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Geometría Fractal: Una breve
introducción
La geometría fractal es una parcela de las matemáticas cuyos límites reales no están todavía del todo claros.
Históricamente sus orígenes se remontan a principios del siglo XX y durante el desarrollo de la Teoría de la Medida
con el estudio de conjuntos geométricos con propiedades aparentemente paradójicas.
En dichos conjuntos (curvas de Peano y Koch, conjunto de Cantor, triángulo de Sierpinski, etc.) parecía existir una
discordancia entre su tamaño real y su configuración espacial como conjunto de puntos (curvas con área o con
longitud infinita entre dos de sus puntos, etc.).
El término fractal fue acuñado por B. B. Mandelbrot en 1977 (en su obra The Fractal Geometry of Nature) para
designar ciertos objetos geométricos de estructura irregular. Aunque Mandelbrot no dio una definición precisa,
caracterizó a los fractales mediante las tres propiedades siguientes:
a) Figuras que se repiten en sí mismas infinitas veces a distintas escalas (conjuntos autosemejantes).
b) Figuras con dimensión no entera (dimensión fractal).
c) Conjuntos que aparecen tras procesos iterativos infinitos.
En su libro, Mandelbrot defendió la idea que se convertiría con el tiempo en la razón del crecimiento exponencial de
las aplicaciones de los fractales y de la actual popularización del término: las formas de la naturaleza son fractales
y múltiples procesos de la misma se rigen por comportamientos fractales. Pensemos por ejemplo en una frontera
entre estados. Con el paso del tiempo, esta frontera se ve sometida a cambios debido a enfrentamientos, acuerdos
locales, pequeñas conexiones, etc., que hacen que el trazado de ésta vaya variando. El perfil de una costa sufre un
proceso análogo al de la frontera: los elementos en contacto, agua y tierra, están sometidos durante largos
períodos a interacciones (erosiones eólicas y marinas, basculación continental, etc.) que modifican
permanentemente la forma de la costa. Se estudia el carácter fractal de diversas ramas y árboles, las redes de
drenaje de una cuenca fluvial, la ramificación de los bronquios en los alveolos pulmonares... También se están
utilizando los fractales para transmitir imágenes digitales, o en el mercado de valores, donde la dimensión fractal
proporciona el grado de predictibilidad del fenómeno.
Obviamente, los fractales no existen en la realidad, así como tampoco existen rectas ni esferas, pero sirven para
modelizar objetos reales difícilmente abarcables con los objetos de la geometría euclídea.
La principal diferencia entre la geometría fractal y la geometría clásica es que esta última presenta
contornos diferenciables, mientras que en la geometría fractal aparecen contornos quebrados (no diferenciables),
difíciles de medir. Por ejemplo, si se trata de medir el contorno de un país, el resultado dependerá de la resolución
del mapa, de manera que un mayor resolución implica mayor longitud. Es por ello por lo que se tratará de medir los
fractales usando otro tipo de dimensiones (dimensión fractal), de forma que se pueda comparar la longitud del
litoral de un país con el de otro.
A comienzos del siglo XX aparecieron conjuntos con paradójicas y sorprendentes propiedades. Se trata de los
primeros ejemplos de lo que hoy llamamos fractales.
El conjunto de Cantor
George Cantor construyó un conjunto contenido en [0,1] con longitud (medida de Lebesgue) cero pero con el mismo
cardinal que [0,1] (es decir, con la potencia del continuo).
El conjunto de Cantor se construye como sigue:
Se parte del intervalo E0=[0,1], que se divide en tres partes iguales, eliminando la parte central y obteniendo:
E11=[0,1/3] , E12=[2/3,1]
Cada uno de estos intervalos se divide a su vez en tres intervalos iguales, de los cuales prescindimos del intervalo
central, obteniéndose:
E21=[0,1/9]
,
E22=[2/9,1/3]
,
E23=[2/3,7/9]
, E24=[8/9,1]
Si continuamos este proceso indefinidamente, en la etapa k-ésima habremos obtenido 2k intervalos cerrados
Ekj(j=1.2,..., 2k) de longitud 3-k cada uno de ellos.
Se define Ek como la unión de Ekj j=1,2,3,...
Es obvio que Ek+1 está contenido en Ek , k=0,1,2,... Se define el conjunto de Cantor como la intersección de
Ek k=1,2,3... .
La curva de Koch
En 1904 Helge von Koch construyó la curva que hoy lleva su nombre y que tiene la propiedad de tener longitud
infinita y además no es derivable en ninguno de sus puntos.
En su construcción, se parte del segmento unidad [0,1] y se divide en tres partes, sustituyendo la parte central por
los dos segmentos que junto con dicha parte, formarían un triángulo equilátero. Se obtiene así una poligonal P 1 de
longitud 4/3.
Con cada uno de los cuatro segmentos se repite la operación anteriormente descrita, obteniendo una poligonal P 2 de
longitud 16/9. Se procede indefinidamente de esta forma obteniendo en la etapa n una poligonal Pn de longitud
(4/3)n. La curva de Koch se define como la curva límite a que converge la sucesión Pn cuando n tiende a infinito.
Obsérvese que la longitud de la curva es infinito, pues (4/3) n tiende a infinito con n. Más aún, la longitud de la parte
de la curva comprendida entre dos puntos cualesquiera de la misma es infinita.
El triángulo y el tetraedro de Sierpinski
Alrededor de 1915, Waclaw Sierpinski construyó un conjunto cuyo perímetro es infinito y su área cero. Su
construcción es la siguiente. Partiendo de un triángulo cualquiera, se dibuja un nuevo triángulo uniendo los centros
de sus lados y se elimina de la figura inicial. El resultado será tres triángulos semejantes al inicial de área (cada
uno) cuatro veces menor que el área inicial. Se repite la operación con los tres triángulos y, en general, con los
triángulos que se vayan formando. El resultado será el triángulo de Sierpinski.
Si el triángulo inicial tiene área 1, en el primer paso la figura tendrá área 3/4, en el segundo tendrá 9/16, y, en
general, la figura n-ésima tendrá área (3/4)n. El triángulo de Sierpinski tiene área nula, pues (3/4)n tiende a cero
cuando n tiende a infinito. Sin embargo, si el perímetro del triángulo inicial es p, el del primer paso será 3p/2, el
del segundo 9p/4, y, en general, la figura n-ésima tendrá perímetro (3/2)np, por lo que el perímetro del triángulo de
Sierpinski es infinito, ya que (3/2)np tiende a infinito con n.
El tetraedro de Sierpinski se construye de manera análoga. En un tetraedro regular se marcan los puntos medios
de las aristas y al unirlos se forman tetraedros de lado mitad. Se quita la figura central. En cada uno de los cuatro
tetraedros restantes volvemos a repetir el proceso sucesivamente.
Las curvas de Peano y Hilbert
En 1890, Peano construyó una curva continua que pasa por todos los puntos del cuadrado unidad [0,1] x [0,1]. Era el
primer ejemplo de una curva que “llena” un espacio. Años más tarde, Hilbert construyó otra del mismo tipo con una
construcción geométrica más simple de describir.
La curva de Hilbert se construye como sigue. Se divide el cuadrado unidad en cuatro cuadrados iguales y unimos los
centros de dichos cuadrados por segmentos. Cada uno de dichos cuadrados se divide de nuevo en cuatro cuadrados
y se conectan sus centros comenzando siempre por el cuadrado inferior izquierdo y terminando en el cuadrado
inferior derecho. Se continúa de esta forma indefinidamente uniendo los centros de los cuadrados que resultan en
cada etapa.
La curva límite de tales poligonales “llena” el cuadrado unidad
y recibe el nombre de curva de Hilbert.
LA GEOMETRIA Y
LANATURALEZA
GEOMETRÍA Y LA
NATURALEZA
LAS FRUTAS EN LA NATURALEZA
Los niños y niñas de ciclo inicial hemos estado observando las formas geométricas que encontramos en las frutas y plantas.
Lo primero que hicimos fue traer muchas frutas a clase. Las partimos y descubrimos muchas cosas:
Esto es una manzana En el corazón de la manzana siempre
encontramos una estrella de cinco puntas
Por fuera las mangranas son como una
esfera que lleva corona.
Y por dentro parecen flores y estrellas.
Las naranjas son esferas.
Y por dentro tienen muchos triángulos
En la mandarina hay una estrella
Por dentro parecen ruedas de bicicleta.
En la uva hemos descubierto estrellas de
cinco puntas.
El kiwi es como un sol
GEOMETRIA EN LA ARQUITECTURA
Revisando algunos CDs antiguos y tratando de recuperar
algunos archivos encontré este trabajo que realicé unos años
atrás con el Arq. Marco Soria Herrera, Amigo y Maestro de la
Facultad de arQuitectura de la UNCP, este trabajo muestra
la importancia de la Geometría en la Arquitectura; como ideas
tan simples y básicas van tomando forma a medida que se va
dando el proceso del Diseño…y que también se reflejan en los
trabajos que realizo.
LA GEOMETRIA EN LA ARQUITECTURA
La Geometría, es el estudio del espacio; la arquitectura, en el más amplio sentido de la
palabra, es la creación en el espacio por medio de la construcción. Las dos disciplinas
son virtualmente inseparables, excepto por una diferencia: la
Geometría puede existir sin la Arquitectura, pero la Arquitectura
no puede existir sin la geometría.Es necesario analizar el espacio,
conocerlo a fondo y organizarlo en forma idónea. Merced al átomo
arquitectónico, su composición resulta sencilla, como en el campo
químico, donde el átomo origina los elementos, la agrupación de
éstos da lugar a las moléculas y la de éstas componen los cuerpos.
Arquitectura y Geometría Ideal. El circulo y el cuadrado pueden
emanar de la geometría social o de la fabricación, pero también son figuras abstracta,
puras. Como tales, en ocasiones se les atribuye poderes estéticos o simbólicos (o
ambos) inherentes. Algunos arquitectos las emplean para infundir a su obra una
disciplina que es independiente de (pero que talvez este relacionada) las diversas
geometrías de la realidad. Pero la geometría ideal no solo comprende el cuadrado y
círculo y sus derivados tridimensionales, el cubo y la esfera.
Uno de los argumentos a su favor era que, para ellos, las creaciones naturales como las
porciones del cuerpo humano, las relaciones entre los planetas o los intervalos de la
armonía musical- obedecían a relaciones geométricas, y que si quería que las obras de
arquitectura tuviese la misma coherencia conceptual, debían a su vez ser proyectados
usando figuras perfectas y proporciones matemáticas armónicas. Otro argumento era
que a través de la arquitectura podía conseguirse ese grado de perfección que las
creaciones naturales tan solo insinuaban.
Así pues, se consideraba que el uso de la geometría era un medio que tenia los seres
humanos para mejorar el imperfecto mundo en el que se encontraba. Por lo tanto, la
pureza geométrica era la piedra de toque de la capacidad humana o la obligación de
hacer un mundo mejor. En este sentido, se comprende que la geometría ideal, como
medio de imponer orden en el mundo, sea una característica ¨templo¨. A consecuencia
de todo ello, los arquitectos renacentistas hicieron un uso profuso de las figuras
perfectas y de las proporciones geométricas en sus edificios. Muchos arquitectos han
ideados edificios cuyas plantas se inscribían en cuadrados perfectos. Este tipo de
distribución en planta difiere conceptualmente de la composición de una fachada como
matriz bidimensional de cuadrados, en que aquí interviene la tercera dimensión y, tal
vez, la cuarta: la del tiempo. El proyecto de una planta cuadrada no suele ser fruto de
la aceptación de la geometría fabricación; de hecho, un espacio cuadrado no es
precisamente el más fácil de cubrir con la estructura. Al contrario, el proyecto de una
planta cuadrada obedece a un empeño autónomo, cuya razón de ser poco o nada tiene
que ver con las cuestiones meramente practicas.
Que ver con las cuestiones meramente practicas. Las razones que conducen a un
arquitecto a proyectar una planta cuadrada pueden ser de varios tipos: tal vez por la
razones filosóficas apuntadas anteriormente; o bien, porque un cuadrado puede
identificar un centro fijo que se realiza con las seis direcciones antes mencionadas; o
quizás sea una especie de juego: el desafío que supone el hecho de encajar una
distribución dentro de una forma tan rígida. En el arquitecto siempre busca ideas que
le ayudan a dar una forma a su obra y una orientación a su proyecto. Y de todas esas
ideas, la geometría figura entre las más seductoras. Proyectar dentro de un cuadrado
es una idea fácil de captar (y una manera de superar siempre difícil momento de
empezar un proyecto). Pero aunque a primera vista pueda presentarse como una
restricción, la planta cuadrada también es susceptible de variaciones infinitas. Existen
muchos ejemplos de plantas cuadradas notables. Poco frecuente en la arquitectura
antigua y medieval, forma parte del repertorio de la arquitectura renacentista.
Unos de los ejemplos más antiguos y singulares es, por supuesto, el de la pirámide
egipcia. Por lo general, esas tumbas se construían en terrenos situados al oeste del
Nilo, entre el río y el desierto, y estaban cuidadosamente orientadas según los puntos
cardinales. Cada orientación sobreelevada están situadas al este y vinculan la pirámide
con el rió y la vida en Egipto. La fachada opuesta encara el desierto. La fachada sur se
orienta hacia el sol en su punto más alto. La fachada norte parece investida de un
significado simbólico menor; de hecho se usaba para acceder a la cámara funeraria y no
tenia la misma que la entrada ceremonial. La pirámide es el centro de confluencia de
esos ejes, y la cámara funeraria ocupa su centro geométrico. Le corbusier también
utilizo la regla de oro para infundir coherencia geométrica a sus obras. En su famoso
libro hacia una arquitectura ( 1927 ). Le corbusier ilustra sus análisis geométricas de
algunos edificios conocidos y los trazados geométricos reguladores en los que había
basado alguno de sus propios proyectos
La geometría fractal de la naturaleza
Benoît Mandelbrot es conocido como el «padre de los fractales». Pero
¿qué es la geometría fractal ?
Concedamos la palabra al propio Mandelbrot : «¿Por qué a menudo se
describe la geometría como algo "frío" y "árido" ? Si, es incapaz de
descubrir la forma de la nube, una montaña, una costa o un árbol, porque
ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas
circulares, ni el tronco de un árbol cilíndrico, ni un rayo rectilíneo. (…)
Creo que muchas formas de la naturaleza son tan irregulares y
fragmentadas que la naturaleza no sólo presenta un grado mayor de
complejidad, sino que ésta se nos revela completamente diferente. (…) La
existencia de estas formas representa un desafío : (…) la investigación de la morfología de lo
«amorfo". (…) En respuesta a este desafío, concebí y desarrollé una nueva geometría de
la naturalezay empecé a aplicarla a una serie de campos. Permite describir muchas de las
formas irregulares y fragmentadas que nos rodean, dando lugar a teorías coherentes,
identificando una serie de formas que llamo fractales. (…) Algunos conjuntos fractales [tienen]
formas tan disparatadas que ni en las ciencias ni en las artes he encontrado palabras que lo
describieran bien. El lector puede hacerse una idea de ello ahora mismo con sólo echar una
rápida mirada a lasilustraciones de este libro».
Y termina : «Contra lo que hubiera podido parecer en un principio, la mayoría de mis trabajos
han resultado ser los dolores de parto de una nueva disciplina científica». Lo son, en efecto,
de tal manera que esta nueva disciplina, la geometría fractal de la naturaleza, protagonizan
hoy múltiples investigaciones en todos los campos de la ciencia.
Mandelbrot, Benoît
BIOGRÁFIA :Benoît Mandelbrot nació en Varsovia en 1924. Está
considerado uno de los matemáticos más importantes de nuestro
tiempo y ha desarrollado su trabajo en numerosos campos de la ciencia
y el arte. Desde 1987 es profesor de matemáticas en la Universidad de
Yale; también ha trabajado como investigador para los laboratorios de
IBM en Nueva York, ciudad donde vive en la actualidad. Es miembro de
la Academia Americana de Artes y Ciencias. Ha obtenido numerosos
premios, como el Japan Prize de Ciencia y Tecnología y el Wolf Prize de
física. Comenzó a interesarse por el mundo de las finanzas en el año
1960, y también en este terreno ha terminado haciendo aportaciones
fundamentales. En 2004, Fractales y finanzas fue elegido el mejor
libro de economía del año por la versión alemana del Financial Times.