  Taller 3 cálculo diferencial cdx24 

Taller 3 cálculo diferencial cdx24
Profesor Jaime Andrés Jaramillo González. [email protected].
www.jaimeaj.conceptocomputadores.com ITM 2014-2
Derivadas de Orden Superior
1. Encuentre y' y y ' '
a.
e.
y  x  1
3/ 2
b.
y  tan(x x 3  1)
y  xex
f. y  ln(senx)
x2
4  3x
c.
y
g.
y  e senx cos(e x )
x
d.
y
h.
y  cot
3 x
x
3x 2  1
Ejercicios de derivación
2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva para en el valor x indicado:
a.
f ( x)  x 2  x sec[(2x  1) ]
b.
f ( x) 
Para x=1
c.
y  e tan x
x 1
x4
Para x= 
Para x=8
d.
e.
f.
y  ln(x  x 2  9 )
y 2  7 y ln(x)  18
3xy  ysenx  cos 1  x
Para x=4
Para x  e
Para x  1
(Dos repuestas: la gráfica de esta
función tiene dos valores en los
cuales x  e )
g.
h.
i.
y  x 2  5x  6
x  y  1  y 2 ln x 2
5 y 2 cosx  1  y cosln2x
Para x=4
Para x=1
Para x 
 
1
2
j. 4 yesen (x )  4  y 2 ln2 x  cosx 
k.
l.
Para x=1
 x 
x ln sen   yecos2x   ( x  1) y
 2
ln 2x  y cosx  4x2  (2x  1) y
Para x 
Para x=1
dy
dx
3. Encuentre
x2
a. y  cos(xy )  1 
4
2
d. y 
x3  1
3x 2  senx
g. sen( x 2 y)  y  x 2
4. Encuentre
a. e3 x
2
13
1
2
b.
y  ln(xy 2 )  2 x  y 2  tan
e. xy  e
h.
x
y
x c. x 2  3 ln y  y 2  10
y
f. y  2x  e x
7xy  3y  y 2  xy3
2
1
cot x
i. sec y  sen2 x 
x
y cos y
dy
dx
 x
 sen 
 y

b. 7 sen( x )  6  cos y 
d. y 
tan1  x 
x2 1
e. y  (5x3  2)5 3  4x
g. y 
3x 2  5 x  1
sen 1 x
h. y  tan1 2 x 3 
7
 

c. y  sec1 3x 2  1
5
1
sec ( x  1)
f. y  sen1 x 3  23
i.
y
5x 2  5
3x 2  48
Regla de L’Hôpital
5. Calcule los siguientes límites:
1  cos x
x  x2
b) lim
x 2  6x  8
x  3
x4
e) lim
2x  
cos x
h) lim
a) lim
x 0
x 0
x
j)

2
x4
b)
d)
e)
x 2
x2
x2  4
lim
i)
lim( x  x 2  x )
x2
x 
lim (e x  x) 3 / x
x 0 
c)
x2  5  3
x2  4
lim senx
x 0 
x9 3
x  16  4
f)
l)
k) lim
lim
ex
x   x 1
x(cos x  1)
senx  x
x
x  ln x 2
e2x
x x 2
1 1 
lim  

x 0
x
x
lim
x 0
2
lim
6. Calcule los siguientes límites:
a)
c) lim
sec x

x  1  tan x
d) lim
g) lim
1  cos 4 x
e2x  1
1 
 1
lim


x 1  ln x
x 1
f)
x
e x  1  x 
x 0
x
lim
Razones de Cambio Relacionadas
7. Un niño que vuela una cometa va soltando hilo a razón de 0.5 m/s, mientras la cometa se va desplazando
horizontalmente a una altura de 40 m. considerando que el hilo permanece tensionado ¿Cuál es la velocidad
de la cometa cuando se han soltado 60 m de hilo?
8. Un globo de aire caliente que asciende en línea recta, desde el nivel del suelo es rastreado por un
observador que está a 500 pies del punto de elevación. En el momento que el ángulo del observador es

,
4
éste crece a razón de 0.14 rad/min. ¿Qué tan rápido se está elevando el globo en ese momento?
9. Cuando un plato circular de metal se está calentando en un horno, su radio aumenta a razón de 0.01
cm/min. ¿A que razón aumenta el radio del plato cuando su radio es de 50 cm?
10.
Un avión que vuela con altura constante de 4 800m con respecto al suelo pasará exactamente encima
de un radar. Cuando su distancia al radar es de 15 km, ésta disminuye a razón de 305 km/h ¿Cuál es la
velocidad del avión?
11.
Si las aristas de una caja rectangular x, y y z de una caja rectangular cambian a las tasas:
dx
dy
dz
 1m / s
 2m / s
 1m / s
dt
; dt
; dt
Determine la tasa de cambio de: (a) el volumen; (b) El área de la superficie y (c) la longitud de la diagonal
s
x2  y2  y2
, cuando x=3; y=7; z=2.
12.
A un depósito cilíndrico de base circular y 4 m de radio, le está entrando agua a razón de 20
l/s. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua.
13.
En una planta de arena y grava, la arena cae de una cinta transportadora creando un montículo de
forma cónica, a razón de 10 pies cúbicos por minuto. El diámetro de la base del montículo es
aproximadamente tres veces la altura. Cuando la altura es 15 pies ¿A qué ritmo cambia?
14.
Dos aviones vuelan horizontalmente a 2 500m de altura en trayectorias perpendiculares. Uno de ellos
se encuentra a 4km del punto de intersección de sus trayectorias acercándose a 450 km/h mientras el otro a
15km de ese punto se aproxima 396km/h. ¿Cuál es la razón de cambio de la distancia entre los aviones en
ese momento?
15.
Un hombre está parado en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos están a 4
m por encima del amarre de la lancha. Cuando la lancha está a 7 m del muelle, el hombre está jalando la
cuerda a una velocidad de 75 cm/s. ¿A qué velocidad se aproxima la lancha al muelle?
16.
Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas circulares concéntricas cuyos
radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tiene un radio de 3 m, éste aumenta
a razón de 80cm/s . ¿A qué velocidad aumenta el área del círculo formado por dicha onda?
17.
Una escalera de 13 m de longitud descansa contra un muro perpendicular al suelo. Si el extremo
inferior de la escalera se está resbalando a razón de 1.2 m/s, ¿a qué velocidad desciende el extremo superior
cuando éste está a 12 m del suelo?
18.
Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto invertido y la longitud de su altura es el doble de
la de su diámetro. Al recipiente le está entrando agua a una rapidez constante, por lo que la profundidad del
agua va en aumento. Cuando la profundidad es de 1 m, la superficie sube a razón de 2 cm por minuto. ¿A
qué rapidez le está entrando agua al recipiente?
19.
Un poste de 7 m de altura tiene un faro en la parte superior; un hombre de 1.75 m de estatura se aleja
del poste caminando a una velocidad de 1.2 m/s. Cuando la distancia de la base del poste a la punta (parte
más alejada) de la sombra del hombre es de 6 m, ¿con qué velocidad crece su sombra?; ¿con qué velocidad
se mueve la punta de la sombra con respecto al farol?
20.
La ley de los gases para un gas ideal a la temperatura absoluta T en grados (kelvin) y la presión P (en
atmósferas) con un volumen V (en litros), es PV=nRT , donde n es el número de moles del gas y R=0,0821 es
la constante de los gases. Suponga que en cierto instante P =8 atm y que aumenta a razón de 0,10 atm/min,
además el volumen es de 10l y disminuye a razón de 0,15 l/min. Determinar la razón de cambio de T con
respecto al tiempo, en ese preciso instante, si n = 10 mol.
Problemas de Optimización
21.
A un fabricante de latas le solicitan diseñar un envase para gaseosa de forma cilíndrica y con
capacidad de 300ml. Encuentre las dimensiones del envase para las cuales la cantidad de material utilizado
para su fabricación es mínima.
22.
Para hacer una caja de base cuadrada con la parte superior abierta, se recortan cuadrados de igual
medida de las esquinas de una hojalata cuadrada y luego se doblan los lados hacia arriba. Al hacer esto con
una hojalata de 16cm * 16cm. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los cuadrados recortados para que el
volumen de la caja sea máximo? ¿Cuál es éste volumen?
23.
Se van a utilizar 15 cm de alambre para construir un cuadrado y un círculo. Cuales deben ser las
dimensiones del cuadrado y del círculo para que el área total abarcada sea máxima?
24.
Dos postes, uno de 8m y otro de 12m se encuentran a 25m de distancia. Se sostienen por dos cables
atados a la misma estaca desde el nivel del suelo a la parte superior de cada poste ¿Dónde debe ubicarse la
estaca para usar la menor cantidad de cable posible?
25.
Un rectángulo se inscribe en un semicírculo de radio 4 ¿Cuál es el área máxima que puede tener y
cuáles son sus dimensiones?
26.
Un sólido se forma uniendo dos hemisferios a los extremos de un cilindro circular recto. El volumen
total del sólido es de 12cm3. Encuentre el radio del cilindro que produce el área superficial mínima.
27.
Se cercará un terreno rectangular de 512 m2 para la siembra de un cultivo de tomates y será dividido
en dos partes iguales colocando una cerca paralela a uno de los lados. ¿Cuáles deben ser las dimensiones
del rectángulo exterior para que la cantidad de cerca utilizada sea mínima?¿Qué cantidad de cerca se
requiere en este caso?
28.
Una ventana normanda se construye al unir una semicircunferencia a la parte superior de una ventana
rectangular corriente. Encuentre las dimensiones de una ventana Normanda de área máxima, si su perímetro
total es de 7m.
29.
La parte semicircular de una ventana normanda tiene un vidrio oscuro y la parte rectangular vidrio
claro. La cantidad de luz por unidad de área que admite el vidrio oscuro es un tercio de la admitida por el
vidrio claro. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la cantidad de luz que admite la ventana sea
máxima?
Trazado de Gráficas
30.
Determine las principales características de la función (Dominio, intersecciones con los ejes, asíntotas,
puntos críticos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y extremos relativos) y
elabore una representación gráfica de acuerdo con la información obtenida.
i.
iv.
f ( x)  4  15x  6x 2  x 3 ii.
y  (3x 2  1) 2 / 3
1
f ( x)  x 4  2 x 2
4
f ( x)  ( x  1) 2 / 3 ( x  2)
v.
x2
2 x
iii.
y
vi.
7

y  x2/3  x
2

vii.
x.
x x  3
f ( x) 
2x  4
viii.
2x
2
x 1
xi.
f ( x) 
( x  2)2 / 5  2
f ( x) 
( x  1)2
f ( x) 
( x  1) 2
1 x2
ix.
f ( x) 
xii.
y
x x
2
3x  5
cos x
1  senx