ALGUNOS ASPECTOS DE LAS MATEMÁTICAS A COMIENZOS DEL SIGLO XX: UNA ÉPOCA DE GRANDES CAMBIOS EN LA CIENCIA, El Escorial, 25-29 de Julio de 2005 INTRODUCCIÓN El último cuarto del siglo XIX supuso un largo periodo de paz y estabilidad en Europa que propició un enorme desarrollo económico y cultural. La llamada Segunda Revolución Industrial tuvo lugar esencialmente como consecuencia de los nuevos descubrimientos científicos, que originaron la aparición de una serie de innovaciones tecnológicas de gran impacto social. Este reconocimiento del papel social de la Ciencia favoreció un florecimiento sin precedentes de los avances científicos en todos los campos. Las Matemáticas no fueron ajenas a este proceso. En los últimos años del siglo XIX se sientan las bases de gran parte de los desarrollos posteriores. Entre otras aportaciones, podemos citar la introducción de las estructuras algebraicas y topológicas, el desarrollo de la Geometría diferencial intrínseca, la culminación del proceso de rigorización del Análisis, la aparición de los primeros sistemas lógicos rigurosos y de la Teoría de conjuntos, la axiomatización completa de la Geometría, etc. Y junto a un ingente desarrollo interno, su papel de herramienta esencial para la descripción y modelización de la realidad motivó también el desarrollo y creación de nuevas técnicas y métodos para resolver los problemas planteados por las ciencias de la Naturaleza y la Ingeniería. En el curso se pretende ilustrar este momento de cambio y gran creatividad en las Matemáticas dando cuenta de una serie de contribuciones significativas, tanto en el campo más abstracto como en el de las aplicaciones. PROGRAMA Lunes, 25 de Julio. 10:30h. Prof. M. Valdivia Ureña, Universidad de Valencia: La aritmética de los números ordinales y el Axioma de Elección. 12h. Prof. F. Bombal Gordón, U.C.M.: Las ecuaciones integrales y el nacimiento del espacio de Hilbert. Resumen: A lo largo del siglo XIX diversos problemas originados en diferentes áreas de las matemáticas (Análisis, Geometría, Física Matemática, etc.) conducen al planteamiento de una ecuación integral. La impresión general a finales el siglo XIX era que la Teoría de Ecuaciones Integrales estaba muy lejos de poder ofrecer resultados satisfacto- rios. Por ello, la solución de I. Fredholm (1900) supuso una gran sorpresa. En sus trabajos se establecía un método para resolver gran número de ecuaciones integrales, pero no se percibía la razón de por qué este método funcionaba. Ese fue el origen del interés de D. Hilbert por estos temas. Sus aportaciones en la primera década del siglo XX fueron decisivas para el desarrollo de una “teoría de funciones de infinitas variables” estableciendo un marco adecuado para la misma: el espacio de Hilbert y la Teoría Espectral. En la conferencia se intentará dar cuenta de este proceso de clarificación y desarrollo de nuevas herramientas para resolver un viejo problema. 16:30h. Mesa Redonda. Invitado adicional: Prof. P. Jiménez Guerra, U.N.E.D. Martes, 26 de Julio. 10h. Prof. J. Mª Montesinos Amilibia, U.C.M.: Gauss en Topología. 12h. Prof. J. R. Delgado Pérez, U.C.M.: Estructuras algebraicas y aritméticas a principios del siglo XX Resumen: En el entorno de 1900 matemáticos de la talla de Hilbert, Minkowski o Poincaré, entre otros, sientan las bases para el desarrollo de la Teoría Algebraica de Números, Geometría Algebraica y Geometría Aritmética, así como del Álgebra moderna. En la conferencia se tratarán algunos de los hitos de este proceso científico y se mostrará su vigencia al cabo de un siglo. 16h. Mesa Redonda. Invitado Adicional: Prof. C. Andradas Heranz, U.C.M. Miércoles, 27 de Julio. 10h. Prof. A. Ibort Latre. Universidad Carlos III.: Einstein y la crisis de la ciencia a comienzos del siglo XX Resumen: A comienzos del siglo XX tuvieron lugar importantes cambios en los fundamentos del conocimiento científico; unos fueron impulsados por el colapso de la Física Clásica y otros por la crisis de los fundamentos de la Matemática. Unos y otros fueron siendo superados con una elaboración mas profunda y cuidadosa de la naturaleza del conocimiento cientifico. Einstein jugó un papel crucial con sus contribuciones en el desarrollo de de esta crisis, aunque la refutación de su posterior acerada critica a los fundamentos epistemológicos de la mecánica cuántica nos conduce a una nueva y más profunda crisis cuya solución todavía no entrevemos 12h. Prof. L. J. Boya. Universidad de Zaragoza: Geometría Diferencial al cambio de siglo XIX/XX. Resumen: Después de Riemann, la Geometría Diferencial toma el relevo de la geometría proyectiva como líder. Se comentará el Calculo Diferencial Absoluto de Ricci, y el subsiguiente análisis tensorial, con las aportaciones de Levi-Cività, Weyl, etc., terminando con una apertura a las ideas geométricas en la física de la Teoría General de la Relatividad de Einstein. 16:30h. Mesa Redonda. Invitado adicional: Prof. I. Sols, U.C.M. Jueves, 28 de Julio 10h. Prof. Ildefonso Díaz Díaz. U.C.M.: Einstein y la Física-Matemática en España Resumen: La visita de A. Einstein a nuestro país en 1923 tuvo un gran impacto lo que, entre otras cosas, ha permitido reconstruir, años más tarde, el ámbito científico que le acogió y su relación con distintos catedráticos de Física-Matemática (véanse distintos trabajos de J. M. Sánchez-Ron y A. Roca, entre otros). Una breve aproximación al tema, sus antecedentes y el papel jugado por la Real Academia de Ciencias serán presentados en la conferencia. 12h. Prof. J. Manuel Vegas Montaner, U.C.M.: Los sistemas dinámicos en el cambio del siglo XIX: de Poincaré. a Birkhoff * Resumen: La teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales ordinarias se inicia en 1882 con una serie de artículos de Poincaré. Tras aplicar estos nuevos métodos a la mecánica celeste en una obra fundamental, formula multitud de problemas, muchos de los cuales quedan abiertos a su muerte en 1912. Su discípulo Birkhoff completa muchos de ellos y establece la noción abstracta de "sistema dinámico" y los conceptos esenciales de la teoría. Paralelamente, Liapunov desarrolla en Rusia (1892) una potente teoría de la estabilidad del movimiento en sistemas mecánicos, iniciando una importante tradición muy bien representada en la "escuela de Gorki", que se reclama seguidora de la tradición de Poincaré y a la que se debe, en buena medida, la supervivencia de la misma. 16:30h. Mesa Redonda. Invitado adicional: Prof. M. A. Herrero, U.C.M. Viernes, 29 de Julio 10h. Prof. Teófilo Valdés Sánchez. U.C.M.: El cambio de siglo del XIX al XX: un puente hacia la modernidad en la Probabilidad y la Estadística. Resumen: En el salto entre los siglos XIX y XX se dieron los primeros pasos relevantes hacia la modernidad tanto en la Probabilidad como en la Estadística. La charla centrará la atención sobre científicos de las escuelas rusa e inglesa (Markov, Lyapunov y K. Pearson, fundamentalmente) y se comentarán las prolongaciones posteriores de sus trabajos pioneros. Prof. M. Martínez Pérez, U.C.M.: Viejos e importantes problemas abiertos de geometría elemental, al fin resueltos. 12h. Resumen: A finales del siglo XIX permanecían abiertos (entre otros) tres importantes problemas “teóricos” de la geometría elemental, planteados por la obra de los más importantes geómetras griegos (Eudoxo, Euclides y Arquímedes). Se trataba de los siguientes: a) La cuadratura del círculo. b) Hallar una axiomatización completa de la geometría euclídea. c) Decidir si es posible una teoría del volumen de poliedros basada en el método de “disección” euclídeo. Estos tres grandes problemas fueron resueltos finalmente en los últimos años del siglo XIX (F. Lindemann, D. Hilbert, M. Dehn). En esta charla repasaremos sumariamente estos resultados.