PROBLEMAS SOBRE FUNCIONES (ALUMNOS)

PROBLEMAS SOBRE FUNCIONES
I.
PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
PROBLEMAS PARA QUE LO RESUELVAN LOS ALUMNOS.
En cada uno de los siguientes problemas, establecer el planteamiento mediante una función de una
sola variable independiente, graficar y encontrar lo que se pide.
1. Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba y esta a “x” pies sobre el suelo en “t” segundos después
de ser encendido, donde x = 560t – 16t2 y la dirección es positiva hacia arriba.
Grafica el comportamiento del movimiento del cohete y encuentra la
altura máxima.
2. Se dispara un proyectil hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 40 m/seg. Su distancia sobre
el suelo a los “t” segundos es x= 40t – 4.5t2 metros.
Encuentra la altura máxima a la que llega y en que tiempo llega al suelo.
3. Hallar dos números positivos que sumen 60 y que el producto sea máximo.
4. Una compañía que vende productos de belleza a domicilio, recubrió que la utilidad anual “U” esta en
función de los representantes de ventas “x” y se expresa como f(x) = U= -12.5x2 + 137.5x – 1500
¿Qué número de representantes producirán la utilidad máxima.
5. La demanda del producto de una compañía varía según el precio que le fije el producto. La compañía
ha descubierto que el ingreso total anual “I” (expresado en miles de dólares) es una función del precio
“x” (en dólares), y esta dado por: I = f(x) = -50x2 + 500x
Determina el precio que deberá cobrarse con el objeto de maximizar el ingreso total y cual es el
valor máximo de ingreso total anual.
6. Se sabe que al comprar una computadora nueva su precio es de $ 13,500, su valor decrecerá en $975
cada año.
a) Escribe una función que represente el valor V(t) de la computadora
en función del
número de años “ t ” después de su adquisición.
b) Si el valor de la computadora es de $3,750.00 después de “t” años de
su
adquisición
¿Cuántos años pasaran para llegar a ese precio?
7. Una compañía de taxis cobra $5 por un viaje y $0.80 adicionales por cada kilómetro que recorre.
a) Escribe una función que representa la cantidad P(x) de dinero que debe pagar un pasajero como
función del número “x” de kilómetros recorridos.
b) Si el pasajero pagó $ 33 ¿Cuántos kilómetros recorrió?
c) Si un pasajero tiene sólo $9 para viajar, ¿Cuántos kilómetros recorrerá como máximo en su
viaje?
8. Una empresa tiene un gasto G(x) en función del número de artículos “x” que produce, y se sabe que
esta función es lineal. Cuando la empresa produce 100 artículos, su gasto es de $1,375 y cuándo
ningún artículo se produce es de $425.
a) Escribe los gastos como una función del número de artículos que produce.
b) Si la empresa gasto $10,400 ¿Cuántos artículos produjo?
9. Una fabrica de pelotas de tenis tiene costos fijos de $14, 700 y le cuesta $3.50 fabricar cada pelota. Si
la empresa vende una pelota a $35.
a) Escribe la función de costo.
b) Escribe la función de ingreso
c) Escribe la función utilidad
d) ¿Cuál es el costo, el ingreso y la utilidad total, si la empresa produce y tiene 5000 pelotas.
10. Una empresa tiene costos fijos de $13,000 y la producían de cada artículo le cuesta $28.00.
a) Escribe la función de costo.
b) Si la empresa tiene costos de producción de $41,400 ¿Cuántos artículos pueden producir?
I. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS
En cada uno de los siguientes problemas, establecer el planteamiento mediante una función de una
sola variable independiente
1) El departamento de recreación de la ciudad planea construir un campo de juego rectangular de 3,600 m 2.
El campo del juego ha de estar rodeado de una cerca.
Expresa la cantidad de cerca necesaria en función de la medida de la
de la longitud del terreno
(x).
2) Un fabricante produce cierto artículo a un costo de $12.00 cada uno. Si los vende a “x” pesos, entonces
podrá vender (300 – x ) artículos a la
semana. Expresa la utilidad semanal en función de “x” .
3) Una persona desea cercar un jardín rectangular que tendrá una superficie de 1,500 ft2.
Expresa la cantidad de cerca necesaria en función de la longitud del
terreno (x).
4) El dueño de un rancho quiere construir un corral de jineteo de forma rectangular que tenga una
superficie de 5,000m2. Expresa la longitud de la cerca en función de la longitud del terreno (x).
5) Una caja sin tapa se construye con un pedazo de cartón de 70 por 80 cm., cortando un cuadrado de
cada esquina. Expresa el volumen de la caja en función de la longitud del lado del cuadrado.
6) Se desea cercar un terreno rectangular con 500 metros de cerca. Expresa el área del terreno cercado en
función de la medida de la longitud del terreno (x)
7) Un distribuidor de automóviles desea cercar un área de estacionamiento para almacenar los automóviles
nuevos producidos en Japón. El área deberá tener una superficie total de 1,000,000 m2 y sus dimensiones
serán como lo muestra la siguiente figura.
x
fondo
ESTACIONAMIENTO
y
frente
Por consideraciones de seguridad la sección de la cerca en parte frontal del lote será mas sólida y
alta que la que se usara en los lados y la parte posterior. El costo de la cerca en la sección frontal
es de $200 por metro y la que se utilizará en los otros tres lados costará $12 por metro. Expresa el
costo de la cerca en función de la longitud de la parte frontal.
8) Una caja abierta con forma cuadrada ha de construirse por $80.00. Los lados de la caja costaran $4.00
por ft2 y la base costara $6.00 por ft2.
Expresa el volumen de la caja en función de la medida del lado de la base.
9) Se desea construir una caja sin tapa con una pieza de cartón cuadrada de 18 pulgadas de lado,
recortando un pequeño cuadrado en cada esquina y doblando las aletas para formar los lados. Expresa el
volumen de la caja en función de la medida del lado del cuadrado “x”.
10) Una empresa vende cada uno de sus productos en $50.00 El costo total de producción “x” (mil
unidades) esta definido por la función
C(x) = 10 - 2.5x2 + x3, en miles de dólares. Expresa la utilidad en función del número de unidades
producidas “x”.
11. Encontrar la expresión que describe el producto de un número y el cuadrado de otro, y además, cuya
suma sea 30; hacerlo en función de uno de ellos.
12. Se desea construir una lata cilíndrica que tiene capacidad de 350 ml,
cantidad de material en función del radio de la misma.
a) ¿Cuáles serían las dimensiones aproximadas para que la
material requerida en su construcción sea mínima?
encontrar
la
cantidad de
13. Abel tiene 120 yardas de alambre y desea cercar a un costado de su casa un terreno rectangular para
la siembra de hortalizas, uno de los lados no tiene que cercarse porque coincide con la pared de su
casa. Expresar el área en función de uno de los lados.
a) ¿Qué dimensiones aproximadas del terreno nos proporcionan el área más grande?
14. En un instante determinado, un automóvil A se encuentra a 50 millas al Este de otro automóvil B. El
automóvil A empieza a moverse hacia el Norte con una velocidad de 20 millas/hr, mientras que el B lo
hace hacia el Este con una velocidad de 25 millas/hr. Sabiendo que las carreteras son rectas,
Encuentra la distancia que los separa en función del tiempo.
a) Calcula el tiempo aproximado que transcurrirá hasta que la distancia que los separe sea mínima.
15. El señor Velderrain dispone de láminas de hojalata semicirculares de un diámetro de 16 dm de las
cuales necesita recortar láminas rectangulares para cubrir una pared. Expresa el área de cada
rectángulo en función de uno de los lados.
a) Calcula las dimensiones aproximadas de cada lámina rectangular para que su área sea máxima.
16. En clase de Matemáticas el profesor dijo “quien encuentre la función que exprese el producto de un
numero por el cubo de otro y la suma de ellos sea 12, en función de uno de los números, ganará un
puntos extras”.
17. La empresa “Jugos de temporada S.A.” desea exportar jugo en cajas rectangulares de base cuadrada
con un volumen de 12 litros. El costo del material de las caras laterales es de $ 5 por dm2 y el costo de
la tapa y el fondo es de $10 por dm2. Expresa el costo de la elaboración de la caja en función de la
longitud del ancho de la base.
a) Calcula las dimensiones aproximadas de la caja para que el costo de su elaboración sea el
mínimo.
18. Un campesino dispone de un terreno rectangular de 3000 m2 de superficie y quiere cercarlo y dividirlo
en 5 partes iguales para el cultivo de 5 hortalizas. Encuentra la función que expresa la cantidad de
material empleado para cercar el terreno en termino de uno de los lados.
a) Calcula las dimensiones aproximadas del terreno para que el material empleado en la cerca sea
mínimo.
19. Se va a empastar el prado de un jardín de forma rectangular, cuya superficie es de 72 m 2. El prado
debe estar rodeado por un andador de tal manera que en los lados mayores sea de 1 m y en los lados
cortos 2 m. Expresar la función del área total del prado y el prado en función de uno de los lados.
a) Calcular
las
dimensiones del prado
para que el área total
del prado y del paseo
sea el mínimo.
72 m2
2
1
20. La entrada principal de una casa es una puerta rectangular coronada por un semicírculo y tiene un
perímetro de
22  3
m. Expresa la función que proporciona la cantidad de luz que pasa por ella, en
4
función de la longitud de x.
y
x
21. La sección amarilla vende su espacio rectangular por cm2, los anunciantes deben incluir en los anuncios
un margen de 1 cm por cada lado. Una tienda de autoservicio contrata regularmente un anuncio de 375
cm2 (impresión y márgenes). Expresar el área de la impresión en función del ancho del anuncio.
a) ¿Cuáles serían las dimensiones aproximadas que debe tener un anuncio, que le cueste lo
mismo, pero que tenga mayor área?
22. Un carpintero tiene que hacer una mesa en forma triángulo isósceles y con perímetro de 65 cm.
Expresa el área de la mesa en función de la base del triángulo.
23. Un comerciante de papas fritas decide vender su producto en cajas de cartón de base cuadrada abierta
por arriba. Para su construcción el comerciante dispone de hojas cuadradas de cartón de 48 cm. de
lado y las va a construir recortando de cada hoja un cuadrado de lado x de cada esquina. Expresa el
volumen de la caja en función de la longitud del cuadrado recortado.
24. Se desea construir un cilindro de 60 cm3 de volumen, expresa el área del cilindro en función de su radio.
25. Un alambre de 1m de longitud debe ser cortado en dos pedazos, uno ha de ser doblado formando un
cuadro y otro formando un círculo, expresa la suma de las áreas de las dos figuras en función de la
cantidad x que debe ser cortada del alambre.
26. Una ventana de forma rectangular coronada con un triángulo equilátero tiene un perímetro de 15 cm.
Expresa el área en función de la altura del rectángulo.
27. La vida media del estroncio 90, es de 25 años. esto significa que la mitad de cualquier cantidad dada de
estroncio 90 se desintegrará en 25 años.
a. si una muestra de estroncio 90 tiene una masa de 24 mg, encuentre una exoresión para la masa
m(t) que queda después de t años.
b. encuentre la masa restante después de 40 años.
28. En condiciones ideales, se sabe que cierta población de bacterias se duplica cada 3 horas. suponga
que primero hay 100 bacterias.
a. ¿cuál es el tamaño de la población después de 15 horas?
b. ¿cuál es el tamaño después de t horas?
c. Estime el tamaño de la población después de 20 horas