El problema del horizonte cosmológico
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El problema del horizonte cosmológico
En cada instante de la historia del universo existe un distancia que determina
un límite u horizonte para el universo observable en esa época, el cual está fijado
por la distancia que ha viajado la luz desde la singularidad inicial del Big Bang
(ver horizontes en cosmología). Este horizonte tiene el efecto de ser el límite de
distancia para la cual dos regiones del Universo pueden estar causalmente
conectadas, es decir, que una señal luminosa haya podido llegar desde una de las
regiones hasta la otra. Cuando miramos en direcciones diferentes del cielo
observamos que la isotropía del fondo cósmico de microondas es tan buena como
algunas partes en 100,000. El fondo cósmico de microondas ha viajado
libremente por el universo desde la época de la recombinación (T = 3000K),
donde los electrones y los núcleos existentes (esencialmente hidrógeno y helio)
se combinaron para formar átomos neutros (ver universo primigenio). Desde ese
instante, los fotones no encontraron la interacción con partículas cargadas como
los electrones y pudieron moverse afectados sólo por la expansión del universo.
Por tanto, esa es una época interesante del universo para calcular la distancia al
horizonte.
El radio del horizonte de partículas para un observador situado en un
desplazamiento al rojo z viene dado por:
RH(1+z) c dt z(1+z) c dt/dz dz
En un universo crítico dominado por materia tenemos que
H0 dt = (1+ z)-5/2 dz
Y por tanto
RHc H0-1 (1+ z)-1/2
La época de la recombinación se produce para z 1100.
El diámetro angular de regiones de tamaño del orden del horizonte en la
época de la recombinación es
= DHr (ver métrica de FRW)
donde r es la coordenada comovil radial hasta la época de la
recombinación. En un universo de Einstein-de Sitter esto es
r = 0z (1+z) c dt/dz dz = 2 c/H0 [1 (1+z)-1/2]
y por tanto
= 2 [(1+z)1/21]-1 3.6º
Esto significa que regiones del cielo separadas por más de 3.6º estaban
causalmente desconectadas en la época en que la radiación dejó de
interaccionar con la materia. La pregunta es por qué entonces la isotropía
de la radiación es tan buena como algunas partes en 100,000 en
cualquier dirección del cielo que miremos (ver fondo cósmico de
microondas).
Una posible solución a este problema de la desconexión causal lo ofrece
el escernario inflacionario. De acuerdo con los escenarios inflacionarios,
una expansión exponencial ocurrió en el universo muy temprano cuando
habían transcurrido unos 10-35 segundos desde el Big Bang y la energía
característca rondaba los 1015 GeV.(equivalente a un tempertura de unos
1028 K)
Dicha expansión exponencial duró una cantidad finita (y muy pequeña)
de tiempo de tal forma que las escalas de distancia crecieron en un factor
enorme que podemos poner como
a(tf)/a(ti) = eN
siendo a(tf) el parámetro de expansión en el momento de finalizar el periodo
inflacionario, a(ti) el parámetro de expansión en el momento inicial de inflación
y N una medida apropiada del incremento de la escala de distancias.
En una expansión exponencial el parámetro de expansión evoluciona como
a(t) = a(ti) exp [Hinf (t-ti)]
Un observador después de que haya ocurrido la transición inflacionaria verá el
horizonte de partículas a una distancia
rP = c0tf a(tf) dt/a(t) =c0ti a(tf) dt/a(t) + ctitf a(tf) dt/a(t)
Despreciando la contribución del universo preinflacionario y teniendo en
cuenta que da(t) = H a(t) dt tenemos que la distancia al horizonte de
partículas es
rP = c/H a(tf)
a(ti)a(tf)da/a2(t) = c/H {a(tf)/a(ti) - 1}
Luego rP = c/H {eN-1}
y el horizonte se aleja del observador durante inflación a una velocidad
superlumínica igual a
drP/dt = c/H eN dN/dt = c eN
mientras que una partícula situada en el horizonte del observador se aleja a una
velocidad
v = H rP = c {eN-1}
donde se ve fácilmente que el horizonte traspasa a las partículas que se hallan en
él a velocidad c, como debe ser siempre el caso.
Puesto que el radio de Hubble permanece constante a una distancia c/H, todas
las partículas son barridas mucho más allá del radio de Hubble durante el periodo
inflacionario. Sin embargo, cualquier partícula que se encontrar dentro del
universo observable antes de inflación permanecerá dentro del universo
observable después de inflación.
Veamos cuál es la tasa mínima de expansión exponencial durante inflación
para resolver el problema del horizonte.
Si rv es el radio del universo visible actualmente , tenemos que, para que todo
el universo visible esté causalmente conectado, se tiene que cumplir que
rv < rp (N) / 3 (ver horizontes en cosmología)
donde rp (N) es el horizonte de partículas en la actualidad cuando ha sucedido un
periodo inflacionario. Como por supuesto rv < rp (0), donde rp (0) es el radio del
horizonte de partículas en ausencia de inflación, se tiene entonces que una
condición suficiente para librarnos del problema del horizonte es
rp (N) > 3 rp (0)
En un universo de expansión desacelerada tenemos rp (0) ~ c/H0
y con inflación tendremos que rp (N) ~ a(t0)/a(tf) c/Hinf {eN-1}
y por tanto rp (N)/rp (0) ~ [a(t0) H0]/[a(tf) Hinf ] {eN-1}
de donde si N es grande se tiene que cumplir que N ~ log [a(tf) Hinf /a(t0)
H0]
Debemos distinguir aquí dos épocas diferentes en la evolución del
universo: una dominada por radiación hasta una época donde la
temperatura cayó hasta ~ 104K y otra dominada por materia hasta
nuestro días. En el primer caso el parámetro de expansión evoluciona
como a(t) ~ t1/2 y en el segundo caso lo hace como a(t) ~ tn con 2/3 n 1
Para a(t) ~ tn tenemos que la constante de Hubble evoluciona como
como
H(t)= 1/a da/dt ~ t-1 ~ [a(t)]-1/n
y como a(t0)/a(t) = 1+z = T/T0
siendo T la temperatura equivalente a la distribución energética de la
radiación (distribución de cuerpo negro), podemos poner entonces
N ~ log [a(tf) Hinf /a(t0) H0] = log [{a(tf)/a(t0)} {Hinf /Hr} {Hr/H0}] ~
~ log [{a(tf)/a(t0)} {a(tr)/a(tf)}2 {a(t0)/a(tr)}1/n]
donde Hr y tr son respectivamente la constante de Hubble y la edad del
universo en la época donde la contribución de energía de radiación
empieza a dominar la dinámica del universo.
Obtenemos un N mínimo para n = 1 (universo vacío de materia por
ejemplo) y tenemos que
Nmin ~ log [Tf/Tr] ~ log [1028K/104K] ~ 55
siendo Tf y Tr respectivamente las temperaturas al final del periodo
inflacionario y en la época donde el universo empieza a ser dominado por
la radiación.
Para un universo crítico dominado por materia (n = 2/3)
N ~ log [Tf/(Tr T0)1/2] ~ log [1028K/ (3K 104K)1/2] ~ 60
es la tasa mínima de expansión exponencial durante el periodo
inflacionario. El universo dobla su tamaño un mínimo de unas ¡80 veces!
durante inflación.
Variación del logaritmo de (1+z) frente al tiempo para un universo que pasó por
una época inflacionaria. La línea discontinua representa la predicción del Big Bang
estándar (figura obtenida de las notas del año 97 de Ned Wright)