Exámenes y Prácticas - docentes.uto.edu.bo

227
ANEXO 1
GUÍA DE EXÁMENES Y PRÁCTICAS
PRIMER EXAMEN PARCIAL TIPO RESUELTO
│x + 2│ + │x - 2│  12
│x + 2│  12 - │x - 2│
- 12 + │x - 2│  x + 2  12 - │x - 2│
1.- Resolver
│x - 2│  x + 14
- x - 14 x - 2  x + 14
x - 10  - │x - 2│
- x + 10  │x - 2│
x + 10  x - 2  x - 10
- 12  2x
x  x + 16
12  2x
xx-8
x-6
xεR
x6
xεR
La intersección de soluciones en ambos casos nos da:
x-6
x6
Solución final, intersección de soluciones
-6x6
En la recta real
-8
-7
-6
0
6
7
8
2.- Hallar el siguiente límite
lim
x100  2 x  1
x 1
x
lim
x
100
x 1
50
x50  2 x  1
( x  1)  x

= lim
( x  1)  x
 1  2 x  2
 1  2x  2

lim
( x  1)  x
x1
 x 98  ....  1  2( x  1)
49
 x 48
  lim  x
 ....  1  2 
x
( x  1) x99  x98  ....  1  2
x 1
49
x
48

 ....  1  2( x  1)
99
x 1

 ....  1  2 
99
 x98  ....  1  2
49
x
48
228

100  2 98 49


50  2 48 24
3.- Encontrar
lim
x2
x
x
x2
2

20
 12 x  16
3

10
Respuesta
lim
x2
 ( x  2)( x  1) 20
( x  2) ( x  4)
10
2
lim
( x  1)20
x2 ( x  4)10

 lim
320
610
( x  2)20 ( x  1)20
x2 ( x  2)20 ( x  4)10

310310
10
3
 
10 10
2 3
2
4.- Hallar asíntotas, determinar simetría y graficar
y2 
x2
x ( x  2)
Respuesta
x = 0 ; x = 2 Son asíntotas verticales
x2
0 
x  x ( x  2)
lim
y = 0 es asíntota horizontal
No existe asíntota oblicua
( y )2 
x2
x( x  2)
 Es simétrica respecto al eje x
229
y2 
x  2
 x( x  2)
( y )2 
 No es simétrica respecto al eje y
x  2
 x( x  2)
 No es simétrica al origen
x y
3 ±1.29
-1 ±0.57
5.- Derivar
 sin 2 3 x 4
y  
 3x  2



tan x 10
 sin 2 3x 4 
ln y  (tan x  10)ln 

 3x  2 
230
 sin 2 3x 4 
1 dy
1
 sec 2 x ln 
  (tan x  10) 2 4
y dx
sin 3x
 3x  2 
3x  2
1
1

3x  2  sin 2 3x 4  3x  2  2 3 
2

3x  2



4
4
3
 2sin 3x cos3 x 12 x




 sin 2 3x 4 
dy  2
1
 sec x ln 
  (tan x  10) 2 4
dx 
sin 3x
 3x  2 

3x  2

3

2
4
 24 x 3 sin 3 x 4 cos3 x 4 2  sin 3x


3
3
x

2

(3x  2) 2

   sin
3x 4 

 
   3x  2 

PRIMER PARCIAL COMÚN (Semestre I/2005)
1.- Resolver a) x 5  2 x 4  15x 3  0
x 3 ( x 2  2 x  15)  0
x 3 ( x  5)( x  3)  0
F
V
)
-3
Solución (-∞, -3) U (0, 5)
b) x 5  2 x 4  15x 3  0
V
(
0
)
5
2
tan x 10
231
x 3 ( x 2  2 x  15)  0
x 3 ( x  5)( x  3)  0
F
V
(
-3
V
)
0
(
5
Solución (-3, 0) U (5, ∞)
 2x 
2.- Determinar el dominio Df de la función a) y  1  x  arccos 

1 x 
Como 1  x es siempre positiva, la parte
Para el arccos debe cumplirse que:  1 
1  x siempre existe.
2x
1
1 x
Para la desigualdad de la derecha
2x
2x  1  x
1  0 
0 
1 x
1 x
x 1  0  x  1 
[
 x 1
x  1  0  x  1
x 1  0  x  1 
  x  1
x  1  0  x  1
-1
[
1
]
-1
]
1
La unión de estas soluciones será:
A) (-∞, -1) U (1, ∞)
]
-1
x 1
0
x 1
[
1
Para la desigualdad de la izquierda
2x
2x  1  x
3x  1
0
1 
0 
0
1 x
1 x
x 1
232
3x  1  0 
x 1  0 
3x  1  0 
x 1  0 
1
x 
3  
x  1 
] [
-1 -1
3
1
x 
1
3   1  x  
3
x  1 
[ ]
-1 -1
3
La unión de estas soluciones será:
B)
[ ]
-1 -1
3
(-1, -1/3)
La solución final es A) ∩ B)
[ ]
-1 -1
3
 2x 
2
b) y  16  x  arccos 

1 x 
16  x 2  0  x 2  16   4  x  4
C)
[
-4
La solución final será la B) ∩ C)


 1  sin x  0

3.- Hallar a) lim 


0
x 
 x 
2
 2

]
4
[ ]
-1 -1
3
233
u
Sea
si

2
x
x


2
x

2
u
 u0







 1  sin  u  
 1  sin cos u  cos sin u 
2




2
2

lim
 lim
 u0
u0
u
u









 1  (1) cos u  (0) sin u 
 1  cos u 
lim
  lim
0
u0
u
u
 u0

1  cos 3x 0
b) lim

x0 1  cos 5x
0
1  cos 3x 1  cos 3x 1  cos 5 x
1  cos 2 3x 1  cos 5 x
 lim

x 0 1  cos 5 x 1  cos 3 x 1  cos 5 x
x 0 1  cos 2 5 x 1  cos 3 x
lim
sin2 3x
sin2 3x 1  cos 5 x
9 3x 2 1  cos 5 x 9 1 2 9

lim


x 0 sin2 5 x 1  cos 3 x
x 0 25 sin2 5 x 1  cos 3 x
25 1 2 25
 lim
5x 2
4.- Hallar
1

1  x  3  cot x  1  csc x
lim
x0
x
1  x   1
csc x  cot x
 lim
 lim

x 0
x 0
x
x
2
1


3 1  x   1  1  x  3  1  x  3  1

  lim 1  cos x  
 lim


2
1
x0
x
 1  x  3  1  x  3  1 x0 x sin x x sin x 


1 x 1
 1  cos x 
 lim
 lim

2
1
x0 
x 1  x  3  1  x  3  1 x0 x sin x 


3
234
 lim
x0 
1
 1  cos x 1 
 lim

x

0
x
sin
x



 1

 1  x  3  1  x 

1
1 1
 lim
 0      
x0 1  1  1
0 3
2
1
3
5.- a) Determinar asíntotas y graficar: y 
1
x  5x  6
Asíntotas Verticales ( x  6)( x  1)  0  x  6 ; x  1
1
0  y0
Asíntota Horizontal lim 2
x   x  5x  6
x
0
2
-7
2
y
-1/6
1/8
1/8
b) Determinar asíntotas y graficar: y 
1
x  4x  5
Asíntotas Verticales ( x  5)( x  1)  0  x  5 ; x  1
2
235
Asíntota Horizontal lim
1
x 
x
0
2
-6
x  4x  5
2
0 
y0
y
-1/5
1/7
1/7
PRIMER EXAMEN PARCIAL TIPO PROPUESTO
│2x² - 3│  4x + 3
1.- Resolver
2.- Hallar
lim 3 x3  x  3 x3  1
x
3.- Demostrar el siguiente límite
lim
x0
sec2 x tan 2 x
2
x
4.- Determinar simetrías, asíntotas y graficar
y
5.- Derivar
5
x  8 x  15
2
236
 4 4 x 2  3x 

y 
 cot 3 x 


cos x4
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL TIPO. RESUELTO
1.- En un montón de forma cónica se deja caer arena a razón de 10
m3/min. Si la altura del montón es dos veces el radio de la base, ¿a qué
rapidez aumenta la altura, cuando el montón tiene 8 m de alto?
dV/dt=10m3/
min
h
El volumen del cono viene dado por:
1
V   r 2h
3
1
V   h3
12
pero r 
r
h
2
2
1 h
 V    h
3 2
dV 3
dh 1 2 dh
  h2
 h
dt 12
dt 4
dt

dV
4
dh dt

dt  h2
Si h=8
dV
4
dh dt
10(4)
5 m



2
2
dt  h
 (8) 8 min
2.- Hallar máximos, mínimos, puntos de inflexión y graficar
y  x4  2x3
237
dy
 4 x3  6 x 2
dx
Valores críticos
 2 x 2 (2 x  3)  0
3
2
2
f ''( x)  12 x  12 x
f ''(0)  0
x0 ; x
9
3
3
f ''    12  12  9  0
2
4
2
 
Existe un mínimo para x = 3/2 ; y = -1.69
Para hallar los puntos de inflexión igualamos la segunda derivada a cero
12 x 2  12 x  0  x( x  1)  0
x  0 ; x 1
Los puntos de inflexión serán:
x0
y0
x  1 y  1
Con lo cual obtenemos la siguiente gráfica:
3.- Encontrar
1
 ( x 2  1)2
dx
x2  1
x
α
1
238
Sea
x  tan 
dx  sec2  d
1
1
sec 2 
2
dx

sec

d


 ( x 2  1)2
 (tan 2   1)2
 sec4  d 
1
1  cos 2
1
cos 2
2
 sec2  d   cos  d   2 d   2 d   2 dx
 sin 2
 
C
2
4
como   arctan x
x
sin  

sin 2  2sin  cos 
y
1
cos  
x2  1
x2  1
tenemos :
arctan x 2sin  cos 
arctan x 1

C 
 sin  cos   C
2
4
2
2

arctan x 1  x
1 
 
C 
2
2  x 2  1 x 2  1 
1
x 
   arctan x   2
C
2
x 1
4.- Hallar
x2  2 x  7
 x4  2 x2  1 dx
x2  2 x  7
Ax  B
Cx  D
 ( x2  1)( x2  1) dx   ( x2  1) dx   ( x2  1)2 dx
x2  2x  7
( x  1)
2
2

Ax  B
( x  1)
2

Cx  D
( x 2  1)2
x 2  2 x  7  ( Ax  B)( x 2  1)  (Cx  D)
x2  2 x  7  Ax3  Ax  Bx2  B  Cx  D
x2  2 x  7  Ax3  Bx2  ( A  C ) x  B  D
239
Igualando coeficientes se tiene:
A0
B 1
A  C  2  C  2
B  D  7  D  7 1  6
1
2 x  6
 2
dx   2
dx 
( x  1)
( x  1) 2
1
2x
1
 2
dx   2
dx  6  2
dx 
2
( x  1)
( x  1)
( x  1) 2
La primera y segunda integral se resuelven mediante las fórmulas 15 y 1
respectivamente, observe que la última integral, es la misma que la de la
pregunta 3, por tanto:
1
1
x 
 arctan x  2
 6  arctan x  2
C
2
x 1
x 1
 arctan x 
1
x 

 3  arctan x  2
C
x 1 
x 1
2
5.- Encontrar
 2x   x 
 cos   dx
3  3
 sin 
Sabemos que:
sin  cos   sin(   )  sin(   )
Por tanto:
1   2x x 
 2x 
 x
 2x x  
   sin 
   dx
 cos   dx    sin 
3 
3
2
3
3
 

 3 3 
 
 sin 

1 
x
1
x
 sin x  sin  dx    cos x  3cos   C

2 
3
2
3
240
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL TIPO. PROPUESTO
1.- Hallar máximos, mínimos, puntos de inflexión y graficar
y  2x4  4x2
2.- Hallar las dimensiones del mayor rectángulo que puede inscribirse en
la elipse(1)
x2 y 2

 1 Sol. a 2, b 2
a 2 b2
3.- Integrar




3
x  5 dx
4.-Encontrar
1
 2 x 2  12 x  4 dx
5.- Hallar
1

x
3
1
1
x
dx
Sugerencia: Cambio de variable
EXAMEN FINAL TIPO. RESUELTO
1.- Resolver
4 x 2  7 x  30
 ( x  3)( x 2  4 x  8) dx
4 x 2  7 x  30
A
Bx  C

 2
2
( x  3)( x  4 x  8) x  3 x  4 x  8
1
GRANVILLE-SMITH-LONGLEY,Cálculo diferencial e integral, 1977, Ed. UTEHA Pag. 76
241
4 x 2  7 x  30
A( x 2  4 x  8)  ( Bx  C )( x  3)

( x  3)( x 2  4 x  8)
( x  3)( x 2  4 x  8)
4 x 2  7 x  8  Ax 2  4 Ax  8 A  Bx 2  3Bx  Cx  3C
4 x 2  7 x  8  ( A  B ) x 2  (4 A  3B  C ) x  (8 A  3C )
Si x  3
36  21  30  A(9  12  8)
45  A(5)  A  9
4  A B
 B  5
7  4 A  3B  C
30  8 A  3C
 C  (30  72) / 3
C  14
9
5 x  14
 x  3 dx   x 2  4 x  8 dx 
28
2x 
44
5
5
 9 ln x  3  
dx
2
x2  4 x  8
8
5
2x  4
5
5
 9ln x  3   2

dx 
2 x  4 x  8 2  x 2  4 x  22  22
5
dx
 9ln x  3  ln x 2  4 x  8  4 

2
( x  2)2  22
5
 x2
 9ln x  3  ln x 2  4 x  8  2arctan 
C
2
 2 
2.- Hallar el área encerrada por la curva y  1  ( x  3)3 , el eje x y
las rectas x =1 ; x = 4
Graficando se tiene:
242
A2
A1
El gráfico muestra la necesidad de evaluar dos integrales
2
2
A1   (1  ( x  3)2 )dx   (  x 2  6 x  8)dx
1
1
2
 x3 6 x 2
 
8
  1

A1    
 8x   
     3  8 
2

 3
1  3  12  16   3
8
1
7
4
A1    4   5    1  
3
3
3
3
Donde el signo negativo indica que el área se encuentra debajo del
eje x
4
4
A2   (1  ( x  3)2 )dx   (  x 2  6 x  8)dx
2
2
4
 x3 6 x 2
  43
  8

A2    
 8 x      3  42  32    12  16 
2

 3
2  3
  3
64
8
56 60 4
A2    16   4   

3
3
3
3 3
El área total es la suma del área 1 mas el área 2
A  A1  A2 
3.- Encontrar la siguiente integral
4 4 8
 
3 3 3
243
x
x
1  x 4 dx
7
1  x 4 x3dx
4
Sea u  1  x4
 du  4 x3dx
1
du 1  3 2
   u  u 2 du 
4 4 

12 5 2 3 
  u 2  u 2C
45
3

 (u  1) u
1  x 

4
5
2
1  x 

4
3
2
10
6
4.- Evalúe la siguiente integral impropia
8
C
1
 3 x dx
0
8
A 
0
8
8
1
1
1
3 dx  lim x 3 dx 
dx

x


3
u  0
x
0
u
8
2
3 2
3 2 
A  lim  x 3   lim  8 3  u 3 
u 0  2

 u u 0 2 
2
3
A   4  0 3   6
2

5.- Hallar
 sin
 sin
3
3
2 x cos4 3x dx
1
(2sin 2 x cos 3 x )(2sin 2 x cos 3 x) sin 2 x dx
4
1
1
sin  cos   sin(   )  sin(   )
2
2
2sin 2 x cos3x  sin(2 x  3x)  sin(2 x  3x)
2 x cos4 3x dx 
Como
2sin 2 x cos3x  sin 5 x  sin(  x)  sin 5 x  sin x
Entonces
244
 sin
3
2 x cos4 3x dx 
1
 sin 5x  sin x 2 sin 2 x dx 

4
1
(sin 5 x sin 5 x  2sin 5 x sin x  sin x sin x )sin 2 x dx 
4
1
1
sin  sin   cos(   )  cos(   )
Como
2
2
Entonces
1 1
sin 5 x sin 5 x   cos10 x
2 2
1 1
sin x sin x   cos 2 x
2 2
1
1
sin 5 x sin x  cos 4 x  cos 6 x
2
2
1 1 1
1 1

    cos10 x  cos 4 x  cos6 x   cos 2 x  sin 2 x dx
4 2 2
2 2

2
2
2


sin 2 x  sin 2 x cos10 x  sin 2 x cos 4 x  sin 2 x cos 6 x 
1 
4
2
2
 
 dx
4  2

  sin 2 x cos 2 x
 4


Como
Entonces
sin  cos  
1
1
sin(   )  sin(   )
2
2
2sin 2 x cos10 x  sin12 x  sin8 x
2sin 2 x cos 4 x  sin 6 x  sin 2 x
2sin 2 x cos6 x  sin8 x  sin 4 x
2sin 2 x cos 2 x  sin 4 x
245
1
1


sin 2 x   sin12 x  sin 8 x   (sin 6 x  sin 2 x )  
1 
4
2
 
 dx
1
4  1

  (sin 8 x  sin 4 x )  sin 4 x
4
 2



1 2
1
1 sin12 x 1 cos6 x



 sin 2 x  sin 2 x  dx 

4 2
2
16 12
8 6


1 1
2
1  2
1


 sin8 x  sin8 x  dx     sin 4 x  sin 4 x dx

4 4
4
4  4
4


13
sin12 x cos 6 x 3
3
sin 2 x dx 

   sin 8 x  dx    sin 4 x dx

42
192
48
16
16


3 cos 2 x sin12 x cos 6 x 3 cos8 x 3 cos 4 x




C
8 2
192
48
16 8
16 4
3
sin12 x cos 6 x
3
3
cos 2 x 


cos8 x  cos 4 x  C
16
192
48
128
64
246
EXAMEN FINAL TIPO. PROPUESTO
1.- Resolver
2 x 2  3x  8
 x3  4 x dx
2.- Hallar el área comprendida entre
y  x ; y 1
y  2 ; el eje y
3.- Hallar la siguiente integral
1
 x 4  x 2 dx
4.- Resuelva la siguiente integral impropia
3
1
 ( x  2)2 dx
0
5.- Hallar
x
x
 sin x sin 2 sin 3 dx
247
PRÁCTICAS
PRÁCTICA # 1
Resolver las siguientes inecuaciones:
1.-
Solución x < -3 ∨ x > 2
2.3.-
Solución -3 ≤ x ≤ 2
Solución x < -5 ∨ 0 < x < 1
4.5.-
Solución x < -8 ∨ -2 ≤ x < 0
6.7.-
Solución
x ≤ 19/5 ∨ x ≥ 5
8.9.-
Solucion
10.-
Determinar simetría, intersecciones con los ejes y graficar las siguientes
ecuaciones
11.12.13.14.15.16.Graficar las siguientes ecuaciones en un solo gráfico
248
PRÁCTICA # 2
Resolver los siguientes límites
11.- Para cualquier ε > 0, hallar un δ > 0 tal que;
│f(x) - L│ < ε siempre que 0 <│x - c│< δ
si lim3 x  5  4
x3
12.- Si
lim 2  5 x   8
x2
y
ε= 0,002 Hallar δ
Determinar asíntotas simetría y graficar
20.- y  x 2 e  x
Encontrar, si existen, los siguientes límites:
2
249
Usar la ley del emparedado para demostrar los siguientes límites
PRÁCTICA # 3
Derivar las siguientes funciones;
250
Hallar dy/dx y dx/dy si:
Hallar la primera derivada de las siguientes funciones
251
PRÁCTICA # 4
En los ejercicios del 1 al 7, determinar los extremos relativos, puntos de
inflexión y graficar. 2
1.- f(x) = x3 – 2x2 - 9
Resp. Max.Rel. (0, -9); Min.Rel.(4/3, -10.185)
Inflexión (2/3, -9.59)
2.- f(x) = x1/3 - 9
3.- f(x) = (x2 – 2x + 1) / (x + 3)
Resp.(-7, -32/3) Máximo Relativo
(1, 0) Mínimo Relativo
4.- Hallar a, b ,c y d tales que la función f(x)=ax3 + bx2 + cx +d tenga un
mínimo relativo en (0,0) y un máximo relativo en (2,2).
Resp. a = -1/2 ; b =3/2 ; c = d = 0.
5.6.7.-
Resp. (0, 0) Punto de Inflexión
8.- Un fabricante ha calculado que el costo total c de la explotación de una
cierta instalación esta dado por c = x2 + 15x + 3000, donde x es el número
de unidades producidas. ¿A qué nivel de producción será mínimo el costo
medio por unidad? (El costo medio por unidad viene dado por c/x)
En los ejercicios 9 al 14 determine los extremos absolutos de la función en
el intervalo indicado.
2
Larson Hostetler, Cálculo y Geometría Analítica 1987 Pags. 178, 185
252
9.- f(x) = x2 (x2 – 2) + 1 en [-3, 1]
x
10.- f ( x )  2
en [-3, 0]
x  2x  2
Resp. Máximo (0, 0). Mínimo (-√2, -(√2+1)/2)
11.- f(x) = 2ln (1 + x2) + 2 en [0, 2]
12.- f(x) = arctan (1 + x2 ) en [0, 1]
13.- f(x) = -ln (1 + x2 ) en [-2, 3]
14.- Hallar los extremos, puntos de inflexión y graficar y 
x3
( x  1) 2
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
15.- Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un
vecino y ha de tener un área de 10800 m2. Si el vecino paga la mitad de la
cerca medianera. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el
costo de cercarla sea para el dueño de la huerta mínimo? 3
Resp. 90 x 120 m.
16.- Hallar el área del mayor rectángulo, con lados paralelos a los ejes
coordenados, que puede inscribirse en la figura limitada por las dos
parábolas 3 y = 12 – x2 ; 6 y = x2 – 12
Resp. 16
17.- Un muro de tres metros de altura, está cuatro metros delante de un alto
edificio. ¿Cuál es la longitud de la escalera más corta que pasa sobre el
muro y se apoy a en el edificio? Escoja como variable independiente el
ángulo que forma la escalera con el suelo.
18.- Tres lados de un jardín rectangular de 75 m2 necesitan ser cercados
por una pared de ladrillo que cuesta 100 Bs. por metro lineal. El lado
restante debe tener una cerca de madera que cuesta 50 Bs por metro lineal.
Hallar las dimensiones del jardín tal que el costo de los materiales sea
mínimo.4
3
4
GRANVILLE, SMITH, LONGLEY, Cálculo diferencial e integral, Ed.UTEHA México 1963 Pag.74
PINO, PHILLIPS, DIAZ, Calculus Amabilis, Universidad Católica 2002 Pag. 199
253
19.- De una hoja de cartón cuadrada que mide cuatro metros de lado se van
a recortar pequeños cuadrados de las esquinas para, después de doblar las
partes salientes de la figura en forma de cruz y hacer una caja. Encuentre la
longitud de los lados de los cuadrados por recortar para que la caja
resultante tenga la mayor área lateral posible.
20.- Determinar el área máxima de un rectángulo inscrito en la parábola
y  9  x 2 que tiene como base al eje x
21.- Hallar los puntos de la gráfica y = 4 – x2 que quedan más próximos al
punto (0,3)
22.- La fórmula para la potencia P de una batería está dada por
P = VI – RI2, donde V es el voltaje, R la resistencia e I la intensidad. Hallar
la intensidad (medida en amperios A) que corresponde a un máximo de P
en una batería en que V = 12 Voltios y R = 0,5 ohms.
23.- Se disponen de 20 metros de alambre para formar un círculo y un
triángulo equilátero, cuanto alambre debe utilizarse para el construir el
círculo y el cuadrado si se desea que el área total de las dos figuras sea: a)
un máximo b) un mínimo. Resp. b) 20 metros para el círculo
24.- El costo de construcción de un edificio destinado a oficinas es de
50000.- $us para el primer piso, 52500.- $us para el segundo, 55000.-$us
para el tercero y así sucesivamente. Otros gastos; terreno, planos,
cimentación, etc. Son de 350000.- $us. La renta anual neta es de 5000.- $us
por cada piso. ¿Cuántos pisos darán el más alto tipo de interés para la
inversión? Resp. 17 pisos 5
PRACTICA # 5
VARIABLES RELACIONADAS
1.- Una piedra que se deja caer en un estanque, en el momento t = 0,
ocasiona una onda circular que se aleja del punto del impacto a 2 m/seg. ¿A
qué razón aumenta el área interior del círculo cuando t = 8 seg
2.- Un automóvil viaja a 100 km/hora cuando de improviso el conductor
aplica los frenos (s = 0, t = 0). La función de posición del automóvil al
5
GRANVILLE, SMITH, LONGLEY. Calculo diferencial e integral, Edit. UTEHA 1963 Pag. 88
254
patinar es de s = 100 t – 5t2 ¿Cuánto tiempo y a que distancia patina el
automóvil antes de que acabe de detenerse
3 En 2012, cierta ciudad tenía una población en miles dada por la fórmula
P = 100(1+0,04 t + 0,003 t2 ), con t en años y t = 0 correspondiente a 2010.
a) ¿Cuál es la razón de cambio de P en 2017? b) Cuál es la razón de cambio
promedio entre de P entre 2015 y 2021?
4.- Un triángulo rectángulo, isósceles tiene la hipotenusa de 5 cm y su
cateto está aumentando a razón de 2 cm/min. Calcule la rapidez a la que
está aumentando el área del triángulo cuando el cateto mide 10 cm.
5.- La arista de un cubo se expande a razón de 2 cm/seg ¿A qué velocidad
cambia el volumen cuando la arista tiene? a) 5 cm b) 10 cm
6.- Un avión vuela a 31680 pies de altura, pasando la trayectoria de vuelo
exactamente sobre una antena de radar. El radar detecta el avión y calcula
que la distancia s al avión cambia a razón de 4 millas/min. Cuando tal
distancia es de 10 millas. Calcular la velocidad del avión en millas por
hora.
x
s
Mediante iteraciones de Newton hallar una raíz real de las siguientes
ecuaciones
Respuesta x =0,892414
255
13) La siguiente ecuación tiene una raíz comprendida entre 3 y 4,
encontrar la misma
Respuesta x = 3,413009825
Mediante la regla de L’Hopital hallar los siguientes límites
PRÁCTICA # 6
Resolver las siguientes integrales
1)  8(7  x) 4 dx
2)  9 x( x  1) 9 dx
3)  3 1  x 2 7 x dx
4)  ( x 2  1) 5 ( 4 x) dx
5)  9 x(11  3x 2 ) 3 dx
6)  4 x 2 (3 x 3  6) 1/ 3 dx
7) 
7x
dx
8  2x2
8) 
9x
dx
(1  x 2 )4
256
Graficar las funciones en el intervalo dado y demostrar las siguientes
integrales definidas:
x x
1
0 3 dx   18
1
17)
2

18) ( x 4  x )dx  3,619
3
2
0
Graficar y determinar el área de la región cuyos contornos se indican
20) y = 3 x2 + 1 ; x = 1 ; x = 3 ; y = 0
21) y = x3 +x ; x = 3 ; y = 0
22) y = -x2 + 2x + 3 ; y = 0
Resp. 32/3
23) y = 16 – x4 ; y = 0
Resp.
51,2
24) y = 1/x2 ; x = 1/2 ; x = 2 ; y = 0
Haga un gráfico para los siguientes problemas y encuentre el área
comprendida entre:
257
f ( x)   x2  4x  3
y
g ( x)  x2  x  4
f(x) = x3 ;
g(x) = x2
Resp. 1/12
3
f(x) = 3( x – x ) ; g(x) = 0
Resp. 3/2
2
2
f(x) = 4/x ; g(x) = x – 6x + 9
Resp. 0,818
f(x) = ( 3x )1/2 + 1 ; g(x) = x + 1
Resp. 3/2
f(y) = y2 ; g(y) = y + 2
Resp. 9/2
f(y) = y2 +1 ; g(y) = 0 ; y = -1 ; y = 2
Resp. 6
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
PRÁCTICA # 7Mediante las fórmulas básicas de integración resuelva:
2x  9
dx
 2x  5
11)
x
12)
x4
cos3 x

 3x 2  9 x  11 sin 2 x dx
2
Solución
7
x 1
arctan
 ln x 2  2 x  5  C.
2
2
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Mediante el método de Completar el Cuadrado, resolver las siguientes
integrales:6
13)

14)

6
1
 x2  x
1
x  2x
2
dx
dx
Resp. arcsen (2x - 1) + C
Resp. ln x2  2x  x 1  C
LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica Mc Graw Hill 1987 Pag. 439
258
2x
dx
 2x2  2
15)
x
17)
 ( x 1)
4
Resp. arctan ( x2 +1 ) +C
1
 4 x 2  8x  1
dx
Aplicando el método de las Fracciones simples resolver:7
18)
2x 1
dx
2
 7x
x
x2  4x  5
dx
19)  3
x  x2  x
4
x 2  3x  2
x( x  2) 5
dx
Re
sp
.
ln
C
20)  3
13
2 x  3x 2  2 x
(2 x  1) 10
x2
21)
 x( x  1)
22)
x3
 ( x2  4)2 dx
23)
4 x2  1
 (2 x)( x2  2 x  1) dx
2
dx
Re sp. 
3
x 1
 2 ln
C
x 1
x
Aplique integración por partes para resolver las siguientes integrales8
7
HAASER, LASALLE, SULLIVAN. Análisis Matemático, Editorial Trillas México 1978 Pags. 738739
8
PITA RUIZ CLAUDIO, Cálculo de una variable, Editorial Prentice Hall. 1998 Pag. 756
259
24)
e
25)
 ln(2 x  3)dx
26)
  sec  tan d
27)
 (5 x
28)
 (x
29) 
4 x
2
( x  7 x  9 x) dx
2
3
2
3
2
Resp. ( x  ) ln 2 x  3  x  C
 2) senh ( x) dx
Resp. (5x – 2) cosh x – 5 senh x + C
 x  1) senxdx Resp. (2x + 1)sen x – (x2 +x – 1) cos x + C
arcsin x
dx
x2
1
1
1  x2  1
Sol.  arcsin x  ln
C
x
2
1  x2  1
260
PRÁCTICA # 8
Resolver las siguientes integrales trigonométricas
1)
 cos

2)
 (sin

2
x  1)dx
2
 /2

0

4)
x sin 5 xdx
2

3)
3
cos t
dt
1  sin t
Resp. ln 2
2
 sin 2 sin  d
Resp.
0
3 2
10
 cos5 x

5)..   3  sec2 x tan4 x  dx
 sin x

Aplicando Sustituciones Trigonométricas resuelva
3
6)
t2
2
 1  t 
2
0
7)

8)
x
3
dt
2
2
25  x 2
3

3
1  x 
Resp. 
2
1  x2
dx
x4
1
Resp.
3 x3
dx
3
2
C
261
9)
10)
x

2
2x  x2
e
x
dx
1  2e 2 x dx
Resp.


1 x
e 1  e 2 x  arcsin( e x )  C
2
Mediante cambios de Variable resolver
4
11)
1
dx
x 1
x
2
12)
  x 
5
13)
2
 x  
3 2
4
x
 (2 x  3)
2
1
14)
15)
16)
 1
Resp. /6
dx
 4 x 
1

   C

ln
4
4

1

x
1

x



Resp. 9/4
3
1
dx
x 1
sin 2 x
 cos2 x

dx Resp. 4

tan x
sin x cos3 x
 1  cos2 x

Resp. 2
dx
dx Sugerencia v  cos x
Hallar las siguientes Integrales Impropias

17)
1
dx
1 x

0
8
18)

0
3
1
dx
8 x
Resp. Diverge
Resp. 6

x  1  ln(1  x  1)  C
262

2
 tan xdx
19)
Resp. Diverge
0
3
20)
1
 4 x  2 dx
1
0
21)

5
x
25  x 2
dx
263
BIBLIOGRAFÍA
1.- ABURTO BARRAGÁN ANTONIO. Cálculo Diferencial e
Integral. Editorial Limusa. Edición 1998
2.- DEMIDOVICH B. P. 5000 Problemas de Análisis Matemático.
Editorial Paraninfo Madrid Edición 1976
3.- GRANVILLE-SMITH-LONGLEY, Cálculo diferencial e
integral. Editorial UTEHA, 1977
4.- HAASER, LASALLE, SULLIVAN, Análisis Matemático,
Editorial Trillas, México Edición 1978
5.- LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica.
Editorial Mc. Graw Hill Edición 1986
6.- LEYTHOLD LOUIS, El Cálculo. Editorial Mac Graw Hill
Edición 1988
7.- PENEYS Y EDWARDS. Cálculo y Geometría Analítica.
Editorial Prentice Hall Edición 1987 (segunda edición)
8.- PINO-PHILLIPS-DIAZ, Calculus Amabilis, Serrano Editores,
Edición 2002
9.- PITA RUIZ CLAUDIO, Cálculo de una Variable. Editorial
Prentice Hall. Edición 1998
10.- TORRICO SEVILLA RAÚL, Solucionario Integrales 5000
Problemas de Análisis Matemático. Editorial Educación y Cultura,
1994
264
FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
Sean u, v funciones de x ; c una constante
d
(c )  0
dx
d x
e  e x
dx
d
u'
log a u 
dx
u ln a
d
(u  v)  u ' v'
dx
d
u du
u 
dx
u dx
d
d x
cu  cu '
e  ex
dx
dx
d
1
ln u  u '
dx
u
d
uv  u ' v  uv '
dx
d n
u  nu n1u '
dx
d
sin u  cos u  u '
dx
d
tan u  sec 2 u  u '
dx
d
csc u   csc u cot u  u '
dx
d
sinh u  cosh u  u '
dx
d
tanh u  sec h 2u  u '
dx
d
sec h u   sec h u tanh u  u '
dx
d
1
arcsin x 
dx
1  x2
d
1
arccosx  
dx
1  x2
d
1
arctan x 
dx
1  x2
d
dy du
y
dx
du dx
d u u ' v  uv '

dx v
v2
d
cos u   sin u  u '
dx
d
sec u  sec u tan u  u '
dx
d
cot u   csc 2 u  u '
dx
d
cosh u  sinh u  u '
dx
d
coth u   csc h 2u  u '
dx
d
csc h u   csc h u coth u  u '
dx
d
1
arcsin h x 
dx
x2  1
d
1
arccosh x 
dx
x2 1
d
1
arctan h x 
dx
1  x2
265
d
1
arc cot x  
dx
1  x2
d
1
arc coth x 
dx
1  x2
266
FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
u n1
 C; n  1
n 1
1)  u nu ' dx 
u'
dx  ln u  C
u
5)  (cos u )u ' dx  sin u  C
3) 
7)  (csc 2 u )u ' dx   cot u  C
2)  e u u ' dx  e u  C
4)  (sin u )u ' dx   cos u  C
6)
 (sec
2
u )u ' dx  tan u  C
8)  (sec u. tan u )u ' dx  sec u  C
9)  (csc u. cot u )u ' dx   csc u  C 10 )  (tan u )u ' dx   ln cos u  C
11)  (cot u )u '  ln sin u  C
12 )  (sec u )u ' dx  ln sec u  tan u  C
13)  (csc u )u ' dx  ln csc u  cot u  C
u
dx

arcsin
C
a
a2  u 2
u'
1
u
15)  2
dx  arctan  C
2
a u
a
a
14) 
16) 
u'
u'
dx  ln u  u 2  a 2  C
u a
u'
1 ua
17)  2
dx 
ln
C
2
u a
2a u  a
u
u' dx
1
18) 

arc
sec
C
a
u u 2  a2 a
19) 
2
2
1  a  a2  u2
  ln
a 
u
u a2  u2
u ' dx

C


267
Esta edición de prueba se terminó
de imprimir en Agosto de 2008
en
el
Departamento
de
Matemáticas de la Facultad
Nacional de Ingeniería