CUESTIONES TEÓRICO

Matemáticas CCSS I
REPASO FINAL
Material de refuerzo:
1ª parte: listado de contenidos. Los contenidos que aparecen subrayados podrán ser
preguntados como teoría.
Todos los contenidos (subrayados o no) pueden aparecer en las cuestiones teórico-prácticas y
en los problemas.
2ª parte: colección de problemas de repaso. Te servirán de ejemplo de lo que puede aparecer en
el examen.
CONTENIDOS DEL CURSO
NÚMEROS REALES
 Los números racionales. Los números irracionales. Los números reales.
 La recta real. Intervalos. Orden y desigualdades de números reales. Valor absoluto. Cálculos
con expresiones en valor absoluto.
 Potencias, raíces y logaritmos. Propiedades y operaciones.
 Aproximaciones decimales (defecto, exceso y redondeo). Errores.
POLINOMIOS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS
 Concepto de polinomio. Operaciones con polinomios. Ceros de un polinomio. Teorema del
resto. Descomposición factorial.
 Fracciones algebraicas: definición. Operaciones con fracciones algebraicas. Simplificación.
ECUACIONES
 Definición de ecuación y tipos.
 Resolución de ecuaciones con una incógnita: algebraicas (polinómicas, racionales e
irracionales) y trascendentes (exponenciales, logarítmicas y trigonométricas sencillas).
 Resolución de sistemas lineales (reducción, Gauss) y no lineales (sustitución).
 Ecuaciones lineales. Grados de indeterminación.
 Sistemas de ecuaciones lineales: Definición, sistemas compatibles determinados e
indeterminados (grados de libertad) e incompatibles. Discusión de sistemas. Resolución por
el método de triangulación de Gauss. Notación matricial de un sistema de ecuaciones
lineales.
INECUACIONES
 Con una incógnita:
o
Lineales: despejar x y dar el intervalo solución.
o
Polinómicas de grado mayor o igual que dos, racionales. Enfrentar a cero,
factorizar y estudiar el signo.
 Con dos incógnitas: resolución gráfica. Obtención de la región factible.
 Introducción a la programación lineal. Definición y problemas.
MATEMÁTICA FINANCIERA
 Progresiones aritméticas y geométricas
 Intereses bancarios: interés simple y compuesto. Periodos de capitalización. T.A.E.
 Anualidades de capitalización y de amortización.
Matemáticas CCSS I
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FUNCIONES
 Concepto de función real de variable real. Dominio y recorrido de una función.
 Caracterización de funciones: dominio, recorrido, simetría, periodicidad, cortes con los ejes,
signo, asíntotas, continuidad y discontinuidad, acotación y extremos absolutos, monotonía
y extremos relativos o locales, curvatura y puntos de inflexión…
 Operaciones con funciones: suma, producto, cociente, potenciación y composición de
funciones. Función inversa respecto a la composición (f-1). Dominios de las funciones
obtenidas.
 FUNCIONES ELEMENTALES: Conocer las gráficas y propiedades de las funciones elementales:
polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas (seno, coseno y
tangente) y funciones definidas a trozos.
 Trazado de gráficas de funciones que sean transformaciones sencillas de las funciones
elementales: valor absoluto, función opuesta, traslaciones y dilataciones,...
LÍMITE Y CONTINUIDAD
 Definición de sucesión. Progresiones aritméticas y geométricas.
 Límite de una sucesión. Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes. Sucesiones
nulas. Sucesiones acotadas. Operaciones con sucesiones. Cálculo de límites de sucesiones.
Casos indeterminados.






Limite de una función en el infinito. Asíntotas horizontales y oblicuas. Cálculo de límites.
Límites laterales. Límite de una función en un punto. Asíntotas verticales. Cálculo de límites.
Propiedades de las operaciones con límites de funciones.
Definición de continuidad en un punto. Continuidad en un intervalo abierto (a, b).
Propiedades de las funciones continuas.
Discontinuidad y tipos de discontinuidades.
FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y TRIGONOMÉTRICA




La función exponencial: definición y propiedades. Representación gráfica. Usos.
La función logarítmica: definición y propiedades. Representación gráfica. Usos.
Las funciones trigonométricas: definición y propiedades: y=senx, y=cosx e y=tgx.
Resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales.
CÁLCULO DIFERENCIAL
DERIVABILIDAD EN UN PUNTO






Tasas de variación: Tasa de variación media y tasa de variación instantánea.
Derivada de una función en un punto.
Derivadas laterales de una función en un punto.
Función derivable en un punto
Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.
f derivable en x=a ⇒ f continua en x=a. (El recíproco no es cierto)
FUNCIÓN DERIVADA








Definición de función derivada
Interpretación geométrica de la derivada
Función derivable en un intervalo (a, b)
Derivada segunda o derivada de segundo orden
Derivadas sucesivas
Funciones no derivables.
Recta tangente y recta normal a una curva en un punto.
Monotonía y curvatura.
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 Definiciones de: función estrictamente creciente y decreciente, función creciente y
decreciente, máximo y mínimo local o relativo, puntos singulares, puntos críticos, puntos
angulosos. Función cóncava y convexa. Puntos de inflexión.
PROCEDIMIENTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO
o
o
o
o
o
Modelización de situaciones reales mediante funciones.
Cálculo de límites de sucesiones y de funciones.
Caracterización de funciones. Operaciones con funciones.
Estudio de la continuidad o discontinuidad de una función en un punto o en un intervalo.
Trazado de funciones sencillas a partir de transformaciones de funciones elementales (sin
hacer el estudio analítico de la función).
o
o
o
o
o
Reglas fundamentales de derivación. Cálculo de derivadas y simplificación.
Estudio de la derivabilidad de una función en un punto usando la definición.
Estudio de la derivabilidad en un intervalo abierto (a, b)
Aplicaciones de las derivadas:

Estudio de la monotonía y extremos relativos

Estudio de la curvatura y puntos de inflexión

Cálculo de rectas tangentes a una curva en un punto. Recta normal.

Problemas de optimización
Utilizando lo visto sobre propiedades de funciones, estudio de límites, continuidad y
derivabilidad, debes enfrentarte a la representación gráfica de funciones sencillas:
o
Con f: dominio, paridad, periodicidad, cortes con los ejes, signo, asíntotas,
continuidad y discontinuidad
o
Con f’: monotonía y extremos relativos
o
Con f’’: curvatura y puntos de inflexión
ESTADÍSTICA
VARIABLE ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL




Conceptos de población, muestra y carácter estadístico.
Caracteres cualitativos y cuantitativos.
Variable estadística discreta o continua (intervalos o clases y marcas de clase).
Tablas de frecuencias absolutas, acumuladas, relativas. Diagramas de barras y polígonos de
frecuencias. Diagramas de sectores
 Parámetros estadísticos:
o
o
De centralización: moda, mediana y media.
De dispersión: rango, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.
VARIABLE ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL
 Definición de variable estadística bidimensional. Diagrama de dispersión.
 Definición de correlación. Tipos de correlación: lineal (positiva (directa) o negativa (inversa)),
curvilínea, nula.
 Medida de la correlación: Covarianza.
 Correlación lineal. Coeficiente de correlación lineal de Pearson.
 Regresión lineal. Rectas de regresión. Bondad del ajuste.
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PROBABILIDAD
 Diagramas de árbol. Concepto de muestra y principio de multiplicación.
 Experimento aleatorio. Espacio muestral E. Espacio de sucesos P(E).
 Definición de suceso. Tipos de sucesos: elemental, compuesto, seguro, imposible. Sucesos
contrarios, compatibles/incompatibles, dependientes/independientes.
 Definición de probabilidad:
o
o
Definición clásica: ley de Laplace.
Definición como límite de frecuencias relativas: Ley de los grandes números o ley
empírica del azar.
o
Definición axiomática: función de probabilidad.
 Probabilidad de la unión de sucesos. (p(A⋃B)=p(A)+p(B)- p(A⋂B)), importante distinguir si
son compatibles o incompatibles, ya que si son incompatibles p(A⋂B)=0).
 Probabilidad de la intersección de sucesos. (importante distinguir si son independientes
(p(A⋂B)=p(A)·p(B)), o dependientes (p(A⋂B)=p(A)·p(B/A)).
 Leyes de Morgan. Probabilidad del suceso contrario.
 Probabilidad condicionada. Teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
 Definición de variable aleatoria (importante: es una función con dominio el espacio muestral
E y recorrido un subconjunto de ℝ, es decir, X: E  RecX ⊂ ℝ).

Variables aleatorias discretas y continuas.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
 Función de probabilidad (nos da la probabilidad de que la variable tome cada valor de su
recorrido, es decir, es una función cuyo dominio es el recorrido de la función “variable
aleatoria X” y cuyo recorrido es el intervalo [0, 1], p: recX  [0,1]).
 Función de distribución (nos da la probabilidad de que la variable tome un valor menor o
igual que uno dado).
 Media, varianza y desviación típica.
 Caso particular: distribución binomial B(n, p).
 Manejo de tablas.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA






Función de probabilidad.
Función de distribución.
Media, varianza o desviación típica.
Caso particular: distribución normal N(,). Tipificación de la variable, N(0,1).
Manejo de tablas.
Aproximación de la binomial por la normal. Corrección de continuidad.
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Debes entregar en septiembre los siguientes problemas:
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
P1.-
Halla x en las siguientes expresiones:
a) log 3 x  
1
27
b) logx 0,25  2
P2.- Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) 29 x3  42·162 x b) 7 2 x1  50·7 x  7  0
c) 29 x3  52 x
d ) log 2( x  2)  log 2(1  3x)  1  log 2(5x  7)
e) 32 x1  2·3x  1
P3.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método algebraico que prefieras.
Indica el tipo de sistema y analiza las soluciones.
2

 y  2 y 1  x
a) 

 x  y 5
log(x 2 y )  2
b) 
log x  6  log y 2
P4.- Resuelve las siguientes inecuaciones:
a)
c)
 y 4x
2 
8

 yx4 

x 2 (2 x  1)3
0
 2( x 2  4)
b)
y  x 1  3
x  2 y  4
y  1 x


2
 y  x  2x  3

x  4
P5.- Resuelve por el método de Gauss los siguientes sistemas de ecuaciones e indica de qué tipo
de sistema se trata:
6 x  2 y  3 z  11

a ) 5 x  4 y  2 z  7
3 x  2 y  5 z  6

x  y  2z  2

b ) 2 x  y  3 z  2
5 x  y  8 z  6

x  y  z  4
P6.- Discute usando notación matricial y Gauss el sistema: 
 x  2 y  z  0
2 x  y  2 z  4

En caso de compatibilidad, resuelve el sistema.
P7.- a) Discutir en función de los valores del parámetro real k, el siguiente sistema de
2 x  2 y  z  2
ecuaciones lineales: 
x  y  z  1
 5 x  ky  3 z  5

b) Resolverlo en los casos de compatibilidad.
P8.- Una población sufre una fuerte emigración y en 5 años se ve reducida a la tercera parte. Su
decrecimiento es exponencial, del tipo P(t)=P0·e-kt, donde k es la tasa de decrecimiento (en
tanto por uno), y t, el tiempo medido en años.
a) Calcula k.
b) Si la población actual es de 11,1 millones de habitantes, ¿cuál será la población
estimada dentro de dos años?
c) Si la población actual es de 11,1 millones de habitantes, cuánto tiempo transcurrirá
hasta que disminuya en un 15%.
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MATEMÁTICA FINANCIERA
T1.- Si se coloca un capital C0 a un 7% anual durante 5 años, ¿interesa más elegir periodos de
capitalización anual o mensual? Justifica tu respuesta.
T2.- ¿Qué es el T.A.E.? ¿Por qué resulta necesario calcularlo? Calcula el T.A.E. del 3% anual
capitalizable mensualmente.
P1.- De las siguientes sucesiones, (an)n∈ℕ y (bn)n∈ℕ, calcula los cinco primeros términos y calcula
después la suma de los treinta primeros términos de cada una:
Calcula el término general de las siguientes sucesiones:
1 1 1
5 10 17 26
, ,
,1,2,...
2, , , , ,...
8 4 2
5 9 13 17
a n  3n
bn  5n  2
P2.- Calcula el capital que se ha de invertir para obtener en 6 años 36000€ en los siguientes
casos:
a)
Haciendo una única imposición inicial con un interés simple del 5%.
b)
Haciendo una única imposición inicial con un interés compuesto del 4%, con
capitalización mensual.
c)
Haciendo imposiciones semestrales a un interés anual del 4,5%.
P3.a)
Si estás dispuesto a pagar una cuota de 10000€ durante 10 años y el tipo de interés es
del 6,5%, ¿cuánto dinero pedirás prestado?
b)
Una entidad financiera ofrece un producto capitalizable trimestralmente que supone un
T.A.E. del 3,5%. ¿Cuál es el interés nominal anual?
c)
Si puedes pagar una cuota mensual de 300€ y el banco te ofrece un interés anual del
4,2%, ¿cuánto tiempo tardarás en reunir un capital de 30000€?
P4.a)
El Sr. A, abre una cuenta vivienda en la que le ofrecen un interés anual del 9% y desea
disponer de 100000 euros en cinco años. ¿Cuál es la cuota anual que debe aportar para
lograr reunir ese capital?
b)
Pasados esos cinco años, el Sr. A decide comprar una vivienda de 220000€. El banco le
ofrece una hipoteca al 4,5% durante 20 años. ¿Cuál será la cantidad anual que deberá
pagar ahora?
c)
Elabora la tabla de amortización del préstamo durante los primeros cinco años.
d)
Si el Sr. A decide saldar su deuda a los cinco años de firmar su hipoteca, la comisión de
cancelación es del 1% sobre el capital pendiente. ¿Cuánto tiene que pagar a la entidad
bancaria?
ANÁLISIS MATEMÁTICO
T1.- En el contexto de las funciones reales de variable real, define los siguientes conceptos:
función decreciente en (a, b), función impar, función biyectiva, límite de una sucesión
convergente, función continua en un punto, función acotada superiormente. Supremo. Máximo
absoluto. Define el límite de una función en un punto.
T2.-
a) Definición de función continua en un punto. Tipos de discontinuidades.
b) Definición de asíntota horizontal. ¿Cómo se calculan?
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T3.- Da la definición e interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.
¿Qué información da la derivada de una función? Calcula, usando la definición, la derivada de
f(x) = x2 -x– 1 en x=3.
T4.- Los dominios de definición, continuidad y derivabilidad de una función no siempre
coinciden. Pon un ejemplo de una función para la que coincidan solo dos de ellos y otro de una
función en la que no coincida ninguno (traza las gráficas e indica dichos dominios).
T5.- ¿Puede una función tener como dominio ℝ-{a} y existir el límite de f cuando xa? Razona
tu respuesta y pon un ejemplo.
T6.- ¿Una función continua es derivable en todo su dominio? Justifica tu respuesta.
T7.- Si la función f(x) es tal que f'(a) = 0 y f''(a) = 0, ¿puede presentar f un máximo relativo en x
= a? ¿Cómo podríamos saberlo?
T8.- Si la función f(x) es tal que f'(x) > 0 en cierto intervalo (a, b), ¿qué puede decirse del
crecimiento o decrecimiento en (a, b) de la función g(x) = k · f(x) siendo k un número real no
nulo?
P1.
Estudia analíticamente la continuidad de la función f(x):

Haz un boceto de la gráfica que te permita confirmar el estudio
analítico de f(x).
P2.
Estudia el dominio, signo y cortes con los ejes de f(x).

Calcula las asíntotas, si las tiene, de la función dada.

Dibuja de forma aproximada una posible gráfica de la función.
 x2  5 , x  0

6  x , 0  x  2
f ( x)  4  log x , 2  x  4
2

 1 , 4 x
 4  x
f ( x) 
x2  x  2
x 2 ( x 2  1)
P3.- Calcula los siguientes límites de funciones:
x 2
a) lím
x 4 4  x
b) lím
3
x
2
x
2 x  32
c ) lím
x 0
x2
 2 x  3  x 1
d ) lím 

x  5  2 x


3
1
1 e x
 x2 1
, x 1
P4.- Calcula el valor del a para que f sea continua en todo su dominio. f ( x)  
 x 1
6  ax2 , x  1

P5.- Calcula los siguientes límites de funciones:
a ) lím
x 0
1
1 e
1
x
b) lím
P6.- Estudiar detalladamente:
x1
1  x2
x  13
f ( x) 
2x 1
.
x3
1
 x  3  x2
c) lím 

x 2 5  2 x


e x 1
x  0 senx
d ) lím
Ver: dominio, simetrías, zonas de existencia
(signo de f), cortes con los ejes, asíntotas, discontinuidades. Calcula también su inversa respecto
a la composición. Dibuja la gráfica de la función.
P7.- Calcula la derivada de las siguientes funciones y simplifica la tercera:
a) y  (5ln x  x) 2  3 e 23 x
P8.- Dada la función f(x) = x lnx.
b) f ( x)  cos5 x  senx5  arcsen5x
c) f ( x)  log3 4
2  2x
2  2x
Matemáticas CCSS I
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a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = xlnx en el punto de
abcisa x=e.
b) En qué punto la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta y - x +3 = 0
ax  b , x  1
f ( x)   2
 x  4 x , x  1
P9.- Sea f: ℝℝ, la función definida como
calcula el valor de a y b para que la función dada sea continua y derivable en x=-1.
P10.- Calcula la derivada de las siguientes funciones y, en los apartados a y c, simplifica el
resultado:
a)
1 ex
f ( x) 
1 ex
b)
1 x 
f ( x)  

1 x 
senx
f ( x)  ln 5
c)
1  senx
1  senx
P11.- Dada la función f(x) = 2x - 6.
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el punto de abcisa x=1.
b) ¿En qué punto la recta tangente a la gráfica es horizontal?
c) Haz un dibujo que refleje el análisis hecho en los apartados anteriores.
f ( x) 
P12.- Estudia la función:
x 1
1 x2
Analiza: dominio, signo, cortes con los ejes, asíntotas, continuidad y discontinuidad.
P13.- La siguiente tabla muestra datos de varios países sobre la evolución del número de
trasplantes de hígado:
Año
2007
2008
2009
Número
5040
5326
6042
a)
Explica en qué cosiste un proceso de interpolación
b)
Calcula el valor asociado a 2008 por interpolación lineal, usando los datos extremos de
la tabla. Estudia el error absoluto y real cometido
c)
P14.-
Usando interpolación cuadrática extrapola el valor esperado para 2010.
La función
f ( x)  a(1  ekx ) tiene
una representación
determinada
curva de
aprendizaje. Una curva de aprendizaje describe el grado de éxito obtenido durante el
aprendizaje en el transcurso del tiempo. Es un diagrama en que el eje horizontal representa el
tiempo transcurrido y el eje vertical el número de éxitos alcanzados en ese tiempo.
a) Calcula para qué valor de x se cumple que f ( x)  a
2
b) Representa la función tomando a=10 y k=1.
c) Si a=10 y k=1, Calcula lím f (x ) . ¿Qué se observa? Da una interpretación cualitativa.
x  
P15.a)
Dada la función f(x) = ln(3x-4), halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la
función dada en el punto de abcisa x = 2.
b)
Halla a, b y c en f(x) = x3 + ax2 + bx + c, de modo que la gráfica de f tenga tangente
horizontal en x = -4 y en x = 0, y que pase por el punto (1, 1).
Matemáticas CCSS I
c)
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En qué punto la recta tangente a la gráfica de f(x) = 9 - x2 es paralela a la recta y = x? ¿En
qué punto hay tangencia horizontal? ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a f en x = 2?
P16.- Calcula la derivada de las siguientes funciones y, en los apartados a, c y e, simplifica el
resultado:
f ( x) 
a)
(1  2 x) 2
d)
b)
1  2x
f ( x)  5
3
5 x3

f ( x)  tg3x
e)

2 sen x
c)
f ( x)  ln 5
1  5x 2
1  5x 2
f ( x)  (arcsen 1  x 2 ) 2
P17.- Calcula el valor que deben tomar los parámetros a y b para que la función dada a
continuación sea derivable en x=2.
2

 ( x  1)  b , x  2
g ( x)  
2

a( x  3)  3 , x  2
P18.- Estudia detalladamente y representa gráficamente la función:
Estudiar:
dominio,
simetrías,
zonas
de
existencia,
cortes
con
f ( x) 
x
x2  4
los
ejes,
f ( x) 
ex
x
los
ejes,
asíntotas,
discontinuidades, monotonía y curvatura. Representar.
P19.- Estudia detalladamente y representa gráficamente la función:
Estudiar:
dominio,
simetrías,
zonas
de
existencia,
cortes
con
asíntotas,
discontinuidades, monotonía y curvatura. Representar.
P20.- Disponemos de un gran terreno junto a una carretera y queremos cercar, para instalar un
cámping, parte de su superficie de forma que sea rectangular y que ocupe
10000 metros cuadrados. La cerca rodearía todo el cámping, salvo diez
Cámping
metros junto a la carretera que dejaremos para entrada. ¿Qué
dimensiones debemos dar al cámping para utilizar la menor cantidad
posible de cerca?
P21.- Como resultado del test efectuado con un nuevo modelo de automóvil para determinar el
consumo de gasolina, se ha observado que, para velocidades comprendidas entre 25km/h y 175
km/h, el consumo C(x) de gasolina, expresado en litros consumidos en 100km hechos a
velocidad constante de x km/h, se puede aproximar a la función:
C( x)  7,5  0,05x  0,00025x 2
a)
Determina el consumo a las velocidades de 50km/h y 160km/h.
b)
¿Determinar razonadamente si el consumo de gasolina aumenta o disminuye con el
incremento de velocidad?
c)
¿A qué velocidad se obtiene el mínimo consumo? ¿Cuál es este mínimo consumo?
P22.- Una caldera tiene forma de prisma recto de base cuadrada y un volumen de 768m 3. Se
sabe que la pérdida de calor a través de las paredes laterales vale 100 unidades por metro
cuadrado, mientras que a través del techo es de 300 unidades por metro cuadrado. La pérdida
por el suelo es tan pequeña que puede considerarse nula. Calcula las dimensiones de la caldera
para que la pérdida de calor sea mínima.
Matemáticas CCSS I
P23.-
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a) ¿En qué puntos no es derivable la función y = lsenx l ?
b) Invéntate una función a trozos que presente una discontinuidad de salto infinito en
x=-3, una discontinuidad de salto finito de 4 unidades en x=0, una discontinuidad evitable en
x=2 y que sea en x = 3 sea no derivable pero continua. (Tienes que dibujar la gráfica y también
dar su expresión analítica).
P24.-
ln x , 0  x  1
f ( x)   2
ax  b , x  1
a) Calcula el valor de a y b para que la función dada sea
continua en x=1 y f(3) = 16. Razona bien tu respuesta.
b) Si en vez de exigir que f(3) = 16 exigiéramos que la función fuera derivable en
x = 1, ¿qué valor deberían tomar entonces los parámetros a y b?
(recuerda que si h0, ln(1+h) ~ h)
P25.-
Se cree que el número y de unidades vendidas de un cierto producto en función de su
precio en euros, x, viene dado por y = 50 –x, donde el precio varía entre 0 y 50.
Si por cada unidad vendida se obtiene un beneficio de x-10 euros,
a)
escribe la función, B(x), que refleja el beneficio en función del precio x de cada producto
b)
determina razonadamente el precio x que producirá mayor beneficio
c)
¿cuántas unidades se venden en ese caso y cuál es el beneficio obtenido?
ESTADÍSTICA
T1.- Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a)
La correlación es de tipo funcional si existe una función tal que algunos valores de la
distribución la satisfacen.
b)
Si r=0 los puntos del diagrama de dispersión están distribuidos según una recta
horizontal.
T2.- Si la covarianza es nula, ¿cómo son las rectas de regresión de Y sobre X y la de X sobre Y?
¿Cuánto vale en ese caso el coeficiente de correlación?
T3.- De una distribución bidimensional (X, Y), conocemos las dos rectas de regresión:
Y sobre X:
y=8,7 – 0,76x
X sobre Y:
y=11,36-1,3x
Calcula la media aritmética de cada variable y halla el coeficiente de correlación.
PROBLEMAS
P1.- La información estadística obtenida de una muestra de tamaño diez sobre la relación
existente entre la inversión realizada y el rendimiento obtenido en miles de euros, para
explotaciones agropecuarias, se muestra en el siguiente cuadro:
Inversión
11
Rendimiento 2
14
16
15
16
18
20
21
14
20
3
5
6
5
3
7
10
6
10
Ayuda: x1+…+xn=165, y1+…+yn=57, x12+…+xn2=2815, y12+…+yn2=393, x1 y1+…+ xn yn=1002
a)
Vistas como dos distribuciones unidimensionales, ¿cuál de las dos presenta mayor
dispersión?
b)
Considera ahora la distribución bidimensional (X,Y). Dibuja el diagrama de dispersión.
Calcula el coeficiente de Pearson e interpreta la información que da sobre las variables.
c)
Halla la recta de regresión de Y sobre X y la de X sobre Y. Dibújalas sobre el diagrama
anterior. ¿Qué nos permite estimar cada una de estas rectas?
d)
Calcula la previsión de inversión que se obtendrá con un rendimiento de 8000 euros.
Matemáticas CCSS I
11/12
P2.- Las calificaciones obtenidas por ocho alumnos en Matemáticas y Estadística han sido:
Matemáticas 2
4
6
5
6
8
9
10
Estadística
4,5
7
5,5
6
8,5
10
1
a)
3
Halla el coeficiente de correlación entre las calificaciones de matemáticas y estadística
de los siete primeros alumnos.
b)
Calcula el coeficiente de correlación entre las notas de los dos alumnos para todos los
alumnos.
c)
Interpreta y justifica la diferencia de resultados obtenidos.
P3.- La siguiente tabla muestra el tanto por ciento de tests de alcoholemia que dieron positivo
(P) durante 11 fines de semana y el nº de accidentes de tráfico que se registraron::
P
9.1
4.1
8.9
9.2
5.5
9.2
7.8
4.2
5.6
4.9
10.8
A
65
49
46
97
25
96
56
43
56
42
89
Representa el diagrama de dispersión y halla el coeficiente de correlación lineal y la recta de
regresión.
¿Qué número de accidentes esperas durante un fin de semana con un 10% de tests de
alcoholemia positivos? ¿Cuál es la fiabilidad de la predicción?. Interpreta los resultados.
P4.- Dados los sucesos A y B de un mismo espacio muestral, se sabe que:
p( A)  0,4
p( A  B)  0,8
p( A  B)  0,7
Estudia, justificando detalladamente tu respuesta, si los sucesos A y B son independientes.
P5.- En un grupo hay 30 personas de las que 13 son hombres (H) y 17 son mujeres (M). De ellos,
5 hombres y 7 mujeres son rubios (R). Calcula razonadamente:
a) p(H); p(M); p(H/R); p(H∩R); p(M∩R)
b)
p(R); p(R/H); p(R/M)
P6.- En una clase las notas de Latín se distribuyen normalmente con una media de 5,2 y una
desviación típica de 2,7.
a)
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno, elegido al azar, tenga entre un 5,5 y un 7?
b)
¿Qué tanto por ciento de alumnos aprueban?
c)
¿Qué porcentaje de alumnos están entre 4 y 5?
d)
¿Por encima de qué nota se encuentran el 80 % de los alumnos?
P7.- Un estudio de audiencia demuestra que el 35% de los españoles ve el telediario en alguna
de las cadenas públicas o privadas. Elegidos 8 españoles al azar, calcula la probabilidad de que:
a)
Vean el telediario exactamente 4 o 5 de ellos.
b)
Vean el telediario al menos la mitad de ellos
P8.- Guillermo, Claudia y Laura son tres trabajadores de un taller que se dedica a la confección
de prendas para unos grandes almacenes. En una hora, Guillermo hace 35 prendas, Claudia 15 y
Laura 10. Sabemos que Guillermo produce un 5% de prendas defectuosas en ese tiempo, Claudia
un 4% y Laura un 10%. Marta, la encargada del taller, quiere saber:
a)
La probabilidad de que al escoger una prenda al azar ésta sea defectuosa.
b)
La probabilidad de que una prenda defectuosa la haya confeccionado Guillermo.
Matemáticas CCSS I
c)
12/12
La probabilidad de que al escoger una prenda al azar sea apta y la haya producido
Laura.
d)
La probabilidad de que en una semana (6 días con 8 horas de trabajo por día) haya más
de 150 prendas defectuosas.
e)
En una semana (6 días con 8 horas de trabajo por día) cuántas prendas defectuosas es
esperable que haya.