LIMITE DE UNA FUNCION CONTINUIDAD Complemento a las prácticas de MAPLE

SERGIO SÁNCHEZ GARCÍA
LIMITE DE UNA FUNCION
CONTINUIDAD
Complemento a las prácticas de MAPLE
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
I. CALCULO DEL LIMITE EN MAPLE
El paquete Maple suministra una serie de facilidades para el calculo de
limites de una función de una variable tanto laterales como bilaterales
en un punto o en el infinito.
Para el calculo de limites bilaterales en un punto hay que introducir el
comando Maple siguiente a continuación de la invitación de introducir
comandos (“>”):
Limit(<función>,<punto>);
donde <función > - puede ser una expresión o un identificador de
función definido previamente. Ejemplo de expresión
((x^2-2*x+1)/(x^3-x))
Ejemplo de comando para la búsqueda de este limite en el punto
limit(x^2+2*x+1,x=0);
Si se quiere determinar el limite de la función en el infinito, entonces en
la expresión de <punto> hay poner, dependiendo del signo del infinito.
x=infinity o x=-infinity
Ejemplo
limit(x^3+x,x=infinity);
En el caso de limite laterales el comando correspondiente seria
limit(<función>,<punto>,<lado>);
donde <lado> es left para el lado izquierdo o right para el derecho. Ejemplo
limit(1/x,x=0,left);
I. DEFINICIONES BÁSICAS.
Definición 1. Sea f una función definida en cierto entorno del punto
El número
a se
dice que es el límite de la función
x0
a  lim f ( x)


x  x0
si para cualquier   0 existe un ()  0 , t.q. de
0  x  x0   ( )  f ( x)  a  
y  f (x)
x0 .
en el punto
Fig 1. Limitede una funcion en un punto
Definición 2. El número a – es el limite de la función
punto
x0
y  f (x) en
el
por la derecha(izquierda)

 a  lim f ( x) 
a

lim
f
(
x
)



x  x0  0
x  x0  0


si f ( x) esta definida en cierto entorno del punto
  0 existe un ()  0 , t.q. de
x0
y para cualquier
0  x  x0  ()  ()  x  x0  0  f ( x)  a  
Fig 2. Limite izquierdo
Fig32. Limite derecho
Limites importantes:
sin x
 1.
x 0 x
1.
lim
2.
 1
lim 1    lim (1  x) x  e .
x 
x 0
x
1
x
Ejemplo de cálculo de estos limites con Maple:
>limit(sin(x)/x,x=0);
1
>limit((1+1/x)^x,x=infinity);
exp(1)
Límites derivados del límite 2:
ln(1  x)
 1,
x 0
x
e x 1
lim
 1.
x 0
x
lim
Ejemplo de cálculo de estos limites con Maple:
>limit(ln(1+x)/x,x=0);
1
>limit((exp(x)-1)/x,x=0);
1
Definición 3. Se dice La función (x) se dice que es un infinitésimo
x  x0
Anotado como   o(1)
cuando
si
lim ( x)  0 .
xx0
(x)
(x) se llaman equivalente
( x)
Anotado como  ~  si se verifica lim
1
x  x0 ( x)
Tabla de infinitésimos equivalentes cuando x  0
sin x ~ x ;
e x 1 ~ x ;
tg x ~ x ;
x
log x (1  x) ~
;
ln x
arcsin x ~ x ;
(1  x) n  1 ~ nx ;
arctg x ~ x ;
x
n
1 x 1 ~ ;
n
2
x
x
1 x 1 ~ ;
1  cos x ~
;
2
2
x
ln(1  x) ~ x .
x 1 ~ x ln x ;
Definición 4. Los infinitésimos
I.
y
METODOS DE CÁLCULO DE LOS LÍMITES
1. Eliminación de la singularidad en un punto.
Ejemplo 1.
x  12
x2  2 x  1
x 1
lim
 lim
 lim
 0;
3
x 1
x 1 x( x  1)( x  1)
x 1 x( x  1)
x x
Ejemplo de utilización de Maple:
>limit((x^2-2*x+1)/(x^3-x),x=1);
0
Ejemplo 2.
tg 3 x
3 sin 3 x
 lim
 3.
x 0 x
x  0 3 x cos 3 x
lim
Ejemplo de utilización de Maple:
>limit(tan(3*x)/x,x=0);
3
2. En los limite que contienen expresiones irracionales :
a) Se introduce una variable auxiliar para librarse de la irracionalidad
en los limites que contienen expresiones irracionales
Ejemplo 3.
 x 1  t


x 1  3 
t 3
t 3
1
 x  t 2  1
 lim

  lim 2
x  10
 x  10  t  3 t 3 t  9 t 3 (t  3)(t  3) 6


lim
x 10
Ejemplo de utilización de Maple:
>limit((sqrt(x-1)-3)/(x-10),x=10);
1/6
b) Permutar la irracionalidad del numerador o viceversa
Ejemplo 4.
lim
x 0
x 1 1
 lim
x 0
x



x 1 1 x 1 1
x
1
 lim
 .
x 0 x x  1  1
2
x x 1 1




Ejemplo de utilización de Maple:
>limit((sqrt(x+1)-1)/x,x=0);
½
3. Para el calculo de los limites del tipo lim U ( x) V ( x ) , donde
x  x0
lim U ( x)  1, lim V ( x)   , se utiliza el segundo limite
x  x0
x  x0
importante.
Ejemplo 5.
 x 3
lim 

x   x  2 

2 x 1
5( 2 x 1)
e x  x  2
lim
 x  2  5
 lim 

x   x  2 
2 x 1
x2 5

( 2 x 1)
 5 x 2
5

 lim 1 

x  
x 2

 e10 .
Ejemplo de utilización de Maple:
>limit(((x+3)/(x-2))^(2*x+1),x=infinity);
exp(10)
4. Calculo de limites utilizando la equivalencia de infinitésimos:
Ejemplo 6.
1

x

t

4x 2 1
4t 2  4t  1  1 arcsin(2t ) ~ (2t )


lim


2  lim

1

 t 0 arcsin(1  2t  1) t  0

x arcsin(1  2 x)
2
t  0 
4t (t  1)
 lim
 2 lim (t  1)  2 .
t 0  2t
t 0
Ejemplo de utilización de Maple:
>limit((4*x^2-1)/arcsin(1-2*x),x=1/2);
 2
II.
LIMITES LATERALES
Ejemplo 7.
lim (2 
x 0  0
1
x) x

1
2 0
 2     ;
Ejemplo de utilización de Maple:
>limit((2+x)^(1/x),x=0,right);
infinity
Ejemplo 8.
lim (2 
x 0  0
1
x) x

1
2 0
 2   0 .
Ejemplo de utilización de Maple:
>limit((2+x)^(1/x),x=0,left);
 infinity
CONTINUADAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
PUNTOS DE DISCONTINUIDAD
I.
ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD UTILIZANDO LAS
FACILIDADES DE MAPLE
Para la búsqueda de los puntos de discontinuidad de una función
se puede utilizar el comando siguiente de Maple:
readlib(singular): singular(<función>,<variable>);
donde <función> – es la función objeto del estudio, <variable> –
variable independiente. El parámetro <variable> se puede omitir.
Entonces Maple sacara en la pantalla todos los puntos de
discontinuidad posibles:
readlib(singular): singular(2^(x/(9-x^2)),x);
Maple listara en pantalla el conjunto de puntos siguientes:
{x=3}, {x=-3}.
I.
DEFINICIONES BÁSICAS
Definición 1. La función
y  f (x)
es continua en el punto
x0 ,
si el
valor limite de la función en el punto x 0 existe y es igual al valor
f ( x0 ) ,
o:
1) la función y  f (x) esta definida en el punto
entorno de este;
2) existe lim f ( x) ;
x0
y en ciertt
x x0
3)
lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0
Definición 2. El punto x 0 , en el cual no se cumplen las condiciones de
continuidad de una función se llama, punto de discontinuidad de la
función y  f (x) .
Definición 3. El punto
el
lim f ( x)
x0
existe, pero la función no esta definida en el punto
x x0
no se cumple la condición
Definición 4. El punto
si
lim f ( x)
x x0
lim f ( x)
xx0 0
se llama punto de discontinuidad evitable, si
x0
x0
o
lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0
se llama punto de discontinuidad de tipo I,
no existe, pero existen los limites laterales
, distintos entre si.
lim f ( x)
xx0 0
y
Definición 5.
El punto
x0
se llama punto de discontinuidad de tipo
II, si por lo menos uno de los limites laterales
lim f ( x) , lim f ( x)
xx0 0
xx0 0
no existe o es infinito.
I.
ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Estudio de la continuidad de una función y determinación de los
puntos de discontinuidad.
x
f ( x)  2 9  x
Ejemplo 1.
2
.
La función no esta definida en los puntos x  3 , por tanto no se cumple la primera
condición de continuidad, luego, en estos puntos la función es
discontinua.
Para determinar el tipo que tienen los puntos de ruptura hay que
calcular los limites lateralesen los puntos x  3 .
x
lim
x 3 0
2
2 9 x

3

2 0
 2   .

3
20
 2   0 .
x
lim
x 3 0
2
2 9 x
Como el límite lateral izquierdo en el punto
un punto de discontinuidad de tipo II.
x
2
3
20
2
3
2 0
lim 2 9 x 
x 30
x
lim 2 9 x 
x 3 0
x  3 es infinito, luego es
 2   ;
 2   0 .
Como el limite lateral izquierdo en el punto x  3 es infinito, luego es un
punto de discontinuidad de tipo II.
Ejemplo de utilización de Maple:
 readlib(singular): singular(2^(x/(9-x^2)),x);
{x=3}, {x=-3}


0
limit(2^(x/(9-x^2)),x=-3,left);
limit(2^(x/(9-x^2)),x=-3,right);


0
limit(2^(x/(9-x^2)),x=3,left);
limit(2^(x/(9-x^2)),x=3,right);
infinity
infinity
 1,

Ejemplo 2. f (x)   0,
 1,

   x  0,
x  0,
0  x  .
La función esta definida en toda la recta real, pero no es continua, ya
que lim f ( x)  1, lim f ( x)  1, f (0)  0, o los limites laterales
x 0  0
x 00
derecho y izquierdo en el cero no son iguales y no son iguales al valor
de la función en el cero, luego no se cumplen las condiciones 2 y 3 de la
condición de continuidad. Como los limites derecho y izquierdo en el
cero existen y son finitos – es un punto de discontinuidad de tipo I.
Ejemplo 3.
f ( x) 
sin x
.
x
 0 – es un punto
sin x
sin x
lim
 1 y lim
 1 , entonces
de discontinuidad. Como
x 0  0 x
x 0  0 x
La función no esta definida en el punto cero, luego , x
es un punto de discontinuidad evitable, se puede redefinir la funcion en
el punto cero “por continuidad” haciendo su valor igual a un uno.
Ejemplo de solución y representación grafica en Maple:
 readlib(singular): singular(sin(x)/x,x);
{x=0}

1
limit(sin(x)/x,x=0,left);

1
limit(sin(x)/x,x=0,right);

plot(sin(x)/x,x=-30..30);