DETERMINANTES

DETERMINANTES
Asociado a cada matriz cuadrada A hay un número llamado determinante de A.
Determinante de A se puede escribir de dos formas:
A determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto de un
número real)
Det A
Esta se utiliza a veces en lugar de
A para
evitar la confusión.
Una matriz es de primer orden cuando únicamente tiene un solo elemento y
definimos la determinante de A como
A  a11  y
A  a11 .
Ahora si la matriz A es una matriz cuadrada de segundo orden tendremos una matriz de 2 x 2
de modo que
a
A   11
a 21
a12 
a 22 
es una matriz cuadrada de segundo orden.
Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera:
a
A   11
a 21
a12 
a 22 
multiplicar
multiplicar
A  ( a11 ) ( a22 ) - ( a21 ) ( a12 )
RESTAR
Ejemplo:
Encuentre
A si A 
3  2 multiplicar multiplicar
 3 1  4 2   3   8  3  8  5
4 1
RESTAR
EJERCICIO I
Hallar el determinante de las siguientes matrices:
1)
A
2)
A
3)
B
4)
C
1
3
2
1
 3 1
5
3
3 2
6 4
m n
p q
MENOR Y COFACTOR
MENOR
Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A de orden nn  2 , el menor Mij se define
como el determinante de la matriz de orden n – 1 obtenida al suprimir la fila i-ésima y la
columna j-ésima de A.
Asi, para
1
2
1
A=
2
4
5
3
6
7
Para hallar el menor M11:
a) suprimimos la primera fila y la primera columna asi
1
M11 = 2
1
2
4
5
3
6
7
b) tomamos los números que no quedan tapados ( los números rojos)
1
M11 = 2
1
2
4
5
3
6
7
4 6
5 7

c) Tercero hallamos el determinante
1
M11 = 2
1
2
4
5
3
6
7

4 6
 47  56  28  30  2
5 7
Hallar los menores M12, M22 y M32
1
M12 = 2
1
2
4
5
3
6
7

2 6
 27  16  14  6  8
1 7
1
M22 = 2
1
2
4
5
3
6
7

1 3
 17  31  7  3  4
1 7
1
M32 = 2
1
2
4
5
3
6
7

1 3
 16  23  6  6  0
2 6
COFACTOR

aij se define como el menor Mij multiplicado por
El cofactor nos da como resultado es el signo del
El cofactor Aij de la entrada
Aij   1
menor.
i j
M 
ij
Del ejemplo anterior obtuvimos los siguientes resultados de los menores
MENOR
M11 = -2
COFACTOR
i j
11
2
Aij   1 M ij   1  2   1  2   1 2  2
M12 = 8
Aij
M22 = 4
Aij
M32 = 0
Aij

  1
  1
  1
i j
i j
i j

M
M
M
ij
 

   1 8   1 8   18  8
   1 4   1 4   14  4
ij
   1 0  0
ij
1 2
3
2 2
4
3 2
En una matriz de tercer orden, el signo de los menores seria:
  
  
  
EJERCICIO II
Hallar el menor y cofactor de cada elemento de la matriz dada.
1)
A
3 1
0 2
2)
5) D  2
1
4
3
3 5
1 0
2 1
3 2
3) C 
1 4
3 2
B
5
2
0
4
4) D  0
1
2
3
2
4
DETERMINATE DE UNA MATRIZ 3X3
Definición: el determinante de
 a11
A  a 21
a31
a12
a 22
a32
A de una matriz cuadrada de tercer orden se define así:
a13 
a 23   a11 A11  a12 A12  a13 A13
a33 
En esta definición se establece un patrón de multiplicar cada elemento de la fila 1 por su
cofactor, luego se suman todos los resultados para hallar
conoce como expandir
A . A éste proceso se le
A por primera fila, pero podemos expandir A por cualquier fila
o columna.
Teorema de expansión de determinantes:
El determinante de una matriz A de orden nn  2 puede evaluarse multiplicando cada
entrada en cualquier fila o (columna) por su cofactor y sumando los productos
resultantes.
Ejemplo:
A
Hallar el determinante de
6 5 3 
A  2 4 5 
1 2  3
Primero hallamos los cofactores de la primera fila
Cofactor de
Cofactor de
Cofactor de
A11 6  6 1
11
A12 5  5 1
1 2
A13 3  3 1
13
 6 1  6
2
 5 1  5
3
 3 1  3
4
Luego hallamos los menores de la primera fila
6 5 3 
4 5 
A  2 4 5  M 11  

2  3
1 2  3
6 5 3 
2 5 
A  2 4 5  M 12  

1  3
1 2  3
6 5 3 
2 4
A  2 4 5  M 13  

1 2 
1 2  3
Ahora lo colocamos como la definición
 a11
A  a 21
a31
a12
a 22
a32
a13 
a 23   a11 A11  a12 A12  a13 A13
a33 
6 5 3 
4 5 
2 5 
 2 4
A  2 4 5   6 
  5
 3



2  3
1  3
1 2



1 2  3
Ahora operamos
 64  3  5  2  52  3  5 1 32  2  1 4 
 6 22  5 11  30 
 132  55  77
Teorema sobre una fila o columna de ceros
Si todo elemento de una fila ( o columna ) de una matriz cuadrada A es cero, entonces
A  0.
Ejemplo:
Calcule el determinante de
1 0 3
A  5 0 4
3 2 5
1 0 3
A  5 0 4
3 2 5
Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la segunda
columna tiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos el
determinante por la segunda columna.
5 4
1 3
1 3
A  0 
 0 
 2 


  0  0  24  15  22
3 5
3 5
5 4
Ejemplo 2:
Calcule el determinante de:
0
1 0
0  1 0
A
2 3
0

1 5  2
3
4
0

6
Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la tercera
columna tiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos el
determinante por la tercera columna.
Desarrollamos A
A  a13 A13  a 23 A23  a33 A33  a 43 A43 
 0 A13  0 A23  0 A33   2 A43 
  2A43
0
1 0
0  1 0
A
2 3
0

1 5  2
 2A43   2
3
4
0

6
1 0 3 
0  1 4


2 3 0

Ahora desarrollamos el determinante por la primera fila de A43
así
 1 4
0 4 0  1 

 0
 3





3
0
2
0
2
3











 2 1 12  0  32   2 1 6   26  12

 2A43   2 143  1
EJERCICIOS
Hallar el determinante de la matriz dada.
 3 1  2

2 5 
1) A  4

 6 3  1 
  1 0 2


2) A  0 1 3


 3 4 0
 2  5 1

1 6
3) A   3

 4  2 3
3 5 0


4) A  0 1 0


3 4 5
 2 7  3

4 
5) A  1 0

4  1  2
3 2 1


6) A  1  1 0


2 3 0
2 5 1


7) A  3 4 0


2  1 1
5 4 1 


8) A  3  2 7


2 0 6
Resuelve el siguiente sistema por el método de cramer
 3 x  2y  4 z  6

 2 x  4 y  z  3

 x  2y  3z  1
 2 7  3

4 
9) A  1 0

4  1  2