y''1 + R(x) y'1 + S(x)y1
]+
u2 [
yIV2+ P(x)y'''2 + Q(x)y''2 + R(x)y'2 + S(x)y2
]+
u3 [
yIV3+ P(x)y'''3 + Q(x)y''3+ R(x)y'3 + S(x)y3
]+
u4 [
yIV4+ P(x)y'''4 +Q(x)y''4 + R(x)y'4 + S(x)y4
3
]+
u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4
=Æ (x)
(11)
♦ Si sustituimos (a), (b), (c), ý (d) en (11) tenemos:
◊ u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4 =Æ (x) (12)
♦ De las ecuaciones (2), (5), (8) ý (12) tenemos el siguiente sistema de 4 ecuaciones:
u'1y1 + u'2y2 + u'3y'3 + u'4y4 =0
}I
u'1y'1 + u'2y'2 + u'3y'3 + u'4y'4 = 0
u'1y''1 + u'2y''2 + u'3y''3 + u'4y''4 = 0
u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4 =Æ (x)
♦ Como se puede ver este sistema no es homogéneo, por que sabemos que la Æ (x)â 0,
pero a la vez se sabe que si tiene solución, porque: un sistema de n-ecuaciones no
homogéneo tiene solución <=> el determinante de este es â 0, decimos que si tiene
solución, por que el determinante de y1, y2, y3, ý y4 (W(y1, y2, y3, y4) â 0)
♦ representación matricial del sistema I.
y1
y2
y3
y4
u'1
0
y'1
y'2
y'3
y'4
u'2
4
0
y''1
y''2
y''3
y''4
u'3
0
y'''1
y'''2
y'''3
y'''4
u'4
Æ (x)
CVT
• Entonces calcularemos u1, u2, u3 ý u4 por regla de Cramer.
• Calculo de u1:
+
+
+
0
y2
y3
y4
5
0
y'2
y'3
y'4
+
0
y''2
y''3
y''4
u'1=
Æ (x)
y'''2
y'''3
y'''4
W(y1, y2, y3, y4)
Æ
u'1=
(x)
y2
y'2
y3
y'3
y4
y'4
y2
y'2
y3
y'3
y''2
y''3
y''4
y''2
y''3
W(y1, y2, y3, y4)
• Realizamos las operaciones, separamos diferenciales e integramos ambas partes â ´tenemos:
u1=
â
â «
[y2y'3y''4 +
y3y'4y''2 +
Æ
y4y'2y''3 â
(x) y''2y'3y4 â
y''3y'4y2 y''4y'2y3 ] dx
W(y1, y2, y3, y4)
• Calculo de u2:
6
+
+
y1
0
y3
y4
y'1
+
0
y'3
y'4
y''1
0
y''3
y''4
u'2=
y'''1
+
Æ (x)
y'''3
y'''4
W(y1, y2, y3, y4)
7
Æ
u'2= (x)
y1
y'1
y3
y'3
y4
y'4
y1
y'1
y3
y'3
y''1
y''3
y''4
y''1
y''3
W(y1, y2, y3, y4)
• Realizamos las operaciones, separamos diferenciales e integramos ambas partes â ´tenemos:
u1=
â «
[y1y'3y''4 +
y3y'4y''1 +
Æ
y4y'1y''3 â
(x) y''1y'3y4 â
y''3y'4y1 - y''4y'1y3
] dx
W(y1, y2, y3, y4)
• Calculo de u3:
+
+
y1
y2
+
0
y4
y'1
y'2
0
y'4
y''1
y''2
8
+
0
y''4
u'3=
y'''1
y'''2
Æ (x)
y'''4
W(y1, y2, y3, y4)
Æ
u'3=
(x)
y1
y'1
y2
y'2
y4
y'4
y1
y'1
y2
y'2
y''1
y''2
y''4
y''1
y''2
W(y1, y2, y3, y4)
• Realizamos las operaciones, separamos diferenciales e integramos ambas partes â ´tenemos:
u3=
â
â «
[y1y'2y''4 +
y2y'4y''1 +
y4y'1y''2 â
Æ
(x) y''1y'2y4 â
y''2y'4y1 y''4y'1y2 ] dx
W(y1, y2, y3, y4)
• Calculo de u4:
+
+
y1
9
y2
y3
0
y'1
y'2
y'3
0
+
y''1
y''2
y''3
0
u'1=
y'''1
y'''2
y'''3
Æ (x)
+
W(y1, y2, y3, y4)
Æ
u'1= (x)
y1
y'1
y2
y'2
y3
y'3
y1
y'1
y2
y'2
y''1
y''2
y''3
y''1
y''2
W(y1, y2, y3, y4)
• Realizamos las operaciones, separamos diferenciales e integramos ambas partes â ´tenemos:
u1=
10
â «
Æ
(x)
[y1y'2y''3 +
y2y'3y''1 +
y3y'1y''2 â
y''1y'2y3 â
y''2y'3y1 - y''3y'1y2
] dx
W(y1, y2, y3, y4)
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales No Homogeneas con Coeficientes Constentes. . .
• Fijamos la columna donde se ubiquen más ceros, y vamos cancelando renglones.
• Para poder obtener solución, le aumentamos a la matriz los 2 primeros renglones a la derecha.
• Diagonales Azules (+)
• Diagonales Rojas (â )
• Fijamos la columna donde se ubiquen más ceros, y vamos cancelando renglones.
• Para poder obtener solución, le aumentamos a la matriz los 2 primeros renglones a la derecha.
• Diagonales Azules (+)
• Diagonales Rojas (â )
• Fijamos la columna donde se ubiquen más ceros, y vamos cancelando renglones.
• Para poder obtener solución, le aumentamos a la matriz los 2 primeros renglones a la derecha.
• Diagonales Azules (+)
• Diagonales Rojas (â )
• Para poder obtener solución, le aumentamos a la matriz los 2 primeros renglones a la derecha.
• Diagonales Azules (+)
• Diagonales Rojas (â )
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