los cuadrados mgicos

Los cuadrados mágicos
Preparado por: Roberto O. Rivera Rodríguez
Coaching de matemática
Escuela Eduardo Neuman Gandía
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez,
¿Qué es un cuadrado
mágico?

Un cuadrado mágico es una matriz
cuadrada de números en el cual la
suma de los números en forma
horizontal, vertical y diagonal es la
misma.
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
Breve historia de los cuadrados mágicos



El origen de los cuadrados mágicos es muy antiguo, anterior a
la era cristiana. Una leyenda china cuenta que alrededor del
año 2200 a.C. el emperador Yu vio a las orillas del río Amarillo
un cuadrado mágico grabado en el caparazón de una tortuga.
Se denominó "LO-SHU" y se le atribuyeron propiedades
mágicas y religiosas.
En Occidente los cuadrados mágicos aparecen por primera vez
en el año 130 d.C. en los trabajos del astrónomo griego Teón
de Esmirna.
Los cuadrados mágicos fueron introducidos en Europa en el
Siglo XIV. Los cuadrados mágicos se usaron en esta región
para predecir el futuro, curar enfermedades y como amuletos
para prevenir plagas y maleficios. Incluso en algunas cortes
europeas se grabaron cuadrados mágicos en los platos para
prevenir posibles envenenamientos.
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Rodríguez
Continuación
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En el Renacimiento, los cuadrados mágicos se estudiaron
desde el punto de vista matemático y varios científicos y artistas
los usaron como ilustraciones para sus obras.
Con el paso del tiempo científicos y matemáticos estudiaron sus
propiedades matemáticas.

Entre los matemáticos famosos que en los siglos XVI y XVII se
ocuparon de los cuadrados mágicos debemos mencionar a
Fermat y Pascal.

De La Loubere, quien fue embajador de Luis XIV en los años
1687 y 1688, publicó en 1691 su conocidísimo método de
construcción de cuadrados impares. Aun en esa época el tema
estaba rodeado de misticismo.
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Rodríguez
Continuación

Euler, en 1776, hace aportaciones importantes sobre la
construcción y descubre diversas propiedades sobre los
cuadrados mágicos.

En el Siglo XIX, importantes avances fueron obtenidos por
Lucas, Tarry, y Rouse Ball.

Finalmente, en el Siglo XX, la atención de los matemáticos que
se ocuparon del tema, se centró en la estructura y la
contabilización de los cuadrados, obteniéndose prodigiosos
resultados.
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Clasificación de los cuadrados
mágicos

Un cuadrado mágico N x N es de orden impar si N
se puede escribir de la forma 2m + 1 donde m es
un número natural.
 Un cuadrado mágico N x N es de orden
sencillamente par si N se puede escribir de la
forma 2(2m + 1) ó 4m + 2 donde m es un número
natural.
 Un cuadrado mágico N x N es de orden
doblemente par si N se puede escribir de la forma
4m donde m es un número natural.
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¿Cuánto es la suma de todos los
números de un cuadrado mágico N x N?
Cuadrado mágico
Suma total
3x3
45
4x4
136
5x5
325
NxN
N 2 ( N 2 + 1)
S=
2
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¿Cuánto es la suma de cada fila o
columna de un cuadrado mágico N x N?
Cuadrado mágico
Suma total
3x3
15
4x4
34
5x5
65
NxN
N ( N 2 + 1)
S=
2
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Resuelve el siguiente
cuadrado mágico
8
1
6
3
5
7
4
9
2
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Construcción de cuadrados mágicos de
orden impar
Método de De la Loubere’s





Los números se escriben en orden desde 1 hasta N.2
Se empieza con el 1 en la celda del centro de la fila
superior o más alta.
Se continúa con los enteros en la celda superior
derecha.
Si esa celda está ocupada entonces el números se
escribe en la celda de abajo del último número escrito.
Cuando la celda superior derecha esté ocupada el
número va debajo de la celda.
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Utiliza el Método de De la Loubere’s para
construir lo que se te indica:
1) Un cuadrado mágico 5 x 5
2) Un cuadrado mágico 7 x 7
a. ¿Cúanto es la suma total de cada
cuadrado mágico?
b. ¿Cúanto es la suma de cada fila o
columna en cada cuadrado mágico?
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Soluciones
17
23
4
10
11
24
5
6
12
18
1
7
13
19
25
8
14
20
21
2
15
16
22
3
9
30
38
46
5
13
21
22
39
47
6
14
15
23
31
48
7
8
16
24
32
40
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1
9
17
25
33
41
49
10
18
26
34
42
43
2
19
27
35
36
44
3
11
28
29
37
45
4
12
20
Construcción de cuadrados mágicos de
orden doblemente par
Método de Durer’s




Los números se escriben en orden desde 1 hasta N.2
Traza diagonales imaginarias a través de cada 4 x 4
subcuadrados en el cuadrado mágico.
Empieza con el número 1 en la esquina superior izquierda
y procede horizontalmente hacia la derecha pero solo
escribe en las celdas que están en la diagonal.
Una vez llegues a la esquina inferior derecha empieza
como si fueras a escribir el 1 en esa misma esquina, dale
para atrás al proceso y llena las celdas restantes.
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Rodríguez
Ejemplo
1
4
1
15 14
4
7
12
6
7
9
10 11
8
10 11
5
13
3
16
6
13
16
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Rodríguez
2
Utiliza el Método de Durer’s para construir
lo que se te indica:
1) Un cuadrado mágico 8 x 8
a. ¿Cúanto es la suma total del
cuadrado mágico?
b. ¿Cúanto es la suma de cada fila o
columna en el cuadrado mágico?
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Rodríguez
Solución
1
56
48
25
33
24
16
57
63
10
18
39
31
42
50
7
62
11
19
38
30
43
51
6
4
53
45
28
36
21
13
60
5
52
44
29
37
20
12
61
59
14
22
35
27
46
54
3
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Rodríguez
58
15
23
34
26
47
55
2
8
49
41
32
40
17
9
64
Construcción de cuadrados mágicos
de orden sencillamente par
Método de Horton ó L U X
1) Divida el cuadrado mágico original en subcuadrados 2x2. Por
ahora olvídese de las casillas originales y piense en los
subcuadrados como nuevas casillas.
2) A cada subcuadrado se le asignará una letra(L, U o X) como
veremos a continuación.
3) A los subcuadrados de las k+1 filas de arriba se les asigna la
letra L. A los subcuadrados de la fila que está más arriba de las
que aún no tienen letras asignadas, se les asigna la letra U. A
los subcuadrados de las filas restantes se les asigna la letra X
4) El próximo paso consiste en intercambiar la U que está en el
centro de la fila de las Ues con la L que está inmediatamente
encima de ella.
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Continuación
5) Los números se ingresarán en el cuadrado en su orden natural
(1,2,3,…), en grupos de a cuatro, completando los subcuadrados
uno por uno. La forma de completar cada subcuadrado depende
de la letra que tenga. senLa siquiente figura esquematiza el
procedimiento.
Esto significa que un subcuadrado que tenga la letra L, llevará el
menor número de los cuatro que van en él (marcado como 1), en la
esquina superior derecha, el siguiente (marcado como 2) en la
esquina inferior izquierda, el siguiente (marcado como 3) en la
esquina inferior derecha y el mayor (marcado como 4) en la
esquina superior izquierda y así como lo indica la figura con la U y
la X.
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Continuación
6) Mirando los subcuadrados como casillas, vemos un cuadrado
de lado impar, lo que nos habilita a irlos eligiendo con el método
de La Loubère.
32 29 4
1 24 21
30 31 2 3 22 23
12 9 17 20 28 25
10 11 18 19 26 27
13 16 36 33 5
14 15 34 35 6
8
7
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Utiliza el Método de Horton para construir
lo que se te indica:
1) Un cuadrado mágico 10 x 10
a. ¿Cúanto es la suma total del cuadrado
mágico?
b. ¿Cúanto es la suma de cada fila o
columna en el cuadrado mágico?
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Solución
68
65
96
93
4
1
32
29
60
57
66
67
94
95
2
3
30
31
58
59
92
89
20
17
28
25
56
53
64
61
90
91
18
19
26
27
54
55
62
63
16
13
24
21
49
52
80
77
88
85
14
15
22
23
50
51
78
79
86
87
37
40
45
48
76
73
81
84
9
12
38
39
46
47
74
75
82
83
10
11
41
44
69
72
97
100
5
8
33
36
43
42
71
70
99
98
7
6
35
34
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
Cuadrado mágico 14 x 14
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