  3,0 -

Cálculo Diferencial e Integral de una variable
Guías de Trabajo (con problemas integradores)
1.
La figura exhibe la gráfica de la derivada f 
de una función f.
(a) En que intervalos la función f crece y en
cuales decrece.
(b) ¿Para que valores de x f tiene un
máximo o mínimo local?
(c) Determine los posibles puntos de
inflexión y los intervalos de concavidad.
(d) Trace una posible grafica de f, si se sabe
que la función es continua en todo su
dominio y los ceros de f son:
-3, -1 y 1.
2. Encuentre los valores máximo y mínimo absoluto de f sobre el intervalo dado:
f ( x)  x 2  4x  8, - 3,0.
sin x
b) Evalúe el límite lim 2
x  x   2
c) Halle la ecuación de la recta tangente

f ( x)  ln e  e
x
2x
, 0, ln 2
a la curva en el punto que se indica
d) Encuentre la derivada de f, si f (t )  arctan sen(t 3  2t )
3. Una lancha es remolcada hacia un muelle con una cuerda fija a su proa que pasa
por una polea en el muelle. Esa polea está 1.20 m por encima de la proa del bote. Si
el bote avanza hacia el muelle con una velocidad de 2m/s, ¿con que velocidad se
tira de la cuerda, cuando la lancha está a 10m del muelle?
4. Una partícula se mueve en una línea vertical y su coordenada en un instante t es
y  t 3  12t  3, t  0
(a) Encuentre las funciones velocidad y aceleración.
(b) ¿Cuándo la partícula se mueve hacia arriba y cuándo hacia abajo.
(c) Encuentre la distancia que la partícula recorre en el intervalo de tiempo 0  t  3.
5. A cierta hora el barco A se encuentra al norte del barco B a una distancia de 120
Km. A navega hacia el este a una velocidad de 50 kph y B hacia el oeste a 30 kph.
¿Con que rapidez cambia la distancia entre ellos después de 30 minutos?
6. Un hombre de 6 pies de estatura camina hacia un edificio a una tasa de 5 pies s , si
en el piso se encuentra una lámpara a 50 pies del edificio, ¿qué tan rápido se acorta
la sombra del hombre proyectada en el edificio cuando el está a 30 pies de éste?
1
 x2 1

, si x  1
7. Dada la función f ( x)   x  1
2

 Ax  x  3, si x  -1
(a) Hallar el valor de A que hace que la f sea continua en para toda x  
(b) Investigue si la función continua del inciso (a) es diferenciable en x  1.
 x2 2
, 2 x2

8. Dada la función f ( x)   x  2
 ax  3 ,
x2
 x  7
a) ¿Qué tipo de discontinuidad puede presentar en x=2?
b) Determine el valor de a para que f sea continua en x=2.
c) ¿Existe otro punto de discontinuidad en su dominio de definición?
9. Una partícula se mueve describiendo una trayectoria x  y 2  0 , determine el punto
de la parábola más cercano al punto 0,3 .
10. Una partícula se mueve a lo largo de la curva y = x3 , con x>0 (distancias en metros).
Al pasar por el punto de ordenada 8, su abscisa disminuye a razón de 3 metros por
segundo. ¿Qué tan rápido aumenta o disminuye la distancia de la partícula al origen
en ese instante?
11. Suponga que f es una función tal que f (2  h)  f (2)  4h  3h2
a) Halle f ( 2)
b) Si f es continua en a, ¿se puede garantizar que f es diferenciable en a?
12. Determine las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de la función
f ( x) 
x2  x  6
. Además, haga un esbozo de la gráfica de f.
x 2  7 x  12
13. En cada uno de los casos siguientes halle y :
2
a) y  3x2  2 e x  4 tan x  arcsenx
b) y  (3x  2) 3 4  3x2
c) x2 y3  x  2  6 y  4 xy
d) y  ln(7  3 x 2  3x  1)  sec(e x )
e) y 
3 x1 ( x 2  7) 2
(3  2 x 3 )senx
x 1
14. Sea f ( x)  x3  4x2  5x  2 .
a) Halle los puntos sobre la gráfica de f en los que la recta tangente es horizontal.
b) Halle los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente es paralela a la
recta y  x  3 .
3  x
15. Sea f ( x)  
,x  2
2
x  4x  5 , x  2
a) ¿Es f continua en 2?
b) ¿Es f diferenciable en 2?
 2 1
 x sen ;
16. Sea f ( x)  
 x

0
;

x0
x0
a) ¿Es f continua en 0?
b) ¿Es f derivable en 0?
17. El agua dentro de un tanque cónico invertido inicialmente lleno sale con un caudal
constante, mientras que un caño entrega agua al mismo tanque con un caudal de
1500 cm3/seg. Las dimensiones del tanque son 10 m de diámetro y 15 m de altura.
Si el nivel del agua baja a una velocidad de 3 cm/seg cuando queda solo un metro
de agua dentro, ¿cuál es el caudal con que se escapa el agua?
18. Un canal de agua tiene 30 metros de largo y sus extremos tienen la forma de
trapecios isósceles, de 2 metros de ancho en la parte superior, 1 metro en la parte
inferior y 80 centímetros de altura. Si el canal pierde agua (por filtración) a una razón
constante de 30000 cm3/seg, calcule la velocidad en que cambia el nivel del agua
cuando quedan 50 centímetros de líquido en el canal.
19. Dos postes con longitudes de 6 y 8 metros respectivamente se colocan verticalmente
sobre el piso con sus bases separadas una distancia de 10 metros. Calcule
aproximadamente la longitud mínima de un cable que pueda ir desde la punta de
uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los postes y luego hasta la punta
del otro poste.
3
20. Un yate se mueve en línea recta hacia el punto donde se encuentra un vapor con
una velocidad de 60 km/h. En el momento en que la distancia entre ambos es de
4.225 km, el vapor se empieza a mover en dirección perpendicular a la del yate con
una velocidad de 25 km/h. Determinar el momento en que las embarcaciones se
encuentran a la mínima distancia.
21. Una cerca de 8 pies de altura colocada al nivel del piso corre paralela a un edificio
alto. La cerca se encuentra a un pie del edificio. Encuentre la longitud de la escalera
más corta que pueda colocarse en el suelo y recargarse en el edificio por encima de
la cerca.
22. La distancia de un aserradero a la vía del ferrocarril es de 80 km. Se necesita
transportar la madera a una ciudad que se encuentra a 170 km del aserradero
medida la distancia en línea recta. ¿Dónde deberá construirse una estación de
ferrocarril para que el costo del transporte de la tonelada de madera sea mínimo, si
transportar por carretera una tonelada de madera por km cuesta 4 veces más que
transportarla por ferrocarril?
23. Un hombre que está en un bote en el punto P a un kilómetro del punto A que está
en la playa, desea ir a B que está a un kilómetro de A, en dirección perpendicular a
____
PA . Si puede remar a 3 km/h y caminar a 5 km/h, determinar hacia qué punto C,
entre A y B, debe remar para llegar a B en el tiempo mínimo.
24. Las mismas condiciones que en el problema anterior, excepto que ahora queremos
saber cuál es la velocidad mínima a que debe remar el hombre para que el tiempo
mínimo se haga viajando sólo por el agua.
25. Un paquete puede enviarse por correo ordinario solamente si la suma de su altura y
el perímetro de su base es menor que dos metros y medio. Encuentre las
dimensiones de la caja de volumen máximo que puede enviarse por correo si la base
de la caja es cuadrada.
26. Un minero desea abrir un túnel desde un punto A hasta un punto B situado 80 m
más abajo que A y 240 m al Este de él. Debajo del nivel de A es roca; arriba de este
nivel es tierra blanda. Si el costo de la construcción del túnel es 30 pesos por metro
lineal en tierra blanda y 78 pesos en roca, hallar el costo mínimo del túnel.
27. La primera derivada de una función es: f ( x)  x 2  2 x  8 . Responda
a) ¿En qué intervalos f es creciente?, ¿decreciente?
b) ¿En que intervalos f es cóncava hacia arriba? , ¿Cóncava hacia abajo?
c) Halle los puntos críticos de f y los puntos de inflexión.
28. En los ejercicios siguientes, halle los valores máximo y mínimo absolutos (si existen)
de la función dada en el intervalo indicado.
4
1
3
a) f ( x) = x 2 + 4x + 5 ; - 3  x  1
b) f ( x) = x 3  9x  2 ; 0  x  2
c) f ( x) = x 5 - 5x 4 +1; 0  x  5
d) f ( x)  x 3  x 2  x  1; x  - 2;1
e) f ( x) =
1
x2
; x>0
29. Si la función g está definida por
2

 x  5, si x  1
g ( x)  
3

 x  1, si x  1
Hallar g+ ' (1), si es que existe. Justifique su respuesta.
2
1  3x
a) Mediante la definición de derivada, hallar f (a) .
30. Dada la función f definida por: f ( x) 
b) Utilice la respuesta obtenida en (a) para calcular f (4) .
31. La ecuación de una parábola es 3x 2  x  y  5  0 . Hallar la ecuación de la recta
tangente que es paralela a la recta 26x  2 y  5  0 .
32. 4 x  y  9 es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función g (x) en el
punto de abscisa x = 2. Si f ( x)  x 2  5x  1, hallar ( f o g )(2) .
33. Si y 
x 1
1 x
es la ecuación de una curva , hallar las ecuaciones de las rectas
tangentes que son paralelas a la recta L : x - 8y + 5 = 0.
34. La ecuación de una curva es: x 2  2 xy  2 y 2  5
a) Hallar
dy
dx
b) Determinar los puntos de la curva, donde la recta tangente es paralela a la recta
12x  6 y  1  0
.
35. Hallar la ecuación de la recta normal a la curva C, de ecuación y 
que es paralela a la recta 2 x  y  5  0 . (Dos soluciones).
x 1
sabiendo
x 1
36. Si
5
 6 x 2  5  x 2  14

f ( x)   x 3  363 x  1  28 , si

L,
si

x2
x2
¿Existe L de modo que f sea continua en x=2?. En caso afirmativo, determine su
valor. Justifique su respuesta.
37. Trace las gráficas de las funciones que cumplen las siguientes propiedades.
i. Si f(0) = 1, f(-9) = 1, f(-1) = 1, lim f ( x)   , lim f ( x)   , lim f ( x)   ,
x 1
x 1
x 9
lim f ( x)   , lim f ( x)  1 , f´(x) > 0 cuando x  3;1 ,  1;3  , f´(x) < 0 cuando
x 9 
x  
x  ;3 , ,  3;9 ,  9;   ,
f´´(-6)
=
0,
f´´
<
x  ;6 ,  1;9  y f´´(x) > 0 cuando x  6;1 ,  9;   .
0
cuando
ii. Si f(0) = -2, para x = -2 y x = 2 f(x) = 0, lim f ( x )  3 , f´(-2) = 0, f´(2/3) = 0, f´(2) = 0,
x 
x  ;2 ,  2 / 3;2 ,  2;   , f´(x) < 0 cuando
f´(x) > 0 cuando
x  2;2 / 3  , f´´(-2) = 0, f´´(2) = 0, f´´(x) > 0 cuando x  ;2 , ,  2;2  y
f´´(x) < 0 cuando x  2;   .
iii.
f (1)  f (1)  0, f ( x)  0, x  1, f ( x)  0, x  1, f (1)  4, f (1)  0
f ( x)  0, si x  0, f ( x)  0, si x  0
6