ESTEREOMETRIA Resumen
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Prof. Jessica Mora Bolaños Estereometría o Geometría del Espacio No. 1 Prisma Recto La estereometría estudia los sólidos, los cuales son una porción del espacio limitada por superficies geométricas. Los sólidos se clasifican de la siguiente forma: Son poliedros limitados por dos polígonos paralelos y congruentes llamados bases, y por caras laterales que son rectángulos perpendiculares a las bases. Por ejemplo: SÓLIDOS (figura del espacio) POLIEDROS PRISMAS CUERPOS REDONDOS PIRÁMIDES CILINDROS CONOS Poliedros: Porción de espacio limitada solamente por polígonos. ARISTA ESFERAS PRISMA DE BASE TRIANGULAR PRISMA DE BASE RECTANGULAR PRISMA DE BASE HEXAGONAL ARISTA Dos prismas muy importantes son: El PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR o prisma de base rectangular. El hexaedro regular o cubo. CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES VERTICE CARA - Todo prisma tiene altura (distancia entre sus bases). - Si la base del prisma es un polígono regular entonces este tiene diagonales, un radio y una apotema. - Se llama diagonal de un prisma, al segmento de recta que tiene por extremos dos vértices opuestos. CARA VERTICE AREA DE UN PRISMA Dentro de los poliedros podemos encontrar: 1) Los prismas A total = 2 A base + A lateral VOLUMEN DE UN PRISMA Volumen = A base h Prof. Jessica Mora Bolaños 2) No. 2 Las Pirámides. AREA DE UNA PIRÁMIDE Pirámide recta A total = A base + A lateral Las pirámides son poliedros cuya única base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos que concurren en un punto llamado vértice o cúspide de la pirámide. VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE Por ejemplo: Volumen = 1 3 A base h Cuerpos Redondos Son los cuerpos geométricos que están limitados por superficies curvas o por superficies planas y curvas. Los cuerpos redondos son los siguientes: 3) PIRAMIDE DE BASE TRIANGULAR TETRAEDRO PIRAMIDE DE BASE CUADRANGULAR REGULAR: PIRAMIDE DE BASE PENTAGONAL Cilindro Circular Recto Sólido que tiene dos bases circulares congruentes y paralelas, y una superficie lateral curva o alabeada. Pirámide recta que tiene todas sus aristas congruentes. CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES - Toda pirámide tiene altura, y el pie de la altura es el centro de la base. - La altura de cada triángulo que forma las caras de la pirámide, se llaman APOTEMAS de la pirámide. - Cilindros - La superficie lateral es generada por un rectángulo. - La altura es la distancia entre las bases. radio La base de la pirámide, por ser un polígono regular tiene diagonales, un radio y una apotema. apotema de la pirámide arista lateral apotema de la base altura: h altura: h Prof. Jessica Mora Bolaños No. 3 AREA DE UN CILINDRO CIRCULAR RECTO AREA DE UN CONO CIRCULAR RECTO A total = 2 A base + A lateral A total = A base + A lateral A total = r 2 + r g A total = 2 ( r 2) + 2 r h g 2r g h AB = r2 AB = r 2 AL= r g AL = 2 r h VOLUMEN DE UN CILINDRO CIRCULAR RECTO VOLUMEN DE UN CONO CIRCULAR RECTO Volumen = A base h Volumen = r 2 Volumen = h Volumen = 4) Conos Cono Circular Recto Sólido cuya base es un círculo y cuya superficie lateral termina en un punto llamado vértice, y es curva o alabeada. CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES - La altura es perpendicular a la base circular en el centro. - La superficie lateral es un sector circular cuyo arco tiene igual longitud a la longitud de la circunferencia de la base. altura: h radio generatriz: g 1 3 1 3 A base h r2h Prof. Jessica Mora Bolaños No. 4 5) Esfera PRACTICA Esfera PRISMAS Y PIRÁMIDES Cuerpo tal que todos los puntos de su superficie están a igual distancia de un mismo punto fijo que se denomina centro de la esfera. CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES 1. Queremos forrar las caras laterales de una columna que tiene forma de prisma triangular regular, en la cual, el lado de la base mide 4 m y la altura de la columna mide 3 m. ¿Qué cantidad de material necesitamos? - El segmento que une cualquier punto de la esfera con el centro se llama RADIO. 2. Halle el área total y el volumen de un cubo cuya arista mide 8cm. - La sección plana de una esfera es un círculo; si éste pasa por el centro es un círculo máximo. 3. El área total de un cubo es 294dm 2. Calcule la medida de la diagonal del mismo. 4. Halle el volumen de un cubo cuya área mide 54cm 2. 5. Halle el área total de un prisma hexagonal regular cuya arista basal mide 6cm y su arista lateral mide 24cm. R R R 6. Halle el volumen de una maleta cuyas dimensiones son 9cm, 24cm y 35cm. 7. Halle el área lateral de un prisma hexagonal regular que tiene una altura de 6cm y de arista basal 2cm. 8. Halle el área total y el volumen de un prisma pentagonal regular que tiene de altura 10cm y de arista basal 20 cm. AREA DE UNA ESFERA A=4R2 VOLUMEN DE UNA ESFERA V= 4 3 R3 9. Halle el área total y el volumen de un paralelepípedo rectangular cuyas medidas son 12cm de largo, 5.5cm de ancho y 10cm de alto. 10. Calcule la medida de una de las aristas laterales de una pirámide de base cuadrangular regular sabiendo que la apotema de la pirámide mide 5cm y las aristas de la base miden 6 cm. 11. Calcule la medida de las aristas laterales de una pirámide regular cuya altura mide 6 cm y tal que la base es un hexágono regular de 24 cm de perímetro. 12. Halle la medida de la altura de una pirámide de base cuadrangular regular cuya base tiene un área de 32 cm 2 y cuyas aristas laterales miden 5 cm. 13. Halle la medida de la apotema de una pirámide regular cuya altura mide 15 cm y cuya base es un cuadrado de 7 cm de lado. Prof. Jessica Mora Bolaños 14. Halle la apotema de una pirámide hexagonal regular de 6 cm de arista basal y 18 cm de altura. 15. Halle el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuyo lado de la base es de 4 cm y cuya altura es de 10 cm. 16. Halle el área y el volumen de una pirámide hexagonal regular cuya apotema basal mide 6 cm y la apotema de la pirámide mide 18 cm. No. 5 26. Que resultará más caro, pintar un prisma de base hexagonal regular cuyas dimensiones son: 2cm de arista basal, 1.73cm de apotema basal y 11cm de altura, o un cilindro de la misma altura cuyo radio mide 2cm. 27. Halle el área total y el volumen de un cilindro circular recto de 20cm de altura y 8cm de diámetro. 28. En un cilindro circular recto el área lateral es 280cm2 y la altura del mismo es de 10cm. ¿Cuál es el volumen del cilindro? 17. Halle el área y el volumen de una pirámide cuya base es un triángulo equilátero de lado 4 cm y cuya altura de la pirámide es de 10 dm. 29. Calcule el área de la Luna sabiendo que el diámetro mide aproximadamente 3475km. 18. Determine la medida de la altura de una pirámide triangular cuyo volumen es 250 cm3, si su base tiene un área de 31,36 cm 2. 30. Determine el volumen de la Tierra sabiendo que el radio mide 6340km. CILINDROS, CONOS Y ESFERAS 19. Calcule la medida de la altura de un cono que tiene un radio que mide 3cm y una generatriz de 5cm. 20. En un cono la altura y la generatriz miden, respectivamente, 15cm y 18cm. ¿Cuál es la longitud de la circunferencia de su base? 21. Determine el volumen de una tienda de campaña de forma cónica cuyo radio de su base mide 1.3m de longitud y tiene una altura de 1.5m. 22. Un cono circular recto tiene un volumen de 180 cm3. Sabiendo que el diámetro de la base mide 12cm, halle la medida de su altura. 23. Halle el área total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 15cm y su altura mide 9cm. 24. El área total de un cono recto es 816.4cm2 y su radio mide 7cm. Calcule la medida de la generatriz del cono. 25. Queremos pintar el área lateral de un edificio cilíndrico cuya altura mide 15 m y cuyo radio mide 3m. Calcule el área de la superficie a pintar y el costo de la obra a razón de 1500 colones el metro cuadrado. 31. Halle el área y el volumen de una esfera de radio igual a 4cm. 32. Determine el radio de una esfera cuya área es igual a 36cm2. 33. Halle el volumen de una esfera de radio 2 3 3 dm. 34. Halle el área de una esfera cuyo volumen es de 4cm2.