Economía Diamond

ECONOMIA DIAMOND CON BURBUJAS EXPECULATIVAS
Por:
Esteban Rozo 405609
Miguel Casallas 405540
Presentado a:
Enrique Lopez
EconomÃ-a Dinamica en Matlab
Facultad de Economia
Universidad nacional de Colombia
Bogota, 18 de diciembre de 2008
MODELO DE GENERACIONES TRASLAPADAS BASICO
En esta economÃ-a (como en una economÃ-a real) los agentes poseen varios periodos de vida, por lo que
permite entre otras cosas observar las implicaciones agregadas de las decisiones individuales como el nivel de
ahorro que se convierte en una variable endógena, o permitir la introducción de activos como el dinero de
una forma más satisfactoria, el modelo que se trabaja es de dos periodos de vida, ya que asÃ- se puede
modelar la decisión de ahorro de manera sencilla.
En el modelo que se va a trabajar nos limitaremos a un caso especÃ-fico, en el que no existen herencias, o no
existe altruismo intergeneracional, la oferta de trabajo es constante e inelástica y es igual al tamaño de la
población. El tiempo esta dividido en tiempo discreto, y no existe un periodo final.
El Equilibrio descentralizado
Cada periodo t, Nt nace una generación, esta vive dos periodos, t y t+1, luego desaparecen de la economÃ-a,
el periodo de vida se denomina joven y el periodo t+1 viejo. Cada uno de esos agentes esta dotado con una
unidad de trabajo, cuando son jóvenes, que ofrece de forma inelástica, luego, no tiene recurso iniciales
cuando es viejo, es decir no trabaja en el periodo t+1 por lo que tiene que ahorrar de su salario una parte para
financiar el consumo en este periodo de vida. Los agentes de todas las generaciones son idénticos, con las
mismas dotaciones de trabajo y las mismas preferencias, representadas por la función de utilidad donde C1t
representa el consumo en el periodo 1 cuando la generación t es joven, y C2 t+1 el consumo en el periodo en
el que la generación t es vieja, esta generación asume lo ocurrido en el periodo t−1 como dado, se asume
que esta función es separable, lo que permite representarla como:
con θ>0; u'()>0, U''()<0
El consumo agregado en un periodo esta determinado por la suma del consumo de la generación vieja más
el consumo de la joven en ese periodo, por ejemplo el consumo en el periodo t seria:
En este modelo se asume que la población crece a una tasa constante mayor a cero, que se define como n
1
asÃ- la población en el periodo t+1 seria definido como .
En la producción hay una colección de firmas j, todas producen cada periodo t un mismo bien de múltiple
propósito, que podemos llamar producto, utilizando capital y trabajo, con la tecnologÃ-a invariante que de
forma agregada seria representada como donde la función F es la producción agregada de todas las firmas y
es continua, cóncava, estrictamente creciente y homogénea de grado 1. El producto de la firma puede ser
usado para consumo o para la generación de capital, este capital se deprecia completamente durante el
periodo t, y necesita ser instalado un periodo antes de ser usado, es decir el capital usado por la firma en el
periodo t es el capital acumulado en el periodo anterior.
El problema del consumidor seria:
max
Sujeto a:
Donde wt es el salario recibido en el periodo t y rt+1 es la tasa de interés pagada en el periodo t+1 por el
ahorro hecho en el periodo t, en el segundo periodo el consumidor consume todo tanto el interés como el
principal.
Sustituyendo las restricciones en la función de utilidad, se convierte en un problema de maximizar sin
restricciones en función del ahorro:
y derivando con respecto al ahorro obtenemos las condiciones de primer orden para el consumidor:
De esta condición de primer orden, suponiendo la existencia de la función inversa de la función de
utilidad podemos definir la función de ahorro, despejándola de la ecuación anterior, como sigue:
, donde el nivel de ahorro definido por esta función es el argumento maximizador de la función de utilidad
del agente. y cumple con:
Derivando con respecto a w la primera derivada utilizando derivada implÃ-cita y despejando :
Esta derivada es el cociente de dos fracciones negativas, al ser la función de utilidad concacava, y es menor
que uno por que la expresión del denominado siempre será mayor en valor absoluto que la del numerador.
Por otro lado siguiendo el mismo procedimiento para rt+1
El signo de la derivada esta determinada por el signo del numerador, que esta determinado por las influencias
contrarias que sobre el ahorro ejercen el efecto renta y el efecto sustitución Ã-nter temporal de un aumento
de la tasa de interés.
Problema del Productor
Las firmas maximizan su beneficio en un mercado competitivo, su problema en términos per−capita,
normalizando por el precio del producto seria:
Max
de donde se tiene que:
en un mercado competitivo con rendimientos constantes a escala se tiene que los beneficios de la firma son
2
cero, remplazando la condición anterior se tiene que
El mercado de bienes:
Para que exista un equilibrio la oferta de bienes tiene que ser igual a la oferta en cada periodo de tiempo, o lo
que es equivalente la inversión igual al ahorro
It=Kt+1−Kt
Mientras el ahorrote la economÃ-a en un periodo seria igual al tamaño de la población multiplicado por el
ahorro individual de los jóvenes, descontando el des−ahorro que realiza la generación vieja para financiar
su consumo
El equilibrio estarÃ-a dado por:
o despejando y expresando en términos per cápita
El mercado de factores:
El equilibrio en el mercado de factores esta determinado por las cantidades demandadas de estos por parte de
las firmas, puesto que la oferta de trabajo por parte de la generación joven es inelástica, y en el mercado de
capitales, el capital en el periodo t es determinado por el ahorro de la generación joven en el periodo t−1,
(generación vieja en el periodo t)
y
Dinámica y estado estable:
Del equilibrio del mercado de bienes se tiene:
Remplazando las condiciones del mercado de factores:
Que expresa la dinámica del capital en este modelo; la estabilidad vendrÃ-a dada por la derivada
La estabilidad del modelo dependerá de:
si el valor de esta derivada es positivo se tendrá un estado estable como el siguiente
INTRODUCCION BURBUJA (Activo inultil)
Suponga que M piezas de papel son introducidas en la economÃ-a, se examinara las condiciones bajo las
cuales esas piezas tienen un valor positivo y afectan la asignación de recursos
Los individuos pueden ahorrar en capital o en burbujas, si invierten en capital ganarÃ-an 1+rt+1 = 1+f'(kt+1)
por peso invertido. si invierte en bonos ganarÃ-a pt+1 / pt (Valorización de los papeles) por arbitraje se
tendrÃ-a que 1+f'(kt+1) = pt+1 / pt
El valor total de las burbujas en la economÃ-a seria
BT=MPT
en términos per cápita
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de donde se obtiene la dinamica de la burbuja:
Lo que nos muestra que la burbuja solo crecerÃ-a si
El equilibrio en el mercado de bienes viene dado, por su equivalente igualdad de inversión e ahorro pero
descontando del ahorro, la parte que los individuos destinan a la burbuja:
o en términos per cápita y despejando el capital
que nos indica la dinamica del capital
se supone que las burbujas tienen libre disposición por lo que son positivas.
En una economÃ-a de Diamond ineficiente, hay un estado estable con una burbuja positiva en le punto E. La
tasa de interés es igual a n (la tasa de crecimiento de la población). Removiendo la ineficiencia y llevando
la economÃ-a al nivel de la regla de oro. La burbuja crece con una velocidad igual a la tasa de crecimiento de
la población igual que la economÃ-a. TodavÃ-a queda sin embargo otro estado de equilibrio, el de la
economÃ-a Diamond, donde la burbuja no tiene valor y la economÃ-a permanece en un estado ineficiente.
Dinámica
Para entender cuando la economÃ-a tiende a una tasa de equilibrio en ves de a otra, hay que revisar la
dinámica del sistema. Rescribiendo la ecuación de la dinámica del capital como:
. (13)
Se dibuja donde Kt+1−Kt es igual a cero como KK; es obvio que esto es igual a lo que dibujamos
anteriormente como la curva OA
De la ecuación que nos mostraba la dinámica de las burbujas
De la ecuación 13 despejamos Kt+1 y la remplazamos Obteniendo:
Dibujamos el lugar donde , o equivalente como BB. Dado el supuesto de que el ahorro es una función
creciente de los ingresos, BB es creciente y cruza la curva KK, en el estado de equilibrio el punto E.
La dinámica de k y b son las siguientes. Si, comenzamos en un punto sobre g (k, b) = 0, incrementaremos bt,
se reducirian los ahorros destinados a capital y el capital disminuye, el capital es decreciente, por lo tanto, en
todos los puntos por encima de KK.
Ahora Partiendo de un punto sobre BB, si se disminuye K, se aumentara el producto marginal del capital y la
tasa a la cual el valor de la burbuja requiere aumentar. La burbuja per cápita, por lo tanto, es creciente en
todos los puntos a la izquierda del BB, y decreciente en todos los puntos a la derecha,
el equilibrio, con un valor positivo para la burbuja en el estado de equilibrio es un punto silla estable.
El punto de equilibrio de Diamond es estable.
Trayectorias
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En la figura suponemos que la economÃ-a tiene un capital inicial K0 y miramos las posibles trayectorias,
considere primero la posibilidad de un punto por encima de la senda estable, digamos C. En ese momento la
burbuja es grande y creciente, ya que aumenta, esta, disminuye la acumulación de capital. Hasta que
finalmente el nivel de capital comienza a reducir. Mientras la tasa de interés aumenta, con lo que el valor de
la burbuja debe crecer aún más rápido. En algún momento la burbuja se vuelve tan grande que la
desacumulación de capital es superior al actual capital. Por supuesto esto es imposible y esto descarta
cualquier burbuja estable por encima de la senda estable. Burbujas no puede ser tan grandes.
Considere ahora un punto por debajo de la senda estable. Digamos D, En D la burbuja es tal que a pesar de
que reduce la acumulación de capital, deja el estado de equilibrio del tipo de interés por debajo de la tasa
de crecimiento de la población. Por lo tanto, la burbuja crece en la tasa r,pero la burbuja per−cápita
finalmente disminuye:
; dado que r<n
la burbuja se hace pequeña en comparación con la economÃ-a. Asintótica mente, la burbuja per cápita
se vuelve tan pequeña que la economÃ-a converge al equilibrio de Diamond. Aunque hay una burbuja, no
hace ninguna diferencia en el estado de equilibrio. Más en generalmente, las burbujas por debajo de la
trayectoria estable del punto de silla (para un valor dado de stock capital) Puede existir en esa economÃ-a. Por
supuesto que afectan a la dinámica de la aproximación al estado estable y por tanto, no son neutrales con
respecto a la asignación de recursos.
El caso filoso (Knife−edge) donde la burbuja es tal que la economÃ-a está en la senda convergente. aunque
es inverosÃ-mil (poco probable) es interesante. En este caso la burbuja es simplemente tal que hace la tasa de
interés asintoticamente igual a n. por lo tanto, no sólo la burbuja per cápita siguen siendo grande en
comparación con la economÃ-a, si no que la burbuja soluciona el problema de la ineficiencia dinámica de
conduciendo el valor de la tasa de interés en estado estable al valor n!
Hasta este punto hemos demostrado que las burbujas de activos intrÃ-nsecamente inútiles no pueden existir
si la economÃ-a sin burbujas es dinámicamente eficiente. Si la economÃ-a es dinámicamente ineficiente,
las Burbujas pueden existir siempre y cuando no sean demasiado grandes. Excepto en el caso
El caso filoso (Knife−edge), no afectan al estado estable, aunque si afectan a la dinámica en la que se
aproxima la economÃ-a el estado estable. A continuación extender el análisis a un caso más interesante
donde la burbuja es un activo útil
Burbujas en activos intrÃ-nsecamente útiles
Considere la posibilidad de otro activo. Además de la capital, digamos, un árbol que deja una unidad de
bien cada perÃ-odo. Denotando su valor fundamental como pt*, su precio como Pt y Bt la burbuja en el activo
de modo que
Por arbitraje se requiere que:
y
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Integración la primera ecuación adelante y utilizando la condición de transversalidad da p* como el valor
presente descontado de una corriente de un bien cada perÃ-odo. La segunda ecuación dice que el
componente de la burbuja debe crecer como tasa de interés, esto implica que la proporción de p* a Bt
eventualmente, debe tender a cero 0, equivalentemente que asintótica mente el precio es igual al componente
de la burbuja. Asintótica mente si la burbuja esta en un activo intrÃ-nsecamente util o inultil no es el caso de
estudio, y el análisis anterior se aplica. Si la economÃ-a es dinámicamente ineficiente, puede haber
burbujas de activos intrÃ-nsecamente útiles. Tales como un arbol en el ejemplo, de una pintura, una
participación, un tÃ-tulo a la corriente marginal de los productos en una unidad de capital. Note, sin
embargo, que las burbujas no pueden existir en activos que pagan dividendos que crecen al mismo ritmo que
la economÃ-a. La existencia de dichos activos implica, en primer lugar, que la economÃ-a no puede ser
dinámicamente ineficiente y, por tanto, descarta burbujas.
Una versión Estocástica
Ahora la función de producción vendrá dada por:
donde es una función de producción que cumple las condiciones del problema básico. Definiendo un
proceso para λ de la siguiente manera:
con 0<γ<1 y ε ruido blanco
El problema del consumidor se convertirÃ-a en:
Max
Sujeto a:
Sustituyendo tendrÃ-amos:
max
De donde se tiene:
y despejando se puede llegar a:
o suponiendo la posibilidad de despejar s:
El equilibrio del mercado de factores vendrÃ-a dado por las demandas de las firmas:
y
El equilibrio en el mercado de bienes sin la presencia de burbujas vendrÃ-a dado por:
o en presencia de burbujas por:
y por:
Blibliografia:
Blanchard, O. Fischer, S.( 1988)  Lectures on macroeconomics.  Cambridge, Ma. : MITÂ
MCCANDLESS,G. (2008) The Abcs of Rbcs An Introduction to Dynamic Macroeconomic Models. Harvard
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University Press.
Este documento esta basado en Blanchard (1989)
equivalentes a:
de donde conseguimos la ecuación de Euler para esta economÃ-a
si los beneficios fueran superiores incentivarÃ-an la entrada de nuevas empresas
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