Alfinio Flores Peñafiel University of Delaware cm

MEDICIÓN
Alfinio Flores Peñafiel
University of Delaware
Sección 1 Área y perímetro
Actividad 1. Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras (la retícula utilizada es de
cm2). Explica con tus propias palabras lo que significa área y lo que significa perímetro. Define
área y perímetro.
A=
P=
A=
P=
A=
P=
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A=
P=
A=
P=
1
A=
P=
A=
P=
A=
P=
A=
P=
Actividad 2. En papel cuadriculado cm2 traza uno de cada uno de los distintos rectángulos que
tengan un área de 16 cm2. Calcula el perímetro de cada rectángulo. ¿Cuál tiene el menor
perímetro?
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Actividad 3. En papel cuadriculado (pulgadas cuadradas) traza uno de cada uno de los distintos
rectángulos que tengan un perímetro de 12 pulgadas. Calcula las áreas de cada rectángulo. ¿Cuál
rectángulo tiene la mayor área?
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Sección 2 Áreas y distancias en el geoplano
El geoplano es un cuadrado de madera o plástico con clavos espaciados uniformemente en
hileras y columnas. Se pueden formar fácilmente figuras geométricas en el geoplano utilizando
ligas. Si no se tiene un geoplano a la mano se puede utilizar papel con puntos o cuadriculado, y
trazar las figuras con lápiz.
Distancia
La distancia (horizontal o vertical) entre dos puntos contiguos en el geoplano se considera
unitaria. Forma las figuras que se muestran en la figura 1 y calcula su perímetro.
Áreas en el geoplano.
El área comprendida en un cuadrado entre cuatro puntos contiguos del geoplano es un área
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unitaria.
Actividad 1. Calcula el área de las siguientes figuras.
Figura 1
Actividad 2.
a) Construye un rectángulo en el geoplano. Cuenta el número de cuadrados unitarios contenidos
en el rectángulo. Número de cuadrados: __________
b) Divide el rectángulo en renglones. ¿Cuántos renglones? ____________ ¿Cuántos cuadrados
en cada renglón? ___________ Además de contar los cuadrados del rectángulo uno por uno,
¿qué otros métodos puedes utilizar para encontrar el número total de cuadrados en el rectángulo?
c) Divide el rectángulo en columnas. ¿Cuántas columnas hay? ____________ ¿Cuántos
cuadrados en cada columna? ___________ ¿De qué otro modo puedes encontrar el número total
de cuadrados en el rectángulo?
d) Explica con tus propias palabras cómo los métodos utilizados en b) y c) se relacionan con la
fórmula usual para calcular el área de un rectángulo: Area = base  altura.
Construye rectángulos diferentes. Para cada uno encuentra el número total de cuadrados unitarios
a) contando, b) utilizando renglones, y c) utilizando columnas.
Actividad 3. Areas de triángulos rectángulos.
Construye varios triángulos rectángulos y calcula sus áreas.
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Muestra que cada uno de estos triángulos rectángulos es la mitad de un rectángulo con la misma
base y la misma altura y calcula el área de esta manera.
Explica con tus propias palabras cómo el método anterior se relaciona con la fórmula usual para
encontra el área de un triángulo: Área = base altura / 2
Actividad 4. Calcula el área de los siguientes triángulos.
Sugerencia. Muestra que cada uno de estos triángulos también es la mitad de un rectángulo con la
misma base y la misma altura.
Muestra que todos los triángulos en la siguiente figura tienen la misma área
Actividad 5. Areas de paralelogramos
Calcula las áreas de los paralelogramos mostrados
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Encuentra un rectángulo que tenga la misma base y la misma área que el paralelogramo. ¿Cómo
se compara la altura del paralelogramo con la altura del rectángulo? ______________ ¿Cómo se
relaciona el otro lado del paralelogramo? Explica con tus propias palabras por qué el área del
paralelogramo está dada por Area = base altura
Actividad 6.
Encuentra el área de los siguientes triángulos en dos formas distintas al menos.
Actividad 6a (optativa)
Construye un trángulo que no tenga ningun lado paralelo a los bordes del geoplano. ¿Puedes
encotrar su área?
Cuadrados en el geoplano
Para cada uno de los segmentos mostrados, construye un cuadrado que tenga el segmento dado
como lado.
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Supón que sólo te puedes mover en dirección horizontal o vertical en el geoplano. Describe cómo
llegarías de una esquina a otra del cuadrado.
Observa que en el ejemplo, te puedes mover tres a la derecha y uno hacia abajo, luego tres hacia
abajo y uno a la izquierda, después tres a la izquierda y uno hacia arriba, etc. Observa cómo se
alternan los números y las direcciones (horizontal y vertical).
Describe con tus propias palabras cómo se puede trazar una línea perpendicular a otra línea en
términos de los espacios entre los puntos del geoplano.
Areas de cuadrados inclinados
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Calcula las áreas de los cuadrados mostrados en la figura 1. La figura 2 sugiere una forma de
calcular las áreas. La figura 3 sugiere una forma alternativa.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Distancias entre puntos cualesquiera del geoplano.
La distancia entre cualesquiera dos puntos del geoplano se puede calcular construyendo un
cuadrado que tenga ese segmento como lado. Se calcula el área del cuadrado. La longitud del
lado será la ráiz cuadrada del área.
Calcula las longitudes de los segmentos mostrados en la figura
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Verifica el teorema de Pitágoras en el geoplano.
1) Verifica que todos los triángulos mostrados en la figura de abajo tienen ángulos rectos.
2) Calcula las áreas de los cuadrados sobre los catetos del triángulo y comparalas con el área del
cuadrado sobre la hipotenusa.
Sección 3 Fórmulas para áreas
(Estas actividades fueron desarrolladas en parte por Francisco Mirabal)
Objetivo: Deducir fórmulas para el cálculo de áreas de rectángulos, paralelogramo, trapecio,
trieangulos.
Material: 3 rectángulos dibujados en papel cuadriculado llamados A, B y C de dimensiones
5  8, 5  8 1/2 cm y 5 1/2  8 1/2 cm, repectivamente. Papel con cuadrícula de 1/2 ó 1 cm de
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lado, tijeras, escuadras, hojas de actividades.
Actividad 1
Dibuja en el papel cuadriculado el rectángulo A. Cuenta el número de cuadrados de 1 cm de lado
que cubren la superficie del rectángulo y anótalos: No. de cuadrados= _____
Para determinar el área o superficie de una figura geométrica, obtenemos el número de unidades
cuadradas que cubren tal superficie. El número de cuadrados correspondientes en este caso al
rectángulo A, representa su área en cm2. Completa la expresión: Area del rectángulo A= ___
cm2.
Dibuja en el papel cuadriculado el rectángulo B, obtén por conteo el área de dicho rectángulo,
sumando las partes fraccionarias que aparezcan. Anóta el resultado: Area del rectángulo B=__
cm2.
Repite el procedimiento para obtener el área correspondiente al rectángulo C. Area del rectángulo
C = _____ cm2
La experiencia obtenida en el cálculo de las áreas de A, B y C, te permite calcular por un
camino más corto las áreas respectivas.
Observa, si hemos seleccionado un centímetro como la unidad de distancia, la correspondiente
unidad de área es de un centímetro cuadrado. Un centímetro cuadrado esta definido como el área
de la superficie o región "encerrada" por un cuadrado que tiene lados de longitud igual a un
centímetro.
La siguiente figura te muestra que puedes obtener mediante una sencilla operación el área.
¿Cómo calcularias de forma rápida dicha área sin efectuar el conteo uno en uno de unidades
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cuadradas? Explicalo brevemente:
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
____________________________________________
Actividad 2
Material: 2 paralelogramos recortados en cartoncillo de 8 cm de base por 5 cm de altura.
2 triángulos recortados en cartoncillo de 8 cm de base y 5 cm de altura.
2 trapezoides recortados en cartoncillo de 8 cm de base y altura 5 cm.
Desarrollo: Empleando uno de los paralelogramos recortados sobre cartoncillo, determinarás su
área, según lo descrito a continuación.
En el paralelogramo de 8 cm de base y 5 cm de altura, traza una línea perpendicular a la base
como lo muestra la figura:
Corta el paralelogramo en dos secciones. Efectúa un arreglo con ambas partes colocándolas
convenientemente de modo que obtengas un rectángulo.
¿Corresponde el área del paralelogramo al área de un rectángulo de 8 cm de base (b) y 5 cm de
altura? Verifícalo colocando el paralelogramo arreglado, encima de un rectángulo de 5x8 cm.
¿Existirá alguna diferencia para obtener áreas de rectángulos o paralelogramos?
Explica:________________________________
_________________________________________________________________
_______________________________________
Por consiguiente, ¿cuál es el área del paralelogramo? Anótala:
Área del paralelogramo= _____ cm2.
¿Cuál será un camino más corto para obtener el área del paralelogramo?
_________________________________________________________________
___________________________________________________
Ahora, recorta los dos triángulos congruentes y muestra cómo se pueden arreglar para formar un
paralelogramo de 8 cm de base y 5 cm de altura. Luego, con lo estudiado para obtener el área del
paralelogramo, calcula el área de uno de los triángulos. Anota el resultado y explica brevemente
cómo llegaste a la solución:
Area del triángulo = _____ cm2.
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_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
____________________________________
Si la deducción te indica que el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo, escribe
una fórmula que te permita calcular el área de un triángulo en forma rápida:
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
____________________________________________
Con todo lo anteriormente analizado hasta aquí, ¿puedes calcular el área del trapezoide? ¡Por
supuesto! Sugerencia: Recorta el trapezoide y estudia si cortándolo por una de sus diagonales
para dividirlo en dos partes puedes obtener el cálculo pedido. Escribe la solución, explicando los
pasos seguidos para la obtención de su área.
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Sección 4 Desarrollo de fórmulas para áreas
Medir un área es comparar con el cuadrado unitario, es decir un cuadrado de dimesiones 1 x 1
cuya área es 1.
1) Da un argumento convincente que el área de un rectángulo es base x altura.
Área = b x h
Sugerencia: Considera un rectángulo cubierto por cuadrados unitarios. Cuenta los cuadrados en
un renglón. ¿Cuántos cuadrados en un renglón? ¿Cuántos renglones? ¿Cuál es el número total de
cuadrados? ¿Cuál es la relación entre el número de cuadrados en cada renglón con la longitud
del rectángulo? ¿Cuál es la relación del número de renglones con la altura del rectángulo?
Ahora haz lo mismo para las columnas. ¿Cuántos cuadrados en cada columna? ¿Cuántas
columnas?
2) Da un argumento convincente que el área de un triángulo es base x altura / 2
Muestra que la fórmula vale para cualquier tipo de triángulo, incluyendo triángulos que tienen un
ángulo obtuso. Sugerencia: Considera primero el caso especial de un triángulo rectángulo.
3) Da un argumento convincente que el área de un paralelogramo es base x altura.
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Área = b x h
Sugerencia 1: Corta un triángulo del paralelogramo y rearregla las partes para formar un
rectángulo con la misma base y la misma altura.
Sugerencia 2: Corta el paralelogramo en dos triángulos con la misma base y la misma altura.
Muestra que la fórmula muestra para cualquier paralelogramo, incluyendo el caso en que sólo se
conoce la base y la altura como se muestra en la siguiente figura.
h
b
Otra forma de ver por qué la fórmula es cierta se puede deducir del siguiente rompecabezas.
Un rompecabezas para el área de un paralelogramo
Pega las siguientes piezas en cartón y recórtalas.
Figura 1
Con el paralelogramo y el triángulo forma el siguiente rompecabezas.
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Figura 2
Figura 3
Ahora usa el rectángulo y el triángulo para forma el rompecabezas.
Figura 4
¿Qué puedes decir acerca del área del paralelogramo y el área del rectángulo?
La base menor del paralelogramo es igual a la base menor del rectángulo. Puedes verificar esto
sobreponiendo las dos bases o comparando la figura 3 con la figura 4.
Por lo tanto podemos concluir que el área de un paralelogramo es la misma que el área de un
rectángulo con la misma bse y la misma altura. Therefore, we can conclude that the area of a
parallelogram is equal to the area of the rectangle with the same base and the same height.
Sección 9.5 Fórmulas para volumen
Medir un volumen es comparar con el cubo unitario (un cubo de dimensiones 1 x 1 x 1 cuyo
volumen es 1).
1) Un bloque rectangular (un ladrillo) tiene una base de área B y una altura de longitud c.
El volumen de este bloque es V = B x c. Justifica esta fórmula en términos del número de cubos
unitarios en la caja.
Sugerencia: Imagina que el bloque se corta en rebanadas (de una unidad de grosor). Calcula el
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número de cubos unitarios en cada rebanada. ¿Cuántas rebanadas?
2) Un bloque rectangular tiene dimensiones a, b, c.
Otra fórmula para el volumen del prisma es V = a x b x c. Justifica esta fórmula en término del
número de cubos unitarios que caben dentro del bloque.
Muestra que las dos fórmulas son equivalentes.
El volumen de agua usada para irrigación se mide algunas veces en acre-pie. ¿Qué fórmula se
está utilizando?
El volumen y la propiedad asociativa de la multiplicación
La multiplicación es asociativa. Esto es, para cualesquiera números a, b, c se tiene
a  (b  c) = (a  b)  c. Describe cómo un ladrillo se puede rebanar en dos formas diferentes
para ilustrat esta propiedad.
3  (2  4) = (3  2)  4
Superficie y volumen
Calcula el área de la superficie y el volumen de un prisma rectangular de 2  3  5.
Si cada una de sus dimensiones se multiplica por 2, obtendremos un nuevo prisma de 4  6  10.
¿Cuál es la superficie del nuevo prisma? ¿Cuál es el volumen? Justifica tu respuesta de al menos
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dos formas distintas.
El volumen de una pirámide de base cuadrada.
La siguientes figuras representan un cubo y una pirámide con la misma base y la misma altura
que el cubo. Para determinar el volumen de la pirámide la podemos llenar de arroz (o agua), y
vaciar el contenido repetidamente en el cubo.
El volumen de un cono
Las siguientes figuras representan un cilindro recto y un cono que tiene la misma base y la misma
altura que el cilindro. ¿Cuál es el volumen del cono comparado con el volumen del cilindro?
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