Ecuación de calor

INTRODUCCION:
La ecuación del calor fue propuesta por Fourier en 1807―en su memoria sobre la
propagación del calor en los cuerpos sólidos.
En ella proponía además el germen de lo que pasaría a ser la Teoría de las Series
de Fourier.
Tan controvertida fue esta última, que tomó quince años, hasta 1822, para que la
Academia de Ciencias decidiese publicarla.
QUE ES:
La ecuación del calor es un modelo matemático (quizás el más sencillo) que trata
de describir la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido.
CAMPOS EN LOS QUE SE EMPLEA:
La ecuación del calor es de importancia fundamental en campos científicos
diversos. En matemáticas, es el prototípo de ecuación diferencial parcial
parabólica. En estadística, la ecuación del calor está conectada con el estudio
de Movimiento browniano; la ecuación de la difusión, una versión más general
de la ecuación del calor, se presenta con respecto al estudio de la difusión
química y de otros procesos relacionados.
QUE DESCRIBE:
La ecuación del calor describe cómo se distribuye la temperatura en un cuerpo
sólido en función del tiempo y el espacio. El interés en su estudio radica en las
múltiples aplicaciones que tiene en diversas ramas de la ciencia. En las
matemáticas generales, representa la típica ecuación en derivadas parciales
parabólica y concretamente en la estadística está relacionada con los procesos
aleatorios. Por otro lado, en el campo de la química nos predice, entre otros
procesos de transferencia de calor, que si juntamos un material a 0º y otro a 100º,
rápidamente la temperatura del punto de conexión entre ambos será de 50º.
DE DONDE SE LA OBTIENE:
Esta ecuación se la obtiene de la forma general de una ecuación de derivadas
parciales lineal y de segundo orden (EDP) con 2 variables independientes X e Y.
Si “U” representa la variable dependiente Y; y “X” e “Y” representan las variables
independientes, entonces tenemos que:
donde A,B,C,...,G son funciones de x e y.
Cuando G(x,y) = 0, se dice que la ecuación es homogénea; en caso contrario se
dice que es no homogénea.
Ejemplo::
=
0
Ecuación homogénea
=xy
Ecuación no homogénea
Algunos ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales lineales de segundo
orden que desempeñan un papel importante en Ingeniería son las siguientes.
1. Ecuación bidimensional de Laplace
2.. Ecuación unidimensional de onda
3. Ecuación unidimensional del calor
En esta investigación vamos a centrarnos solamente en la ecuación del calor ya
que es el tema que nos corresponde analizar en la cual no vamos a deducir la
forma en que se obtuvo, sino únicamente en cómo se la resuelve para poder
aplicarlas en los problemas propuestos.
Para resolverla vamos a aplicar un procedimiento general conocido como método
de separación de variables, el cual vimos durante las horas de clase en la materia
de matemática avanzada, aquí lo más importante respecto a dicho método.
METODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES:
Este método busca una solución particular en forma de un producto de una
función de “x”, una función de “y”, como U(x,y)= X(x). Y(y)
A veces es posible convertir una ecuación en derivadas parciales lineal con 2
variables en 2 ecuaciones ordinarias.
Para hacerlo notemos que:
DONDE: X` derivación ordinaria
;
Y` derivación ordinaria
De esta forma el problema de
resolver una ecuación en
derivadas parciales se reduce al problema más conocido de resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias. Ilustraremos esta técnica para la ecuación del calor.
Ecuación del calor
La ecuación unidimensional del calor es el modelo de variación de la temperatura
u según la posición x y el tiempo t en una varilla calentada de longitud L y de
temperatura inicial f(x) que se extiende a lo largo del eje x y cuyos extremos se
mantienen a una temperatura constante de cero grados en todo instante. Si
•
El flujo de calor se produce solamente en la dirección del eje x.
•
No se pierde calor a través de la superficie lateral de la varilla.
•
No se genera calor en la varilla.
•
la varilla es homogénea, esto es, su densidad por unidad de longitud es
constante.
•
su calor específico y su conductividad térmica son constantes,
entonces la temperatura u(x,t) de la varilla está dada por la solución del problema
con condiciones iniciales y de contorno
La constante k es proporcional a la conductividad térmica y se llama difusividad
térmica.
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
Para resolver este problema por el método de separación de variables, se
empieza por suponer que:
Tiene una solución de la forma :
Para determinar X y T, primero se calculan las derivadas parciales de la función u
se sustituyen estas expresiones en la ecuación resultando:
y separando las variables
Observamos ahora que las funciones del primer miembro dependen solamente de
t, mientras que las del segundo miembro dependen solamente de x e y, puesto
que x y t son variables independientes entre sí, los dos cocientes deben ser
iguales a alguna constante Por tanto,
En consecuencia, para soluciones separables, el problema de resolver la ecuación
en derivadas parciales se ha reducido al problema de resolver las dos ecuaciones
diferenciales ordinarias anteriores.
Si consideramos ahora las condiciones de contorno
y, teniendo en cuenta que
u(x,t) = X (x)T (t) tenemos que:
Por consiguiente, o bien T (t) = 0 para todo t > 0, lo cual implica que u(x,t) =0 o
bien
Ignorando la solución trivial, se combinan las condiciones de contorno con la
ecuación diferencial en X y se obtiene el problema
ECUACION
DIFERENCIAL (1)
donde
puede ser cualquier constante.
Nótese que la función X (x) = 0 es una solución para todo
y, dependiendo de la
elección de
ésta puede ser la única solución del problema. Así que si se busca
una solución no trivial u(x,t) = X (x)T (t), primeramente se deben determinar
aquellos valores de
para los cuales el problema con condiciones iniciales y de
contorno tiene una solución no trivial.
Dichos valores especiales de
se denominan valores propios, y las soluciones
no triviales correspondientes son las funciones propias.
Para resolver el problema, empezamos con la ecuación característica r2 −
consideramos tres casos.
CASO 1:
=0y
> 0. En este caso, las raíces de la ecuación característica son
, de modo que la solución general de la ECUACIÓN DIFERENCIAL (1) es:
Si recurrimos a las condiciones de contorno, X (0) = X (L) = 0, para determinar C1
y C2 obtenemos que la única solución es C1 = C2 = 0. Por consiguiente, no existe
solución no trivial para
> 0.
CASO 2:
= 0. Ahora r = 0 es una raíz doble de la ecuación característica y la
solución general de la ecuación diferencial es
Las condiciones de contorno implican de nuevo que C 1 = C2 = 0 y,
consecuentemente, no existe solución no trivial.
CASO 3:
< 0. En este caso las raíces de la ecuación característica son
y la solución general de la ecuación es
En esta ocaciòn las condiciones de contorno dan lugar al sistema:
Como C1=0, el sistema se reduce a
Por lo tanto la ECUACION DIFERENCIAL (1): tiene una solución no trivial cuando
o lo que es lo mismo
Además las soluciones no triviales Xn (x)
valor
Están dadas por :
correspondientes al
donde los valores an son constantes arbitrarias distintas de cero.
Una vez determinados los valores de
consideramos las segunda ecuación
Para cada n = 1,2,..., la solución general de la ecuación lineal de primer orden es:
Por tanto combinando las dos soluciones anteriores obtenemos, para cada
n=1,2,..
donde cn es una constante arbitraria.
Si consideramos una suma infinita de estas funciones, entonces aplicando el
principio de superposición, la serie
Satisface tanto la ecuación de calor como las condiciones homogéneas
Nos falta únicamente determinar los coeficientes constantes utilizando la condición
inicial
Esto da lugar a:
pero esta es la serie de Fourier de senos de f(x) sobre el intervalo [0,L] , lo cual
nos permitirá calcular los coeficientes a través de la expresión
Concluimos entonces que la serie
es solución del problema con condiciones iniciales y de contorno descrito
anteriormente. Esta solución en serie converge con bastante rapidez, a menos que
t sea demasiado pequeño, debido a la presencia de factores exponenciales
negativos. Por eso es muy práctica en cálculos numéricos.