¿Qué se puede hacer? Plan de clase (1/2) Escuela: ___________________________________________ Fecha: _____________ Profr. (a): ______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 1 secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 7.2.6 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras. Intenciones didácticas. Que los alumnos calculen el perímetro y el área de polígonos regulares utilizando diferentes procedimientos. Consigna. Reúnete con un compañero y tomen las medidas necesarias para calcular el perímetro y el área de cada una de las siguientes figuras: . Triángulo equilátero Cuadrado Pentágono regular Perímetro: ___________ Perímetro: ___________ Perímetro: ______________ Área: ___________ Área: ___________ Área: ______________ Consideraciones previas: En este momento los alumnos deben conocer las fórmulas para calcular el perímetro y el área de las dos primeras figuras, se espera que usen estos conocimientos para resolver lo que se plantea. 1 Para el caso del área del triángulo, necesitan dos datos, la medida de la base y de la altura. Por lo que se espera que midan y obtengan estos datos y apliquen la fórmula correspondiente. La base mide 5 cm y su altura mide aproximadamente 4.3 cm. A bh (5 cm)(4.3 cm) 10.75 cm 2 2 2 En relación con el perímetro, éste lo pueden obtener de varias maneras, por ejemplo tomando tres veces como sumando la medida de un lado (5 cm) o bien con la multiplicación 3 (5 cm). En este momento vale la pena profundizar con preguntas como: ¿Qué fórmula se requiere para calcular el perímetro de un octágono regular? ¿Cuál para un decágono regular? ¿Y cuál para un polígono regular de n lados? Si la fórmula para calcular el perímetro de un polígono regular es P = 7l, donde l es la medida de un lado, ¿de qué figura se trata? Y si la fórmula es P = l + l + l + l + l + l, ¿de qué figura se trata? La idea es interactuar con el lenguaje algebraico. Para el cuadrado, basta con utilizar P = 4l y A = l 2 para obtener el perímetro y el área, respectivamente, donde l es la medida de un lado. En la tercera figura el verdadero reto está en calcular su área, dado que los alumnos no conocen una fórmula para calcular el área del pentágono regular. Sin embargo, cuentan con otros recursos para hacerlo, como dividir el pentágono en otras figuras, para las cuales ya conocen una fórmula. Algunas posibles transformaciones son las siguientes: Caso 1 Caso 2 Pentágono regular Pentágono regular 2 Caso 3 Caso 4 Pentágono regular Pentágono regular Nota: Las líneas punteadas son las alturas de las figuras resultantes, las cuales tendrán que ser consideradas por los alumnos para realizar sus cálculos. En el caso 1, la figura está dividida en un triángulo y un trapecio. En el segundo caso son puros triángulos. En el caso 3, está dividido el pentágono en tres triángulos y un cuadrado. El caso 4, es una división poco probable que realicen los alumnos, sin embargo, es uno de los métodos más rápidos, porque sólo necesitan dos medidas para hacer los cálculos. En caso de que este procedimiento de triangulación no surgiera entre los alumnos, se puede sugerir que lo hagan, ya que representa una experiencia fundamental para deducir la fórmula para calcular el área de cualquier polígono regular. Independientemente del procedimiento que sigan los alumnos, se espera que puedan concluir que el área del pentágono es de aproximadamente 28 cm2. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado 3 Pobre De manera general Plan de clase (2/2) Escuela: ___________________________________________ Fecha: _____________ Profr. (a): ______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 1 secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 7.2.6 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras. Intenciones didácticas. Que los alumnos deduzcan la fórmula general para calcular el área de un polígono regular. Consigna. Reúnete con dos compañeros y resuelvan los siguientes problemas: 1. Con base en las siguientes figuras, escriban una fórmula para calcular el área del hexágono y otra para el octágono. 2. Escriban una fórmula para calcular el área de cualquier polígono regular. 4 Consideraciones previas: Con respecto al primer problema, es probable que la mayoría de los alumnos sólo lleguen a las siguientes expresiones algebraicas: xa xa xa xa xa xa Para el hexágono: A 2 2 2 2 2 2 Para el octágono: A xa xa xa xa xa xa xa xa 2 2 2 2 2 2 2 2 Si este fuera el caso, puede generarse una interacción entre los alumnos y el profesor para deducir la fórmulas. El profesor puede explicar que las sumas se pueden escribir así: Para el hexágono: A a ( x x x x x x) 2 Para el octágono: A a ( x x x x x x x x) 2 Luego, puede preguntarse a los alumnos: ¿Qué representa lo que está dentro del paréntesis? ¿Cómo se pueden escribir esas sumas en forma de productos? Esto es con la finalidad de que los alumnos se den cuenta que las sumas representan el perímetro de las figuras y cómo las pueden simplificar. Con lo anterior se pueden transformar las expresiones en otras: Para el hexágono: A a (6 x ) (6 x ) a o A 2 2 Para el octágono: : A a (8 x) (8 x) a o A 2 2 A partir de estas últimas expresiones se puede preguntar a los alumnos, ¿cuál sería la fórmula para calcular el área de un decágono regular?, ¿y para un polígono regular de 16 lados? ¿Y cuál sería la fórmula para calcular el área de cualquier polígono regular? La idea es que los alumnos adviertan que la variación en las fórmulas es 6x, 8x, 10x, 16x y que estas expresiones representan el perímetro de los polígonos, el cual puede representarse con P; por lo que la fórmula para calcular el área de cualquier polígono regular es: A Pa . 2 Finalmente, se sugiere pedir a los alumnos que usen la fórmula construida para verificar el área del pentágono del plan anterior. 5 Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 14/15 6