ResoMarkov

RESOLUCIÓN DE EXAMENES 3er PARCIAL
1.- Formule las siguientes cadenas de Markov:
- La probabilidad de una huelga mañana es de 0.80, si persiste la huelga
hoy, mientras que la probabilidad que se trabaje mañana es de 0.85 si se
trabaja hoy.
a) Escriba la matriz de transición de la cadena de Markov.
b) Encuentre la probabilidad de estabilidad del sistema.
SOLUCIÓN
S1 : Huelga.
S2 : Trabajo.
a)
S1
S2
S1 0.80 0.20
S2 0.15 0.85
b)
0.80 0.20
x 2 
  x 1
0.15 0.85
 0.80x 1  0.15x 2  x 1

0.20x 1  0.85x 2  x 2
x 1
 0.20x 1  0.15x 2  0

 0.20x 1  0.15x 2  0
x1  x 2  1
x 2  1  x1
 0.20x 1  0.15(1  x 1 )  0
x2 
 0.20x 1  0.15  0.15x 1  0
 0.35x 1  0.15
x1 
0.15
0.35
x 1  0.43
x 2  1  x 1  1  0.43
x 2  0.57
La probabilidad de estabilidad del sistema es (0.43 , 0.57), es
decir existe el 43 % de probabilidad de que haya huelga mañana al igual
que el 57 % de la probabilidad es que se trabaje.
2.- Se tiene dos acciones. Las acciones 1 se vende a 10 dólares o 20
dólares. Si hoy las acciones 1 se venden a 10 dólares, hay una
posibilidad 0.80 de que mañana se venderán a 10 dólares. Si las acciones
1 se venden hoy a 20 dólares, hay una probabilidad 0.90 de que mañana
se venderán a 20 dólares. Las acciones 2 siempre se venden a 10 dólares
o a 25 dólares. Si e venden hoy a 10 dólares hay una probabilidad 0.85
de que mañana se vendad a 25 dólares. En prome dio , ¿ Qué acciones se
venden a mayor precio ?. Determine e interprete todos los tiempos
promedio de primer pasaje.
SOLUCIÓN
Sean los estados:
E1 :las acciones 1 se venden a 10 $.
E2 .las acciones 1 se venden a 20 $.
0 .80 0 .20
( 0)
x
( 0 .5 0 .5 )
0 .10 0 .90
x =( 0 .5 0 .5 ) 0 .80 0 .20
0 .10 0 .90
E1= 45%
E2= 55%
(x,y)P=(x y)
( 1)
x
( 0 .45 0 .55)
0.8x + 0.1y =x
0.2x + 0.9y =y
0.8x + 0.1 – 0.1x
-0.3x
x
y
= 0
= -0.1
=1/3
=2/3
y = 1-x
Por tanto : 10(1/3)+20(2/3) = 16.667 $.
Para la acción 2:
E1: las acciones 2 se venden a 10$.
E2: las acciones 2 se venden a 25$
0 .90 0 .10
( 0)
x
0 .15 0 .85
x = ( 0 .5 0 .5 )
0 .90 0 .10
0 .15 0 .85
( 0 .5 0 .5 )
1
x ( 0 .52 0 .48)
E1=52%
E2=48%
0.9x + 0.15y = x
0.1x + 0.85y = y
0.9x + 0.15 – 0.15x – x = 0
- 0.25x = -0.15
x = 0.6
y = 0.4
Por tanto: 0.6(10) + 0.4(25)= 16$.
Las acciones 1 se venden a 20$ siendo este su mayor precio, con un
porcentaje de 55%, mientras las acciones 2 se venden a 10$ con su mayor
precio con un porcentaje de 52%. Las acciones 1 se venden a mayor precio:
16.667 $, 0.667 más que las acciones 2.
3.- Una compañía presenta un nuevo producto al mercado. Si las ventas son
altas existe una probabilidad de 0.5 de que se mantendrán a ese nivel el mes
siguiente. Si no son altas, la probabilidad de que aumentarán el mes
siguiente es solo de 0.2. La compañía tiene la opción de elaborar una
campaña publicitaria. Si lo hace y las ventas son altas, la probabilidad de
que se mantendrán así el mes siguiente aumentará a 0.8. Por otra parte, una
campaña publicitaria mientras las ventas son bajas aumentará la
probabilidad a solo 0.4.
Si no recurre a la publicidad y las ve ntas son altas, se espera que los
rendimientos sean 10, si las ventas se mantienen altas el mes siguiente y 4
si ni sucede esto. Los rendimientos correspondientes si el producto empieza
con ventas altas son 7 y –2. Recurriendo a la publicidad se generarán
rendimientos de 7 si el producto comienza con ventas altas y se mantiene
en ese nivel y de 6 si no ocurre esto. Si las ventas empiezan bajas, los
rendimientos son 3 y –5, dependiendo de si las ventas se mantienen altas o
no.
Determine la política ópti ma de la compañía para los 3 meses
siguientes y luego los 5 meses siguientes.
SOLUCIÓN
Sean los estados:
S1 : Ventas altas
S2 : Ventas bajas
Periodo n = 1 mes
Acción k = 1 Sin publicidad
E1
1
P
E2
0 .5 0 .5
E1
1
R
0 .2 0 .8
Acción K = 2 Con publicidad
E2
10 4
7
2
E1
2
P
E2
E1
2
0 .8 0 .2
R
0 .4 0 .6
E2
7 6
3
5
Cálculo de rendimiento esperado:
V11
V11
V12
V22
=
=
=
=
0.5
0.5
0.8
0.4
(10) + 0.5 (4) = 7
(10) + 0.5 (4) = 7
(7) + 0.2 (6) = 6.8
(3) + 0.6 (-5) = -1.8
Aplicando las funciones recursivas:
f n (i) = Máx {V i k }
f n (i) = Máx {V i k + Σ P i j + f n + 1 (j)}
Etapa N
i
1
2
K = 1
7
-0.2
K = 2
6.8
-1.8
f n (i)
7
-0.2
K*
1
1
Etapa N – 1
i
1
2
K = 1
7+0.5(7)+10.5(0.2)
=10.54
-0.2+0.2*7+0.8*
(-0.2)=1.04
K = 2
6.8+0.8*10+ (0.2)=12.36
1.8+0.4*7+0.6(0.2)=0.88
fN-1
12.36
K*
2
1.04
1
K = 1
7+0.5(12.36)+0.5(1.0
4) =13.7
K = 2
6.8+0.8(12.36)+
0.2
fN-1
16.896
Etapa N-2
i
1
K*
2
2
-0.2+0.2*12.36+0.8*
(1.04)=3.104
(1.04)=16.896
1.8+0.4*12.36+
0.6(1.04)=3.768
3.77
2
Etapa N-3
i
1
2
K = 1
7+0.5(16.896)+0.5
(3.22) =17.333
K = 2
fN-1
6.8+10.8*16.896 21.071
+0.2
(3.77)=21.071
-0.2+0.2*16.896+0. 8* 7.22
(3.22)=6.195
1.8+0.4*16.998+
0.6(3.22)=7.22
K*
2
K = 1
7+0.5(21.071)+0.5
(7.22) =21.146
K = 2
fN-1
6.8+0.8*21.071+ 25.101
0.2
(7.22)=25.101
-0.2+0.2*21.071+0.8* 10.96
(7.22)=9.79
1.8+0.4*21.071+
0.6(7.22)=10.96
K*
2
K = 1
7+0.5(25.101)+0.5
(10.96) =25.03
K*
2
2
Etapa N-4
i
1
2
2
Etapa N-5
i
1
2
Etapa N-6
K = 2
fN-1
6.8+0.8*25.101+ 29.073
0.2(10.96)
=29.073
-0.2+0.2*25.101+0.8* 14.816
(10.96)=13.59
1.8+0.4*25.101+
0.6(10.96)
=14.816
2
i
1
K = 1
7+0.5(29.073)+0.5
(14.816) =28.94
2
K = 2
fN-1
6.8+0.8*29.073+ 33.022
0.2+
(14.816)=33.022
-0.2+0.2*29.073+0.8* 18.719
(14.816)=17.467
1.8+0.4*25.101+
0.6(14.816=18.7
K*
2
K = 1
7+0.5(33.022)+0.5
(18.719) =32.87
K*
2
2
Etapa N - 7
i
1
2
K = 2
fN-1
6.8+0.8*33.022+ 36.96
0.2
(18.719)=36.96
-0.2+0.2*33.022+0.8* (18.0719)=21.78
1.8+0.4*33.0227 22.64
+0.6(18.79
=22.64
2
Para los tres primeros meses, es decir N = 3
En el primer mes debe realizarse publicidad no importa si se tengan ventas
altas o bajas, en ambos casos es conveniente realizar la publicidad.
En el segundo mes debe hacerse publicidad solo si las ventas son altas.
En el tercer mes, no debe realizarse publicidad en ningún caso.
El beneficio óptimo esperado es:
16.896 $, si en el primer mes las ventas fueron altas.
3.77$, si en el primer mes las ventas fueron bajas.
Para 5 meses adicionales,
N=8
Durante los 6 primeros meses debe realizarse publicidad, sin importar el
estado de las ventas.
En el séptimo mes se deberá hacer publicidad solo si el estado de ventas es
alto.
En el octavo mes no debe realizarse publicidad.
El beneficio esperado es de :
36.96 $, si las ventas en el mes inicial fueron altas.
22.64 $, si las ventas en el primer mes fueron bajas.
4.- Al principio de cada año mi automóvil está en buen, regular o mal
estado. Un buen automóvil será bueno al principio del año siguiente, con
probabilidad de 0.85, regular con probabilidad
de 0.10 y mal con
probabilidad de 0.05. Un automóvil regular estará regular al principio del
año siguiente con probabilidad 0.70 y mal con probabilidad 0.30. Cuesta
6000 dólares comprar un buen automóvil, uno regul ar se puede conseguir
por 2000 dólares; uno malo no tiene valor de venta y se debe reemplazar de
inmediato por uno bueno. Cuesta 1000 dólares al año el funcionamiento de
un buen automóvil y 1500 dólares el de uno regular. ¿ debo reemplazar mi
automóvil tan pronto como se vuelva regular, o debo esperar hasta que se
descomponga ? Suponga que el costo de funcionamiento de un automóvil
durante un año depende del tipo de vehículo que se tiene a la mano al
principio del año ( después de llegar cualquier auto nuev o, si es el caso).
SOLUCIÓN
Sean los estados:
S1 = Automóvil en buen estado.
S2 = Automóvil en regular estado.
S3 = Automóvil en mal estado.
Matriz de transición:
S1 S2
S3
S1 0 .85 0 .10 0 .05
S2
S3
0
1
0 .70 0 .30
0
S1 -> V 1 = 0
S2 -> V 2 = 1400
S3 -> V 3 = 1000
0
0
0
0
6 00 0 8 00 0 0
1 00 0 1 50 0 0
i
:
1
2
3
Vi
:
0
1400 1000
Los valores f n (i) se determinan :
f 3 (1) = 0 + 0.85*0 + 0.10 * 0 + 0.05 * 0 = 0
f 3 (2) = 1400 + 0 (6000) + 0.70 * 2000 + 0.30 * 0 = 2800
f 3 (3) = 1000 + 1 *(1000) + 0 * 1500 + 0* 0.0 = 2000
f 2 (1) = 0 + 0.85*0 + 0.10 * 1400 + 0.05 * 1000 =19 0
f 2 (2) = 1400 + 0 *0 + 0.70 * 1400 + 0.30*1000 = 2680
f 2 (3) = 1000 + 1 *0 + 0 * 1400 + 0* 1000 = 1000
f 1 (1) = 0 +190 * 0.85 +2680* 0.10 * 1000 + 0.05 *0 =929.5
f 1 (2) = 1400 + 190 *0 + 2680 *0.70 + 1000 * 0.30 = 3576
f 1 (3) = 1000 + 190*1 + 2680*0 +10 00* 0.0 = 1190
5.- Una empresa tiene un programa de adiestramiento que contempla dos
fases la fase 1 de tres semanas de adiestramiento en aula. La fase 2 de 3
semanas de aprendizaje ya trabajando bajo supervisión. Estudios realizados
por la empresa han determinado que de la fase de aula 60% pasan a la fase
de aprendizaje y 40% abandonan completamente el programa de la fase de
aprendizaje 70% se gradúan de supervisores 10% repiten la fase 2 y 20%
quedan fuera del programa. La compañía se ha fijado un plaz o de 9
semanas. Cuántos supervisores espera graduar la compañía si tiene
actualmente 45 personas en fase de aula y 21 personas en fase de
aprendizaje las personas quedan fuera del programa nunca vuelven.
SOLUCIÓN
Sean los estados:
E1 : Abandonar
E2 : Adiestramiento en aula.
E3 : Trabajando bajo supervisión.
E4 : Graduación.
Vector inicial x 0 = (0
x 0 = (0
45
21
0)
45/66
21/66
0)
Matriz de transición:
0 .90 0 .10
( 0)
x
0 .15 0 .85
x = ( 0 .5 0 .5 )
0 .90 0 .10
0 .15 0 .85
( 0 .5 0 .5 )
1
x ( 0 .52 0 .48)
E1 E2 E3 E4
E1
E2
E3
E4
1
0
0
0
0 .40 0 0 .60 0
0 .20 0 0 .10 0 .70
0
0
0
1
Cadena de Markov:
X(3) = x10 x3
6.- Cada familia norteamericana se puede clasificar como habitante de zona
urbana , rural o suburbana. Durante un año determinado el 15% de todas las
familias urbanas se cambian a una zona suburbana y el 5% se cambian a una
zona rural. También el 6% de las familias suburbanas pasan a zona urban a
y el 4 5 se mudan a zona rural. Por último el 4% de las familias rurales
pasan a una zona rural y el 6% se mudan a una zona suburbana.
a) Si una familia actualmente vive en una zona urbana. ¿ Cuál es la
probabilidad que después de dos años viva en una zona urbana ? ¿ En
zona suburbana? ¿ En zona rural?
b) Supongamos que en la actualidad el 40% de las familias vive en zona
urbana, el 35% en zona suburbana y el 25% en zona rural. Después de
dos años ¿ qué porcentaje de las familias norteamericanas vivirá en
zona urbana?
c) ¿ Qué problemas se pueden presentar si este modelo se usara para
predecir la distribución futura de la población de Estados Unidos?
SOLUCIÓN
Sean los estados:
S1 : familia vive en zona urbana.
S2 : familia vive en zona rural.
S1 : familia vive en zona suburbana.
Periodo n=1año
Sea la matriz de transición P :
S1 S2
S3
S1 0 .80 0 .05 0 .15
S2 0 .04 0 .90 0 .06
S3 0 .06 0 .04 0 .90
a) Vector inicial x 0 = (1
0
0)
0.80 0.05 0.15
2
0.04 0.90 0.06
2
0
2
x = x P = (1
0
0) 0.06 0.04 0.90
La probabilidad son las siguientes:
Zona urbana
0.651
(65.1%)
Zona rural
0.091
(9%)
= (0.651 0.091 0.258)
Zona suburbana
0.258
b) Vector inicial x 0 = (0.4
(25.8%)
0.25 0.35)
Entonces:
0 .80 0 .05 0 .15
0 .04 0 .90 0 .06
0.25 0.35) 0 .06 0 .04 0 .90 = (0.315 0.266 0.419)
x 2 = x 0 P 2 = (0.4
Después de 2 años el 31.5 % vivirá en zona urbana.
7.- Se tiene la s iguiente matriz de transición:
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
P =
1 1
4 4
0
1
0 0
2
1 0 0 0 0 0
0
1
0 0 0
3
2
3
a) ¿ Cuáles estados son transitorios?
b) ¿ Cuáles estados son recurrentes?
c) Identifique todos los conjuntos cerrados de estados
d) ¿ Es ergódica esta cadena?(demuestre)
e) ¿ A qué se llama distribución de estado e stable?
SOLUCIÓN
a) Estados transitorios
6
 li1  1 / 4  1  5 / 4
1)
> 1
i 1
6
 li2  1 / 4  1 / 3  7 / 12
2)
< 1
i 1
6
3)  li3  1  1
= 1
i 1
6
4)  li 4  1 / 2
< 1
i 1
6
5)  li5  1  1
= 1
i 1
6
6)  li6  1  2 / 3  5 / 3
> 1
i 1
Los estados 2 y 4 son transitorios
b) Los estados recurrentes:
Se calculan las probabilidades de los estados a largo plazo para
respectivamente:
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
( x1 x2 x3 x4 x5 x6 ) 
1 1
4 4
0
1
0 0
2
1 0 0 0 0 0
0
1
0 0 0
3
2
3
x1 = 0
x4 = 0
x2 = ¼
x5 = 0
x3 = 0
x6 = 3/4

( x1 x2 x3 x4 x5 x6 )
1 ->6
9.- El valor en el mer cado de un automóvil usado se estima en $ 2000. El
propietario cree que puede obtener más que esto, pero está dispuesto a
escuchar ofertas de los tres primeros compradores prospecto que respondan
a su anuncio (lo que significa que debe tomar su decisión a más tardar
después de que reciba la tercera oferta). Se espera que las ofertas sean de $
2000, $ 2200, $2400, $2600, con iguales probabilidades. Naturalmente,
cuando él acepte una oferte, todas las posteriores no le servirán más. Su
objetivo es el de fijar un límite aceptable que pueda utilizar cuando reciba
cada una de las tres ofertas. Por lo tanto, estos límites pueden ser $ 2000, $
2200, $2400, $2600. Elabore un plan óptimo para el propietario del
automóvil.
SOLUCIÓN
S1
S2
S3
S4
:
:
:
:
Oferta
Oferta
Oferta
Oferta
de
de
de
de
2000
2200
2400
2600
$.
$.
$.
$.
f(i)=max{vi}
f(1) = 2000
P(f1)
f(2) = 2200
P(f2)
f(3) = 2400
P(f3)
f(4) = 2600
P(f4)
D = $ 2000
f(i) = máx{vi +  Pij fn+i(j)}
=
=
=
=
0.25
0.25
0.25
0.25
Para la Primera ofert a
S1 = 2000 + (0.25 * 2000 + 0 * 2200 + 0 * 2400 + 0
S2 = 2000 + (0 * 2000 + 0.25 * 2200 + 0 * 2400 + 0
S3 = 2000 + (0 * 2000 + 0 * 2200 + 0.25 * 2400 + 0
S4 = 2000 + (0 * 2000 + 0 * 2200 + 0 * 2400 + 0.25
*
*
*
*
2600)
2600)
2600)
260 0)
=
=
=
=
2500
2550
2600
2650
Para la Segunda oferta
S1 = 2000 + (0.25 * 2500 + 0 * 2550 + 0 * 2600 + 0
S2 = 2000 + (0 * 2500 + 0.25 * 2550 + 0 * 2600 + 0
S3 = 2000 + (0 * 2500 + 0 * 2550 + 0.25 * 2600 + 0
S4 = 2000 + (0 * 2500 + 0 * 2550 + 0 * 2600 + 0.25
*
*
*
*
2650)
2650)
2650)
2650)
=
=
=
=
2625.0
2637.5
2650.0
2662.5
Para la Tercera oferta
S1 = 2000 + (0.25 * 2625.0 + 0 * 2637.5 + 0 * 2650.0 + 0
2656.25
S2 = 2000 + (0 * 2625.0 + 0.25 * 2637.5 + 0 * 2650.0 + 0
2659.38
S3 = 2000 + (0 * 2625.0 + 0 * 2637.5 + 0.25 * 2650.0 + 0
2662.50
S4 = 2000 + (0 * 2625.0 + 0 * 2637.5 + 0 * 2650.0 + 0.25
2665.63
* 2662.5) =
* 2662.5) =
* 2662.5) =
* 2662.5) =
El propietario deberá vender su automóvil mínimamente a 2656.25 $, pero
se espera una oferta óptima de 2665.63 $